结构模型中违约债权的套期保值

然后，与Choulli、Vandaele和Vanmaele（2010）的4.2提案相比，这表明Z应该是对冲组合的价值。提案4.1证实了这一点。在特殊情况下，当过程X是局部鞅时，我们有以下推论。推论4.1。假设假设2.1成立。让函数F=F（x）属于类（*），进程[Z，x]属于Aloc。现在进一步假设X是由X生成的自然完全过滤中的局部鞅，即FX。然后我们有zt=F（XT）1{τ>T}=Z+ZTAK（s，Xs）-)RRyv（dy）{τ≥s} dXs+LT，几乎可以肯定，（4.19）在（2.4）中引入了运算符A，在定义2.2中定义了函数f=f（t，x）和K=K（t，x），过程L=（LT）0≤T≤T、 L=0是与X正交的局部鞅证明。由于X是局部鞅，那么β=u+RRy v（dy）等于零，因此通过定义2.2，Af也等于零。现在，推论很容易从定理4.1得到。我们的目标是在（2.1）中找到收益的FS分解，但找到这种分解只会导致伪局部风险最小化，而不一定会导致局部风险最小化。为了在这两个概念之间架起一座桥梁，首先我们需要研究底层过程的SC条件，以及FSD分解的存在，更多细节请参见Schweizer（2001）。由于过程X满足假设2.1，它是平方可积的，人们可以很容易地证明SC条件适用于X。因此，根据Schweizer（2001）的定理3.3，局部风险最小化策略与伪局部风险最小化策略相同。另一方面，通过命题3。Schweizer（2001）的第4章，后者的存在是等价的，是Payoff的FS分解存在的结果。

由于我们模型中的MVT过程在t和ω中是统一的，因此存在FS分解。因此我们得出结论，在我们的框架中，F¨ollmer-Schweizer分解和局部风险最小化策略的存在是有保证的。综上所述，为了获得一个局部风险最小化策略，我们只需要找到分解。一些可积条件将（4.14）中的分解转化为FS分解。下一个命题阐明了这一点。首先，我们提供了以下命题中使用的Θ、L-策略和L（X）的定义，更多解释请参见Schweizer（2001）。定义4.1。假设X是局部鞅。那么L（X）是所有可预测过程θ的空间，使得E[RTθsd[X]s]<∞.定义4.2。假设X是一个平方可积的特殊半鞅，其正则分解为X=X+M+a。那么Θ是所有可预测过程的空间θ，使得EhRTθsd[M]s+（RT|θsdAs |）i<∞.定义4.3。L策略是一对φ=（θ，η），其中θ∈ Θ和η是一个实值适应过程，因此值过程V（φ）=θX+η是右连续且平方可积的。也就是Vt（φ）∈ L(Ohm, Ft，P）每t∈ [0，T]。提议4.1。假设假设2.1成立，函数F=F（x）属于类（*）。我们进一步假设，对于所有0≤ T≤ T，f（T，Xt）属于toL(Ohm, Ft，P），由（4.12）给出的过程θ在Θ中。然后存在一个局部风险最小化的L-策略φ=（θ，η），如下所示。要投资于therisky资产的股份数量由θ给出。套期保值误差L属于M。

它与M正交，且给定为byLt=Zt- Z-ZtθsdXs，0≤ T≤ T.投资组合的价值过程（Vt（θ））T≥与策略φ相关的0等于vt（θ）=Z+ZtθsdXs+Lt，0≤ T≤ T、 投资于无风险资产的股份数为ηT=Vt（θ）- θtXt，0≤ T≤ T、 最后，成本过程由ct=Z+Lt，0给出≤ T≤ T.证明。工艺X满足SC条件。因此，LST策略的存在等价于FS分解的存在。请注意≤ T≤ T，f（T，Xt）属于L(Ohm, 因此，根据雅科德和希里亚耶夫（1987）的第四章第4.50条命题，这个过程[Z，X]是在高空中进行的。从4.1中的等式（4.13）中，我们得到了zt-Ztθsd∧s=Z+ZtθsdMs+Lt，0≤ T≤ T、 其中，L是与M正交的局部鞅。因为θ在Θ中，f（t，Xt）是平方可积的，所以上面方程的左边和右边都是平方可积的。由于θ属于Θ，它也在L（M）中，因此通过Schweizer（2001）的引理2.1，processRθdM在M中。因此过程L在[0，T]上是平方可积的，属于M。现在的结果来自Schweizer（2001）的命题3.4。备注4.3。当X是局部鞅时，可以得到与命题4.1类似的结果，但策略θ的形式更简单。请注意，尽管我们没有使用MELMM方法，但我们已经通过涉及PIDE来付出代价。在MELMM方法中，当基本过程是鞅时，发现享乐策略的问题更简单。在这里，同样的情况也会发生，如果基本过程是鞅，那么套期保值策略的PIDE求解形式更简单。下一个定理研究定理4.1中的过程L消失的必要和充分条件。定理4.2。假设假设假设2.1成立，函数F=F（x）属于类（*）。

假设函数f在O=[0，T]上满足假设2.2的可积条件，定义为f（T，x）=（f（T，x）），其中函数f在定义2.2中定义。现在进一步假设分解（4.13）和（4.14）中的过程[Z，X]和过程[L]属于Aloc。将算子L定义为lf（t，x）=Af（t，x）- 2βf（t，x）-Kf（t，x）RRyv（dy），（4.20），其中Kf（t，x）=AK（t，x）- xAf（t，x）- βf（t，x）定义2.2定义了函数K=K（t，x）。那么鞅L在[0，T]上为空，当且仅当Lf（T，x）=0表示所有0≤ T≤ T和所有x>0。在本例中，对于所有0≤ T≤ T，我们有以下结果，直到一个消失集，Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs，（4.21），特别是对于T=T，几乎可以肯定地得到Zt=f（Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs。（4.22）证据。因为[L]在Aloc中，根据推论2.1，L=0相当于hL，Li=0。另一方面，根据定理4.1，下面的等式是szt=Z+ZtθsdXs+Lt。通过这个分解，我们得到了hl，Li=hZi- 2hZ，ZθdXi+hZθdXi。（4.23）在下面的内容中，我们证明了这个方程是有效的，因为右手边的所有项都存在，我们显式地计算它们。首先，让我们获得hZi。我们已经知道Z=Z+M（1）+F（1），并且观察到Zt=F（t，Xt）1{τ>t}。根据定理3.1，Z=Z+M（3）+F（3），其中M（3）是FX-局部鞅，F（3）t=RtAf（s，Xs）1{τ>s}ds。利用分部积分公式，我们得到Z=Z+2ZZ-dM+2ZZ-d∧+[Z]，Z+M（3）+F（3）=Z+2ZZ-dM+2ZZ-d∧+Z]或[Z]- （F（3）- 2ZZ-d∧=M（3）- 2ZZ-马克。上面方程的右边是一个局部鞅。这表明[Z]∈阿洛克。

（F（3）的可预测性-2RZ-d∧）和条件二次变分的唯一性- 2ZtZsd∧s.表示（4.23）的第二项，因为[Z，X]=[M（1），M]和[Z，X]∈ Aloc，计算第二项，从Hz开始，ZθdXit=ZtθsdhM（1），Mis=ZtKf（s，Xs）RRyv（dy）{τ>s}ds，其中hM（1），Mi已经在定理4.1的证明中计算出来，参见等式（4.12）和（4.17）。过程[X]属于Alocand，第三项可以类似地计算HZθdXit=ZtθdhMi，或HZθdXit=ZtKf（s，Xs）RRyv（dy）{τ>s}ds。从（4.23）和前面的计算中，我们得到如下hl，Lit=ZtLf（s，Xs）1{τ>s}{Xs>0}ds，几乎可以肯定，其中lf（t，x）=Af（t，x）- 2βf（t，x）-（Kf（s，x））RRyv（dy）。由于函数f是C1，1，hL，Li在[0，T]上几乎肯定为零，当且仅当[0，T]×R+上的ifLf（T，x）=0。另一方面，根据推论2.1，前者等于L=0。因此，在分解（4.13）和（4.14）中，正交部分消失，且仅当[0，t]×R+上的Lf（t，x）=0时，这就给出了方程（4.21）和（4.22）。通过结合定理4.2和命题4.1，我们得到了以下结果，为无风险产品的存在提供了一个必要的充分条件。在跳跃扩散过程的背景下，Kunita（2010）回答了与路径无关的支付方案4.2的类似问题。假设假设假设2.1成立，函数F=F（x）满足假设2.2。假设定义为f（T，x）=（f（T，x））的函数满足假设2.2的可积条件，其中函数f在假设中定义。现在进一步假设≤ T≤ T，f（T，Xt）属于L(Ohm, Ft，P），由（4.12）给出的过程θ在Θ中。将运算符L定义为（4.20）。

命题4.1中定义的过程φ=（θ，η）是一种局部风险最小化的L-策略，使得导数F（XT）1{τ>T}完全可对冲当且仅当Lf（T，x）=0时，对于所有0≤ T≤ T，所有x>0。这意味着我们有以下分解f（XT）1{τ>T}=f（0，X）+ZTθsdXs。备注4.4。如果过程X是鞅，那么算子L简化为toLf（t，X）=Af（t，X）-（AK（t，x））RRyv（dy）。备注4.5。根据定理4.2和命题4.2，鞅的零性取决于两个函数F=F（x）和F=F（t，x）的存在性，这样它们同时满足定义2.2和Lf（t，x）=0，x>0，即一个微分方程组。对于作者来说，这种解决方案的存在是一个公开的问题。下一个例子展示了命题4.1的一个应用，之所以选择它，是因为在这种情况下，Rolski等人（1999年）的定理5.6.3给出了定义2.2的一个封闭形式解。因此，可以将模拟解与精确解进行比较。一般来说，必须使用模拟技术。例4.1。假设Xt=u+ut+PNtj=1Yi，其中N是强度为λ的齐次泊松过程，Yi是具有跳跃分布fy的i.i.d.随机变量。让u>0，-Y~ 指数（δ），假设过程X是由X生成的自然过滤中的鞅，这意味着λ=δ。我们提醒读者，本文中利率为零。考虑一种可违约的零耦合债券，如果没有违约，它会支付一个单位的货币，即F（x）=1代表所有x。

我们可以检查F是否属于（*）类，根据命题4.1，为了实施混合策略，投资于风险资产的股份数量由θs=δZ给出-Xs-yf（s，Xs）-+ y） FY（dy）+δf（s，Xs）-)!{τ≥s} ，（4.24），其中f=f（t，x）满足以下PIDEAf（t，x）=0，对于所有0≤ T≤ 当所有x>0时，f（T，x）=1。Feynman-Kac公式或更新参数可用于证明该解具有以下表达式F（t，x）=1- P（τ）≤ T- t | X=X）。无论跳跃分布的类型如何，这种表示都适用。对于本例中的指数跳跃，可以使用封闭形式的解决方案。该解由Rolski等人（1999）的定理5.6.3或定理5.6.4提供。它是一个复杂的函数，图1给出了它在[0,2]×[0,0.4]上的图，其中u=0.1，δ=100，λ=10，T=2。图1：具有指数跳跃的精确函数f。函数f=f（t，x）也可以通过模拟进行数值估计。在上述参数相同的情况下，图2给出了[0,2]×[0,0.4]上f=f（t，x）的估计图。投资于风险资产的股份数量θ是该函数的封闭形式，由等式（4.24）给出。因此，函数f=f（t，x）充当解决问题的接口。然而，这个函数也有一个很好的解释。从命题4.1中，我们可以很容易地验证投资组合的价值过程是通过函数f=f（t，x）提供的。更精确地说，我们有Vt（θ）=f（t，Xt）1{τ>t}。接下来，我们获得了与过程X的模拟样本路径相对应的局部风险最小化策略。在实践中，动态投资组合会在某些特定时间更新。10.20.30.51.01.52.00.20.40.60.81.0xT图2：指数跳跃的估计函数f。交易日期。事实上，命题4.1和公式（4.24）不能直接应用。

实现这一理论需要一个分离程序。这里我们使用一个简单的程序。我们把区间[0，T]=[0，2]分成1000个相等的子区间。假设交易日期由{t，t，…，t}，fortj=jT给出，其中j=0，1。。。，1000.然后通过θt=θt=0+nXk=0θk（tk，tk+1）（t）给出投资于风险资产的股份数量，其中每个θk是一个有界的FXti可测量随机变量，在交易tk之后立即确定。这是因为现实的战略必须是连续的或可预测的。积分θdX也必须离散化。这对于获得过程L的观察值至关重要。图3显示了过程X的模拟样本路径，X=0.01，以及每个交易期间投资于风险资产的股份数量θ。如图1或图2所示，该过程穿过屏障的概率相对较高，P（τ≤ 2) ≈ 0.754995. 对于图3所示的过程X的样本路径，默认值发生在τ处≈ 0.30869. 此时，θ的数值降为0，并保持为0。0 0.5 1.0 1.5 2.0-0.04-0.02 0.00 0.02tXDefault Levelτ0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50 5 10 15 20tθX的样本路径共享数量θ图3：在合同到期之前，过程θ和X的样本路径。对于无风险资产的股份数η、投资组合的价值V（θ）、误差项和成本过程C.5违约时间的结构和分布，我们将讨论违约时间的结构和分布。假设X满足假设2.1。第4节的一些结果有助于理解默认时间的结构。关于定理4.1，我们可以让F=F（x）是常数函数F=1。

因此，在几乎没有任何影响的情况下，我们有以下分解。提议5.1。假设假设2.1成立。那么对于所有0≤ T≤ T，我们有以下分解到一个瞬逝集合Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs+Lt，（5.1），特别是对于T=T，我们得到{τ>T}=f（0，X）+ZtθsdXs+Lt，几乎可以肯定，（5.2）在定义2.2中引入函数f=f（T，X），过程θ=（T）0≤T≤由等式（4.12）给出，过程L=（Lt）0≤T≤T、 L=0，是与X的鞅部分正交的局部鞅，即M。注意，由于进程X是平方可积的，进程[1{τ>t}，Xt]0≤T≤B到Aloc。虽然这种分解揭示了默认时间的结构，但它并没有告诉我们多少默认时间的分布。这是指标流程与流程X的分解。关于defaulttime的分布，下面是一个更有用的分解。提议5.2。假设假设2.1成立。设C1，1函数f=f（t，x）为下列PIDE的解，对于所有0，Af（t，x）=0≤ T≤ T和所有x>0，f（T，x）=f（x），对于所有x>0，其中函数f=f（x）是实值函数，函数f满足假设2.2的可集成条件。假设过程M是X的正则分解的鞅部分，即X=X+M+A。我们进一步假设过程[Z，X]属于Aloc。那么对于所有0≤ T≤ T，下面的分解支持一个瞬逝集Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdMs+Lt，特别是对于T=T，可以得到Zt=f（Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdMs+Lt，几乎可以肯定，（5.3）其中θ由θT给出=AK（t，Xt）-) - βf（t，Xt）-)RRyv（dy）{τ≥t} ，进程L=（Lt）0≤T≤T、 L=0，是与过程M正交的局部鞅。证据

结果基本上来自注释4.1，等式（4.15），然后使用Af（t，x）=0简化等式（4.12）。作为特例，设F=1，然后通过取（5.3）两边的期望，我们得到P（τ>T）=F（0，X），并且F=F（T，X）是命题5中PIDE的解。2.使用PIDE查找默认时间的分布是已知的；例如，见定理11.3.3及其在Rolski et al.（1999）中的证明，其中该PIDE是针对复合泊松过程加漂移得到的。例5.1。设X为与例4.1相同的过程，并用F（X）=1定义函数F=F（X）-λμδe（λu）-δ） 将命题5.2应用于f（t，x）=f（x），然后Af（t，x）=0，和f（Xt）1{τ>t}=f（u）+ZtθsdMs+Lt，θs=δZ-Xs-yf（s，Xs）-+ y） FY（dy）+δf（s，Xs）-)!{τ≥s} 。注意，上面的函数F=F（x）是一个特殊的函数，它使算子为零，因此过程（F（Xt）1{τ>t}）t≥0是一个鞅。这个鞅也可以从定理3.1中得到。因此，我们有以下标识yp（τ>t）-λμδE[E（λu-δ） Xt{τ>t}]=F（u）。结论在本文中，首先对过程进行规范分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥在某些条件下进行了研究。然后，基于这一结果，采用局部风险最小化方法，在有限变化L’evy过程下，获得某些结构性违约索赔的套期保值策略。分析是同时进行的，当底层进程发生跳跃时，安全性与默认事件相关联，概率度量是物理度量。该方法不使用MELMM方法或任何类型的Girsanov定理来获得策略。然而，最终的答案是基于PIDE的解决方案。此外，还得到了有限期破产时间的一些理论结果。感谢作者感谢副主编和匿名推荐人的建设性意见。