期权定价的多级蒙特卡罗方法简介

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英文标题：
《An Introduction to Multilevel Monte Carlo for Option Valuation》
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作者：
Desmond J. Higham
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Monte Carlo is a simple and flexible tool that is widely used in computational finance. In this context, it is common for the quantity of interest to be the expected value of a random variable defined via a stochastic differential equation. In 2008, Giles proposed a remarkable improvement to the approach of discretizing with a numerical method and applying standard Monte Carlo. His multilevel Monte Carlo method offers an order of speed up given by the inverse of epsilon, where epsilon is the required accuracy. So computations can run 100 times more quickly when two digits of accuracy are required. The multilevel philosophy has since been adopted by a range of researchers and a wealth of practically significant results has arisen, most of which have yet to make their way into the expository literature.   In this work, we give a brief, accessible, introduction to multilevel Monte Carlo and summarize recent results applicable to the task of option evaluation.
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中文摘要：
蒙特卡罗是一种简单而灵活的工具，广泛应用于计算金融领域。在这种情况下，兴趣量通常是通过随机微分方程定义的随机变量的期望值。2008年，Giles提出了一个显著的改进方案，即使用数值方法和标准蒙特卡罗进行离散化。他的多级蒙特卡罗方法提供了一个由ε的倒数给出的加速顺序，其中ε是所需的精度。因此，当需要两位数的精度时，计算速度可以提高100倍。自那以后，多层次哲学被一系列研究人员采用，并产生了大量具有实际意义的结果，其中大多数尚未进入解释性文献。在这项工作中，我们简要介绍了多层蒙特卡罗，并总结了适用于期权评估任务的最新结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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PDF下载：
--> An_Introduction_to_Multilevel_Monte_Carlo_for_Option_Valuation.pdf (438.94 KB)

2022-5-8 04:40:12 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 期权定价 蒙特卡罗 蒙特卡 Applications

期权定价的多级蒙特卡罗方法简介*Desmond J.Higham+2015年5月6日摘要蒙特卡罗是一种简单灵活的工具，广泛用于计算金融。在这种情况下，感兴趣的数量通常是通过随机微分方程定义的随机变量的期望值。2008年，Giles提出了一个显著的改进方案，即用数值方法离散并应用标准蒙特卡罗。他的多级蒙特卡罗方法加快了(-1） ，在哪里 是要求的准确度。因此，当需要两位数的精度时，计算速度可以提高100倍。此后，“多层次哲学”被一系列研究人员采用，并产生了大量具有实际意义的结果，其中大多数尚未进入解释性文献。在这项工作中，我们简单、易懂地介绍了多层蒙特卡罗，并总结了适用于期权评估任务的最新结果。关键词计算复杂性，控制变量，欧拉-丸山，蒙特卡罗，期权价值，随机微分方程，方差缩减。1目的寻找金融期权的适当市场价值通常可以计算为预期价值[20,23,38]。

如果期权下的产品被建模为随机微分方程（SDE），我们可以*提交至《国际计算机数学杂志》，金融计算方法专刊+英国斯特拉斯克莱德大学数学与统计系o以数字方式模拟SDE，以计算许多独立样本路径，然后o结合每条路径的期权收益，以获得蒙特卡罗估计和相应的置信区间。与其他方法相比，尤其是对基于偏微分方程的问题公式进行直接离散化，蒙特卡罗计算具有以下优点：（a）易于实现；（b）足够灵活，能够处理广泛的潜在SDE模型和期权支付，蒙特卡罗的计算时间通常比较昂贵[20,23]。在2008年的一篇开创性论文[14]中，Giles汇集了数值分析、随机分析和应用统计学的思想，以期对“SDE模拟加蒙特卡罗”方法的效率进行无创性的改进。如果所需的准确度，即密度区间, 多级方法本质上将计算复杂性提高了一倍. 所以对于需要两位数精度的计算，我们在计算时间上获得了百倍的改进。多层蒙特卡罗已迅速成为随机计算领域的一个非常热门的话题，影响到广泛的应用领域。特别是，对该领域研究进展的技术审查已经开始出现[16,18]，吉尔斯目前正在为《数字学报》杂志进行全面调查。

然而，这一领域仍然非常新，大多数计算金融教科书都没有介绍这一主题，因此它还没有完全融入到典型的研究生课程和从业者发展课程中。因此，我们在此介绍了多层次蒙特卡罗方法，并简要概述了金融期权估值的最新进展。在第2节中，我们将讨论基本的SDE模拟。第3节接着考虑了在这种情况下标准蒙特卡罗的复杂性。在第4节中，我们给出了多层方法的一些动机，第5节介绍并分析了多层方法。第6节使用Giles提供的代码说明了算法实践的性能。在第7节中，我们对建立在[14]基础上的期权估值的多层次研究提出了一些建议。第8节以简短的讨论结束。2 SDE模拟中的收敛性我们考虑的Ito SDE形式为dx（t）=f（X（t））dt+g（X（t））dW（t），X（0）=X（1）→ g:Rm→ Rm×dare给定函数，分别称为提取系数和扩散系数，以及W（t）∈ Rdis标准布朗运动。初始条件Xis已提供，我们希望在固定时间间隔[0，T]内模拟SDE。Euler–Maruyama方法[31,33]计算近似值Xn≈ X（tn），其中tn=nt、 根据X=X（0），对于n=1，2。

N- 1，Xn+1=Xn+f（Xn）t+g（Xn）Wn，（2）在哪里t=t/N是步长和Wn=W（tn+1）-W（tn）是相关的布朗运动增量。在SDE模拟方法精度的研究中，两个最常用的收敛概念被称为弱收敛和强收敛[31,33]。大致上，o弱收敛控制平均值的误差，而，o强收敛控制误差的平均值。为了证明弱收敛和强收敛的结果，我们必须对SDE施加条件。例如，假设（1）中的f和g满足全局Lipschitz条件是标准的；也就是说，存在一个常数L，使得| f（x）-f（y）|≤ L | x-y |和| g（x）-g（y）|≤ L | x-y |，对于所有x，y∈ Rm。（3） 在这里和整个过程中，我们认为k·k是欧几里德范数。在这种情况下，对于适当的初始数据，Euler–Maruyama方法具有弱一阶，因此SUP0≤tn≤T（E[X（tn）]- E[Xn]）=O(t） 。（4） 在强误差的意义上，即每个网格点上两个随机变量之间绝对差值的平均值，Euler–Maruyama通常只能达到一半的阶数：Esup0≤tn≤T | X（tn）- Xn|= O(t） 。（5） 更一般地说，对于任何m>1且足够小的t有常数C=C（m）这样的常数sup0≤tn≤T | X（tn）- Xn | m≤ Ctm/2。（6） 强收敛有时被描述为一种路径性质。这可以通过Borel-Cantelli引理来理解。例如，在[30]中，给出了 > 0存在一个路径相关常数K=K() 尽管规模非常小t、 sup0≤tn≤T | X（tn）- Xn|≤ K()H-.在这项工作的背景下，人们很容易争辩说，强收敛性是不相关的；如果我们希望根据SDE解决方案计算期望值，那么准确地遵循各个路径并不重要。

然而，我们将在第5节中看到，[14]中证明多层蒙特卡罗的分析利用了弱收敛性和强收敛性。在本节结束时，我们注意到，SDE模拟对违反全局Lipschitz条件（3）的问题的分析还远未完成。对于金融资产和利率的SDE模型而言，发行可能是通过单位的超线性增长以及来源地的无界衍生品产生的。例如，这两种复杂情况都发生在[1]中的标量利率模型中，dX（t）=α-1X（t）-1.- α+αX（t）- αX（t）rdt+αX（t）ρdW（t），其中α是正常数，r，ρ>1。虽然对于特定的非线性结构[24,25,26,39]可以得到一些积极的结果，但也有一系列消极的结果表明Euler–Maruyama如何在非线性SDE[24,27,34]上分解。3 SDE模拟和标准蒙特卡罗模拟SDE（1），假设我们希望近似解的最终预期值E[X（T）]，使用蒙特卡罗与欧拉-丸山。我们会让 表示置信区间宽度方面的精度要求；鉴于95%的置信度是具体的，因此我们希望能够大量独立应用算法，准确答案在± 我们的计算答案的频率至少为0.95。让X[s]注意沿第四条路径的Euler–Maruyama最终时间近似。使用M个蒙特卡罗样本，我们可以形成样本平均值AM=MMXs=1X[s]N。我们的近似值中的总体误差为- E[X（T）]=aM- E[X（T）- XN+XN]=aM- E[XN]+E[XN- X（T）]。（7） 请注意，XN表示一个随机变量，用于描述应用Euler–Maruyama（2）的结果，而每个X[s]都是XN给出的分布中的一个独立样本。表达式（7）将错误分解为两个术语。

统计误差- E[Xn]关注的是我们如何从有限数量的样本中逼近期望值；它不取决于数值方法逼近SDE的准确程度（尤其是，它不明显取决于t） 如果我们采取更多的采样路径，它通常会降低。离散化误差，orbias，E[XN- X（T）]，因为我们用微分方程近似了SDE；如果我们能够获得数值解的精确期望值，这一差异将继续存在，如果我们减小步长，这一差异通常会减小。标准结果[20,37]告诉我们，统计误差- E[Xn]可以通过宽度为O（1）的置信区间来描述/√M） 。weakconvergence属性（4）表明偏差E[XN- X（T）](t） )；因此，我们必须将这个数量添加到置信区间宽度中。以宽度为O（1）的总置信区间行驶/√M） +O(t） 。以达到我们要求的目标精度, 我们看到1/√M和不应该这样. 换句话说，M应该像-2和t应该像这样缩放.通过计算漂移和扩散系数f和g的计算次数，或随机数生成器的调用次数来衡量计算成本是合理的。在这两种情况下，每条路径的成本与1成正比/t、 因此计算规模的总成本，比如M/t、 我们在上面讨论过M应该像-2和t应该像这样缩放.

结论如下：我们可能会达到准确度 通过将Euler–Maruyama和标准蒙特卡罗相结合，总体成本如下：-3.提高计算复杂性的一种方法是用更高弱阶的模拟方法取代Euler–Maruyama[4,31,33]。如果我们使用二阶方法，那么（4）被UP0代替≤tn≤T（E[X（tn）]- E[Xn]）=O(t） ，然后对上述论点进行简单的改编，得出以下结论：我们可以达到准确度 通过结合二阶弱方法和标准蒙特卡罗法，以类似规模的总体成本-2.5.然而，我们注意到，建立二阶弱收敛需要对SDE系数进行极值平滑假设。正如我们在第5节中所展示的，Giles[14]的方法具有以下特点：我们可以达到准确度 通过在多级蒙特卡罗环境中使用Euler–Maruyama，总体成本如下：-2（日志）).此外，通过使用更高的强阶方法，如Milstein[31,33]，可以将多级蒙特卡罗成本降低到-2[13].值得停下来欣赏O(-2） 计算复杂度计数。假设我们得到了SDE解的精确表达式，作为W（t）的函数。因此，我们能够计算精确的样本，而无需应用数值方法。标准的蒙特卡罗方法需要1/√我要按比例 为了达到所需的置信区间宽度。

如果我们将每个精确的X（T）样本的评估视为具有O（1）成本，那么总体成本将与M成正比；就是，-2.从这个意义上讲，通过多层次方法，数值分析是免费的；我们可以用SDE解的精确路径表达式快速解决这个问题。4.多级方法的动机我们可以通过考虑布朗运动的一系列展开式来激发多级方法，其中系数是随机变量。[0，2π]上的Paleyviener表示的形式为w（t）=Zt√2π+√π∞Xn=1Znsin（nt）n，（8）其中{Zi}i≥0是i.i.d.和N（0，1）；例如，参见[32]。在图1中，我们绘制了Zi的样品，并绘制了当有限系列蛋白（8）被截断时，M=1、2、5、10、50和200产生的曲线。很明显，该系列的早期术语会影响整体形状，而后期术语会影响细节。从这个角度来看，我们可以在不同分辨率的尺度下建立信息，而较小的尺度对整体图像的影响较小，这在直觉上是合理的。现在，我们可能会认为蒙特卡洛需要一个“黑匣子”来返回独立的样本。在我们的SDE数值环境中，样本来自一个仅大致正确的分布，黑匣子（theEuler–Maruyama方法）带有一个刻度盘。转动表盘对应于改变t、 具有较小尺寸的样品因为路径包含更多的台阶，所以我们必须等待更长的时间。多层蒙特卡罗算法巧妙地利用了这个刻度盘。黑盒用于在一系列步长范围内生产样品。weask提供的大多数样本将以相对较大的速度快速获得t值。相对而言，将在昂贵的小型实验室中生成少量样本t水平。

从某种意义上说，大t路径覆盖低频信息，因此节省使用昂贵的高频路径。图1可能会让你相信这个想法有一些优点。下一节将详细介绍这些细节。5带Euler–Maruyama的多级蒙特卡罗我们现在关注更一般的情况，我们希望近似最终时间解的某些函数的预期值，E[h（X（T））]。我们考虑的情况是，X（t）代表风险中性形式的基础资产，h（·）是相应的欧式期权的报酬[20,23]。例如，h（x）=max（x-E、 0）对于行使价格为E且到期时间为T的欧式看涨期权。为了简单起见，我们将考虑scalarcase，因此m=d=1 in（1），但我们注意到，所有参数都适用于系统的情况，得出了相同的结论。我们假设支付函数h满足全局Lipschitz条件；这包括买入期权和卖出期权的情况。多级蒙特卡罗使用一系列不同的离散化级别。在l层，我们有一个阶梯大小的表格tl=M-式中，l=0，1，2，L.（9）这里M>1是一个固定数量，其精确值不影响方法的整体复杂性，就渐近速率而言，如下所示： → 0.为了简单起见，我们可以认为M=2。作为级别索引的上限wechooseL=log-1对数M.（10）这样，在最粗的水平，l=0，我们有最大的步长，t=t，一步覆盖整个间隔。在最明确的层面上，l=l，我们有tL=O()—从（4）中，这是Euler–Maruyama实现O的弱误差所需的步长().每种步长的选择，tl，我们可以将Euler–Maruyama应用于第（1）条，并最终评估支付函数h。我们将让随机变量BPL注意到h（X（T））的近似值。