关于完全离散和不完全离散的统计不可分辨性

这就完成了定理2.1的证明。注3.2定理2.1证明中使用的带限过程的可预测性不要求投影bx的最优性。例如，可以使用i-deal低通滤波器，该滤波器应用于t>0上任意扩展的x。此外，具有指数能量衰减的过滤器也将过程转换为可预测的过程[9]。因此，在定理2.1的证明中，可以使用这些指数形式的滤波器，而不是低通滤波器。4讨论定理2.1得出了一个反直觉的结论，即通过计量经济学方法，即从市场统计的角度，不完全市场与完全市场是不可区分的。由于舍入误差，导致该结论的统计不可区分性无法通过样本增加来确定，因为不完整市场模型的统计数据可以任意接近替代完整模型的统计数据。具体如下。假设我们收集了t的标记数据（价格序列）≤ 0，目的是检验以下关于股票价格演变的假设：H：值{ξ（t）|t≤0不代表可预测过程的路径（即市场不完整）；andHA：值{ξ（t）}t≤0表示一个可预测过程的路径，即|ξ（t）|对于任何τ<t（即市场是完整的）都是Fτ-可测量的。在这些假设中，我们只考虑“过去”市场的公共关系，不考虑对未来房地产的猜测；这需要对过去的观察和未来情景之间的联系进行额外的假设。根据定理2.1，不可能完全根据收集到的市场价格拒绝假设。

由于舍入误差，导致该结论的统计不可区分性无法通过样本增加来确定，因为不完全市场模型的统计数据可以任意接近替代完整模型的统计数据。这意味着，普遍接受的不完整模型的选择实际上并不是基于市场统计数据。然而，这一选择是合理的，因为它符合对现实世界内在不可预测性的普遍接受。例如，我们宁愿接受波动率可能出现不可预测跳变的模型，也不愿接受可以预测跳变的模型，即使统计数据同样支持这两种模型。此外，众所周知，市场完整性不是一个稳健的性质：观测到的二项式价格的小偏差将完整的市场模型转换为不完整的市场模型。多亏了定理2.1和上面描述的近似方案，我们现在可以断言市场的不完全性也是非稳健的：小偏差可以将不完整的模型转换为完整的模型。更准确地说，这意味着，对于一大类模型中的任何不完全市场，都存在一个具有任意闭合离散观测价格集的完整市场模型。在ξε（t）值可预测的情况下，我们不考虑近似模型，因为这些模型允许且不符合市场代理人信念的合理体系。套汇在证明中，我们使用了|ξε（t）|可预测的模型；这些模型是无套利的，并且可以与合理的代理人信念体系相一致。不幸的是，在定理2.1的证明中使用的|ξε（t）|的可预测性，不能应用于“自然”假设H下的期权定价。

在这些假设下，股票收益率ξ（t）和ξε（t）是路径接近的≤ 0; 然而，它们的性质在可预测性方面是相当不同的，ξ（t）和ξε（t）的未来路径不一定是相近的。此外，由于新模型和旧模型产生任意接近的价格集，由于舍入误差，观察者无法确定地区分这些模型，也就是说，她无法区分哪个模型生成观测数据。有效地，过程|ξε（t）|t≤对于来自旧模型的观察者，新模型中的0在t=0时不可观测。值得注意的是，我们可以用假设一个特殊的完整市场模型（如马尔可夫链模型等）的假设来代替假设。参考文献[1]ait-Sahalia，Y.和Mykland，P.（2004）。用离散和可能的随机间隔数据估计差异：一般理论。《统计年鉴》322186-2222。[2] Akyildirim，E.，多林斯基，Y.索纳，H.M.（2014）。通过组合树逼近随机波动率。《应用概率年鉴》242176–2205。[3] Andersen，T.G.和Bollerslev，T.（1998）。回答怀疑者：是的，标准波动模型确实提供了准确的预测。《国际经济评论》第39页，第885-905页。[4] 安徒生，T.G.，博勒斯列夫，T.，迪博尔德，F.X.，和埃本斯，H.（2001）。股票收益率波动率的分布。《金融经济学杂志》第61期，第4376页。[5] 安徒生，T.G.，博勒斯列夫，T.，迪博尔德，F.X.，和拉布斯，P.（2003）。对已实现的波动性进行建模和预测。《经济计量学》第71卷，第579-625页[6]巴恩多夫-尼尔森，O.E.，格雷弗森S.E.和谢泼德，N.（2003），《权力变动与随机波动：综述和一些新结果》。应用概率杂志41A，133–143。[7] 多库恰耶夫N.G。

数学金融：核心理论、问题和统计算法。劳特利奇，伦敦和纽约，2007年1月，209p。[8] 多库恰耶夫，N.（2010）。在更高频率上能量呈指数下降的过程在有限范围内的可预测性。信号处理90，国际空间站。2, 696–701.[9] 多库恰耶夫，N.（2012）。关于次理想因果平滑滤波器。信号处理92，国际空间站。1,219-223.[10] 多库恰耶夫，N.（2012）。高频能量衰减离散时间过程的预报器。IEEE信号处理学报60，第11期，6027-6030。[11] 多库恰耶夫，N.（2012）。关于带限和高频时间序列的预测器。信号处理92，国际空间站。10, 2571-2575.[12] 多库恰耶夫，N.（2012）。关于完全和不完全市场的统计不可区分性，预印本，arXiv:1209.4695。[13] 北多库恰耶夫（2014）。关于随机过程的强因果二项逼近。离散和连续动力系统–系列B（DCDS-B）20，第6期，第1549–1562页。[14] Elliott，R.J.，Hunter，W.C.，和Jamieson，B.M.（1998）。漂移和波动率估计不确定的时间。熟练工人。经济动力与控制22，209-218。[15] Guasoni，P.和R\'asonyi，M.（2012年）。差异模型中套利和泡沫的脆弱性。工作文件，http://ssrn.com/abstract=1856223.[16] 赫尔，J.和怀特，A.（1987）。具有短期波动性的资产的期权定价。《金融杂志》42381–400。[17] 科尔莫戈罗夫，A.N.（1941年）。平稳随机序列的插值和外推。伊兹夫。阿卡德。Nauk SSSR Ser。小地毯5:1, 3–14.[18] Madan D.B.（1983年）。以一致的理论作为科学目标。科学哲学，第50卷，第3期，第453-470页。[19] Madan，D.B.和Eberlein，E.（2012年）。处理财务建模中的复杂现实。当前科学103（6），647–649。[20] Malliavin，P.和Mancino，M.E.（2002年）。

测量多元挥发性的傅里叶级数方法。金融与随机6，49-62。[21]Pliska，S.R.（1997）。数学金融导论：离散时间模型。英国牛津布莱克威尔出版社和马萨诸塞州马尔登出版社。[22]Szeg–o，G.（1920）。这是托普利茨曼的理论。数学Z.6167-202。[23]Szeg–o，G.（1921）。贝特拉格·祖尔·托普利茨钦·福门理论，II。数学Z.9167-190。[24]吉田，K.（1965年）。功能分析。施普林格，柏林，海尔德堡，纽约。