网络结构与交易对手信用风险

它规定，如果一个交易对手违约，净额结算协议涵盖的衍生交易产生的法律义务必须基于此类交易的净值。我们不考虑抵押品和违约恢复的好处。市场Mde的适用收尾净额结算惯例明确规定了任意交易对手的交易∈在违约的情况下，V可以聚合为一个净头寸。在本文档中也称为尺寸。用集合论表示，这意味着应用的净额结算约定定义了v附带的所有链接的一部分。也就是说，A（v）∶={a∈Akv.与a发生事故；K∈C} 可以分解成A（v）=Λ∈Lv∧带∧≠, 其中每套的所有交易∧∈利瓦耶夫是两个共同的对手之一。我们称之为∧∈Lva市场参与者v的净额结算集。显然，净额结算集强烈依赖于作为市场惯例的一部分使用的净额结算机会。例如，在OTC市场中，ISDA主净额结算协议是一项标准的结算净额结算协议，允许两个双边交易对手交叉交易不同种类的衍生品。虽然通常不允许在所有产品类别中进行净额结算，但我们将在以下净额中对C的所有类别的衍生品进行净额结算。相比之下，CCP提供了在其所有清算成员之间进行净额结算的可能性。双边和多边净额结算将在第4.1节和第4.2节中详细介绍。每个网套∧∈lv对应于一组r.v.s X∧∶= {±Xλ}λ∈∧，其中净额结算集的每个元素代表与对手v的双边贸易头寸的未来价值。如果我们想计算一组r.v的预期对手风险{±Xλ}λ∈对于市场参与者v，我们需要指定箭头λ是相对于其对应方v的债权还是债务。

为此，我们使用已经引入的符号X（k）v，w。此外，我们写∧vt强调每个交易头寸都是相对于v的，即，如果头寸为正，则v向w索赔，如果为负，则v欠w。我们指定∶=Λ∈LvX∧作为v的r.v.s集合的家族，意味着整个市场中市场参与者v的交易对手风险。图1：有向图D=（V）∶={v，v，v，v}，A） 与A={A，A，A，A，A，A，A，A}。例如，一个明显的分区如图1中不同类型的箭头所示，A（v）为A（v）={A，A}{a，a}。例如，图1的网状集合∧v={a，a}对应于集合X∧v={X（2）v，v, -X（2）v，v}随机变量。分区Lv={a，a}，{a，a}包含对应物的所有净额集和r.v.s XLvof vre集合的家族反映了其对应物之间位置未来值的不确定性。关于给定集合的划分的一般定义，请参见[Die05]，第1章。图的顶点v与边e相关联∈埃基夫v∈e、 我们进一步称之为箭头a∈当h（a）=v或t（a）=v时，有向图dk与顶点v相关联的Akofhttp://www2.isda.org/.See[Gre10]中的第3.4.7节。参见[Gre10]中的第3.4.10节和第14.1节。这种非常通用的净额结算表示法的目的是尽可能灵活，以便模型能够处理任意净额结算类型。此外，我们不需要处理庞大的矩阵，我们可以在下一个定义中应用引入的符号。我们说有向图D由P分布，由X表示~±P, 当且仅当XLV的所有交易头寸∈V通过±独立且相同地分布（i.i.d.）P.

我们采用了相似的符号X~P对于无向图G.在了解相关的净距集并确定如何解释r.v.s后，净距仅通过以随机变量的形式添加估计的未来位置值来执行。通过取净额和与零之间的最大值，我们确定了交易对手v和净额集∧v的信用风险。因此，考虑到净额集∧v的交易对手风险由max确定λ∈∧v±Xλ; 0,（2.1）其中±Xλ是实值对称r.v.Xλ的正或负绝对值~平均值为零。特征函数理论是分析独立随机变量的有力工具。如果有限序列（Xλ）λ的r.v.s∈λ是相互依赖的，然后是和Y的c.f∶=∑λ∈λXλ就是φY的乘积=λ∈Λ±φXλ（2.2）相应的特征函数。一般来说，函数φY是复值的，即φY（t）=η（t）+iν（t），其中实部Re（φY）=η，虚部Im（φY）=ν。显然，如果我们想将这个概念应用于（2.1），我们必须找到一种方法来计算给定分布P的正绝对值和负绝对值的c.f。我们在第5.2节中推导了用于此目的的公式。如果市场参与者w向违约对手v索赔，那么w很可能会蒙受损失。然而，如果w欠违约方v的钱，那么w仍然必须履行合同付款。也就是说，在后一种情况下，w无法通过某种方式免除其责任而从违约中获益。因此，只有正面的贸易头寸意味着风险敞口大于零。可使用[Pin13]中的公式（4）计算出曝光量，以获得c.f.φmax[Y；0]（t）=E（eit max[Y；0]）=[1+φY（t）]+i[H{φY}（t）-r.v.max[Y；0]的H{φY}（0）]（2.3）。

这里，i是虚单位，H{φY}是由H{φY（t）}（ω）驱动的（特征）函数φyg的希尔伯特变换∶=πpv∞-∞φY（t）dtω-T∶= 林→0πω--∞φY（t）dtω-t+∞ω+φY（t）dtω-T（2.4）带t，ω∈如果这个积分存在。积分前面的PV表示扩展函数类的Cauchy主值，对于该类函数，普通函数参见[Kin09a]中的第3.1节。参见[Kin09a]中的第2.4节。积分存在。当从上下文中明确了什么意思时，我们将使用变量t作为输入函数的参数以及其希尔伯特变换的参数。根据[Luk70]中的定理2.3.1及其推论2，我们可以导出任意r.v.ZbyE（Z）=i的期望值-1.t[φZ（t）]（0），（2.5），前提是存在一阶矩。在我们的例子中，我们设置Z∶=最大值[Y；0]以计算期望值。2.3示例几位作者使用简化的网络结构，如完整图、星形图或随机图。例如，Duffie等人[DZ11]或Cont等人[CK14]假设图是完整的。其他作者，如Nier等人[Nie+07]假设边集遵循Erdoes-Renyi模型。然而，目前的模型可以处理任意图。2.1示例：考虑有四个市场参与者的金融市场，利率和外汇衍生品在其中交易。图2用Gk=（V，Ek）和k描绘了市场∈C∶={1,2}和V∶={v，v，v，v}。这里，E={E，E，E，E}和E={E，E，E}的边分别用实线和虚线表示。显然，这两张图都不是完整的，也不是星型的，而且都是不同的。我们进一步研究了图2：有向图D=（V，A） 下面的图G=（V，E） 假设X~L（0，1），其中L（u，b）表示具有平均u和缩放参数b的拉普拉斯分布。

分区SLV={e，e}，{e}，{e}Lv={e}，{e}，{e}Lv={e，e，e}，{e}Lv={{e，e，e}，{e}，{e}Lv={e，e}，{e}及其元素，即网格集，由网格类型决定。根据公式（2.2）-（2.5），净额结算集的预期交易对手风险∧∈伊维维思一世∈{1,2,3,4}可分四步计算：（a）使用公式（2.2）确定网状位置的c.f.φyo；（b） 计算φY的Hilbert变换；根据第4节，多边和双边净额结算分别适用于边集EAN和E。（c） 用公式（2.3）确定信用风险敞口的c.f.φmax（Y；0）；（d） 应用公式（2.5）获得预期的信贷风险。之后，由于净额结算集的可比性，可以对其预期信用风险进行汇总。我们从c.f.φX（t）=1+tof单个r.v.X开始~L（0，1），我们选择∧∈利维思Λ=1.通过应用公式（2.2）并考虑X=Y，我们得到了所有七个单元素网格集的φY=φxf。Hilbert变换H{φY}（t）=t1+t和c.f.φmax[Y；0]（t）=[1+φY（t）]+i[H{φY}（t）的计算-H{φY}（0）]=1+1+t+我t1+t可通过公式（2.3）确定信贷风险敞口的百分比。最后，我们得到E（max[Y；0]）=i-1.t[φmax[Y；0]（t）]（0）=通过应用公式（2.5）计算∧的预期信贷风险。对于剩余的三套净额结算装置，需要执行相同的步骤（a）-（d），但不需要。v、 Y和c.f.φY将因更大的网组而不同。例如，网格集∧′={e，e，e}包含三条边，这意味着φY（t）=φX（t）=（1+t）。因此，H{φY}（t）=15t8（1+t）+5t4（1+t）+3t8（1+t），这导致E（max[Y；0]）=。两个要素净额结算集合中的每一个都需要额外的预期交易对手风险。

加起来，wereceive=7×+2×+为整个市场的预期交易对手风险。[DZ11]或[CK14]的模型假设两个图都是完整的，这意味着每个参与者都通过一个交易头寸与所有其他参与者相连。当前网络模型的另一个巨大优势是，它可以处理广泛的分布。在上面的例子中，我们使用了拉普拉斯分布，但我们也可以应用任何其他具有现有平均值的对称分布。在我们有关于可能的暴露方向的额外信息的情况下，可以合理地对定向暴露进行建模。这意味着只有位置大小是巧合。我们的网络模型还可以通过考虑c.f.中的附加信息来处理任意有向图。也就是说，对于有向图，我们需要计算单个随机变量的c.f.，例如，根据命题5.3。之后，剩下的步骤（b）-（d）是相同的。在例4.1中，计算了直接简单的两级市场结构的预期交易对手风险。只要我们能够确定相关的c.f.s和相应的希尔伯特变换，我们就可以使用概述的网络模型和附带的随机框架来确定任意图或有向图的预期交易对手风险。在第5节中，我们给出了辅助结果，说明了在执行步骤（a）-（d）时如何克服一些障碍。3具体的网络结构和交易对手风险，以推导任意网络结构的预期交易对手信用风险公式，以及如此广泛的可能分布，即使不考虑依赖关系，请参考示例4.6。在不同的职位之间，这是一项艰巨的任务。

假设有向图D=（V，A） 表示一个网络结构，未来位置由X分配~±P. 接下来的挑战是计算E最大值∑λ∈∧v±Xλ, 0对于任意网格集∧vof acounterpart v，并处理与之相关的各种问题：负绝对值和正绝对值不再由P分布，因为它们的样本空间限制为]-∞, 0[或到]0，∞[.和的概率分布∑λ∈Λ±Xλ实际上是它们分布的卷积，一般来说，关于它几乎没有什么可说的。最后，取最大值会导致问题的某种不对称性，这意味着不可加性，如下例所示。3.1示例：假设D=（V，A={A，A}）是图3所示的有向图，代表一个具有K=1类衍生品的市场。图3：路径数据相关的r.v.s X和X通过连续均匀分布i.i.d.分布({-1, 1}). 顶点u完全没有预期的交易对手风险，如E（max[-Xa; 0]）=E（0）=0。D的端点w显然包含E（max[Xa; 0]）=E(Xa)=预期的交易对手信用风险。Y和的c.f∶=Xa-Xa等于φU（0,1）（t）φU(-1,0）（t）=（1-E-（它）(-1+eit）及其Hilbert变换H{φY}is2（t-sin（t）t.采取限制措施→0H{φY}（t）并将公式（2.3）应用于（2.5）我们得到E（max[Y；0]）=tφmax[Y；0]（0）i=。请记住E（最大值[Xa-Xa; 0])≠E（最大值）[Xa; 0]）+E（最大值[-Xa; 0]). 从经济上讲，这种不平等意味着，只有遵守净额结算规则，才能将一个参与者的信用敞口细分为更小的部分。在这里，多边净额结算规则不受总额拆分的尊重Xa-Xa.此外，该示例还表明，与债权相对应的对方v的负债越多，v的交易对手信用风险就越低。

考虑到单一交易对手的净额结算效率，情况会发生变化：债权和债务之间的平衡越好，净额结算机会的效果设置效果就越大。在预测图4:Exp-osure circlesection 4.2时，集中清算市场的净额结算效率的一个流行示例如图4所示。让我们假设曝光圈中的每个箭头代表一个100厘米的曝光。然后，接触圈意味着每个参与者的要求和责任之间的完美平衡，因为输入和输出箭头完全相互作用。如果我们推广曝光圈这个明显的概念，并使用图论的语言，我们会遇到欧拉有向图。如果我们进一步用代表两个参与者之间未来交易对手信用风险的r.v.s替换确定性值，那么我们就得出定理3.2。然而，为了做到这一点，我们需要引入顶点v的度γ（v）∈agraph Gk=（V，Ek）中的V是数字E（v）现在让我们考虑一个图Dk=（v，Ak）。用γ+（v）表示的单个顶点v的阶数是箭头a的数目∈AKH（a）=v。同样，我们称箭头的数量为a∈Ak，t（a）=v，而不是v的阶数，用γ表示-（v） 。我们会打电话给你+∶五、γ+（v）度函数与γ-∶五、γ-（v） 出度函数。此外，我们定义了γ（v）∶=γ+（v）-γ-（v） 对于有向图Dk，称γ为欧拉度函数，称γ（v）为v.3.2的欧拉度定理：设Dk=（v，Ak）是与X连通的有向图~±P 和一个∧v的网组∈五、那么，以下观点成立：（i）E(∑λ∈∧v±Xλ)=0当且仅当γ（v）=0；（ii）E（最大值）[∑λ∈∧v±Xλ; 0])=t[H{φY}]（0）如果γ（v）=0。证据见第7.1节。如果一个图的每个顶点都有偶数度，那么这个图就叫做欧拉图。

如果有向图的每个顶点v的入度等于出度，即每个顶点v的γ（v）=0，则称有向图为deuler图∈五、我们在最后一个定理中证明了顶点v∈γ（V）=0的有向图的V在交易对手信用风险的情况下是有区别的。由于欧拉图Dk=（V，Ak）的定义，方程γ（V）=0适用于每个顶点V∈五、也就是说，在所谓的多边净额结算规则的背景下，净额结算效率与欧拉有向图齐头并进。对于图，我们可以说明类似的结果。3.3定理：设Gk=（V，Ek）是与X连通的图~P和一个网集∧vwithv∈五、那么，以下观点成立：E最大值λ∈λvXλ；0=t[H{φY（t）}]（0）。（3.1）证据。见第7.2节。与有向图相比，定理3.3的公式（3.1）对任意图的任何顶点都有效。这种不匹配的原因是网络的对称性=∑λ∈λvXλ不依赖于网格集∧v。对于图，r.v.s Xλ与λ∈λvare对称，Y对称。因此，使用图表或有向图对金融市场进行建模确实很重要，应该得到充分考虑。4网络模型的应用在本节中，我们定义并解释了OTC和中央结算市场内交易对手信用风险的衡量标准。之后，我们将通过应用请参考第4.2节，尤其是示例4.6，推导出如何计算未来典型一天两种市场的预期交易对手信用风险。第2节介绍的模型。为此，我们首先澄清了两种净额结算类型的概述。在第二步中，我们将符号X（k）v，wf应用于r.v.和X（k）v，w∈R，以实现第2.1节中介绍的目标。为此，我们需要定义“相邻”和“邻里”这两个术语。如果{V，w}是图Gk=（V，Ek）的边，则图Gk=（V，Ek）的两个不同顶点vand w是相邻的。

在有向图dk=（V，Ak）的情况下，如果（V，w）中有一个是相邻的，则两个顶点是相邻的∈阿克尔（w，v）∈这是有效的。第八步图GK或有向图DK中顶点V的V是与V.4.1 OTC市场内交易对手风险相邻的所有垂直线的集合。在OTC市场内，Mwe可以在各种衍生类别中设置头寸，但只能在一对交易对手之间设置头寸。因此，给定市场参与者的双边净额结算集∈V将对应于V及其一个对应方w的双边投资组合∈加州大学。这里，UCvis是v的邻域，它跨越了所有类别的导数k∈C.实数x（k）v，W现在代表v相对拖缆的当前可观测位置值∈五、\{v} 在k类导数中，确定函数值yv，w（C）∶=∑K∈Cx（k）v，wis称之为v到w的当前双边位置。显然，函数yv，w可以是正的或负的，定义的直接后果是yv，w（C）的有效性=-yw，v（C），意思是一方的债权是另一方的债务。因此，v对w的实际双边交易对手风险为最大[yv，w（C）；0]，我们称之为zb（D）∶=∑五、∈五、∑W∈UCvmax[yv，w（C）；0]当前的双边交易对手风险D=（V，A） 。这是对任意市场的合理双边交易对手风险度量，因为它将所有双边投资组合的净敞口相加。我们现在假设与有向图D=（V，A） 尚未实现，但抽象地表示为r.v.，即X~±P. 对于两个不同对应项之间的所有其他关系，我们将（未来）位置值决定性地设置为零。每个k类中每个箭头的方向∈C确定相关r.v.的正绝对值还是负绝对值。