从总提款期中获得更清晰的资产排名

第3节）。附录B包含了大相对漂移极限中E（R+）（n，c/σ）的推导，即c/σ 1和n 1.在这种情况下，预期的记录数几乎会增加。值得注意的是，这些限值并不明确对应于小的和大的夏普比，因为这些限值不涉及n1/2而不是n。小的有效裂谷限值可以改写为c/σ√N 1/√n、 这相当于消失的小夏普比率，与金融几乎无关；无法保证非常大的c/σ极限与实际情况相符。因此，取决于c/σ和n，一个人可能接近任一极限，或者在无极限的土地上。因此，下一节将采用广泛的数值校准。3.无矩夏普比估计器如Majumdar、Schehr和Wergen（2012）所示，预期记录数是夏普比c/σ的单调函数。换句话说，这两个量之间是一一对应的。这意味着可以通过上下记录的数量来估计夏普比率。2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amfpermutationcumulativies umcumulativies umcumulativies umcumulativies umpermutation+=4R-=2}R+=4R-=1}R+=4R-=3}R0=20 1 2 3 5 6-10123456累计金额123456-4.-2 0 2 4 6样本编号值2 3 4 5 6-4.-2 2样本编号值2 3 4 60 2 4 6 t累计总和6-4.-2 0 2 4 6样本编号值0 1 2 3 4 5 6-2.-1 1 2 3 4 t累积汇总图3。

夏普比率排列估值器背后思想的示意图解释：一个计算总提取和提取持续时间之间的差异，或者等效地计算样本值累积和的运行最大值（虚线）跳跃次数和运行最小值（点线）跳跃次数，在价格回报的多个随机排列上求平均值。按照惯例，第一个点是运行最大值和最小值的第一个记录。更准确地说，我们有e（R+）=F+（c/σ），（5），这意味着cσ= F-1+（^R+）。（6） 由于缺乏精确的结果，我们将使用数值模拟来校准EF。大量记录的主要问题是，它是一个定义为整数的数字，这会产生一个对短时间序列具有不可接受精度的估计器。在这种情况下，r-统计（Challet 2015）的基本思想是假设其日志返回为i.i.d。。在这种情况下，可以基于原始收益的随机排列构建许多其他对数价格路径，从而测量多个排列中累积和的平均记录数（见图3）（该方案可以扩展到相关时间序列）。数学上，表示指数i的随机排列∈ {1，···，n}乘以π（i），所有排列的集合乘以∏，记录的平均数为`R+=|∏Pπ∈πR+，π，其中R+，π是Sn的上记录数，π=Pnm=1rπ（m）。在实践中，为了便于计算，ONER将计算限制在∏的子集，这对最终结果几乎没有影响；在这项研究中，我们使用了1000个随机排列。

然后，新的夏普比率估计器基于R=`R+-\'R-.更准确地说，我们的想法是首先在2017年2月9日校准关系E（R）=F（c/σ，n）应用数学金融价格记录˙学生˙amf●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.02.55.07.510.00.01 0.10 1.00cσ相对效率●●●100050500●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.850.900.951.000.01 0.10 1.00cσ相对效率●●●100005000图4。基于记录的估计器θ相对于普通估计器的效率，由新估计器θ和常用估计器θ的方差之比定义为合成数据真实夏普比/σ的函数。Navg的平均值=每点10个样本；创纪录的数字平均超过了1000次排列；左图：学生分布增量，尾部指数设置为4；右图：高斯增量。给定综合价格收益分布的固定c/σ。表示θ=c/σ，然后将此关系倒置，得到^θ=F-1（^R，n）。（7） 本文其余部分的估计基于广泛的数值模拟，以建立E（R）作为参数n、θ和学生参数ν的函数关系。我们选择ν={2.5，··，10}，增量为0.1，10<n<375，步数为5，n=504；我们取θ的31个值∈ [0.001,1]根据几何级数增长。对于每个三元组（n，θ，ν），我们生成Navgsynthetic时间序列，估计每个时间序列的Rover 1000个随机排列，然后对Navgtime序列进行平均。然后，使用样条曲线拟合和反转公式（7）的关系。3.1基于有效矩的估计器很难处理重尾数据。因此，很明显，它们的精度，即效率，会受到重尾的影响。

另一方面，新的估计值受后者的影响可能较小。为了比较它们各自的效率，让我们用θ表示从R推断出的锐度。用σθ表示的θ的标准偏差通过三角洲法获得，即从关系式σθ=σRdE（R | n，θ）dθ中σris表示R的标准偏差；用样条函数数值计算了E（R | n，θ）的数值导数。θ相对于直接估计器θS=^u/^σ的相对效率被定义为ρ=σS/σR，其中σ是θS的标准偏差。图4的左图报告了各种非负t分布回报的θ的相对效率，且ν=4。新的估值器是明确的2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amf●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●4 6 8 100.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5N=252ν真夏普比0=40R0=50图5。对于长度为252的时间序列，R=40和50（分别为圆圈和lozanges）的真实夏普比率与学生尾巴指数ν。连续线是公式（8）的最小二乘回归。水平虚线报告了高斯增量（ν）的真实夏普比值→ ∞)R=40，而垂直方向的值为ν=5.2，这是当R=40且ν=∞ 与R=50且指数为ν的。比普通估计器更强大。只要返回者是重尾的，这个结果就成立。金融价格回报并非一直是重尾的。因此，以高斯增量检查原木价格记录统计的效率是很重要的。由于在这种情况下，vanilla估计量是渐近最优的（Neyman和Pearson1933），因此任何其他估计量对大n的效率都会较低。

4绘制了θ对于高斯增量的相对效率，其依赖于c/σ。值得注意的是，对于较小的n.3.2对学生尾指数的依赖性，θ可能比t统计量本身略为有效。尽管上面仅对ν=3进行了分析研究，因为它导致了可用表达式，e（R）与学生t分布的夏普增量比之间的关系取决于ν。因此，在固定的n和R下，估计的夏普比也取决于ν。Navg=10的大量数值模拟（见图5）表明，在固定的Rand n下，Eν（^θ）=a（R，n）- b（R，n）ν-3/2，（8）式中a（R，n）=E∞（^θ）对应于具有高斯增量（ν）的过程的平均（无偏）夏普比→ ∞).除了提供了一种简单的方法来扩展夏普比率或任意大值的推断，从一个有限的间隔ν，这个方程量化了夏普比率估计的偏差，如果忽略非高斯2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amfreturns的影响。事实上，RDoE的估计不需要任何关于潜在增量分布的假设，只有与夏普比率的关联才需要。这意味着估算夏普比率需要估算ν，并且假设ν=∞, 正如普通方法所做的那样，一旦价格收益分布的尾部比高斯分布的更厚，就会高估夏普比率的真实值。作为一个序列，只有当所有资产都具有相同的尾部指数时，各种方法得出的排序等价性结果才有效。第4.1.3.3节对这一点进行了进一步讨论。简化估计公式（8）大大降低了Sharperatio估计的复杂性，但通过研究botha和b对Rand n的依赖性，可以进一步简化估计。

我们从1到n中选择Rf值，并根据公式（7）的校准关系推断出相应的θ值。然后，在固定的n处，我们选择一个值，并进行等式（8）的非线性拟合，其yieldsa（R，n）和b（R，n）。然后，我们筛选出与b相关的p值大于0.01且其平均平方残差大于0.1的系数，该系数仅出现在n大而R小的区域（换句话说，其中^θ=0非常接近真实夏普比）。剩下13282个A和b的值，每个剩余的对（R，n）一个。让我们从a=E开始∞(^θ). 图6的左图显示，当n>100时，a（R，n）=a（R/n）：崩塌虽然不完美，但非常显著（图中有12645个点）。换句话说，R\'γn与固定γn至少在n>100和θ>0.001时相同（t统计量为0.01），就像在大θn极限中一样，尽管在这种情况下nθ=0.1远不是很大。图6还清楚地表明：- R/N比指数下降得更快，这是有意义的，因为它渐近遵循高斯函数（参见附录B）。请注意，缩放比例R∝ n假设价格回报率有趋势。换句话说，在R∝√n将被低估，但它们对应的趋势可以忽略不计。现在让我们转向b（R，n）。结果表明，在a<1的区域（参见图6的右图）存在线性关系b\'8/3a，崩塌是显著的。这个区域与金融有关：例如，如果a=1，n=100，t统计量将为10，这是罕见的。因此，整个校准可能取决于a（R/n）的确定，因为^θ\'a（^R/n）1.-^ν-3/2（9） 由于a是一个光滑函数，我们首先将R/n四舍五入到0.01的精度，然后计算a（R）的平均值，其中R是R/n的四舍五入值。

最后，在这种粗粒度关系上校准一条样条曲线，并附加坐标（0,0），以便收敛于非常小的R/n值。因此，简单的缩放参数使建立基于单个函数的任意n、ν和Rth的数值估计方法成为可能。2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amf0。11.00.0.5 1.0a1- R0n01230。0.5 1.0ab图6。左图：显示a=E之间比例关系的折叠图∞（θ）和R/n为12465对（R，n），100<n<504；y轴为对数刻度。右图：b是a的函数，a<1的线性系数为b\'2.67a；与左图中的参数相同。4.对真实数据的应用i.i.d.假设在资产价格回报方面是完全不现实的，如果仅仅是因为波动性异方差的话。因此，直接应用上述估计器在长时间序列上几乎没有意义。接下来的方法是考虑更小的时间窗口，并假设平稳性在每个时间窗口中大致保持不变。这里要记住的第二个建议的估计器的当前限制是，它没有明确说明偏斜度。无论如何，本节旨在明确说明两种方法的估计值可能有多大差异。为了确定相应的夏普比率，我们假设价格回报率是有条件的leptokurtic（Bollerslev 1987）：在每个时间窗口中，我们通过最大似然法将回报率与Student的t分布进行比较，并获得估计值^ν，并使用公式（9）。图7显示了用新估计器和普通估计器估计的SPY年化夏普比率之间的差异。当ν大于10时，两个估值器的夏普比几乎相同，如公式8所示。另一方面，当鱼肉较重时，即当ν<10时，两种估计值显著不同。

事实上，公式（4）中关于公式（3）的新术语意味着，一般估计值在绝对值上是非常大的。图8证实了这一点。在轻轨时代，两种动物之间的差异非常大，例如2008年和2009年；此外，在困难时期，新估计器的波动性明显较小，这与其更好的效率相符。作为一个补充说明，基于矩的方法高估了leptokurtic时代的Sharperatio（和t-统计量），这意味着将其用于交易目的会导致更频繁地做出错误的交易决策（对于重尾数据，R-统计量的威力确实比t-统计量的威力大得多（Challet2015））。让我们尝试一下以下简单的交易策略（无交易成本）：在过去100个收盘价回报中，无论何时估计的年化夏普比率绝对值大于1，都会根据夏普比率的符号（有一天的滞后）选择单日多空头寸。我们使用2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amf2000 2005 2010 2015 54 6 8 10νSPY2000 2005 2010 2015-年度化Sharpe RatiosPynewVanilla图7。左图：学生t分布自由度在252个滑动窗口中的参数fit，接近于SPY的关闭返回。右图：用新估计器和普通估计器估计夏普比率。1000个排列已用于估算R.2000 2005 2010 2015-1-0.5 0.0 0.5 1.0年化夏普比率离散化图8。新估计器和普通估计器之间的SPY年化夏普比估计值的差异，移动时间窗口为252天。已使用1000个排列来估计美国股票（1995-01-01至2015-06-30）的R.无偏历史数据集，并专注于液体资产，即。

其价格超过20美元，60天滚动平均日交易量超过250000股。图9显示了该策略应用于该期间所有3449只美国股票时的累积绩效。这两种方法的性能差异在大波动时显著（如2008年）。请注意，该图的y轴是对数的，以避免愚弄读者（McLean 2011）；此外，应注意，图9中绘制的样本外性能是每个时间步的3449个决策的结果，即非常多的决策。因此，新方法和普通方法之间性能差异的根源在于相关统计测试的相对能力（Challet 2015），而不是计算复合收益的错误方法。2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amf1995 1999 2002 2005 2008 2011 20140.97 0.98 0.99 1.00累积绩效新图9。当估计的年化夏普比率绝对值大于1时，包括投资在内的交易策略的累积绩效；负利率情况下允许空头头寸；在100个交易日的滚动窗口内进行估计（接近收盘价格回报）。3449只美国流动股票的无偏见历史数据库。1000个排列已被用于估算R.4.1排名资产。值得讨论的是，所提出的Sharperatio估值器的相关性和实用价值，不仅是其在轻轨时代的精度大大提高，而且是无偏的。该行业不仅对一组资产（股票、对冲基金等）的实际夏普比率值感兴趣，还对它们进行排名。因此，一个重要的问题是评估新方法是否以不同于香草夏普比率估计的方式对资产进行排序。

如果事实并非如此，那么从广义上讲，新方法为银行资产带来了一种有价值的替代方式。两个开场白。首先，两种方法估计的等式相同，但一种方法显然对非高斯变量更有效，这一事实意味着资产等级的相关性不能为1，因为普通估计器的影响更大。第二，如上所述，与估计的RDE相对应的Sharperatio取决于学生分布的尾部指数。由于新方法是无偏的，而普通方法是偏于重尾分布的，并且由于在任何给定时间估计的尾指数将因资产而异，因此不能期望这两种方法在平均等效排名上产生效果，甚至是渐进的。换句话说，Schuhmacher和Eling（2011）的位置形状论点不适用于具有异质尾部指数的资产，如Zakamulin（2010）所述。让我举一个例子：再看一次图5，就可以清楚地看出R的排名，即普通估计方法的排名，可能与根据新方法的排名不同。假设资产1的R0,1=40，资产2的R0,2=50；忽略了以下事实：∞ 和ν<∞ 很有可能，普通方法将更好的排名归因于资产2。现在，假设ν=10；一旦ν<4.4，资产1必须比资产2具有更好的排名（前提是Offerbury 9，2017应用数学金融价格记录˙student˙amf1995 1999 2002 2005 2008 2011 20140.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0排名重叠正尾19 19 9 20 0 2 005 20 08 201 12 014平均值（1ν）-1sd（1ν）-1图10。