关于完全离散和不完全离散的统计不可分辨性

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英文标题：
《On statistical indistinguishability of complete and incomplete discrete
  time market models》
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作者：
Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We investigate the possibility of statistical evaluation of the market completeness for discrete time stock market models. It is known that the market completeness is not a robust property: small random deviations of the coefficients convert a complete market model into a incomplete one. The paper shows that market incompleteness is also non-robust. We show that, for any incomplete market from a wide class of discrete time models, there exists a complete market model with arbitrarily close stock prices. This means that incomplete markets are indistinguishable from the complete markets in the terms of the market statistics.
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中文摘要：
我们研究了对离散时间股票市场模型的市场完整性进行统计评估的可能性。众所周知，市场完备性不是一个稳健的性质：系数的小随机偏差将完整的市场模型转换为不完整的市场模型。本文证明了市场不完全性也是非稳健的。我们证明，对于一类广泛的离散时间模型中的任何不完全市场，都存在一个股价任意接近的完全市场模型。这意味着，就市场统计而言，不完全市场与完全市场是无法区分的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_statistical_indistinguishability_of_complete_and_incomplete_discrete_time_mar.pdf (136.05 KB)

2022-5-8 04:36:43 上传

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关键词：Mathematical Quantitative coefficients Statistical mathematica

关于完全和不完全离散时间市场模型的统计不可区分性科廷大学数学与统计系，西澳大利亚6845号，2018Abstracts我们研究了对离散时间股票市场模型的市场完整性进行统计评估的可能性。众所周知，市场完备性不是一个鲁棒性：系数的小随机偏差将一个完整的市场模型转化为一个不完整的市场模型。研究表明，市场不完全性也是非稳健的。我们证明，对于一类广泛的离散时间模型中的任何不完全市场，存在一个股价任意接近的完全市场模式l。这意味着，就市场统计而言，不完全市场与完全市场是无法区分的。关键词：价格统计，市场完备性，市场不完全性，预测分类：C18，C52，C53，G131简介本文研究离散时间股票市场模型及其完备性或不完备性。对于所谓的完整市场，任何主张都可以复制。单一股票市场的经典离散时间CoxRoss-Rubinstein模型是完整的；这是一个二项模型。对于不完整的市场模型，复制选项并不总是可能的。不幸的是，市场完备性不是一个稳健的性质：小的随机偏差可能会破坏完备性，并将完整模型转换为不完整模型。在本文中，我们证明了市场不完全性也是非稳健的。看来，对于一大类模型中的任何不完全市场模型，都存在一个股价任意接近的完整市场模型，在这种情况下，可接受的投资组合策略可以使用在复制策略启动之前收集的历史观察（定理2.1）。

换句话说，在市场统计方面，不完全市场与完全市场是无法区分的（推论2.1）。任意小的舍入误差和时间离散误差可能会导致不同的市场模型的完全性和不完全性。这与一种普遍的看法相矛盾，即不完整性可以从统计数据中提取出来。定理2.1为仅基于计量经济学的市场结构分析确定了一些限制，并在[18]-[19]的概念框架内，再次说明了代理人在解释计量经济数据时的信念的重要性。另一个奇怪的结论是，相对于过去股价的微小偏差，期权价格并不稳健，因为完整和不完整模型的定价公式是不同的（事实上，不完整市场的价格并不是唯一确定的）。[15]中考虑了某些市场属性（更准确地说，套利机会）的一些不稳健性。我们研究了一种不同的市场性质：参数的不可对冲随机性导致的不完全性。套利的可能性或完整性是一些极端而罕见的特征。套利的可能性通常是由异常的van Ishing波动或快速增长的升值率引起的；完整性是由波动性的可预测性和无噪声造成的。另一方面，不完全性是一个相当非典型的特征。更容易相信，模型的噪声污染会消除一些罕见的特性。因此，本文的结果更违反直觉。相关结果见[12,13]，作者在2013年悉尼金融会议上的QuantitativeMethods上发表。

在[12]中，考虑了扩散连续时间模型；在[13]中，考虑了离散时间高频二项模型及其应用。本文的结果是通过不同的方法获得的。2结果2。1市场模型假设我们得到了一个概率空间，其中有完整的σ-事件代数F和概率测度P。设Z为所有整数的集合，设Z为-= {0, -1.-2.-3, ...}.考虑由价格（t）>0的风险股票和价格为B（t）的无风险债券或银行账户组成的证券市场的离散时间模型。对于整数t，过程B（t）被假设为非随机的，因此B（t）>0 a.s。对于模拟性，我们假设对于某些ρ，B（t+1）/B（t）=ρ≥ 1.设S（t）=B（t）-1S（t）是折扣价格过程。在这种情况下，过程B（t）被假定为非随机或无风险的，并被用作数字。设{Ft}为可观测数据流产生的过滤，即过程S（t）。设ξ（t）=（~S（t）/~S（t）- 1) - 1). 显然，~S（t）=~S（t- 1） （1+ξ（t））。我们假设ξ（t）∈ (-1, 1). 可以注意到，ξ（t）上边界的存在实际上是有限制的，因为它排除了一些重要的模型；然而，我们对以下结果的证明取决于这一假设。我们假设存在一个概率测度P*等价于P，使得过程)S（t）是关于{Ft}的鞅。让E*是相应的期望。让我们，θ∈ 给定Z，s<θ。设X（t）为t时刻的财富，X（t）=β（t）B（t）+γ（t）S（t），t=S，S+1。。。，θ、 （1）式中，β（t）是债券投资组合的数量，γ（t）是描述股票投资组合股票数量的向量。这对（β（t），γ（t））描述了时间t时债券股票证券组合的状态。

我们称这些对的序列为投资组合策略。目前的市场运作将受到一些限制。如果满足以下条件，则组合策略{（β（t），γ（t））}θt=sis称为可容许且自融资的。（i）存在P-等价鞅测度P*以至于*γ（t）<+∞ 还有E*β（t）<+∞ 对于t=s。。。，θ.（ii）p过程（β（t），γ（t））适用于过滤{Ft}。（iii）对于t=s。。。，θ - 1，X（t+1）- X（t）=β（t）（B（t+1）- B（t））+γ（t）（S（t+1）- S（t））。我们不会对交易成本、买卖差额、卖空限制等策略施加附加条件；此外，我们假设股票是可以任意分割的，并且在交易时当前的价格是可以立即获得的。定义2.1让我们，q∈ Z应使s<θ。对于任意Fθ-可测的随机索赔ψ，市场模型在时间间隔{s，s+1，…，q}内是完备的，因此*ψ< +∞,在时间序列{s，s+1，…，q}中存在可测量的初始财富X（s）和可接受的自我融资策略，使得X（θ）=B（θ）B（s）-1ψa.s.（即B（θ）B（s）-1ψ与这一策略和最初的财富有关）。在定义2.1的假设下，X（s）=E*ψ、 这是一个期权在s时刻的公平价格，其收益为B（θ）B（s）-1ψ在到期时间q处。该价格是唯一定义的，以及鞅度量。单一股票金融市场的经典Cox-Ross-Rubinstein离散时间模型由该定义得到，其中s=0和平凡的σ-代数F。对于该模型，ξ（t）仅取两个值，-dand d，那是什么∈ （0,1），k=1,2；参见，例如[7]，第3章。

经典Cox-Ross-Rubinstein模型的一个简单推广给出了以下命题。命题2.1如果ξ（t）仅取两个随机值，则市场模型在定义2.1的意义上是完整的，- d，这样dkfs是可测量的，dk∈ （0,1）a.s.，k=1,2。对于所谓的不完全市场模型，衍生品的定价通常更困难，因为鞅测度不是唯一的。市场不完全性的一些重要例子出现在上述模型的修正中，其中dk（t），k=1，2相对于Ft是不可测量的-1，即具有二进制增量的动态调整大小（即随机大小）的二项式模型；参见，例如[2]。这些二项式模型是不完整的。设T是Z的给定子集-.从现在开始，我们将t=0作为当前时间；我们假设对t的价格观测是可用的∈ T不可避免地，为了考虑在时间T>0时到期的期权的定价问题，我们必须依赖一个假设，即我们使用历史观察建立的市场属性将以某种方式结转到未来时间T>0。因此，我们将根据观察到的负时间价格考虑完整性。定理2.1设{S（t）}t∈t上述型号的一组价格。（i） 设T={T:θ≤ T≤ 0}，对于某些θ<0。在这种情况下，对于任意ε>0，存在一个阿玛凯特模型，其相应的过程{Sε（t）}和{ξε（t）}在任意S，q的时间间隔{S，…，q}上是完全的∈ T，s<q，诸如此类∈TSε（t）- S（t）+ξε（t）- ξ（t）< εa.s.（2）（ii）设T=Z-假设存在M>0这样的点∈T（1+| T |）-2M|ξ（t）|<+∞ a、 s。。

在这种情况下，对于任何τ<0和ε>0，存在一个市场模型，其相应过程{Sε（t）}和{ξε（t）}在区间{S，…，q}上对任何S，q是完全的∈ T，s<q，然后∈T（1+| T |）-2米ξε（t）- ξ（t）< εa.s.，支持：τ≤T≤0 | Sε（t）/Sε（τ）- S（t）/S（τ）|<εa.S.（3）推论2.1在市场统计术语中，不完全市场与完全市场是不可区分的。3 r定理2.1的证明∈ [1, +∞] θ，τ∈ Z、 θ≤ τ，我们用lr（θ，τ）实值序列{x（t）}τt=θ且范数为kxk的Banach空间lr（θ，τ）= （Pτt=θ| x（t）| r）1/rfor r<+∞ 和kxkl∞(θ, τ )=r=+∞. θ=-∞ τ=+∞. 此外，论坛 Z、 我们将使用类似的符号l实值序列{x（T）}T的Banach空间∈与标准kxk相比l(θ, τ )=Pτt=θ| x（t）|1/2.允许lR= lr(-∞, +∞).为了x∈ l, 我们用X=Zx表示Z-transformX（Z）=∞Xt=-∞x（t）z-t、 z∈ C.逆Z变换x=Z-1X定义为asx（t）=2πZπ-πXeiωeiωtdω，t=0，±1，±2。。。。我们假设我们被给予Ohm ∈ (0, π).暂时Ohm ∈ （0，π），设BOhm是所有映射X:T的集合→ C使得Xeiω∈ L(-π、 π）和Xeiω= 0表示|ω|>Ohm. 我们将相应的过程称为x=Z-1X波段有限公司。允许lOhm是所有带限流程的集合l.让HOhm（z） 是理想低通滤波器的传递函数Ohmeiω= 我[-Ohm,Ohm]（ω） ，其中I是函数的指示器。L和hOhm= Z-1小时Ohm.对于子集“T” Z-, 允许lOhm（`T）是l（T）由序列{bx（T）}T组成∈Tforall bx∈ lOhm. 我们将使用符号lOhm(-∞, 0) = lOhm（Z）-).任何τ的引理3.1（i）∈ Z和任何bx∈ lOhm（Z）-τ） ，Z在哪里-τ= {t:t≤ τ} ，存在一个anunique x′∈ l这样bx（t）=x′（t）表示t≤ τ.（ii）任何Ohm ∈ （0，π），集合lOhm(-∞, 0）是l(-∞, 0).（iii）对于任何x∈ l(-∞, 0），存在唯一的投影bxOhm在…上lOhm(-∞, 0).

此外，forr=2和r=+∞,kx- bxOhmKlr(-∞,0)→ 0作为Ohm → π - 0.（iv）如果T是有限集，那么{x（T）}T∈T∈ lOhm（T）对于任何x∈ l, 存在不止一个BXOhm∈ lOhm这样x（t）=bxOhm（t） 对于t∈ T引理3.1的证明。让我们来验证一下声明（一）。只有当x（·）时，才需要考虑τ=0∈ lOhm对于t，x（t）=0≤ 当t>0时，x（t）=0。根据[9]中的定理1，处理x（·）∈ lOhm在以下意义上是弱可预测的：对于任何T>0、ε>0和κ∈ l∞（0，T），存在bκ（·）∈ l(0, +∞) ∩ l∞(0, +∞) 真是太可怕了- 比克l≤ ε、 其中（t）=t+TXm=tκ（t- m） x（m），by（t）=tXm=-∞bκ（t- m） x（m）。我们将其应用于流程x（·）∈ lOhmx（t）处的th=0表示t∈ Z-. 让我们首先观察一下，通过（t）=0t<0。（4） 设T>0。让我们证明，如果0，x（t）=0≤ T≤ T让{κi（·）}作为l(-T、 0）。让易（t）=Pt+Tm=tκi（t- m） x（m）。根据（4）和x的弱可预测性[9,10]，如果t，则yi（t）=0≤ 如果t为0，则x（t）=0≤ T此外，让我们将上面给出的证明应用于过程xT（t）=x（t+t）。显然，xT（·）∈ lOhm对于t<0，x（t）=0。同样，对于所有t，我们得到xT（t）=0≤ T，即x（T）=0表示所有T<2T。重复这个过程n次，我们得到x（t）=0表示所有t<nT表示所有n≥ 1.这就完成了引理3.1（i）的证明。特别是，由此得出的结论是存在SBX∈ BOhm比如bx（t）=（Z-1bX）（t）代表t≤ 0.为了证明陈述（ii），必须证明lOhm(-∞, 0）是l(-∞, 0). 考虑映射ζ：BOhm→ lOhm(-∞, 使x（t）=（ζ（x））（t）=（Z-1X）（t）代表t∈ Z-. 这是一个线性连续算子。根据Lemm a 3.1（i），它是一个双射。

在这种情况下，存在{x（t）}t的唯一投影bx∈Z-在…上lOhm(-∞, 0).自映射ζ：B以来Ohm→ lOhm(-∞, 0）是连续的，因此逆映射ζ-1: lOhm(-∞, 0) → BOhm也是连续的；例如，参见第二章中的推论。5[24]，第77页。自从挫折以来Ohm是L的一个闭线性子空间(-π、 π），然后lOhm(-∞, 0）是的一个闭线性子空间l(-∞, s） 。这就完成了陈述（ii）的证明。让我们来证明陈述（三）。设X=Z（xIZ）- ) 和XOhm= HOhm显然，kbxOhm- xkl(-∞,0)≤ 基兹- HOhmo （十九）- ) - xIZ- Kl(-∞,0)≤ 常数k~XOhmeiω- 十、eiω吉隆坡(-π,π)→ 0作为Ohm → π.这就完成了陈述（iii）的证明。让我们来证明陈述（四）。让我们任意选择q∈ Z-\\T设T=T∪ {q} 。考虑有限方程组x（t）=2πZOhm-Ohm~Xeiωeiωtdω，t∈~T。（5） 让我们证明存在Xeiω∈ L(-Ohm, Ohm) 满足这个系统。考虑一组线性独立的f函数{φm}m∈从L开始(-Ohm, Ohm) 就这样Ohm-Ohmφm（ω）eiωtdω=0，t∈~T \\{m}，ZOhm-Ohmφm（ω）eiωmdω6=0。在这种情况下，~Xeiω=下午∈如果cm，则Tcmφm（ω）满足系统（5）=ROhm-Ohmφm（ω）eiωmdω-1x（m）。让Xeiω=~Xeiω对于ω∈ [-Ohm, Ohm] 还有Xeiω= ω为0∈ [-π, π]\\[-Ohm, Ohm]. 进程BXOhm= Z-1X是带限的，其esir ed值为x（t）∈ T显然，这些过程是bxOhm对于x（q）的不同选择是不同的。这就完成了s陈述（iv）的p屋顶和引理3.1的屋顶。注3.1引理3.1（i）意味着带限过程的fu-tu re{bx（t）}t>0由其过去的{bx（t）}t唯一定义≤0.这是为平稳高斯过程建立的经典Szeg¨o-Kolmog-orov定理[22,23,17]确定性设置中的一种重新表述。外稃3。1（iv）意味着如果T是一个有限集，那么任何路径{x（T）}T∈这是一个带限过程的痕迹。我们现在可以证明定理2.1。

对于定理2.1（i）的情况，我们假设M=0。设x（t）= （1+| t |）-M |ξ（t）|，设bxOhm（t） 如果t=Z+，则为引理3.1（iii）中描述的相应带限过程；如果t是有限的，则为引理3.1（iv）中描述的任何过程。通过外稃3。1（iii），（iv），对于任何ε>0，存在Ohm = Ohm(ε) ∈ （0，π）这样∈T | bxOhm（t）- x（t）|=支持∈TbxOhm（t）- （1+| t |）-M |ξ（t）|< εa.s.（6）将符号函数定义为符号（x）=1表示x≥ 0和符号（x）=- 1表示x<0。考虑一个与上述模型类似的市场模型，其股票价格为Sε（t），例如/Sε（t）=Sε（t- 1） （1+ξε（t）），êSε（t）=B（t）-1Sε（t），t∈ T，~Sε（T）=~Sε（T），T<θ，T={θ，…，0}6=Z-,式中ξε（t）= ζ（t）aε（t），ζ（t）= 符号（ξ（t）），aε（t）= （1+| t |）MbxOhm（t） 。（7） 这里的ε（t）是折扣价格过程。债券价格B（t）>0的过程如上所述，即它是非随机的，因此B（t+1）/B（t）=ρ表示someρ≥ 1.显然，对于任何s，t∈ T，s<T，~s（T）=~s（s）T-1Yk=s（1+ξ（k+1）），~sε（t）=~sε（s）t-1Yk=s（1+ξε（k+1）），过程bxOhm是带限的，因此它在引理3.1（i）的意义上是可预测的。因此，过程aε（t）在引理3.1（i）的意义上也是可预测的。显然，|ξε（t）|=aε（t），并且过程|ξε（t）|也是可预测的，即|ξε（t）|对于任何τ<t都是Fτ-可测量的≤ 0.你可以选择Ohm 使（8）成立，而（8）意味着（2）。因此，股票价格Sε（t）和债券价格B（t）的市场模型在定义2.1的意义上是完整的，可以给出ε>0和τ<0；根据定理2.1（i）的假设，我们假设τ=θ。显然，存在ε=ε（ε，τ）>0和Ohm = Ohm （ε） 使（3）和（6）保持并支持：τ≤T≤0ξε（t）- ξ（t）≤ ε、 监督：τ≤T≤0T-1Yk=s（1+ξε（k+1））-T-1Yk=s（1+ξ（k+1））≤ ε. （8） 然后（3）如下。