具有离职风险和股价上涨的ESO估值

我们用一个带有率参数λ的指数随机变量来模拟员工的工作终止时间τλ≥ 0，并假设τλ和X是独立的。随机性工作终止的情况将在第4节中讨论。股票价格tvτλTτλEXERCISEHOLD（Sτ*- K） +（Stv）- K） +（Sτ）*- K） +00图1:ESO支付结构。自下而上：（i）员工在归属期内离开公司，导致ESO被没收。（ii）由于工作终止，雇员被迫提前行使既得ESO。（iii）股票价格路径在行权后跨越行权边界，因此员工立即行权ESO。（iv）股票价格在行权后达到行权边界（无跳跃），且期权在该边界行权。（v） 员工在行权结束时行使ESO。在每个股票价格路径上，垂直线段描绘了股票价格的跳跃。2.2 ESO成本t时既得ESO的价值∈ [tv，T]由c（T，x）=supτ给出∈Tt，TEQt，xE-r（τ）∧τλ-t） （性别τ）∧τλ- （K）+（2.7）=supτ∈Tt，TEQt，xE-（r+λ）（τ）-t） （性别τ）- K） +Zτte-（r+λ）（u）-t） λ（SeXu）- K） +du, （2.8）式中，Tt是一组FXstopping times，取[t，t]中的值，EQt，x{·}表示Xt=x的条件预期。换句话说，在行权期后，员工面临与美式看涨期权类似的最佳停止问题，但由于突然终止工作，员工会被迫提前行使。从（2.8）中，我们还可以将既得ESO解释为现金流为λ（SeXt）的美式看涨期权- K） +直到运动时间τλ。利用ESO支付结构，可以进一步证明，对于每t，既得ESO成本C（t，x）是增加的，且在x中是凸的∈ [tv，T]，并且每x的T值在减小∈ R.在行权期内，如果员工离开公司，ESO将被没收。

因此，给定时间t时s仍然活着≤ tv时，未设定ESO的值为C（t，x）=EQt，xE-r（电视）-t） C（tv，Xtv）11{τ)λ>tv}（2.9）=EQt，xE-（r+λ）（电视）-t） C（电视、Xtv）. （2.10）ves TING g条款禁止员工在[0，tv]期间行使期权，即使ESO恰好在资金中。对既得ESO的估值导致对非齐次部分积分微分变分不等式（PIDVI）的分析和数值研究。为此，我们首先定义Q^Lf（X）=^f′（X）下X的单位生成器+σf′（x）+ZR\\{0}f（x+y）- f（x）- yf′（x）11{y}<1}^ν（dy），（2.11）和（2.6）中给出的^u。对于既得ESO成本，工作终止风险在PIDVI中产生一个不均匀项，即min-(t+^L）C+（r+λ）C- λ（性别）- K） +，C（t，x）- （性-（K）+= 0，（2.12）表示（t，x）∈ （tv，T）×R，终端条件C（T，x）=（性别）- K） +，代表x∈ R.对于已投资的ESO成本，我们通过将其与已投资的ESO成本相匹配来设置时间tv的终端条件，即＠C（tv，x）=C（tv，x），对于x∈ R.在归属期内，未归属成本满足部分积分微分方程（PIDE）(t+L）~C- （r+＠λ）＠C=0（t，x）∈ [0，tv）×R.（2.13）当每iod的行权与到期日一致时，ESO成为欧洲风格，因为不允许提前行权。设置tv=T产生欧洲ESO成本CE（T，x）=EQt，xE-r（T）-t） （性别）- K） +{τ＠λ>T}, 0≤ T≤ T.该成本函数也满足P IDE（2.13）。2.3行使边界对于既得ESO，持有人的行使策略可以用最优行使边界T 7来描述→ s*（t） 这将域[tv，t）×R划分为延续区C和练习区S，定义为C={（t，S）∈ [tv，T）×R+，s<s*（t） }，（2.14）S={（t，S）∈ [tv，T）×R+，s≥ s*（t） （2.15）在哪里*（t） ：=sup{s≥ 0 | C（t，x）>（s）- K） 是的，为了t∈ [tv，T]。

（2.16）如果*（t） <+∞, 然后我们有C（t，x）>（s）- K） +代表s<s*（t） 和C（t，x）=（s- K） +福斯≥ s*（t） ，代表性∈s*（t） ,+∞, 由于C（t，x）的凸性和正性。因为，对于每一个固定的x∈ R、 C（t，x）在最佳运动边界s的t中减小*（t） 在（2.16）的视图中，必须减少。关于工作终止风险的影响，我们得出以下结果：命题2.1更高的工作终止强度降低了既得和未既得ESO的成本，并降低了最佳行使边界。我们在附录a.1中提供了证据。Leung和Sircar（2009）在GBMmodel下得出了类似的结果。我们注意到，在有股息和无股息的情况下，行权后工作终止强度的成本降低效果仍然有效。然而，在q=0的情况下，工作终止不会影响emp-loyee的自愿锻炼时间，因为无论工作终止风险如何，最好不要提前自愿锻炼。在这种情况下，美国股票期权的价值等于欧洲股票期权的价值，变分不等式（2.12）被简化为PIDE。另一方面，更高的行权前工作终止强度可以降低未行权ESO成本，但对行权后ESO价值或行权后策略没有影响。备注2.2在我们的论文中，最佳行使边界是基于风险中性定价测度计算的。实际上，ESO持有人很可能无法完全对冲ESO风险。此外，由于其他外部因素，如液化石油气风险或多元化需求，ESO持有人可能选择提前行权。

为此，我们可以通过将ESO锻炼时间视为完全外生的，并根据观察到的锻炼行为进行校准，来开发一种简化形式或基于强度的方法。3.股票期权估值的傅里叶变换方法对于股票期权估值，我们现在讨论一种基于傅里叶变换求解PIDVI（2.12）的数值方法。我们首先陈述了傅里叶变换的定义和一些基本性质。对于任何函数f（x），相关的傅里叶变换由f[f]（ω）=Z定义∞-∞f（x）e-iωxdx，（3.1），角频率ω，单位为每秒弧度。反过来，如果我们用^f（ω）表示f（x）的傅里叶变换，那么它的逆傅里叶变换是f-1[^f]（x）=2πZ∞-∞^f（ω）eiωxdω。（3.2）众所周知，数据的傅里叶变换是令人满意的[nxf]（ω）=iωF[N-1xf]（ω）=（iω）nF[f]（ω）。（3.3）应用（3.3）到（2.11），我们有f[^Lf]（ω）={i^-σω+ZR（eiω^u）- 1.- iyω1{y |<1}^ν（dy）}F[F]（ω）=^ψ（ω）F[F]（ω），（3.4），其中^ψ是Q下的特征指数。在延拓区域，既得ESO成本C（t，x）满足非均匀PIDE-(t+^L）C+（r+λ）C- ν（x）=0，（3.5），式中（x）：=λ（性别）- K） +。傅里叶变换在（3.5）产率中的应用tF[C]（t，ω）+^Ψ(ω) - R- λF[C]（t，ω）=-F[~n]（ω）。（3.6）因此，原始非均匀PIDE被转换为非均匀ODE（3.6），由F[C]（t，ω）满足，是时间t的函数，由ω参数化。给定任意时刻的F[C]值≤ 在更早的时候，我们有tthatF[C]（T，ω）=F[C]（T，ω）e（^ψ（ω）-R-λ） （t）-t） +（F[~n]（ω）^ψ（ω）- R- λ） （e（^ψ（ω）-R-λ） （t）-（t）-1） ，t<t.（3.7）通过逆傅里叶变换，我们在延续区域c（t，x）=F中恢复既得ESO成本-1[F[C]（t，ω）e（^ψ（ω）-R-λ） （t）-t） [（x）+F-1[（F[~n]（ω）^ψ（ω）- R- λ） （e（^ψ（ω）-R-λ） （t）-（t）- 1） [（x）。（3.8）由于ESO可提前行使，我们需要将既得ESO价值与立即行使的收益进行比较。

精确地说，我们将时间间隔[tv，T]划分为tm，m=m，m- 1.1，然后我们用（C（tm）向后迭代时间-1，x）=F-1[F[C]（tm，ω）e（^ψ（ω）-R-λ） （tm）-商标-1） +F[~n]（ω）^ψ（ω）-R-λ（e（^ψ（ω）-R-λ） （tm）-商标-1)- 1） ]（x）、C（tm）-1，x）=max{C（tm）-1，x，（性别）- K） +}，（3.9），其中tM=T，T=tv。对于数值实现，我们将原始域离散化Ohm = [tv，T]×R到一个有限的网格：{（tm，xn）：m=0，1，…，m，n=0，1，…，n-1} ，其中tm=tv+mt、 xn=xmin+nx、 与t=（t- 电视/我和x=（xmax）- xmin）/（N- 1). 由于大多数ESO都是以货币形式授予的，因此设置上/下限xmin=-Xmax与零等距离。在xmax、M和N固定的情况下，我们应用奈奎斯特临界频率ωmax=π/x和setω=2ωmax/N。连续傅里叶变换由离散傅里叶变换（DFT）F[C]（tm，ωn）近似≈N-1Xk=0C（tm，xk）e-iωnxkx=αnN-1Xk=0C（tm，xk）e-inkN，（3.10），αn=e-iωnxminx、 在（3.10）中，我们评估了sumPN-1k=0C（tm，xk）e-使用快速傅立叶变换（FFT）算法。通过逆FFT进行相应的傅里叶反演，得到既得ESO成本C（tm，xn）。请注意，在这个过程中，系数αn将被取消。在计算既得ESO值后，未设定ESO成本由C（t，x）=F给出-1.F[~C]（tv，ω）e（^ψ（ω）-R-λ）（电视-（t）（x） ，给t≤ tv，（3.11）式中，C（tv，x）=C（tv，x）。同样，傅里叶变换及其反演是通过FFT实现的。我们现在提供一些数值结果来说明上述定价方法的应用。在表3中，我们总结了不同授予期tv=0、2、4的ESO成本。

作为数值检查，我们将其与有限差分法（见附录a.3）计算的ESO成本进行比较，并观察到这两种数值方法返回的值非常接近。型号tv=0 tv=2 tv=4FST FDM FST FDM FST FDMGBM 1.3736 1.3730 1.3822 1.3816 1.2365 1.2360 merton1。4820 1.4803 1.4899 1.4887 1.3313 1.3306Kou1。4566 1.4558 1.4648 1.4646 1.3091 1.3104VG1。5584 1.5595 1.5816 1.5811 1.4131 1.4139CGMY1。8409 1.8411 1.8532 1.8535 1.6484 1.6490表3：ESO成本比较。对于每个归属期（tv=0、2、4），这三列分别包含通过FSTC、FSTG和最终差异法计算的ESO成本。常用参数：S=K=10，r=0.05，q=0.04，λ=0.2，＠λ=0.1，T=8。在GBM模型中，σ=0.2。在默顿模型中，σ=0.2，α=3，μ=0.02，μσ=0.045。在Kou模型中，p=0.5，σ=0.2，α=3，η+=50，η-= 25.在方差Ga mma模型中，~u=-0.22, ~σ = 0.2, κ = 0.5. 在C-GMY模型中，C=1.1，G=10，M=10，Y=0.6。FST方法的网格大小相同，其中xmax=6，M=2048，N=32768。图2说明了最优的运动约束条件是如何与工作终止强度λ和股价跳跃强度α相关的。随着λ从0.1增加到0.3，最佳运动边界降低。随着跳跃强度的增加，最佳运动范围向上移动。此外，我们注意到，在所有情况下，练习边界在时间t内都在减小。图e 3显示了工作终止强度和授予期的成本影响。如提案2.1所示，更高的转归后工作终止强度会降低ESO成本。此外，当授予后和授予后的工作终止率相同时，ESO成本随着授予期的延长而降低（见图e 3（左））。

然而，如果行权后的工作终止率（λ=0.2）高于行权前的工作终止率（λ=0.1），则行权后的工作终止率可能会随着行权期的延长而增加。备注3.1 Cv itani’c等人（2008年）提出的模型假设，一旦对数正常股价达到上外生壁垒，ESO持有人将自愿行权。此外，它们还包括一个归属期和恒定的工作终止强度。我们目前的框架也可以适应他们的模式。精确地说，我们可以用数值方法求解PIDE(-t+^L）C+（r+λ）C- λ（性别）- K） +=0，（3.12），带有修改的边界条件C（t，x）- C（t，L（t））=0，对于（t，x）∈ （tv，T）×（log（L（T））+∞),终端条件C（T，x）=（性别）- K） +。这里，函数L（·）是一个给定的指数衰减势垒。下表4提供了ESO成本比较。2 3 4 5 6 7 81011121314151617181920时间储备价格λ=0.3λ=0.2λ=0.12 3 5 7 810111213141516171920时间储备价格α=5α=4α=3图2：（左）不同工作终止率的ESO行使边界。（右）不同股价上涨强度的股票期权行使。本例基于Ko u模型，参数为：S=K=10，r=0.05，p=0.5，σ=0.2，q=0.04，η+=50，η-= 25、~λ=0.1，T=8.0 1 2 3 4 5 6 8 9 100510152025工作终止强度ESO Cost tv=0tv=1tv=20 1 2 3 4 5 6 7 8 106810121416182022工作终止强度ESO Cost tv=0tv=1tv=2图3：（左）ESO成本随着行权期tv的延长或行权后工作终止率λ的增加而降低。（右）在λ=0.2和∧λ=0.1的情况下，更长的行权时间可能会增加ESO成本。

该示例基于Kou模型，参数为：S=K=10，r=0.05，p=0.5，σ=0.2，q=0.04，η+=50，η-= 25，T=8。q=0 q=0.04Barrier ESO European ESO American ESO Barrier ESO Euro pean ESO American ESOL=125 22.7792 37.5435 37.5435 15.4209 16.5753 18.2484L=15026.8375 37.5435 37.5435 17.4808 16.5753 18.2484L=9999 37.5450 37.5435 16.5751 16.5753 18.2484表4：ESO成本比较。在GBM模型下，ESO的障碍假设在一个新的边界（L（t）=离开tv）上行使≤ T≤ T与a=-0.02，如（Cvitani\'c等人，2008年，表2）所示。在零分割nd（q=0）情况下，欧洲和美国的ESO成本是一致的，并且它们主导着BarrierESO成本。其他常见参数：S=K=100，r=0.05，σ=0.2，λ=0.04，λ=0.04，tv=3，T=10。在表4中，势垒ESO对应于Cvitani’c等人（2008）中的情况D，即最佳运动边界是一条指数衰减曲线：L（t）=Leat，其中a<0。因此，我们可以看到：（1）如果允许ESO持有人在行权期后行使ESO，Cvitani’c et al.（2008）中的ESO成本总是被低估，因为外部行权边界通常不是ESO持有人的真正最佳行权边界。（2） 在Cvitani\'c等人（2008年）的研究中，当股票期权的规模越来越大，表明股票期权持有人不太可能按照外生行使边界行使股票期权时，股票期权的成本就越来越接近本文中的欧洲股票期权成本。Carr和Linetsky（2000）也讨论了这个案例。（3） 当q=0时，欧洲ESO的值等于美国ESO的值，当q>0时，欧洲ESO的值小于美国ESO的值。一般来说，我们的算法也可以修改，以适应工作终止时的其他适当薪酬。

在工作终止时薪酬为零的特殊情况下，ESO可被解释为在离职时生效。或者，这可以被视为具有违约风险和零恢复的美国看涨期权。4随机工作终止强度作为我们ESO估值模型的扩展，可以通过定义τλ=inf来随机工作终止率T≥ 0:Ztλ（s，Xs）ds>E,其中λ（t，x）是光滑的正确定性函数，E~ 实验（1）⊥ 外汇。这种马尔可夫终止强度允许τλ和X之间的依赖性，同时通过不增加PIDVI的维数来保持可跟踪性。在相关的ESO研究中，Carr和Lin etsky（2000年）以及Cvitanièc等人（2008年）也考虑了这种马尔科夫强度方法来模拟工作终止和外源性锻炼，尽管他们没有纳入最佳的自愿锻炼。特别是，Carr和Linetsky（2000）考虑了以下形式的工作终止强度：λ（t，Xt）=λf+λe{SeXt>K}。第二项是根据h older的外生流动性需求对早期操作进行建模，如果ESO在货币中，则为常数，否则为零。在我们的论文中，我们假设在授予期前后的工作终止强度函数在对数价格中是有效的，分别用λ（t，x）=ax+b和λλ（t，x）=ax+-b表示，对于一些常数a、b、a和b。直观地说，当公司股票价格较低时，ESO持有人的雇佣风险更大，因此可以让a和a为负。为了实现，可以选择参数并控制网格大小，以便强度在截断的对数价格区间[xmin，xmax]内保持正值。在简化相关的不均匀分布时，采用了有效强度假设。延续区域内既得ESO成本的PIDE为(t+^L）C- rC=（ax+b）C+ψ（x），（4.1），其中ψ（x）=（ax+b）（性别）- K） +。

微分（4.1）w.r.t.x，并应用傅里叶变换和（3.3），我们得到了t和ω中的齐次偏微分方程，即iωt+^Ψ(ω) - RF[C]（t，ω）= F[aC+（ax+b）Cx]（t，ω）-iωF[ψ]（ω），（4.2），终端条件F[C]（T，ω）=F[（性- K） +]。使用傅里叶变换的以下众所周知的性质：F[xCx]（t，ω）=-F[C]（t，ω）- ωωF[C]（t，ω），（4.3）后跟替换F[C]（t，ω）=e-iaRω-∞^ψ（s）-R- b） dsH（t，ω），（4.4）我们将（4.2）简化为一阶偏微分方程tH（t，ω）+aiωH（t，ω）=-eiaRω-∞^ψ（s）-R- b） dsF[ψ]（ω），（4.5），终端条件H（T，ω）=F[（性别）- K） +]（ω）eiaRω-∞^ψ（s）-R- b） ds。最后，解（4.5）并解开代换，C的傅里叶变换可以表示为F[C（t，x）]（ω）=e-iaRω-∞^ψ（s）-R-b） dsF[C（t，x）]（ω）eiaRω+aiT-∞^ψ（s）-R-b） ds+Ztg（ω）-人工智能-t） ）ds,（4.6）式中g（ω）=eiaRω-∞（^ψ（s）-R- b） dsF[ψ]（ω），tv≤ t<t≤ Tt=t- t、 傅里叶变换（4.6）允许我们从过期日期d到t，向后计算C（t，x）的值。（4.6）的数值实现需要计算积分tg（ω）-人工智能-t） ）D。在每个小时间步内[t，t+t] ，我们近似积分tg（ω）-人工智能-t） ）通过进一步的时间离散化求和，即Pn′-1k=0g（ω+近似′）（t）t/n′。因此，在连续区域内的既得ESO成本的解由c（t，x）=F给出-1.eiaRω+aitω（^ψ（s）-R- b） dsF[C（t，x）]（ω+ait） +n′-1Xk=0g（ω+akin′）（t）tn′e-iaRω-∞^ψ（s）-R- b） ds（x） ，电视节目≤ t<t≤ T，x∈ 再次，在每次迭代中，我们施加条件C（t，x）=max{C（t，x），（性）- K） +}以获得美式期权价值。至于未授予的ESO，我们在时间tv上有C（tv，x）=C（tv，x），以及(t+L）~C- （r+（~ax+~b））~C=0，表示（t，x）∈ [0，tv）×R.在时间t<tv时，投资的ESO成本由C（t，x）=F计算-1.F[~C（tv，x）]（ω+~ai（tv- t） ）ei~aRω+ai（电视）-t） ω（^ψ（s）-R-~b）ds（x） 。