从总提款期中获得更清晰的资产排名

左图：暂时免费排名和普通夏普比率估算方法之间共同资产比例的演变；黑线：最高5%的阳性比率，红线：最低5%的比率；校准时间超过100天；3449只流动美国股票的无偏历史数据库。右图：3449只美国股票尾部指数的平均值（红线）和标准差（黑线）随时间变化的有效度量。尾部指数的估计足够精确）。所有这些都表明了ν的关键作用，并为所有风险度量是否渐近等价的争论提供了新的思路。问题是，它们中的许多可能会以等效的方式对非高斯变量产生偏差。例如，Auer和Schuhmacher（2013b）发现，夏普比率最大的对冲基金业绩排名最稳定。但其结果取决于高估重尾回报的夏普比率的测量；因此，由于这些大夏普比率的巨大影响，可能仅仅是方法偏差的结果。让我首先关注5%的最佳和最差估计夏普比率。图10（左图）显示，除2008年夏普比率为正值外，这些百分位数中的普通资产比例与1存在显著差异。正如预期的那样，当尾部指数的不均匀性增加时，这个分数降低（右图）。正如预期的那样，对于具有小ν的资产，即具有重尾的资产，排名差异更大。图11的左图显示了两种方法的所有资产的斯皮尔曼和肯德尔等级相关性的时间演变。

正如Auer和Schuhmacher（2013b）所述，本图右侧显示了一种对数据最大值的排名更为敏感的替代排名相关性度量（Blest 2000；Genest和Plante 2003）；平均值略高于零，2003年和2009年的波动较大，这与斯皮尔曼和肯德尔相关性在这两个日期的下降相呼应，但在其他日期没有。因此，在股票每日价格回报的情况下，使用通常的基于矩的方法或新的无矩方法对股票进行排名可能会产生非常显著的不同结果。由于中心极限定理（见Bouchaud and Potters（2000））的存在，对冲基金的业绩回报率每月都有一个解析，因此更接近高斯变量，这也可以解释为什么之前的研究没有发现大多数业绩指标的排名存在显著差异。2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amf1995 1999 2002 2005 2008 2011 20140.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0斯皮尔曼肯达尔1999 2002 2005 2011 2014-1-0.50.0 0.51.0基因测试-普兰特-B等级相关性图11。Spearman、Kendall（左图）和Genest Plante Blast（右图）将通过记录统计获得的Sharpe比率的等级与通常方法获得的作为时间函数的Sharpe比率等级之间的相关性排序（黑线：正Sharpe比率，红线：负Sharpe比率）。滑动校准窗口为100天。5.讨论建议的Sharpe比率估计器稳健、高效且性能良好，因为它不依赖于矩估计。大额回报不被视为异常值，但有助于平稳记录统计数据。此外，一个真实的异常值（例如，由于数据错误或被忽略的公司行为）可能只会创建一个虚假的额外价格记录，而两个大小相同、标志相反的异常值对R只有轻微的影响。

最后，估计器的稳健性在于，后者仅基于提取的持续时间，而不是其幅度。这将与其他与提取有关的数量进行对比。例如，布朗运动最大下降的期望值是夏普比的阿克诺恩函数（Magdon Ismail等人，2003），但通过定义，它对异常值非常敏感。由于缺乏精确的结果，使用这种估计器需要进行暂时的数值校准，这种校准已被比例参数大大简化。使用价格记录/提取统计数据估计夏普比率并不局限于学生的t分布回报，因为确实可以用有限的方差来校准任何回报分布的关系。此外，本文介绍的方法提供了一种通用的方法，只要价格记录统计和可测量估计之间的关系是单调的，就可以用记录统计建立多种类型的估计量。例如，它可以用来估计L’evy过程的漂移。该估计器的主要局限性在于对i.i.d.和对称增量的假设。目前，这两者都可以用数字来解释。一个有趣的挑战是将序列相关性纳入记录统计的分析计算：在AR（1）和GARCH（1,1）模型的情况下，数值结果指向简单的修正（Wergen 2014）。

实际上，考察收益率自相关性和波动率异方差性的一种方法是使用一种block bootstrap，如Ledoit和Wolf（2008）所述。2017年2月9日，应用数学金融价格记录˙学生˙名为sharpeRratio的amfAn R软件包实现了新的估计器，可在CRAN上获得，网址为https://cran.r-project.org/web/packages/sharpeRratio/index.html; PyPi上提供了Python版本https://pypi.python.org/pypi/pysharperratio/0.1.10.An可以找到复制第3节中任何资产符号和时间段的绘图的交互式网页athttps://brillant.shinyapps.io/moment-free_Sharpe_ratio.附录A.学生t-分布价格回报的消失夏普比率限制中的预期记录数在该限制中，可以使用互惠累积函数P（Sn>0）=+P（n）（0）cn+O（[cn]）的一阶展开式。（A1）因此需要计算P（n）（0）。因为假设增量是独立的，所以P（n）（0）=2πZ∞-∞φ（n）（t）dt=2πZ∞-∞【φ（t）】无损检测，其中φ（n）（t）是P（n）（x）的特征函数，φ（t）是P（1）（r）=P（r）的特征函数。方程（A1）需要计算P（n）（0），这对于任何n和ν都是不可能的。然而，ν=3的情况导致了可行的表达式。一个结果（n）（0）=enσπE-n（n），其中En（z）是指数积分函数。具体形式n=-指数积分函数的z易于通过分段积分以递归方式计算：-K-n（k）=e-kk+k- nkE-（k）-N-1） （k）E（k）=E-kk。因此，经过一些基本计算，E-n（n）=e-nnn！nnPns=0nss！andP（n）（0）=σπnn！nnnXs=0nss！。（A2）使用渐近展开式Kn=Pns=0nss！=en[+q3π√n+O（n）-1） 通常的斯特林展开式，公式（A2）变成P（n）（0）=σ√2πn+σπ√3n+O（n）-3/2），因此，在小漂移的情况下。

（A1）readsP（Sn>0）=+cσπ√+cσrn2π+O（n-1/2).2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amfHigher order expansions of Knand n！按顺序n提供条款-1/2这是不可忽略的。值得注意的是，学生增量的额外修正并不取决于n；因此，它与n的任何值相关，并且对于较小的n具有较大的相对权重；这与学生t-分布的卷积与ν=3收敛为高斯分布的事实一致。SparreAndersen定理产生q-（z）=√1.- z1+∞Xn=1cσzn√2πn！-cσπ√日志（1）- z）√1.- z+O[（c/σ）]。（A3）记录数的生成函数为（Le Doussal and Wiese2009）~m+（z）\'（1）- z） 3/2英寸1+c√2πσ∞Xn=1zn√N-2cσπ√日志（1）- z） #。括号中的第一个术语与高斯偏差随机游动的术语相同（Majumdar、Schehr和Wergen 2012）。第三项是新的，这是由于原点处高斯分布和t分布之间的差异。在这一点之前，近似值是受控的，目前关于这一主题的文献更进一步：通过近似发散部分和（非常）粗略地获得渐近结果。这捕捉到了总和发散的方式，对预因子的精度没有太多控制。无论如何，由于前置因子对我们的目的并不重要，我们遵循了相同的路线，这会产生-(1 - z） 3/2日志（1）- z） “是的√πXn≥1\"√纳坦赫1-N-r1-n#zn，（A4），即使对于大n也不是很好的近似值，但给出了正确的渐近解√n依赖性，由ATANHQ1进行额外的对数校正-N-q1-N

最后，用n逼近n- 1如Wergen、Bogner和Krug（2011）所述，用n值识别生成函数的每一项，其中一项对givesE（R+）（c/σ，n）感兴趣√N√π+c√σπn阿尔克坦(√n）-√N（A5）+cσ√3π3/2√纳坦赫1-N-r1-N鉴于其推导，该公式与极限cn有关 σ和大n，或等价于c/σ√N 1/√n、 也就是说，在极小的夏普比率的限制下。2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amfPower-lawGauss1e+021e+041e+060.001 0.010 0.100cσn0图B1。根据式（B1）将nas限制为c/σ的函数。卷积的Student t分布可以通过连续线下方的高斯分布和该线上方的幂律近似。附录B.大cn/σ限界中的预期价格记录数量cn/σ限界 1，n 1限制也使我们有可能得出一些分析见解。Majumdar、Schehr和Wergen（2012）给出了大型而非toolarge cn/σ的结果。事实上，中心极限定理表明，卷积变量的分布从分布中心收敛到高斯分布。这意味着任何非高斯分布的尾部都是非高斯的。因此，直观地说，当cn/σ足够大时（其含义将在下文讨论），P（xn<cn）来自非高斯尾。这将导致学生t分布的结果显著不同，因为复杂t分布的尾部保持其幂律性质。Bouchaud和Potters（2000）给出了一个直观的参数来计算n次卷积收益率r（n），在这个参数下，分布的学生部分和高斯部分具有同等的重要性，并且发现r（n）\'σ√n对数n表示ν=3。这意味着，幂律开始占主导地位的nat值是这样的cn\'σ√nlog n，即cσ√n\'plog n。

（B1）由于卷积分布具有连续的一阶导数，高斯和幂律区域之间不存在尖锐的过渡，因此非线性近似表示高斯近似开始崩溃的位置。图B1绘制了n（c/σ）并显示了这两个区域。在远低于该线的区域，高斯近似适用于学生卷积。相反，whenn n（c/σ），P（Sn<0）\'Z∞cn2σnπxdx=σc3πn，2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amfhence log（~q-（z） )=σc√π∞Pn=1znn，因此≈m+（z）=（1- z） 经验“-σc3π∞Xn=1znn#’（1- z） “1-σc3π∞Xn=1znn+Ocσ#.最后，你会发现没有重大困难的“m+（z）”Xn≥0（n+1）1.-σc3πK[1+O（n-1)znandm+（n）\'n1.-σc3πK.在数值上，K‘1.202’表示大n；用积分逼近和会产生非常不同的K=1/2。因此，对于largen m+（n）\'nuStudent，记录数线性增加，渐近速率由uStudent\'1给出-σc5π，与uGauss’1相比-σc√2πe-c2σ。图B2绘制了高斯分布和学生t分布（ν=3）增量之间的记录率差异，作为c/σ的函数。虽然在小夏普比率下，学生递增的随机游动记录的数量大于高斯游动记录的数量，但图B2显示，有点令人惊讶的是，高斯递增导致非常大夏普比率的记录率更高。参考安德森，埃里克·斯派尔。1953年，《关于随机变量和的函数》Mathematics Candinavica 1:263–285。奥尔、本杰明·舒马赫和弗兰克·舒马赫。2013a。“使用夏普比率进行绩效假设检验：对冲基金的案例。”《金融研究快报》10（4）：196-208。奥尔、本杰明·舒马赫和弗兰克·舒马赫。2013b。

“关于Sharperatio和基于提取的对冲基金业绩排名相似性的有力证据。”《国际金融市场、机构和货币杂志》24:153–165。贝利、大卫·H和马科斯·洛佩兹·德·普拉多。2014.“消隐夏普比率：纠正选举偏见、回溯测试过度拟合和非正态性。”投资组合管理杂志40（5）：94-107。布莱斯特，大卫·C·2000。“排名相关性是另一种衡量标准。”澳大利亚和新西兰统计杂志42（1）：101-111。博勒斯列夫，蒂姆。1987.“投机价格和回报率的条件异方差时间序列模型。”《经济学与统计评论》542-547。Bouchaud、J.-P.和M.Potters。2000.金融风险理论。剑桥大学出版社，剑桥。查莱特，达米恩。2015.基于记录统计的信噪比单样本和双样本非参数定位测试。工作文件，可在http://arxiv.org/abs/1502.05367.Christie史蒂夫。2005.“夏普比率在资产配置中有用吗？”麦格理应用金融中心研究论文。2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amf0 1 2 3 4 5-0.10-0.05 0.00 0.05摄氏度∑u高斯- u学生近似模拟图B2。大信噪比限值：高斯增量随机游动和学生t分布增量随机游动之间记录率的差异。速率被确定为平均斜率[m（200）-m（100）]/100（平均超过10个样本）。达科罗尼亚、米歇尔·M、拉马赞·根凯、乌尔里希·穆勒、理查德·B·奥尔森和奥利维尔·V·皮克特。2001.高频金融导论。伦敦：学术出版社。艾斯勒、佐尔坦、雅诺斯·克特兹、法布里齐奥·利洛和罗萨里奥·曼特格纳。2009.“限制订单执行中的差异行为和特征时间建模。”定量金融9（5）：547-563。埃林、马丁和弗兰克·舒马赫。2007

“业绩指标的选择是否影响对冲基金的评估？”银行与金融杂志31（9）：2632-2647。伙计Willliam。2008.概率论及其应用概论。第二卷。新泽西州霍博肯：约翰·威利父子公司。基内斯特、克里斯蒂安和让-弗兰,科伊斯·普兰特。2003年，《关于布莱斯特的等级相关性测度》加拿大统计杂志31（1）：35-52。詹森、丹尼斯·W和卡斯珀·G·德·弗里斯。1991年，《关于股票大回报的频率：透视繁荣与萧条》《经济学与统计学评论》18-24页。Jobson，J Dave和Bob M Korkie。1981.“使用夏普和特雷纳度量进行绩效假设检验。”《金融杂志》36（4）：889–908。Jondeau，Eric和Michael Rockinger。2003.“条件波动性、偏度和峰度：存在性、持续性和共动性。”经济动力与控制杂志27（10）：1699-1737。Le Doussal、Pierre和Kay J¨org Wiese。2009.《随机景观中的驱动粒子：无序相关器、雪崩分布和记录的极值统计》物理检查E79（5）：051105。莱多特、奥利弗和迈克尔·沃尔夫。2008年，《Sharperatio的稳健性能假设检验》经验金融杂志15（5）：850–859。安德鲁·W·2002。“夏普比率的统计数据。”《金融分析师杂志》58（4）：36-52。罗，安德鲁·W，克雷格·麦金莱伊，还有张琼。2002年，《极限指令执行的计量经济学模型》金融经济学杂志65（1）：31-71。朗金，弗朗索瓦。2005年，《资产收益率分布的选择：极值理论有何帮助？》银行与金融杂志29（4）：1017-1035。马格登·伊斯梅尔、马利克、阿米尔·阿提亚、阿姆里特·普拉塔普和亚西尔·阿布·莫斯塔法。布朗运动的最大缩进《金融工程计算智能》，2003年。诉讼。

2003年IEEE国际会议，第243–247页。IEEE。Majumdar、Satya N、Gr’egory Schehr和Gregor Wergen。2012.“记录统计和持续性2017年2月9日应用数学金融价格记录˙学生˙amffor随机游走”物理学杂志A：数学与理论45（35）：355002。Majumdar、Satya N和Robert M Zi ff。2008年《随机游动和列维飞行的通用记录统计》物理检查信函101（5）：050601。麦克林，R大卫。2011年，《被复利愚弄》投资组合管理杂志，即将出版。默滕斯，O.2002。“当回报率为IID时，对Lo（2002年，FAJ）估计夏普比率的正确方差的评论。”研究报告http://www.elmarmertens.com/research/discussion/soprano01.pdf，查阅日期：2015-06-04。米勒、罗伯特·E和亚当·K·格尔。1978年，《样本量偏差与夏普绩效测量：一个注释》金融与定量分析杂志13（05）：943-946。Nadarajah，S和DK Dey。2005年，《T分布的卷积》计算机与数学应用49（5）：715–721。内曼、J和ES皮尔森。1933年《关于统计假设的最有效检验问题》伦敦皇家学会哲学学报。约翰·道格拉斯法学博士。2007年《比较夏普比率：那么p值在哪里？》资产管理日志8（5）：308-336。奥涅拉斯、何塞·雷纳托·哈斯、安东尼奥·弗朗西斯科·席尔瓦·尤尼尔和何塞·路易斯·巴罗斯·费尔南德斯。2012年，“是的，业绩指标的选择对美国共同基金的排名至关重要。”国际财经杂志17（1）：61-72。普莱鲁、瓦西里基、帕拉米斯瓦兰·戈皮克里希南、路易斯·努内斯·阿马拉尔、马丁·迈耶和H·尤金·斯坦利。1999年，《单个公司价格波动分布的比例》物理复习E 60（6）：6519。雷德纳，西德尼。2001.第一次通过过程指南。