结构模型中违约债权的套期保值

函数F=F（x）属于类（*），如果有一个C1,1函数F=F（t，x）是下列PIDEAf（t，x）的解=AK（t，x）- xAf（t，x）- βf（t，x）RRyv（dy）β，对于所有0≤ T≤ 对于所有的实数x>0，其中K（T，x）=xf（T，x），β=u+RRy v（dy），并且算符A由af（T，x）给出=Ft（t，x）+uFx（t，x）-Z(-∞,-x] f（t，x+y）v（dy）+ZRf（t，x+y）- f（t，x）v（dy），t≥ 0，x>0。（2.4）还假设函数f和K在区间O=[0，T]上满足假设2.2的可积条件。备注2.2。首先要注意的是，假设（2.2）的可积性条件下，表达式（2.4）在积分是有限的意义上得到了很好的定义。PIDE定义2.2将有助于在X不是鞅的情况下获得策略。这个假设可以被认为是对概率测度变化的一种替代。一般来说，定义2.2中PIDE的经典解的存在性并不总是得到保证。然而，如果β=0（即当X是鞅时），则在某些正则性条件下，费曼-卡克表示可以提供经典解。有关完整的讨论、示例和许多有用的参考资料，请参阅Cont and Tankov（2004）的第12章。简言之，主要问题是，由于weare处于纯跳跃模型中，因此没有差异，因此提议的Feynman-Kacre演示不一定是C1,1。在这种光滑性成立的情况下，Offeynman-Kac表示实际上是一种解决方案。Cont，Tankovand Voltchkova（2004）的例子1和2说明了如何容易违反规则。如果平滑度不成立或β非零时，则必须使用一些近似技术；实际上，可以使用粘度溶液。

将结果扩展到非光滑情况还有待于将来的工作。最后，假设市场是无摩擦的，只由两种资产组成，一种是由满足假设2.1的过程建模的风险资产，另一种是无风险资产。为了简单起见，假设无风险资产的价值在任何时候都等于1，即利率为零。3的正则分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥0在本节中，我们研究过程Z=（Zt）t的正则分解≥其中Zt=f（t，Xt）1{τ>t}和f:[0，∞) ×R→ R是一个C1，1函数。更准确地说，在某些条件下，我们证明了它是一个特殊的半鞅，并且我们为它的有限变化可预测部分找到了一个封闭形式。这一结果在第4节中使用。定理3.1。假设X满足假设2.1。设f:[0，∞)×R→ R是一个C1,1函数，满足O=[0]上假设2.2的可积条件，∞). 然后，过程Z，其中Zt=f（t，Xt）1{τ>t}，是一个特殊的半鞅，过程Zt- Z-ZtAf（s，Xs）1{τ>s}dsT≥0，（3.5）是FX-局部鞅，其中停止时间τ由τ=inf{t；Xt<0}（3.6）定义，算子A由（2.4）给出。证据因为函数f是一个C1,1函数，所以过程（f（t，Xt））t≥0是半鞅，所以使用半鞅的乘积公式，对于t≥ 我们有f（t，Xt）1{τ≤t} =Zt{τ<s}df（s，Xs）+Ztf（s，Xs）-) d1{τ≤s} +f（，X.），1{τ≤.}]t、 （3.7）得到Ez的正则分解=f（t，Xt）1{τ≤t}T≥0，我们证明了由上述方程右侧的三项中的每一项定义的过程是特殊的半鞅，并得到了它们的正则分解。屋顶的其余部分分为四个步骤。第一步。

因为f是一个C1，1函数，通过应用它的^o公式，我们得到了f（t，Xt）=f（0，X）+ZtFs（s，Xs）ds+uZtFx（s，Xs）ds+ZtZRf（s，Xs）-+ y）- f（s，Xs）-)JX（ds×dy），参见Kyprianou（2006）的定理4.2以获得证明。通过补偿公式，参见Kyprianou（2006）的定理4.4，我们得到了[ZtZRHs]f（s，Xs）-+ y）- f（s，Xs）-)JX（ds×dy）]=E[ZtZRHsf（s，Xs）-+ y）- f（s，Xs）-)v（dy）ds]，对于所有有界的非负可预测过程H，理解其中一个期望值定义良好，当且仅当另一个期望值定义良好且相等时。因此，通过假设2.2的可积性条件和Kyprianou（2006）的推论4.5，我们可以证明f（t，Xt）=f（0，X）+Mt+λft，fort≥ 0，其中M是一个FX-局部鞅，∧fis是一个可预测的有限变化过程。由∧ft=RtAf（s，Xs）ds给出的过程∧fis，其中运算符A由af（s，x）定义=Fs（s，x）+uFx（s，x）+ZR（f（s，x+y）- f（s，x））v（dy），s≥ 0，x∈ 这证明了（f（t，Xt））t≥0和Z是特殊的半鞅。因此Zt{τ<s}df（s，Xs）=Zt{τ<s}dMs+Zt{τ<s}Af（s，Xs）ds。由于上面右边的第一项是局部鞅，（3.7）的开头是一个特殊的半鞅，其可预测的有限变化部分由下式给出：Zt{τ<s}Af（s，Xs）dsT≥0.（3.8）第2步。自从{τ≤s}s≥0是一个特殊的半鞅，（3.7）的第二项也是一个特殊的半鞅。为了找到它的正则分解，我们考虑了两种情况。第一个v（R）<∞, 在这种情况下，过程X是一个复合泊松过程加上从u>0开始的位移，并且在每个有界区间上有很多跳跃。此外，由于u>0，可以很容易地检查每x≥ 0，Px（τ=0）=0。

此外，注A.1，停止时间τ现在完全不可访问，因此郭和曾（2008）的定理1.3适用，因此该过程Ztf（s，Xs）-) d1{τ≤s}-ZtZ(-∞,-Xs]f（s，Xs）1{τ>s}v（dy）dsT≥0是一个FX局部鞅。现在假设v（R）=∞, 然后，根据Sato（1999）的定理21.3，在每个有界区间上有无数次跳跃。因此，郭和曾（2008）的结果本次不直接适用。但是，由于u>0，每x≥ 0是一个不规则的点(-∞, 0]，这意味着Px（τ=0）=0，参见Kyprianou（2006）的定理6.5及其后续讨论。所以，使用补偿公式，他们的证明实际上表明Z∞Hsd1{τ≤s}= EZ∞Hs{τ>s}Z(-∞,-Xs]v（dy）ds,理解到左手边定义良好，当且仅当右手边定义良好且它们相等时。同样通过引理A.2，对于每t>0，RtR(-∞,-Xs]{τ>s}v（dy）ds几乎肯定是有限的，因此根据Jacod和Shiryaev（1987）第一章的引理3.10和3.11，这个过程RtR(-∞,-Xs]{τ>s}v（dy）dsT≥0属于Aloc。因此，根据引理A.1，在任何一种情况下，（3.7）中第二项的可预测有限变化部分如下所示：ZtZ(-∞,-Xs]f（s，Xs）1{τ>s}v（dy）dsT≥0.（3.9）第3步。最后，我们在（3.7）中找到了第三项的正则分解。指示程序{τ≤t}T≥0是有限的变量。然后通过命题4.49（a），Jacod和Shiryaev（1987）的ChapterI，我们得到[f（，X.），1{τ≤.}]t=Ztf（s，Xs）d1{τ≤s} 。这是一个特殊的半鞅，可以证明它属于Aloc。因此，通过引理A.1，为了获得过程中可预测的有限变化部分，我们需要计算以下期望值Z∞Hsd[f（，X.），1{τ≤.}]s= EZ∞Hsf（s，Xs）d1{τ≤s},对于任意有界非负可预测过程H。

同样，该期望值的计算与郭和曾（2008）中定理1.3的计算几乎相同，与步骤2的第二种情况类似，其中使用了补偿公式。由此我们得到期望值ER∞Hsd[f（，X.），1{τ≤.}]s脚趾是相等的Z∞Hs{τ>s}Z(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））v（dy- Xs）ds,理解到其中一个期望是明确定义的，当且仅当另一个期望也是明确定义的，并且它们是相等的。由于Hypothesis 2.2的可积性条件，引理A.1的假设有效，因此过程[f（，X.），1{τ≤.}]T-ZtZ(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））1{τ>s}v（dy- Xs）dsT≥0是一个FX局部鞅。因此，第三个终端（3.7）的可预测有限变化部分如下所示：ZtZ(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））1{τ>s}v（dy- Xs）dsT≥0.（3.10）第4步。根据方程式（3.8）、（3.9）和（3.10），我们得出结论，可预测的有限变化是过程的一部分f（t，Xt）1{τ≤t}T≥0等于Zt{τ<s}Af（s，Xs）ds+ZtZ(-∞,-Xs]{τ>s}f（s，Xs）v（dy）ds+ZtZ(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））1{τ>s}v（dy- Xs）dsT≥0.注意，在上述任何被积函数中，指示符过程的严格不等式可以更改为包含等式，因为勒贝格测度ds不带电荷{s；s=τ}。从上面的方程中，由于f（t，Xt）=f（t，Xt）1{τ≤t} +f（t，Xt）1{τ>t}，经过一些处理后，得出过程（3.5）是一个FX-局部鞅的结论。因此，可预测的有限变化是过程的一部分f（t，Xt）1{τ>t}T≥0等于ZtAf（s，Xs）1{τ>s}dsT≥0，其中Af（s，x）由（2.4）给出。备注3.1。1.关于定理3.1，有几点值得一提。在定理的证明中，假设0<RRxv（dx）<∞ 假设2。1没有使用。（2.4）给出的算符A与Dynkin的orIt^o算符不同。

定理3.1对于满足假设2.2关于O=[0，T]，T>0的可积条件的C1,1（[0，T]×R）函数f仍然成立。最后，使用Jacod和Shiryaev（1987）第一章的3.10和3.11，定理的正则分解表明过程（Zt- Z） t≥0属于Aloc。2.注意，如果f的导数有界，则定义的可积条件为2。2满足。特别是，这表明τ允许一个相对于勒贝格测度绝对连续的补偿器；换句话说，下面的过程是一个FX局部鞅{τ≤t}-Zt{τ>s}v((-∞, -Xs]）dsT≥对于常数函数f和复合泊松过程加漂移，定理3。1是郭和曾（2008）中定理1.3的结果。4违约索赔的套期保值策略在本节中，我们的目标是获得（2.1）中支付的信用敏感证券的局部风险最小化套期保值策略。如果基础过程X是（局部）鞅，则局部风险最小化减少了托里斯克最小化，并且套期保值策略的存在由GKWdecomposition保证。当过程X是半鞅时，风险最小化不再有效。它必须改进为局部风险最小化，并通过FS分解来解决套期保值策略。FS分解首先由F¨ollmer和Schweizer（1991）提出。Schweizer（1994）证明了平方可积索赔的FS分解的存在性，假设过程X满足SC条件，且均值-方差交换（MVT）过程一致有界于ω（ω属于Ohm), t和has跳跃从上面严格限定为1。Monantand Stricker（1994）通过假设MVT过程在ω和t中一致有界，证明了FS分解的存在性。

在这种情况下，进一步的Monand Stricker（1995）也证明了唯一性。Choulli、Krawczyk和Stricker（1998）通过引入一个新的概念来定义函数分解的存在性和唯一性，从而找到了必要和充分的条件。他们证明了在半鞅X=X+M+RζdhM i下，平方可积索赔存在FS分解，如果首先，过程E(-RζdM）满足一个可积条件，第二个条件是“正则”（我们参考原始文件中的定义）。这里是过程E(-RζdM）是多尔-达德指数过程，见Protter（2004）第二章第8节。Choulli、Vandaele和Vanmaele（2010）讨论了假设E(-RζdM）是严格正的。然后在一个一般的框架中，在一个较弱的假设下，不需要E的严格正性(-RζdM），他们根据论文中的一个表示定理，即定理2.1，找到了FS分解的封闭形式。他们的总体框架可以覆盖我们的特定模型。然而，与他们论文中的定理2.1不同，我们工作中的定理3.1给出了套期保值策略的更明确的解决方案。此外，尽管目前的方法通常从apayo ff开始，然后构建一个价值过程，但我们不知何故改变了这一点，并对FS分解的组成部分进行了自包含的计算。假设进程X和Z属于Mlocon[0，T]。然后通过GKW分解，有一个可预测的过程ξ和一个（局部）鞅L，正交toX，使得Z=Z+ZξdX+L，过程ξ由ξ=dhZ，XidhX，Xi给出。（4.11）同样值得一提的是，这种分解在较温和的条件下仍然有效。例如，有[Z，X]，[X]就足够了∈ Aloc，Z是局部鞅，ξ是局部有界可预测过程。

在Mlocspace中，所有这些条件都是满足的。局部风险最小化策略与FS分解相关。因此，我们的目标是找到Payoff（2.1）的FS分解。为了实现这一目标，下一步的第一步给出了一个与FS分解接近的分解，事实上是更一般的。第5节也用到了这个定理。在说明定理之前，我们先解释基本过程X的条件。假设假设假设2.1，则nRR | X | v（dx）<∞, 因此，过程X具有正则分解X=X+M+∧，其中M是一个鞅，∧是一个连续的有限变分过程（实际上是一个确定性函数），由∧t=ut+ZtZRy v（dy）ds，t给出≥ 0.我们提醒读者：f（t，Xt）1{τ>t}0≤T≤由Z=（Zt）0表示≤T≤也让过程θ=（θT）0≤T≤由θt=Kf（t，Xt）给出-)RRyv（dy）{τ≥t} 式中Kf（t，x）=AK（t，x）- xAf（t，x）- βf（t，x）, 函数K=K（t，x）和f=f（t，x）在定义2.2和β=u+RRy v（dy）中定义。注意，过程θ是可预测的，并且隐式地依赖于函数F=F（x）。同样，如果β是非零的，那么θ可以等价地表示为θt=Af（t，Xt）-)β{τ≥t} 。定理4.1。假设假设假设2.1成立，函数F属于类（*）。我们进一步假设过程[Z，X]属于Aloc。那么对于所有0≤ T≤ T，下面的分解支持一个瞬逝集Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs+Lt，（4.13），特别是对于T=T，一个得到的是szt=f（Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs+Lt，几乎可以肯定，（4.14）其中函数f=f（T，x）在定义2.2中被引入，过程L=（Lt）0≤T≤T、 L=0，是一个局部鞅，与X的鞅部分正交，即M证明。

由于F=F（x）属于类（*），根据定理3.1，有以下几点FXt0≤T≤T-局部鞅M（1）和M（2）在[0，T]上，M（1）T=Zt- Z-ZtAf（s，Xs）1{τ>s}ds，M（2）t=K（t，Xt）1{τ>t}- K（0，X）-ZtAK（s，Xs）1{τ>s}ds。首先，我们找到了M（1）与M的GKW分解。我们证明了M（1）t=ZtθsdMs+Lt，0≤ T≤ T、 （4.15）对于局部鞅L=（Lt）T≥0与M正交。根据Jacod和Shiryaev（1987）第一章命题4.49，[Z，X]=[M（1），M]。因此[M（1），M]属于Alocand，其补偿器由hM（1），Mi给出，见Protter（2004）第三章第5节。由于类似的原因，或者正如我们将很快看到的那样，“这意味着，对于一个瞬逝集，我们有Z.=Z+RθdX+L。过程hMi也存在。由于这些原因，GKW分解存在，公式（4.11）适用。所以我们需要得到hM（1），Mi和hMi。计算hMi很简单。由于X在[0，T]上是平方可积的，所以Jacod和Shiryaev（1987）第一章命题4.50表明[X]∈ 阿洛克。此外，我们有[M]=[X]，因此，作为[M]的补偿，M的条件二次变化存在并等于hXi。因此，过程hM i等于hmit=ZtZRyv（dy）ds。（4.16）由于【M（1），M】=【Z，X】，两个过程的补偿器是相同的，若设为hM（1），Mi，则足以获得hZ，Xi。半鞅[0，T]givesZtXt=ZX+ZtZs的分部积分-dXs+ZtXs-设F（1）t=RtAf（s，Xs）1{τ>s}ds和F（2）t=RtAK（s，Xs）1{τ>s}ds，那么Z=Z+M（1）+F（1），XZ=XZ+M（2）+F（2），我们还有X=X+M+2。因此，在[0，T]上通过部分公式进行的上述积分变成了[Z，X]T- （F（2）t-中兴通讯-dF（1）s-ZTZ-d∧s）=M（2）t-中兴通讯-dM（1）s-ZTZ-dMs。上面等式右边的积分是局部鞅，过程F（2）t-中兴通讯-dF（1）s-ZTZ-d∧s0≤T≤这是一个可预测的有限变化过程，[Z，X]=[M（1），M]。

因此，条件二次协变量的唯一性（见Protter（2004）第三章第5节）给出，hM（1），Mit=F（2）t-中兴通讯-dF（1）s-ZTZ-d∧s，0≤ T≤ 因此，经过一些操作hM（1），Mitis被认为等于ZtKf（s，Xs）-){τ≥s} ds。（4.17）那么（4.15）中的GKW分解是表达式（4.11）、（4.16）和（4.17）的结果。通过引理A.2的方程（1.1），m（[0，t]∩ {s；Xs=0}）=0，几乎可以肯定，其中m是勒贝格度量。这意味着我们几乎肯定有M（1）t=Zt-Z-RtAf（s，Xs）1{τ>s}{Xs>0}ds。另一方面，f=f（t，x）满足定义2.2的PIDEof，因此M（1）t=Zt-Z-Rtθsd∧将GKW分解（4.15）变成-Ztθsd∧s=f（0，X）+ZtθsdMs+Lt.（4.18）因为函数f和K满足假设2.2的可积条件，所以几乎可以肯定，对于所有0≤ T≤ T因此，对于所有0≤ T≤ 因此，术语rtθsd∧定义得很好，几乎肯定是确定的。因此，我们可以把等式左边的积分移到等式的另一边。这给出了（4.13）中的分解。最后，（4.14）中的分解是通过在方程（4.13）中设t=t，并注意到通过定义2.2，ZT=f（t，XT）1{τ>t}=f（t，XT）1{τ>t}{XT>0}=f（XT）1{τ>t}{XT>0}，几乎可以肯定。备注4.1。在定理4.1的证明中，最终使用定义2.2的PIDE来获得方程（4.18）。另一方面，无论f和K是否满足这个PIDE，GKW分解（4.15）仍然有效。事实上，Hypothesis 2.2的可积性条件就是所需要的。备注4.2。注意，定理4.1的计算，特别是方程（4.17）以及Choulli、Krawczyk和Stricker（1998）的推论3.16表明，Z是E-局部鞅，Z+hZ，eNi是局部鞅，其中en=-βRRyv（dy）M。