具有离职风险和股价上涨的ESO估值

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英文标题：
《ESO Valuation with Job Termination Risk and Jumps in Stock Price》
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作者：
Tim Leung and Haohua Wan
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Employee stock options (ESOs) are American-style call options that can be terminated early due to employment shock. This paper studies an ESO valuation framework that accounts for job termination risk and jumps in the company stock price. Under general L\\\'evy stock price dynamics, we show that a higher job termination risk induces the ESO holder to voluntarily accelerate exercise, which in turn reduces the cost to the company. The holder\'s optimal exercise boundary and ESO cost are determined by solving an inhomogeneous partial integro-differential variational inequality (PIDVI). We apply Fourier transform to simplify the variational inequality and develop accurate numerical methods. Furthermore, when the stock price follows a geometric Brownian motion, we provide closed-form formulas for both the vested and unvested perpetual ESOs. Our model is also applied to evaluate the probabilities of understating ESO expenses and contract termination.
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中文摘要：
员工股票期权（ESO）是美式看涨期权，可因就业冲击而提前终止。本文研究了一个考虑离职风险和公司股价波动的ESO估值框架。在一般的列维股价动态下，我们发现较高的离职风险会促使ESO持有人自愿加速行使，从而降低公司的成本。通过求解非齐次偏积分微分变分不等式（PIDVI），确定持有者的最优执行边界和ESO成本。我们应用傅里叶变换来简化变分不等式并发展精确的数值方法。此外，当股票价格服从几何布朗运动时，我们给出了既得利益和未既得利益的永久性股票期权的闭式公式。我们的模型也被用于评估低估ESO费用和合同终止的概率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> ESO_Valuation_with_Job_Termination_Risk_and_Jumps_in_Stock_Price.pdf (500 KB)

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关键词：eso Quantitative Differential Variational QUANTITATIV

有解雇风险和股价上涨的ESO估值Tim Leung*万浩华+2018年7月26日摘要员工股票期权（ESO）是美式看涨期权，由于就业冲击，不能提前终止。本文研究了一个考虑解雇风险和公司股价波动的ESO估值框架。在一般的L’evy股价动态下，我们表明，较高的工作终止风险会促使ESO持有人自愿加速行使，从而降低公司的成本。通过求解非齐次部分积分微分变分不等式（PIDVI），确定了持有者的最优执行边界和ESO成本。我们应用傅里叶变换来简化变分不等式并发展精确的数值方法。此外，当股票价格服从几何布朗运动时，我们给出了既得利益和未既得利益的永久性股票期权的闭式公式。我们的模型还用于评估低估ESO费用和合同终止的可能性。关键词：员工股票期权、工作终止、evy流程、傅立叶变换JEL分类：C41、G13、J33数学学科分类（2010）：60G40、62L15、91G20、91G80*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027；电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.通讯作者。+伊利诺伊大学厄本那-香槟分校工业和企业系统工程系，伊利诺伊州厄本那，邮编61801；电子邮件：hwan3@illinois.edu.1简介在美国，员工股票期权（ESO）是高管薪酬不可分割的一部分。主要目标是协调高管和企业之间的利益。根据Frydman和Jenter（2010）的数据，股票期权占2008年CEO薪酬总额的25%。

在表1中，我们看到，标准普尔500指数成份股公司授予ESO的比例在2011年保持在73%以上，尽管比2000年的93%有所下降。这些期权的成本可能会给股东带来沉重负担。有鉴于此，财务会计准则委员会（FASB）通过了规定，要求企业估算和报告ESO的授予成本。通常，ESO是公司股票上的可提前行使的长期看涨期权。为了保持激励效果，公司通常会规定一个行权期，禁止员工行使期权。在行权期内，员工离开公司将导致期权被没收（即期权变得毫无价值）。在授予期结束后，当员工离开公司时，ESO将到期，但如果期权在现金中，员工可以选择行使。表1总结了2000年至2011年间标准普尔500指数成份股公司授予的SOS的平均归属期和平均到期日。正如我们所见，可行权期一直接近2年，而平均到期日在10年内从9-10年下降到8年。ESO评估的关键在于对员工的自愿锻炼策略以及工作终止时间进行建模，尤其是因为工作通常在合同签订日期之前终止。此外，未来就业冲击的可能性可能会影响员工现在或以后锻炼的决定。事实上，FASB指南还建议，任何合理的ESO估值模型都应考虑“员工预期行使和离职后终止行为的影响”在这篇论文中，我们研究了一个评估框架，该框架结合了股票期权的共同特征，即行权期、提前行使和工作终止风险，同时考虑了不同的价格动态和跳跃。

具体地说，我们通过一个外生的jum过程来模拟就业冲击的到来，并将美式ESO描述为一个在到期日之前可能发生强制的最优停止问题。我们的估值问题是在一类指数价格过程下研究的，而不是局限于文献中常见的GBM框架（参见Hull and White（2004）；Cvitani\'c等人（2008年）；Carpenter等人（2010年）。在不同的工作终止强度假设（常数或随机）下，我们用非齐次部分积分微分变分不等式（PIDVI）分析了相应的自由边界问题，讨论了期权价值的计算方法以及最优行使策略。通过分析和数值计算，我们发现，随着离职风险的增加，持有者自愿加速ESO的实施是非常必要的。为了进行风险分析，我们还应用数值方案来计算各种情况下的成本超出概率和合同终止概率。在现有文献中，有几种主要的方法来模拟股票期权的行使时机。第一种方法为ESO持有人指定特别行使边界。换言之，员工持股计划的特点是基本股票价格达到特定公关水平的首次通过时间，这与员工的离职率或其他模型参数无关。这种方法的主要优点是可以获得ESO价值的封闭式公式。此外，还可以加入随机j ob终止时间，如Hull and White（2004）；Cvitani\'c等人。例如，参见国家员工所有权中心的“员工所有权计划替代方案的详细概述”(http://www.nceo.org)1.见Sect。

A.16，FASB声明123R（2004年修订），可在http://www.fasb.org/summary/stsum123r.shtml.Year2000年92.98%2.00 9.242001 94.35%2.22 9.282002 93.56%2.18 9.532003 89.59%2.18 10.172004 88.09%2.03 8.662005 75.34%2.16 8.612006 81.30%2.12 7.862007 77.33%2.18 8 8.142008 76.31%2.38 7.352009 75.30%2.16 8.412010 72.32%2.718.79%2011年ESO薪酬汇总表2011-2011年。资料来源：汤森路透内幕交易数据库和Compustat Executomp数据库。（2008年），但这不会直接影响志愿活动的边界。为了结合员工的风险态度，效用最大化方法从考虑员工风险规避和对冲限制的投资组合优化问题中得出员工的锻炼策略（Huddart，1994；Chance和Yan g，2005；Grasselli和Henderson，2009；Leung和Sircar，2009；Carpenter等人，2010）。效用最大化锻炼边界表示风险厌恶员工的最佳自愿锻炼时间。从企业的角度来看，ESO成本由风险中性预期计算，假设期权将在效用最大化边界或工作终止时间内行使，以较早者为准。另一方面，基于强度的方法不区分自愿和非自愿的锻炼，而是通过单个随机时间对合同终止进行建模，以外生跳跃过程的起始时间为特征。在文献中，Jennergren和Naslund（1993）使用外生泊松过程对行使时间进行建模，Carr和Linetsky（2000）提出了基于强度的ESO估值模型，其中工作终止和自愿行使强度都是公司股价的函数。

在Szimayer（2004）的理论研究中，允许员工以最佳方式选择自愿运动时间，而突然离开则由一个外源性Cox过程表示。在实践中，工作终止意向具体取决于公司的历史和评估方法。对于SOS早期训练模式的实证研究，我们参考Huddart和Lang（1996）；马夸特（2002）；Bettis等人（2005年）。我们认为ESO是一种美式看涨期权，可能会因工作终止而突然没收或强制执行。与许多现有的ESO模型相比，除了上述文献中常见的GBM模型外，我们还研究了一个适用于一大类列维价格过程的Versatil评估框架，包括g Merton（1976）和Kou（2002）跳差，以及方差伽马（VG）（Madan et al.（1998））和CGMY（Carr et al.（2002））模型。这使我们能够研究股票价格和工作终止强度对ESO价值和最佳行使边界的联合影响。此外，我们的模型为最终用户（即企业）提供了为未售出的库存选择合适价格模型（具有通用L’evy类别）的灵活性。目前，FASB允许使用BlackScholes公式，ESO的合同期限由其平均寿命代替，以及一些变化。在这方面，我们的论文提供了一种替代的估值方法，该方法考虑了自愿行使和工作终止风险，以及公司股票价格模型的各种选择。ESO估值问题可以被视为L’evy过程下美式期权定价的延伸；参见Pham（1997年）、Hirsa和Madan（2004年）、Bayraktar an d Xing（2009年）、Lord等人（2008年）、Lamberton和Mikou（2008年）等。

对于既得ESO，工作终止会迫使员工立即行使。这导致了一个带有强制退出的最优停止问题。就期权价值的变分不等式而言，这种限制产生了一个非齐次项，它既取决于期权报酬，也取决于工作期限强度。当股票价格服从几何布朗运动时，我们给出了既有和未既有永久性股票期权成本的闭式公式。最佳运动时间可由多项式方程唯一确定，并允许在无终止工作风险的情况下显式表达。为了计算ESO值和行权限时，我们采用傅里叶分步计时（FST）方法，通过傅里叶变换简化相关的非均匀PIDVI，并在每个时间步确定最佳行权价格。Jackson等人（2008年）将这种方法应用于许多L’evy模型下的欧洲、美国和障碍期权定价。对于我们的ESOvaluation问题，不均匀PIDVI的结构在不同的工作终止强度规格下有所不同。特别是，如果强度在（对数）股价中起作用，那么延续区域内ESO的非均匀PIDE可以简化为非均匀PDE。在恒定强度的情况下，我们将相关的PIDE进一步还原为一首颂歌。这些观察结果导致了几种有效的估值数值算法。在所有这些情况下，我们将其与用于评估ESO的隐式-显式有限差分方法的数值结果进行比较。为此，我们参考了L’evy或JumpDiffusion模型下美式期权定价的有限差分方法，包括Cont和Voltchkova（2003）；d\'Halluin等人（2003年）；Hirsa和Madan（2004），以及Forsyth等人。

(2007).公司通常会根据固定的时间表（如季度或年度）对授予的ESO进行支出，但ESO的成本会随着时间的推移而变化，这取决于股票价格的变动。从公司的角度来看，与最初报告的价值相比，ESO价值的上升意味着更高的预期薪酬成本。另一方面，现有ESO既可以由员工自愿行使，也可以因雇佣关系终止而终止。这促使我们研究（i）ESO成本在未来超过给定水平的可能性，以及（ii）合同终止的可能性。ESO成本超出概率与经典风险价值计算中使用的损失概率相似。合同终止的可能性揭示了一种可能性，即公司必须在未来一周到几年内支付员工工资。我们使用基于傅里叶变换的方法来计算恒定工作终止强度下的这些概率，并展示了我们的方法与Carr和Madan（1999）在计算这些概率时开发的方法之间的联系。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们在列维价格动力学下制定了ESO估值框架。在第三节中，我们讨论了基于傅里叶变换的股票期权估值方法。在第四节中，我们讨论了随机工作终止强度下的估值问题。在第五节中，我们分析和评估了ESO成本超标的概率和合同终止的概率。在第6节中，我们提供了对数正态股价模型下已授予和未授予的永久ESO成本的封闭式公式。第七节总结全文。见门派。

A.25，FASB声明123R（2004年修订）。2模型形式在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, G、 P）满足正确连续性和完整性的通常条件，其中P是历史概率度量。让（Xt）t≥0be a L’evy过程，它允许著名的L’evy It^o分解（Sato，1999，p.119）：Xt=ut+σBt+Xlt+lim0Xt，X=0，（2.1），其中B是p下的标准布朗运动，跳跃项由Xlt=Z|y给出|≥1.s∈[0，t]yJ（dy，ds），（2.2）Xt=Z≤|y |<1，s∈[0，t]y（J（dy，ds）- ν（dy）ds）=Z≤|y |<1，s∈[0，t]y~J（dy，ds）。（2.3）X的特征三重态（u，σ，ν）由常数漂移u和波动性σ以及L′evy度量ν组成。在（2.2）和（2.3）中，Poisson r和dom度量J（dy，ds）统计在时间s发生的大小为y的跳跃的数量，并且J是相关的补偿器。X的特征指数ψ（ω）由L’evy Khintchine公式（Sato，1999，p.119）给出：ψ（ω）=iμω-σω+ZR（eiωy）- 1.- iyω11{| y |<1}）ν（dy），ω∈ C.（2.4）有了这个，XtisφXt（ω）=eψ（ω）t的特征函数。我们表示FX=（FXt）t≥0作为X生成的过滤。在表2中，我们总结了本文将使用的几种众所周知的L’evy模型的L’evy密度和特征指数。在GBM模型（Black and Scholes，1973）中，由于股票价格没有跳跃，因此没有这种密度。Merton（1976）的跳跃扩散模型具有正态分布的跳跃大小，而Kou（2002）模型假设跳跃大小呈双指数分布。相比之下，在方差伽马（VG）模型（Madan et al.（1998））和CGMY模型（Carr et al。

（2002）），股票价格在有限的活动中遵循一个纯粹的交易过程。模型L′evy密度ν（dy）特征指数ψ（ω）GBM N/A iμω-σωMertonα√2π∧σe-（（y）-√u）/√σ）iuω-σω+α（eiμω）-~σω- 1） 寇αpη+e-yη+{y>0}+（1）- p） η-E-|y |η-{y<0}）iμω-σω+α（p1）-iω/η++1-p1-iω/η-- 1.VGκ| y | eby-b|y|-κlog（1- i/|κω+∑κω）CGMYC | y | 1+yE-G | y |{y<0}+e-我的{y>0}CΓ(-Y）（M）- iω）Y- MY+（G+iω）Y-GY表2：一些著名的L’evy过程的L’evy密度和特征指数。在所有这些模型中，μa和σ是P下布朗运动的漂移和波动性。对于Merton和Kou模式ls，α表示跳跃强度。在梅尔顿模型中，μ和σ是IID正态分布跳跃的均值和方差。在模式l中，p（分别为1-p） ）是正（或负）指数跳跃的概率。在VG模型中，b=u/σ，b=pu+2σ/κ/σ，在CGMY模型中，C，G，M>0，Y≤ 公司股票价格由指数L'evy过程ST=SeXt，t建模≥ 0，固定初始股价S>0。此外，我们假设正的恒定利率r和非负的股息率q。对于ESO估值，我们使用风险中性定价度量Qsuch thatEQ{eX}=er-Q<=>^Ψ(-i） =r- q、 （2.5）式中，^ψ在（2.4）中给出，ur替换为^u=r- Q-σ-ZR（ey）- 1.- y11{y |<1}）^ν（dy），（2.6）和^ν是Q.2.1支付结构下的L|evy度量。图1说明了具有罢工K、tvyears的归属期和扩张日期T的ESO的支付结构。在行权期内，ESO不可行使，如果员工离开公司，ESO将被没收。一旦期权被授予（在时间tv时或之后），员工可以在到期日T之前的任何时间行使期权，但也将被迫在工作终止后立即行使期权。