期权定价的多级蒙特卡罗方法简介

现在，根据期望算子的线性，我们得到了伸缩sumE[bPL]=E[bP]+LXl=1E[bPL]-bPl-1]. （11） 在多层蒙特卡罗中，我们使用右手边的展开作为间接方法来评估左手边。这可能被认为是控制变量技术的递归应用，广泛应用于应用统计学[20,23,37,38]。为了估计E[bP]，我们根据N条路径形成通常的样本平均值。这就给了我们一个答案。（12） 一般来说，对于E[bPl-bPl-1] 当l>0时，我们将使用NLPATH，这样BYL=NLXS=1英国石油公司-英国石油公司-1.. （13） 重要的是要指出英国石油公司和英国石油公司-1in（13）来自相同的离散布朗路径，具有不同的步长德兰热释光-分别为1。图2说明了M=2的情况。换句话说，在一般水平l，我们计算NL布朗路径，并对每条路径应用Euler–Maruyama两次；一次用步长特兰一次带步长热释光-1.（实际上，我们以分辨率计算路径tland然后通过成对的步骤组合布朗增量，以获得分辨率为的路径热释光-1.）为l层构建了独立的NL路径后，我们在l+1层重新开始；之前的信息没有被重复使用，新的（独立的）伪随机数被生成。由于在（10）中选择了L，我们从（11）中知道，我们的估值器将具有所需的O() 偏见现在，我们将了解如何选择{Nl}Ll=0的值，以在总体密度区间达到相应的精度。考虑到l>0的一般水平，考虑到Euler–Maruyama的强收敛行为（6），以及我们假设h是全局Lipschitz，我们有Var[bPl]- h（X（T））]=E[（bPl- h（X（T））]- （E[bPl- h（X（T））]（14）≤ E[（bPl）- h（X（T））]（15）≤ 常数×E[（XN- X（T））]（16）=O(tl）。

（17） 然后，它由明可夫斯基的不等式[8]得出-bPl-1] =var[bPl- h（X（T））+h（X（T））-bPl-1]≤qvar[bPl- h（X（T））]+qvar[h（X（T））-bPl-1]= O(tl）。（18） 应用（13）中的这个结果，我们得出结论，BYL的方差为O(tl/Nl）表示l>1。因为所有级别都是独立的，所以我们推断var“bY+LXl=1bYl#=var[bY]+LXl=1O(tl/Nl）。为了在水平l=1、2、…、之间平衡差异，为了将方差控制在L=0的水平，我们选择Nl=O(-2Ltl）。然后，我们的总体估计值发生了变化() +LXl=1O(/五十） =O().通过这种方式，我们获得了给出特定数据的置信区间所需的偏差和方差 准确度。量化该算法的复杂度随时间的变化, 我们将l级的成本从l=0加至l，再加至给定的LXL=0NlT-1l=LXl=0-2L热释光T-1l=L-从（10）开始，这个表达式变成O(-2（日志）)), 正如我们在第3节中所引用的。在这个阶段，有几点需要注意：建设性上限：在上面的分析过程中，我们为每个级别的路径数{Nl}Ll=0找到了一个通用的选择。因此，最终复杂性计数是最佳可能值的上限。在实践中，对于给定的问题和精度要求，我们可以执行廉价的预处理步骤，其中估计适当的方差，并解决优化问题，以给出序列{Nl}Ll=0；例如，见[18]。弱与强：关键不等式（18）利用了强收敛性，保证了粗路径和细路径之间的紧密耦合。小的tl，两条路径都接近真实路径，因此路径必须彼此接近。从这个意义上说，强错误率和弱错误率都是分析的关键因素。

然而，我们注意到，thatGiles[13]也开发了不直接依赖于强收敛的估计量。方差和二阶矩在推导不等式（17）时，我们放弃了一阶矩的平方，并使用二阶矩作为方差的上界。这似乎是一个非常粗糙的步骤，但在我们的背景下，它不会降低最终结论。（在不同的泊松驱动环境中，开发和分析了多层次方法，步骤（14）-（15）不再是最优的，直接分析方差是有益的[3]。）利用结构：如上所述，多级蒙特卡罗可能被视为控制变量方法的递归版本。在最简单的控制变量中，如果我们想计算E[X]，我们可以计算E[X]- Y]加上E[Y]，其中Y是一个合适的构造的随机变量，比如X- Y的方差很小，而且[Y]随时可用[20,23]。然而，这种技术的成功通常依赖于加入一些关于问题的额外知识：结构，如对称性或凸性，或存在一个分析上可处理的“附近”问题。在这方面，SDE的多层蒙特卡罗方法与传统的控制变量非常不同：分析完全是一般性的，除了了解基本的弱收敛性和强收敛性外，不需要对基础SDE的性质有任何特殊的见解。多级与多重网格：Giles在[16]中解释说，数值偏微分方程中的多重网格方法是“作者开发SDE路径模拟MLMC方法的灵感”两者之间有明显的相似性：使用几何细化/粗化网格，以及在细网格上花费相对较少的工作来解析高频分量的想法。

然而，重要的是要记住，这两种技术在概念上也存在差异：多层蒙特卡罗是不同的，而且新颖。例如，多层蒙特卡罗不涉及在元素层上下传递信息的通知，就像多重网格V或W循环一样。相关的早期方法：如[16，第1.3节]所述，海因里希（Heinrich，例如[21,22]）和凯拜尔（Kebaier）[29]设计了一种两级路径模拟方法，以改进通过离散化生成样本时的蒙特卡罗（Monte Carlo）。基于我们上面总结的分析类型，可以陈述一个关于多级模拟的一般定理：定理5.1（Giles；参见示例[16]）让P表示一个随机变量，让pll表示相应的l级数值近似。如果存在基于NlMonte Carlo样本的独立估计量，则正常数α，β，γ，c，c，c等于α≥min（β，γ）和1|E[Pl- P]|≤ C-αl2。E[Y]=E[P]和E[Yl]=E[Pl- Pl-1] 对于l>03。var[Yl]≤ cN-1l-βl4。E[Cl]≤ cNlγl，其中cli是Yl的计算复杂度，则存在一个正常数csuch，对于任何 < E-1多水平估计=LXl=0yl的值L和NL具有有界的均方误差（Y）- E[P]）< 计算复杂度为C，边界为[C]≤C-2，β>γc-2（日志）()), β=γc-2.-(γ-β)/α, β < γ.Giles[13]还展示了如何构造β>γ=1的估计器，方法是用更高精度的米尔斯泰恩方案代替Euler–Maruyama。对于带有Lipschitz Payoff功能的欧式选项，这使得(-2） 复杂性是可以实现的。从第（3）节的论点来看，这是一个直观合理的最优利率。

该问题在[35]中得到了形式化，最优性得到了证实。在第2节中，我们提到基本的Euler–Maruyama方法（1）可能无法在交感极限下的非线性SDE上弱或强收敛T→ 0.与本综述直接相关的一个密切相关的问题是，“Euler–Maruyama+MonteCarlo”的组合是否在 → 0限制。在[25,26]中，Hutzenthaler和Jentzensen展示了Euler–Maruyama Monte Carlo可以在基本Euler–Maruyama方案边缘的情况下实现绝对意义上的收敛。当导致Euler–Maruyama发散的事件非常罕见，以至于它们极不可能影响任何Monte Carlo样本时，就会发生这种情况。然而，在[28]中，Hutzenthaler、Jentzen和Platenshen认为，多层蒙特卡罗方法并不继承这一特性。他们用formdX（t）=-X（t）dt，（19），其中X（0）具有标准高斯分布，其中E[X（t）]是所需的矩。请注意，SDE（19）有一个零漂移项，因此它也可以被视为一个随机常微分方程。[28]中显示了Euler–Maruyama的改进版，称为驯服方法，用于在多级设置下恢复收敛。6计算实验有症状， → 分析表明，多层蒙特卡罗在计算复杂度方面有显著提高。大量计算研究已经证实，这种潜力可以在实践中实现。Giles在\\protect\\vrule width0pt\\protect\\href上提供了MATLAB代码{http://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/acta/}{http://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/acta/}这可以作为计算实验的基础。在图3中，我们展示了基于此代码的结果。

这里，我们有一个资产模型，由几何布朗运动dx（t）=0.05X（t）dt+0.25X（t）dW（t），X（0）=100给出。我们考虑（a）欧式看涨期权和（b）基于[0，T]的数字看涨期权，T=1，行权价格为100。因此，在扣除利息后，支付函数areh（x）=e-0.05Tmax（x- 100,0）表示买入期权和h（x）=E-对于数字选项，当x>1000时为0.05T100，当x<100时为0.05T100。（对于那些担心概率为零的事件的人，代码定义了h（100）=e-0.05T（100+0）/2.）代码重复蒙特卡罗模拟，以满足精度要求 = 0.1, 0.05, 0.02, 0.01, 0.005. 图3中左上角的图片显示了在多级方法中，对于调用选项，在每个级别l上得到的路径数。我们在一定程度上看到了这一点在更便宜的（小l）级别使用更多路径，并且 降低了，因此需要更高的精度，增加了额外的级别。右上方的图片显示了运行时间方面的相应计算成本。更准确地说，星号（用虚线连接）表示成本权重作为. 我们看到，正如分析预测的那样，这个量仍然近似恒定。图中还显示了使用实线型的等效标准蒙特卡罗计算的比例成本。我们看到了一个大得多的成本，其增长速度似乎比预期的要快-2.图3中较低的图片给出了与数字选项相同的结果，而且多级版本被认为比标准蒙特卡罗更有效。7.后续研究在本节中，我们总结了自最初的多层次突破以来取得的一些关键进展[14]。我们专注于与金融期权估值直接相关的工作。关于这些和其他领域的更多细节，可以参考综合概述[16,18]。

Giles维护的网页位于\\protect\\vrule width0pt\\protect\\href{http://people.maths.ox.ac.uk/\\string~gilesm/mlmc_社区。html}{http://people.maths.ox.ac.uk/$\\sim$gilesm/mlmc_社区。html}也是最新信息的极好来源。7.1除了欧洲通话和PutsA之外，第5节分析的关键步骤是证明粗路径和定义路径紧密耦合，即它们产生的支付差异具有较小的差异。分析背后的逻辑可以概括为Euler–Maruyama的强收敛=>B接近真实路径的粗糙和重新定义的路径=>C.彼此靠近的粗糙路径和重新定义的路径=>D粗纤维和细纤维纤维相互靠近。C=> D step利用了h的全局Lipschitz性质。这对欧洲看涨期权和看跌期权有效，其中h（x）=max（x- E、 0）和h（x）=最大值（E）- x、 分别为0）。然而，必须对违反全球利普希茨标准的functionsh需要E[h（X（T））]的欧式选项进行分析。我们还可能希望处理路径相关选项，其中根据0的部分或全部值X（t），对函数应用期望值操作≤ T≤ T这些更奇特的选项包括有问题的类，对于某些路径，支付可能对微小的变化非常敏感。例如，对于到期时间接近货币的数字期权，资产路径的微小变化可能会导致支付发生O（1）变化。类似地，障碍选项的回报对与障碍相关的路径非常敏感。在这些情况下，必须调整上述逻辑流程。直觉上，我们应该能够利用这样一个事实：麻烦路径是例外，而不是规则，因此C=> 很有可能是D。

在某些情况下，这允许我们恢复我们在欧洲调用和put时看到的计算复杂性。在其他情况下，我们必须接受稍微增加的成本。Giles的原著[14]在计算上考虑了亚洲、回望和数字期权的多级蒙特卡罗行为。[17]中首次给出了支持屏障、回望和数字选项结果的严格分析。进一步的工作针对的是二进制期权[5]、亚洲期权[2]、篮子期权[15]、障碍期权[10]和美国期权[6]。[7]中考虑了使用多级蒙特卡罗计算问题参数（即希腊）的灵敏度。7.2进一步发展将多种方差缩减技术结合起来是常见的做法。考虑到对偶变量在期权估值中可能有效[20,23]，考虑将这种方法嵌入多级框架是很自然的。Giles和Szpruch[11,19]已经证明，这是有效的，尤其是当Milstein用于数值积分时。传统的蒙特卡罗方法在多电平环境中也被证明是有效的[13]。在不同的方向上，Rhee和Glynn[36]提出了一个额外的随机化水平，产生了一个无偏的多水平估计器。超越极限(-2） 复杂度障碍有可能转移到准蒙特卡罗，用一个低差异序列代替伪随机序列。Giles和Waterhouse[12]已经证明，准蒙特卡罗和多水平的结合可以胜过每一种分离技术。最后，我们注意到，多层次方法也被扩展到了不完全由布朗运动驱动的资产模型[9,40]。8讨论我们在本文中的目的是以一种易于理解的方式解释多层次蒙特卡罗方法背后的关键思想。

我们关注的是基于DE的金融期权估值案例，其中蒙特卡罗是一种广泛使用的工具。这项技术的核心是一种非常普遍且应用广泛的理念——控制变量的递归应用，它依赖于不同分辨率下模拟之间的紧密耦合。由此产生的算法非常简单和有效，可以直接实现，并用于在一般情况下产生显著的计算效率增益。然而，正如当前大量研究活动所证明的那样，（a）重新定义多层次方法以利用问题特定信息，（b）在许多其他随机模拟场景中开发多层次方法也有很大的空间。基于这些原因，我们设想多水平蒙特卡罗将演变为计算金融的基石。感谢作者获得皇家学会/沃尔夫森研究优秀奖和EPSRC数字经济奖学金的资助。他感谢Mike Giles创建并将用作图3基础的代码放入公共领域。参考文献[1]Y.Ait Sahalia，《即期利率的连续时间模型检验》，《金融研究回顾》（1999年），第385-426页。[2] M.B.Alaya和A.Kebaier，《期权和极限定理的多级蒙特卡罗法》，蒙特卡罗方法与应用，20（2014），第181-194页。[3] D.F.Anderson，D.J.Higham和Y.Sun，多水平蒙特卡罗头跳跃的复杂性，暹罗数值分析杂志，52（2015），第3106-3127页。[4] D.F.Anderson和J.C.Mattingly，一类随机微分方程的弱梯形方法，数学科学通讯，9（2011），第301-318页。[5] R.Avikainen，DES泛函近似的收敛速度，13（2009），第381-401页。[6] D.Belomestny、J.Schoenmakers和F。

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