结构模型中违约债权的套期保值

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英文标题：
《Hedging of defaultable claims in a structural model using a locally
  risk-minimizing approach》
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作者：
Ramin Okhrati, Alejandro Balb\\\'as and Jos\\\'e Garrido
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In the context of a locally risk-minimizing approach, the problem of hedging defaultable claims and their Follmer-Schweizer decompositions are discussed in a structural model. This is done when the underlying process is a finite variation Levy process and the claims pay a predetermined payout at maturity, contingent on no prior default. More precisely, in this particular framework, the locally risk-minimizing approach is carried out when the underlying process has jumps, the derivative is linked to a default event, and the probability measure is not necessarily risk-neutral.
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中文摘要：
在局部风险最小化方法的背景下，在结构模型中讨论了对冲可违约索赔及其Foller-Schweizer分解的问题。当基础过程是有限变化征税过程，且债权在到期时支付预定的支付，前提是之前没有违约时，就可以这样做。更准确地说，在这个特定的框架中，当基础过程发生跳跃，衍生工具与违约事件相关联，并且概率度量不一定是风险中性时，就会执行局部风险最小化方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Hedging_of_defaultable_claims_in_a_structural_model_using_a_locally_risk-minimiz.pdf (648.4 KB)

2022-5-8 05:14:27 上传

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关键词：结构模型 套期保值 Mathematical Quantitative mathematica

用局部风险最小化方法对结构模型中的可违约索赔进行套期保值*, Alejandro Balb\'as+和Jos\'e GarridoAbstracts在局部风险最小化方法的背景下，在结构模型中讨论了可违约索赔及其F¨ollmer-Schweizer分解的问题。当基础流程是一个有限变量的evy流程，且索赔在到期时支付预先确定的付款，或有事项，且无事先违约时，就可以这样做。更准确地说，在这个特定的框架中，当基础过程发生跳跃，导数与默认事件相关联，并且概率度量不一定是风险中性时，就会执行局部风险最小化方法。关键词可违约索赔，套期保值策略，局部风险最小化，F¨ollmer Schweizer分解，Galtchouk Kunita Watanabe分解*南安普敦大学，南安普敦，英国，电子邮件：r。okhrati@soton.ac.uk.作者衷心感谢奥地利维也纳理工大学WWTF MA09-005赠款的部分财政支持。+西班牙马德里卡洛斯三世大学，电子邮件：balbas@emp.uc3m.es.作者感谢“马德里奥诺玛公司”（西班牙）和“西班牙经济部”（西班牙）对S2009/ESP-1594和ECO2009-14457-C04和ECO2012-39031-C02-01的部分财政支持加拿大蒙特利尔康科迪亚大学，电子邮件：jose。garrido@concordia.ca.作者衷心感谢NSERC grant 36860-2012的财务支持。1引言在其简单的形式中，可违约索赔在合同到期时支付一定的预先确定的金额，如果之前没有违约，否则支付零。在这项工作中，当基础风险集合由有限变化L’evy过程建模时，对这些衍生工具进行套期保值分析。

当资产价格受跳跃影响时，研究可违约债权的套期保值具有数学和实践意义。扩展到更复杂的衍生产品和基础过程将是未来工作的重点。首先，我们回顾了相关文献和前人的相关工作。我们从信用风险的定义开始。信用风险是指因交易对手发行人履行其义务的信用质量发生意外变化而导致衍生工具可能发生财务损失的风险。为路径独立索赔引入creditrisk的第一篇论文可以追溯到默顿（1974）的工作。在分析信用衍生工具时，通常有两个突出的问题，即衍生工具的定价和套期保值。后者是一个更具挑战性的问题，尤其是在市场不完整的情况下。在大多数金融模型中，即使使用简单的过程，对于信用衍生品来说，完整的对冲仍然可能不可行。在不完全市场中，有不同的方法来管理风险。方形边缘法是一种成熟且适用的风险管理方法。Schweizer（2001）或Pham（1999）对不完全市场中的二次套期保值方法进行了很好的调查。在Schweizer（2001）中，针对企业价值过程为半鞅的情况，讨论了两种二次套期保值方法。这些是局部风险最小化和均值-方差对冲。如果为了对冲或有权益，我们更喜欢一个自我融资的投资组合，我们称之为均值-方差对冲。如果我们选择的投资组合与或有权益具有相同的最终价值（但不一定是自我融资），我们就处于（本地）风险最小化方法的背景下。Schweizer、Heath和Platen（2001）对这两种方法进行了全面的研究和比较。

本文采用局部风险最小化方法来管理与可违约索赔相关的风险。局部风险最小化套期保值是在风险最小化概念的发展过程中出现的。福尔默和桑德曼（1986）是最先解决这个问题的人之一。当基本过程是鞅时，他们解决了识别风险最小化策略的问题。donein Schweizer（2001）对局部鞅情形进行了推广。风险最小化问题的解决方案与所谓的Galtchouk Kunita Watanabe（GKW）分解有关，假设基础过程是局部鞅。对于非鞅过程，Schweizer（1988）提供了一个不允许风险最小化策略的可实现索赔的例子。通过对基本流程和享乐策略施加更多限制条件，可以实现扩展。从字面上说，人们必须更加关注问题的局部性质。至于底层过程的作用，它必须满足结构条件*（SC），参见Schweizer（1991）或Schweizer（2001）。在特定条件下，如SC，局部风险最小化策略相当于更易于处理的策略，称为伪局部风险最小化策略。F¨ollmer and Schweizer（1991）给出了伪局部风险最小化策略存在的必要且有效的条件。事实证明，找到这些策略相当于存在广义的GKW分解，即F¨ollmer-Schweizer（FS）分解。Monat和Stricker（1995）提供了FS分解存在的充分条件。虽然在某些条件下证明了局部风险最小化策略的存在性，但它完全依赖于FS分解。

在某些特殊情况下，有一些建设性的方法可以明确地找到这种分解。连续过程的情况更加灵活，众所周知的最小等价局部鞅测度（MELMM）方法是适用的。Biagini和Cretarola（2009）在本地风险最小化方法下研究一般可融资市场。然而，基本过程的连续性是他们工作中的一个关键假设。最近，Choulli、Vandaele和Vanmaele（2010）发现了一种基于表示定理的显式形式的OFFS分解。他们的目的是提供一个获得FS分解的通用框架。虽然这项工作可以融入到他们的研究中，但我们的方法带来了一种更明确的FS分解形式。根据局部风险最小化理论，我们使用了一种略微不同的方法，特别关注可违约债权的套期保值，假设基础过程是有界变差的L’evy过程，具有正漂移。我们的论文研究的是一个结构模型，即违约事件被定义，我们使用由基础过程产生的过滤所代表的整个市场信息。然而，虽然默认事件是结构性的（因此在经济上是直观的），但我们使用类似于简化形式模型的分析，尤其是基于强度的模型。这些模型由Artzner和Delbaen（1995）或Jarrow和Turnbull（1995）的作品开创，它们不使用或确定企业的默认模型。他们使用的是强度过程或危险过程。应用了鞅技术和简化模型中的强度思想*假设X是一个正则分解为X=X+M+a的平方可积特殊半鞅。

如果存在一个可预测的过程λ，使得At=Rtλ或全部0，那么X满足结构条件≤ T≤ 由kT=RtλsdhMis定义的均值-方差权衡过程，几乎可以肯定，对于所有0≤ T≤ T分析可违约索赔的结构。在第2节中，在某些条件下，补偿公式用于确定defaultableprocess Z的正则分解=f（t，Xt）1{τ>t}T≥0，其中τ是命中时间（定义默认时间），f=f（t，x）是实值函数。这使我们能够对这些类型的过程使用补偿技术。该分解的可预测有限变化部分相对于勒贝格测度是绝对连续的。因此，当f是一个常数函数时，这精确地确定了τ的强度。这种强度已经由郭和曾（2008）的定理1.3得到，该定理适用于狩猎过程，该过程在每个有界区间上有无数次跳跃。然而，有限变化的L’evy过程可能在有限区间上有很多跳跃，因此对他们的想法进行一些修改是必要的。请注意，在我们的分析中，基本过程允许跳跃，支付与结构性违约事件有关，概率度量不一定是鞅度量。此外，我们没有使用任何类型的Girsanov定理，但结果基于偏积分微分方程（PIDE）的解。我们还研究了默认指标过程的结构{τ>t}T≥最后一段时间。与本文的理论关注点不同，本文主要致力于回答两个有趣的问题。第一个问题是，给定一个可违约索赔，如何实施局部风险最小化策略。

由于不可能完全消除信用风险，第二个问题是，是否有可能设计一种定制的可违约证券，使产品完全可对冲，也就是说，索赔可以写成与基础过程有关的常数和随机积分之和。这将导致无风险的违约索赔。在我们的设置中，我们找到了此类产品存在的必要和充分条件。本文的结构如下。第2节提供了模型、一些初步假设和结果。随机过程的正则分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥第3节讨论了0。这是我们分析的重要工具。可违约索赔的局部风险最小化对冲策略见第4节。在第5节中，我们来看看默认时间的结构。2模型和初步研究我们研究一个过程X，在概率空间上对企业资产价值进行建模(Ohm, F、 P）我们用FX表示其自然过滤、完成和规范化，以满足通常条件。我们研究了实际支付额为F（XT）1{τ>T}，（2.1）的可违约索赔，其中X>0，F:R→ R是实值函数，T>0是证券的到期日或到期日，τ=inf{T；Xt<0}。（2.2）请注意，假设该公司的资产价值是可观察的。因此，从财务角度来看，（2.2）中对违约的定义是有意义的，如果建模者是公司的管理层，会计数据是公开的，或者可以在市场上很好地估计。如果[0，T]中没有违约，则（2.1）中的证券支付F（XT），否则为零，因此回收率被视为零。可违约的零息票债券是这种证券的特例，它让F（x）=c，在R上，常数c>0。

稍后我们将看到函数F=F（x）是PIDE的边界条件。对于两个半鞅X和Y，符号[X，Y]和hX，Y i分别代表二次协变量和条件二次协变量，定义见Protter（2004）第三章第6节第二章和第5节或Jacodand Shiryaev（1987）第一章第4节。为了完整起见，我们回顾了一些基本定义。所有一致可积鞅的集合用M表示，所有平方可积鞅的集合用M表示，即所有鞅的集合X表示≥0E[Xt]<∞. 如果加法X=0，则表示法错误使用。此外，可积分变化过程集（从零开始）由一个。在下文中，ifC是一类过程，其局部类用Cloc表示。随机演算理论中的一个基本结果如下，参见命题4.50，Jacod和Shiryaev（1987）第一章的证明。提议2.1。假设进程X=（Xt）t≥0是局部鞅（即X∈Mloc）。那么X=xalm几乎肯定当且仅当[X，X]=0。定义2.1。如果XY属于Mloc，则属于Mloc的两个过程X和Y称为相互正交。如果过程X和Y属于Mloc，那么可以证明X与Y正交当且仅当hX，yi=0，例如参见定理4.2，Jacod and Shiryaev（1987）第一章。如果X和Y是两个局部鞅且[X，Y]属于Aloc，那么通过使用hX，yi是[X，Y]的补偿器这一事实，仍然可以证明X与Y是正交的当且仅当hX，yi=0。对于条件二次变量，命题2.1的类似结果仍然成立，事实上这是我们稍后使用的结果。推论2.1。假设X属于Mlocor[X]∈ 当X=xalmost确定当且仅当hX，Xi=0。证据

注意，如果X在Mlocthen[X]中∈ Aloc，见4.50号提案，Jacod和Shiryaev（1987）第一章。所以证明[X]的结果就足够了∈ 阿洛克。在这种情况下，结果来自命题2.1和hXi是[X]的补偿器这一事实。现在，我们来解释我们的模型假设。这项工作的动机是第一个基本问题，即如何管理公司债券的风险。此类债券代表了该公司的特殊违约索赔。具体而言，我们专注于对企业资产价值进行建模的有限变化过程。关于这些过程如何比扩散或跳跃扩散模型更好地模拟股票价格动态的一些动机，请参见Geman（2002）。此外，一些技术原因也促使了这种选择。以下假设贯穿全文，尤其是在第3节中，用于确定过程的规范分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥0，其中f=f（t，x）是一个C1,1实值函数。假设2.1。假设企业的资产价值过程X从X=u>0开始，是一个有界变化的L’evy过程，具有L’evy三重态（γ，0，v），其中L’evy测量值v集中在R上- {0}. 过程X具有以下L’evy It^o分解xt=u+ut+ZtZRx JX（ds×dx），t≥ 0，（2.3），其中u=γ-R[-1,1]xv（dx）和JXis是过程x的跳跃度量。假设u>0和0<RRxv（dx）<∞. 同样在v（R）的情况下∞, 我们假设测量值v是连续的。注意，假设2.1中的过程X具有有限活性+（v（R）<∞) 初始活性（v（R）=∞). 在前一种情况下，根据Sato（1999）的注释27.3，（2.3）的复合泊松过程部分在R上具有连续分布- {0}，在后一个例子中，根据Sato（1999）的定理27.4，Xt对所有大于0的项都有一个连续分布。特别是，在这两种情况下，我们都有P（XT=0）=0。

因此，我们可以假设（2.1）中函数F的域是正实线。这是因为+在这种情况下，过程X只是一个复合泊松过程加上从u>0开始的漂移。F（XT）1{τ>T}=F |（0，∞)（XT）1{τ>T}，几乎可以肯定，其中F |（0，∞)限制是否关闭到（0，∞).根据备注A.1，（2.2）给出的默认时间τ是完全不可访问的停止时间。τ的完全不可接近性保证了违约的不可预测性。备注2.1。关于金融风险过程，例如股票价格过程提取T≥从财务角度来看，0和非零壁垒水平是首选。然而，我们的模型可以涵盖这种情况。例如，假设对于常数势垒0<c<eu，默认值由τ=inf{t；eXt<c}定义。这相当于τ=inf{t；Xt<log c}，关于（2.2），这里跨越零级没有什么特别的，这只是为了便于记法。第4节和第5节使用了以下假设和定义，以便将套期保值策略和违约时间的分布风险降至最低。假设2.2。给定一个C1,1函数f=f（t，x）和一个[0]的子区间O，∞), 我们认为，如果以下条件适用于O中的所有t:ZR | f（t，x+y），则它满足可积条件- f（t，x）| v（dy）<∞, R.定义2.2中的所有x。