网络结构与交易对手信用风险

与计算相关。我们将E（max[Yv，w（C）；0]）称为v对w的预期双边交易对手风险，其中Yv，w（C）=∑K∈C±X（k）v，w 现在是一个条件r.v.，其均值和方差取决于位置方向的信息。在第2.2节中，我们演示了如何计算这样一个随机变量的期望值。设φYv，wandφmax[Yv，w；0]分别为r.v.Yv，w（c）和max[Yv，w（c）；0]的c.f。如果我们将公式（2.2）应用于（2.5）weobtainE（最大值[Yv，w（C）；0]）=t[φmax[Yv，w；0]（t）]（0）i.（4.1）将各部分放在一起，并考虑有向图的r.v.s可能的不对称性，如第3节所述，我们最终得到公式（Zb（D））=五、∈五、W∈UCvE（最大值[Yv，w（C）；0]）=五、∈五、W∈UCvt[φmax[Yv，w；0]（t）]（0）i（4.2）表示任意有向图的预期双边交易对手风险D.4.1示例：金融市场可以组织在不同的层中。例如，在德国，Upper和Worms[UW04]描述了德国银行间市场的两层结构。图5中所示的有向两层结构带有X~±L（0，1）是一个有向图，有N=6个市场参与者和两类导数C={1，2}，其中不同的类用不同的箭头表示。计算VVVWW的预期双边交易对手风险图5：有向双层结构和两类衍生品的有向图。有向图D=（V，A） 与A=A图5所示的Aas很简单，因为所有双边投资组合都有相同的简单结构。在十个双边投资组合中，每一个都只有一个债权和一个债务。例如，Yv，w（C）=X（1）v，w-X（2）v，w, 根据拉普拉斯分布的正绝对值和负绝对值分布最后一个方程右侧的r.v.son。相关的c.f。

φYof Yv，w（C）等式1+t=ii+t-我-i+t将公式（2.3）应用于（2.5）我们得到φmax[Y；0]（t）=[1+1+t]+i[H{1+t}（t）-H{1+t}（0）]=2i+t2i+2t，其中H{1+t}（t）=t1+t。因此，E（max[Yv，w（C）；0]）=t[2i+t2i+2t]（0）i=是v相对于w的预期交易对手风险。由于公式（4.2）和双边投资组合的相似性，我们得到E（Zb（D））=5。显然，如果我们忽略了关于r.v.s方向的信息，如果我们进一步考虑图的r.v.s的对称性，我们将得到一个类似的公式，用于下面的图GDD。下一个例子将展示这个明显的结果。4.2示例：考虑图G∶= （{v，w}，E） N=2，X~ N（0，σ）和E=E. . . EKas如图6所示，其中不同外观的边缘代表K导数类别中v和w之间的净位置。我们假设X（k）v，w~N（0，σ）表示所有k∈我们没有任何关于边缘方向的额外信息。c.f.φYv，w（c）（t）=φYw，v（c）（t）=e-sumY的tKσ∶=Yv，w（C）=∑K∈CX（k）v，等于N（0）的偶数实值c.f，√Kσ）。因为请注意，拉普拉斯分布的正绝对值是指数分布。由于方程（5.8），指数分布的c.f.的虚部等于1+t的希尔伯特变换。推导1+tis的希尔伯特变换的另一种方法是使用公式（5.1）或（5.2）。在我们的例子中，我们得到H{1+t}（ω）=2iRes（1+t）（ω）-t） ，我+愤怒（1+t）（ω）-t） ，ω=我-ω-1+ω-i=ω1+ω，通过将ω变成t，我们得到相同的结果。

请参考示例4.6。v wXXXKFigure 6:K边方程（2.3）和H{φY}（0）=0的两顶点图G我们得到φmax[Y；0]（t）=[1+φY（t）]+i[H{φY}（t）-H{φY}（0）]=+e-tKσ+iFT√Kσ√√π其中H{φY}（t）=√πFT√Kσ√和F（t）∶=E-T∫tesds是所谓的Dawson函数。然后给出v到w的预期双边交易对手风险（最大[Y；0]）=t[φmax[Y；0]]（0）i=T如果T√Kσ√√π（0）i=σK2π。也请参考公式（3.1）。上述预期可以概括为N>2个市场参与者的完整图表。每个市场参与者v将有（N-1） 各衍生工具类别k中的交易对手∈C.一个市场参与者的预期交易对手风险为（N-1)σK2π，与[DZ11]中的公式（3）匹配。请注意双边投资组合的对称性，该预期包括2N（N-1） 每个Kderivatives类的方向。4.3结论：设D=（V，A） 与N是连通有向图≥2个市场参与者，K>1衍生品类别C={1，…，K}和X~±P这代表了一个场外交易市场。然后，以下观点成立：（i）E[∑K∈C±X（k）v，w] =E[Yv，w（C）]=0当且仅当{v，w}isEulerian诱导的子图；（ii）E（最大值[Yv，w（C）；0]）=t[H{φYv，k（t）]（0）如果{v，w}诱导的子图是欧拉的。这个结论的证明是显而易见的，因为双边市场的净值集等于v和w之间的allarrows。那么，我们只需要应用定理3.2。参见[Olv+13]中的7.2.5。4.2集中清算市场中的交易对手风险通过引入CCP，我们不需要扩展前面的设置，因为网络包含足够的信息来计算每个实体以及整个网络的交易对手信用风险。也就是说，我们将CCP想象为一个抽象实体，它不是市场参与者网络的一部分。我们假设CCP只清除了一类导数。

在多边衍生品市场中，Mwe不允许跨不同衍生品类别提供头寸。但我们可以将所有市场参与者的头寸汇总到一个k类∈C由中央对手方清算。因此，市场参与者的多边净额结算∈V等于导数类k中的邻域U（k）vof V∈C.我们称yv，k（U（k）v）∶=∑W∈U（k）vx（k）v，w∈R v在k类衍生品中的当前多边头寸。因此，函数yv，k代表v相对于k类衍生品中所有相邻顶点的可观察交易头寸的净额总和，但v对CCP的实际当前多边交易对手风险最大[yv，k（U（k）v）；0]。如果我们改变对整个市场整体交易对手风险的看法，我们将获得ZM（Dk）∶=∑五、∈五、yv，k（U（k）v） Dk当前的多边交易对手风险。方程式∑五、∈Vyv，k（U（k）v）=0是有效的，因为每个位置在zm（Dk）中计算两次，一次作为债务，一次作为索赔。因此，我们收到了ZM（Dk）=五、∈五、yv，k（U（k）v）=2.·五、∈Vmax[yv，k（U（k）v）；0]。最后一个等式是将原始双边合同更新为CCP。我们进一步假设双边净额结算是主要的净额结算形式，除非另有明确说明。因此，如果我们在K类导数中引入CCP，我们可以说在K类中∈C、 然后我们假设剩下的（K-1） 课程仍然是双边的。因此，整个市场的总敞口为ZM（D）∶= zm（Dk）+zb（D）\Dk），（4.3），其中等式右侧的最后一个和表示OTC市场当前的双边对手风险D\Dk∶=（V），A.\Ak）。现在让我们假设与有向图D=（V，A）的箭头相对应的Mthat的位置值尚未实现，而是用X抽象地表示~±P.

对于两个不同对应项之间的所有其他关系，我们将（未来）位置值决定性地设置为零。AKS每个箭头的方向决定了r.v.s±的条件X（k）v，w按±分配P. 此外，我们用φYv和φmax[Yv；0]分别表示r.v.Yv，k（U（k）v）和max[Yv，k（U（k）v；0]的c.f。如果我们再次将公式（2.2）应用于（2.5），则任意市场参与者的预期多边交易对手风险v由最大值[Yv，k（U（k）v）；0] =t[φmax[Yv；0]（t）]（0）i，（4.4）式中，Yv，k（U（k）v）=∑W∈U（k）v±X（k）v，w是一个r.v.，其均值和方差取决于位置方向的信息。把这些部分放在一起，我们得到公式（Zm（Dk））=五、∈VE最大值[Yv，k（U（k）v）；0]=五、∈五、t[φmax[Yv；0]（t）]（0）i（4.5），用于任意有向图Dk（k类衍生品）的预期多边交易对手风险。我们采用公式（4.3）来计算getZm（D）∶= Zm（Dk）+Zb（D）\Dk）（4.6）用于有向图，其中箭头的权重取决于随机变量。同样，如果我们淡出每个r.v.的方向信息，我们将获得类似于（4.4）和（4.5）的公式，用于Dk的无向基础图gk。如例4.2所示，我们推导了一个完全无向图的公式~N（0，σ）。4.4示例：假设G=（V，E）是具有N个顶点、一类导数和X的无向完全图~N（0，σ）。我们没有关于位置方向的任何信息。为了简单起见，我们写Yv而不是Yv，1=∑W∈U（k）vX（1）v，魔杖Xv，X（1）v的温斯特德，w.c.f。

Yv（U（k）v）之和=∑W∈U（k）vXv，等于偶数函数φYv（t）=e-t（N）-1） σ及其希尔伯特变换等于奇数函数H{φYv}（t）=√πFT√N-1σ√.应用公式（3.1）和（4.4），我们得到最大值[Yv（U（k）v）；0] =我T1+e-t（N）-1)σ+如果T√N-1σ√√π(0)=N-12πσ在一个有N个顶点的完整图中，v的预期多边交易对手风险。最后一个等式等于[DZ11]中的公式（4）。请注意这些组合的对称性，G是2N（N）的基础图-1） 不同的有向图和计算出的预期交易对手风险是所有这些风险的某种平均值。将定理3.2应用于集中清算市场，我们得到以下结论。4.5结论：设D=（V，A） 与N是连通有向图≥2个市场参与者，K类衍生品C={1，…，K}和X~±P这代表着一个中央清算的市场。那么，以下观点成立：（i）E[∑W∈U（k）v±X（k）v，w]=E[Yv，k（Ukv）]=0当且仅当k类中的γ（v）=0；（ii）E最大值[Yv，k（U（k）v）；0]=t[H{φYv，k（t）]（0）如果类k.4.6中的γ（v）=0示例：假设G=（v，E={E，E，E}）是图7所示的无向图，具有一类导数和X~L（0，1）。让我，m，n∈带m的{1,2,3}≠n、 我们考虑如图7所示的欧拉方向D=（V，{a，a，a}），它是图8所示的G的八个可能方向中的一个。方向确定了边缘的方向，从而确定了相应贸易头寸的方向。特克。f、 1+t=ii+t-我-i+tof净额Yvl∶=Xm-Xn是真正的价值，甚至。这里，xm和Xnare r.v.s代表相应的位置。

应用结论4.5的（ii）我们得到最大值[Yvl（U（1）vl）；0] =t[H{φYvl}（t）]（0）=Tt1+t（0）=VVVEEVVVAA图7：图G和欧拉方向图8：所有8=2可能的方向图VLL的预期多边交易对手风险∈欧拉方向D的{1,2,3}。因此，中央清算市场的预期由E（Zm（D））=E（Zm（D））给出=∑l=1E最大值【Yvl（U（1）vl）；0】=3.·=. 所有其他六种非欧拉取向都会带来整个市场的预期交易对手风险，这明显高于两种欧拉取向的风险。现在让我们把注意力回到无向图G=（V，E）。一个位置的c.f.等于实值偶数函数1+t。1+t的正绝对值是一个分析信号，因为1+tas及其傅里叶变换是一个绝对可积函数。因此，1+t+it1+的虚部是1+t的希尔伯特变换。c.f.φYvl（t）=（1+t）=1+t1+tof r.v.Yvl∶=Xm+Xnof参与者VL也同样受到andreal的重视。它的Hilbert变换H{φYvl}（t）对所有l∈{1,2,3}由t（3+t）2（1+t）给出。应用公式（3.1）我们得到最大值[Yvl，1（U（1）vl）；0] =Tt（3+t）2（1+t）（0）=对于G的三个顶点之一，因此E（Zm（G））=。这个结果也可以推断为所有方向的平均值，即（2）·+6.·)=.最后一个例子表明，有关头寸方向的信息对于计算整个市场的预期至关重要。忽视这些信息可能导致高估或低估交易对手信用风险。

很明显，在更复杂的网络中也可以得到类似的结果，而精确的结构对于研究交易对手和系统风险至关重要。请参考第5.2.4.3节多边净额结算的优势本节的目的是概括Duffie和Zhu[DZ11]的主要结果。作者提出了这样一个问题，即通过CCP或两个相关交易对手之间的典型双边结算，对整体交易对手信用风险更有利。通过应用引入的网络模型，我们不仅可以回答这个问题，而且可以回答任意图和有向图的问题。此外，第2节中介绍的网络模型不受正态分布的限制，它还可以采用任何（对称）分布，并具有明确的预期值。为一类导数k引入CCP∈带K的有向图D中的C∈N类导数和X~±P当且仅当ifE（Zm（D））=e（Zm（Dk））+e（Zb（D））时，提高了净额结算效率\由于定义（4.6），Dk）小于E（Zb（D）。由于公式（4.2）和（4.5），当且仅当五、∈五、t[N]-1φv，k（t）]（0）i+五、∈五、W∈UCvt[K-1φv，w（t）]（0）i<五、∈五、W∈UCvt[Kφv，w（t）]（0）i，（4.7）其中mφv，·（t）∶=1+φX（t）M+我H{φX（t）M}（t）-H{φX（t）M}（0）是r.v.max[Y，0]和Y的c.f∶=∑Mj=1±Xj还有Xj~P在本节中，M∈N代表N-1，K还是K-我们写X而不是Xj。我们现在可以通过将引入的随机框架应用于不等式（4.7）来计算特定有向图的优势。现在让我们关注一个完整的无向图与X的代表性对应物v~P如[DZ11]所示。

由于完整图形的特点以及方程式（4.1）和（4.4），因此，当且仅当t[N]-1φv，k（t）]（0）i+（N-1)t[K-1φv，w（t）]（0）i<（N-1)t[Kφv，w（t）]（0）i（4.8）<=>（N）-1)(t[Kφv，w（t）]（0）-t[K-1φv，w（t）]（0））>t[N]-1φv，K（t）]（0）。（4.9）如果我们应用公式（3.1），然后将结果放入（4.8），我们将得到不等式t[H{φX（t）N-1} [0）<（N）-1)t[H{φX（t）K}]（0）-t[H{φX（t）K-1}](0)（4.10）对于一个完整的图，其中头寸是按P.4.7分布的。例如：假设我们有一个完整的图G=（V，E），其中有N个市场参与者，一个单独的衍生品类别，以及X~N（0，1）。应用公式（4.10）并考虑tH{φX（t）M}（0）=√M我们得到π√N-1.π<（N）-1)√Kπ-√K-1.π.这个不等式可以很容易地转化为K<N4（N-1） N>2，等于[DZ11]中的公式（6）。拉普拉斯分布的尾部明显比正态分布更肥。然而，与示例4.7.4.8的结果相比，下一个示例的结果非常相似。再次，我们考虑一个完整的图G=（V，E）和X~L（0，1）。特克。f、 φX（t）等式1+t。不幸的是，在这种情况下，我们不能精确地解公式（4.10）导出的不等式。相反，我们应用公式（3.1）来获得t[Mφv，·（t） [（0）=t[H{φX（t）M}]（0）=Γ（+M）√πΓ（M）=M2M2毫米（4.11）k类衍生品中代表性交易对手v的预期多边交易对手风险。此处，Γ（t）∶=∫∞xt-1e-xdx是所谓的伽马函数，是阶乘函数的扩展。通过应用公式（4.8）和（4.11），我们可以推导出K=1 2 3 4 5 6 7 9 10 N的值≥ 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38表1：我们需要多少市场参与者来确保中央结算的优势？标签。1，其中列出了给定K的解集N。

例如，如果我们有K=5类衍生品，我们将需要至少N=18个市场参与者，以确保在预先设定的前提下中央清算的优势。我们已经证实了[DZ11]中的公式（6），我们还展示了如何应用引入的模型对完整图形中的不同分布进行类似计算。然而，如果我们想研究金融市场的确切构成，我们需要研究任意图或有向图，而不是特定类型的图或有向图。因此，作为整个结构的单一代表性对应物的东西通常不存在。然而，我们可以比较不同模型的影响，以验证关联假设。4.9示例：让GD作为示例4.1的基础图。也就是说，我们考虑一个带有X的非定向双层市场结构~L（0，1）。一方面，预期双边交易对手风险E（Zb（GD））=7.5明显小于预期多边交易对手风险E（Zm（GD））=8.875。另一方面，将其与示例4.8选项卡中的含义进行比较。1对于一个包含K=2类衍生品的完整图表，我们明显地看到，所描述的包含N=6个参与者的二级市场的风险特性完全不同。最后一个例子表明，准确的市场结构对于全面回答提出的问题至关重要。现在可以使用公式（4.11）重新计算示例4.6的结果。只需设置M=N-1=2，我们得到了t[φv，k（t）]=√π√π=.5应用的辅助结果在本节中，我们提供辅助结果，有助于清除与第2节中所述网络模型应用相关的障碍。