具有离职风险和股价上涨的ESO估值

（4.7）备注4.1假设行权前和行权后的工作终止强度λ和∧λ是x和t的正有界函数。ESO成本满足的傅里叶变换tF[C]（t，ω）+^Ψ(ω) - RF[C]（t，ω）- F[λC]（t，ω）=-其中ξ（t，x）=λ（t，x）（性别）- K） +。为了求解这个常微分方程，可以对F[λC]（t，ω）项应用显式格式，对其他项应用隐式格式。因此，给出时间t>t时C（t，x）的值，我们计算C（t，x）的值乘以C（t，x）=F-1.F[C]（t，ω）e（^ψ（ω）-r） （t）-（t）+ F-1.F[ξ]（ω）- F[λC]（t，ω）^ψ（ω）- r（e（^ψ（ω）-r） （t）-（t）- 1).有了这一点，我们可以通过向后迭代时间，并与即时行使的回报进行比较，来计算已测试的ESO成本。最后，我们指出，当工作终止强度为常数或有效值时，这种隐式-显式算法也适用。在表5中，我们使用第4节中的FST方法和备注4.1中的FST方法，以及附录a.3中的有限差分方法，计算了ESO成本，以及有效的行权前和行权后工作终止率。我们观察到，这三种不同方法的不同授予期的ESO成本非常接近。型号tv=0 tv=2 tv=4FSTA FSTG FDM FSTA FSTG FDM FSTA FS TG FDMGBM 1.3732 1.3733 1.3729 1.1368 1.1369 1.1364 0.8429 0.8428 0.8429默顿1。4817 1.4814 1.4800 1.2261 1.2259 1.2260 0.9085 0.9083 0.9082Kou1。4565 1.4562 1.4566 1.2054 1.2052 1.2064 0.8934 0.8933 0.8942VG1。5670 1.5669 1.5680 1.3073 1.3069 1.3068 0.9765 0.9754 0.9758CGMY1。8402 1.8398 1.8402 1.5249 1.5247 1.5245 1.1299 1.1297 1.1296表5：有效工作终止强度下的ESO成本比较。对于每个归属期（tv=0,2,4），三列分别包含通过第4节和第4节中的两种FST方法计算的ESO成本。1和有限差分法。

作业终止强度为λ（x）=λ（x）=-0.02x+0.2，虽然其他参数与表3.5中的ESO风险分析相同，但期权价值将根据公司股价变动而变化。从公司的角度来看，与最初报告的价值相比，ESO价值的增加意味着更高的预期薪酬成本。出于风险管理和财务报告的目的，重要的是考虑ESO成本超过agiven水平的可能性。此外，ESO可以在到期日之前自愿或非自愿提前终止。这也推动了合同终止概率的研究，它可以作为校准工作终止强度参数的工具。这种校准将为ESO估值模型提供关键输入，并允许定价与企业特征一致。此外，研究工作终止风险对合同终止概率的影响也很有趣。一般来说，在P和Q条件下，工作终止率可能有所不同。然而，由于ESO不进行交易，因此无法通过市场价格推断Q强度。出于这个原因，我们假设历史和风险中性的工作终止率是相同的。5.1成本超出可能性我们目前评估ESO成本超过给定水平的可能性l 一个固定的未来日期。为此，我们需要分别考虑三种情况。案例1:t<~t≤ tv在这种情况下，时间间隔[t，~t]在归属期[0，tv]内，未归属的雇员可以在工作终止时被没收。

因此，ESO值超过预先规定水平的可能性l > 时间T的0由Pt，x{C（~T，x~T）>l}, 式中，Pt，xis是Xt=x的历史概率测度。由于如果τλ在T之前到达，则ESO变得毫无价值，因此我们有Pt，x{C（~T，x~T）>l} = Pt，x{C（~T，x~T）>l, τ~λ≥~T}+Pt，x{C（~T，x~T）>l, τλ<~T}（5.1）=Pt，x{C（~T，x~T）>l |τ~λ≥~T}Pt，x{τ∧≥~T}。（5.2）在（5.2）中，我们注意到Pt，x{τ)λ≥~T}=e-~λ（~T）-t） 自τλ~ exp（λ）。因此，pT，x{C（~T，x~T）>l} 计算条件概率Pt，x{C（~T，x~T）>l |τ~λ≥~T}。由于-C（~T，x）在x中不断增加，我们可以找到临界原木价格-x，从而-C（~T，x）=l andwritep（t，x）：=Pt，x{C（~t，xt）>l |τ~λ≥~T}=Pt，x{x ~T>\'x|τλ≥~T}。（5.3）概率函数p（t，x）满足PIDE问题(t+L）p=0，（t，x）∈ [0,T]×R，（5.4）p（~T，x）=11{x>\'x}，x∈ R、 （5.5）其中L是P下X的最小生成元。我们观察到P（t，X）的PIDE（5.4）与（3.5）非常相似，没有非均匀项。应用第3节中的四个ier变换参数得到p（t，x）=F-1[F[11{x>\'x}]（ω）eψ（ω）（T）-t） [（x），t≤~T≤ 电视（5.6）傅里叶变换及其在（5.6）中的反演可通过FFT算法进行数值计算。与ESO成本相比，该概率不涉及早期行使，可以在一个时间步长内计算。备注5.1获得（5.6）的等效方法是采用Lord等人（2008）使用的卷积法。为了验证这一点，我们表示（5.3）asp（t，x）=Z∞-∞{z>\'x}fX |T|Xt（z）dz=z+∞-∞{x+y>\'x}fX＠T-t（y）dy，（5.7），其中X的fX | t | Xt（z）是给定Xt=X的条件概率分布函数。

然后，用傅里叶变换表示weexpress（5.7）：F[p]（t，ω）=Z∞-∞E-iωxZ+∞-∞{x+y>\'x}fX＠T-t（y）dydx=Z∞-∞E-iω（u）-y）Z+∞-∞{u>\'x}fX＠T-t（y）dydu（u=x+y）=Z∞-∞E-iωu{u>\'x}duZ+∞-∞eiωyfX~T-t（y）dy=F[11{x>\'x}]（ω）eψ（ω）（ω）-t） 。最后，将傅里叶逆变换应用于最后一个方程得到（5.6），因此等价。一种稍有不同的方法是采用卡尔和马丹（1999）提出的四个ier变换方法。为了说明这一点，我们假设在固定时间t<~t，Xt=0，并且定义p（t，z）：=Pt，0{X ~t>z |τλ≥~T}=Z∞zfXT-t（y）dy，（5.8），其中fXt-这是X~T的概率密度函数-twith X=0。z值可被视为上限阈值x和当前值x之间的差值。将傅里叶变换应用于（5.8）的两侧，我们得到F[~p]（t，ω）=z∞-∞E-iωzZ∞zfXT-t（y）dydz=Z∞-∞fXT-t（y）Zy-∞E-iωzdz我们注意到内部积分-∞E-iωzdz=e-iωz-iωY-∞不收敛，所以我们考虑了a>0时的适应因子eaz，并考虑pa（t，z）=eazp（t，z）。然后，相应的fourier变换由f[~pa]（t，ω）=Z给出∞-∞fXT-t（y）Zy-∞e（a）-iω）zdzdy=a-iωφT-t(-ω - ia），（5.9）式中-这是X~T的特征函数-t、 反过来，对（5.9）进行傅里叶逆变换，得到p（t，z）=e-az2πZ∞-∞eizωφ∧T-t(-ω - a）a- iωdω=e-azπZ∞eiωzφT-t(-ω - a）a- iωdω，（5.10），其中我们使用了实函数p（t，z）的傅里叶变换在其实部为偶数，在其虚部为奇数的事实。最后，（5.10）中的积分用FFTalgorithm近似。我们注意到p（t，z）独立于a的选择，我们选择a∈ [1.5,2.0]用于数字实现。在表6中，我们给出了不同阈值下ESO成本超越概率的数值结果l.

FST-FST方法首先通过FST（见（3.11））计算ESO成本向量，该方法给出了临界值x（见5.3）。在第二步中，它应用FST来求解（5.6）中所示的超越概率。FFT-FST方法不同于第二步中的FST-FST方法，其中FFT（见（5.10））用于计算概率。对于GBM、Merton和Koumodel，参考值由封闭式公式给出（见附录B.2）。数值结果表明，这两种傅里叶变换方法都是非常精确的。l = 1.1~C（0,0）l = 1.2 C（0，0）模型参考值FS T-FST FFT-FST参考值FST-FST FFT-FSTGBM 0.2534 0.2532 0.2535 0.0868 0.0869 0.0869默顿0。2607 0.2608 0.2607 0.0943 0.0942 0.0943Kou0。2431 0.2430 0.2431 0.0799 0.0797 0.0798表6：案例1中的成本超标率。这里，t=0、~t=10/252、tv=2、t=8和其他参数与表3相同。案例2：电视节目≤ t在行权期后，员工打算在任何时间行权*≤ T，但可能被迫在τλ处进行运动。感兴趣的概率是^p（t，x）：=Pt，x{C（)τ*∧ τλ，Xτ*∧τλ) ≥ l}, （5.11）带)τ*= τ*∧~T。为了计算这一点，我们首先确定了关键原木价格\'x（t），即C（t，\'x（t））=l,对于t∈ [0，~T]。反过来，我们写出了相应的非均匀PIDE(t+L）^p- λ^p+λ1{x≥\'x（t）}=0，（5.12）表示（t，x）∈ （tv，~T）×R.边界条件和终端条件取决于临界原木价格x（T）和最优行使边界x的相对位置*（t） ：=日志*（t） /S）。精确地说，如果x（t）≤ 十、*（t） 然后我们在时间t为x时s et^p（t，x）=1≥ 十、*（t） 。如果x（t）>x*（t） 我们为x设置^p（t，x）=1≥ \'x（t）和^p（t，x）=0表示x*（t） <x（t）。对于终端条件，如果¨x（¨T）≤ K、 然后我们设置^p（~T，x）=1，forx≥ K

如果x（~T）>K，那么x的p（T，x）=1≥ 对于K，x（t）和^p（t，x）=0≤ x<x（t）。对于数值实现，我们首先求解ESO值C（t，x），然后用它来确定临界对数价格¨x（t）和相关的最佳行使边界*（t） 那就是*（t） 。有了这些，我们将傅里叶变换隐式显式方法（如第4.1节所述）应用于PIDE问题（5.12）。在时间上向后迭代，我们得到了每个时间步长^p（tm-1，x）=F-1.F[^p（tm，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ） （tm）-商标-1） +F[1{x≥\'x（tm）-1)}](ω)Ψ(ω) - λ（e（ψ（ω）-λ） （tm）-商标-1)- 1)（x） ，（5.13）对于m=m，1，0，沿边界条件。在图4中，成本超出概率随着时间范围的延长而增加。随着工作终止强度λ的降低，概率也增加。5.5 6.5 7 7.5 80.30.350.40.450.5损失概率λ=0.2λ=0.3λ=0.4图4：情况2的ESO成本超出概率随≈T增加，随工作终止率λ减少。本例基于具有共同参数的Kou模型：S=K=10，r=0.05，p=0.5，q=0.04，u=0.08，＠λ=0.1，T=8，T=4，σ=0.2，α=3，η+=50，η-= 25.案例3:t≤ 电视<~T≤ t该场景是案例1和案例2的组合。如果τλ<tv，则ESO无效，如案例1所示。然而，如果没有发生这种情况，则案例2在行权后适用。因此，我们考虑了以下ESO成本超出概率p（t，x）：=EPt，x{1{τ)λ≥电视}p（电视，Xtv）}，0≤ T≤ tv，（5.14）如果在时间t之前未发生j ob终止，则相应的PIDE问题为(t+L）`p-λp=0（t，x）∈ [0，tv）×R，\'p（tv，x）=^p（tv，x），x∈ R.（5.15）通过傅里叶变换的解由‘p（tv，x）=^p（tv，x），（5.16）’p（t，x）=F给出-1.F[^p（tv，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ）（电视-（t）（x） ，给t≤ 电视

（5.17）这里，使用案例2中的概率^p（tv，x）作为输入，然后可以直接计算d，而无需递归（5.17）任何时间t≤ 电视5.2合同终止概率ESO合同可以因行权前的工作终止或行权后的自愿/强制终止而终止。我们现在研究给定时间间隔[t，~t]内的ESO合同终止概率。我们再次考虑三种不同的情况。案例1:t<~t≤ 在行权期内，合同终止完全是由于tv之前的工作终止，其概率仅为1- E-~λ（~T）-t） 。案例2：电视≤ t<~t≤ t行权后，合同终止可能由工作终止导致的非自愿行权或持有人的自愿行权引起。出于计算目的，我们将合同终止概率分为两部分，根据工作终止发生在T之前还是之后。首先，我们考虑在[t，~t]期间不会发生工作终止，且ESO持有人自愿行使E SO的情况。这对应于概率t，x{τ*≤~T，τλ>~T}=Pt，x{τ*≤~T}e-λ（~T）-t） ，（5.18）式中τ*是持有者的最佳锻炼时间。为了计算（5.18），我们求解^h（t，x）：=Pt，x{τ*≤来自皮德(t+L）^h=0，（5.19）表示（t，x）∈ （tv，T）×R，当x>x时，有界条件^h（T，x）=1*（t） ，以及终端条件^h（~t，x）=1{x≥十、*（~T）}，其中x*（t） ：=日志*（t） /S）。对于数值解，我们递归地应用（^h（tm-1，x）=F-1[F[^h（tm，x）]（ω）eψ（ω）（tm）-商标-1） [（x），x≤ 十、*（t） ^h（tm）-1，x）=1，x>x*（t） 。（5.20）另一种情况是，作业终止在T之前到达。因此，总的合同终止概率h（t，x）是sumh（t，x）：=e-λ（~T）-t） ^h（t，x）+1- E-λ（~T）-t） 。

（5.21）从这个表达式中，我们观察到，合同终止概率随着工作终止强度λ的增加而增加，因为最佳行使边界随着λ的增加而减少，因此（1）也是如此-^h（t，x））。或者，我们观察员工的自愿锻炼概率hv（t，x）：=Pt，x{τ*< τλ∧~T}。该概率满足PIDE(t+L）高压- λhv=0，（5.22）对于（t，x）∈ （tv，T）×R，当x>x时，边界条件hv（T，x）=1*（t） ，和项hv（~t，x）=1{x≥十、*（~T）}，其中x*（t） ：=日志*（t） /S）。数值解由（hv（tm）反迭代得到-1，x）=F-1[F[hv（tm，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ） （tm）-商标-1） [（x），x≤ 十、*（t） hv（tm）-1，x）=1，x>x*（t） ，（5.23）对于m=m，1, 0.图5显示了自愿行使概率之上的合同终止概率。从PIDE（5.22）中，我们观察到两个相互竞争的因素控制着j ob终止强度λ对自愿运动概率的影响。一方面，较高的工作终止强度λ意味着较低的最佳锻炼边界，这反过来增加了自愿锻炼的概率。另一方面，更高的工作终止强度更有可能在股票价格达到持有人的最佳行使边界之前迫使提前行使。这降低了自愿锻炼的可能性。在图5（左）中，我们看到，自愿锻炼的概率随着转归后的工作终止强度λ而降低，因此在这种情况下，工作终止的影响大于降低锻炼边界的影响，因此，降低了自愿锻炼的概率。

此外，如图5（右）所示，合同终止概率随着工作终止强度λ的增加而增加，正如预期的那样。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.8工作终止强度概率自愿行使概率合同终止概率9.2 9.4 9.6 9.8 10.2 10.4 10.6 10.8 110.050.150.20.250.30.350.40.450.5股价概率自愿行使概率合同终止概率图5：（左）工作终止智能增加合同终止概率，但会降低自愿锻炼概率。（右图）股票价格增加了合同终止概率和自愿行使概率，分别为∧=0.1和λ=0.2。本例基于GBM模型，其共同参数为：S=10、K=9、r=0.05、σ=0.2、q=0.04、u=0.08、tv=2、T=8、T=6、~T=7。案例3:t≤ 电视<~T≤ t这种情况是上述情况1和2的组合。合同终止可以在授予之前或之后发生。在[t，tv]期间，只有工作终止才能取消合同。如果在电视前没有工作终止，那么合同终止类似于案例2。因此，合同终止概率为sum1-E-λ（电视）-t） +EPt，x{h（tv，Xtv）1{τλ≥tv}}{z}=：h（t，x），（5.24），其中h（t，x）在（5.21）中给出。因此，h（t，x）满足（t，x）∈ [0，tv）×R，PIDE(t+L）~h-λλh=0，（5.25）在时间tv时，我们设置＠h（tv，x）=h（tv，x），其中h（tv，x）根据情况2计算。同样，第3节中讨论的FST方法也可用于求解h（t，x）。在任何时间t<tv时，概率可以通过h（t，x）=F一步计算（无时间迭代）-1.F[h（tv，x）]（ω）e（ψ（ω）-λ）（电视-（t）（x） 。（5.26）6具有封闭形式解决方案的永久性ESO我们现在讨论GBM模型下永久性ESO的估值。

与一般L’evy框架下的估值不同，永久性ESO承认一种封闭形式的解决方案，因此提供了一种高度可执行的替代方案。我们首先考虑一个既得利益的永久性ESO，它的价值可以用一个最优停止问题来表示，即V（s）=supτ∈T0，∞情商E-（r+λ）τ（Sτ）- K） ++Zτe-（r+λ）uλ（Su）- K） +du | S=S, （6.1）其中STI为实际股价。关联变分不等式ismin-^LV+（r+λ）V- λ（s）- K） +，V（s）- （s）-（K）+= 0，s∈ R+。（6.2）对于Carr（1998）提出的到期日随机化美式看跌期权定价问题，推导并求解了一个类似的非齐次变分不等式。事实上，永久性股票期权可以被视为一种美式看涨期权，其到期日是一个指数随机变量。关于美式期权加成的数学分析，我们参考Kyprianou and Pistorius（2003）。接下来，我们给出了ESO估值问题的闭式解。命题6.1在GBM模型下，既得永久性ESO的价值由V（s）给出=Dsγ+如果s<K，作为γ++Bsγ-+λ+qs-λr+λK如果K≤ s<s*,s-K如果s≥ s*,（6.3）式中γ±=（q- r+σ）±q（q- r+σ）+2（r+λ）σ，（6.4）B=λ（1）-γ+)γ-(γ+- γ-)（λ+q）K1-γ-, （6.5）A=q（λ+q）γ+（s）*)1.-γ+-γ-γ+B（s）*)γ--γ+，（6.6）D=A+bkγ--γ++λ（r）- q） （λ+q）（λ+r）K1-γ+. （6.7）最佳运动阈值*∈ （K），∞) 由b（1）唯一确定-γ-γ+（s）*)γ-- (1 -γ+（qλ+q）s*+rr+λK=0。（6.8）从定理（6.1）中可以得出许多有趣的观察结果。首先，在没有工作终止（λ=0）的情况下，我们有B=0和A=D。这意味着永久性ESO减少到一个普通的美式看涨期权，其著名的价格公式为v（s）=（Dsγ+如果s<s）*,s-K如果s≥ s*,（6.9）其中*=γ+1-γ+K。