重尾资产的投资组合优化：极端风险指数vs。

，XN）是MRV，如果其极坐标的联合分布R:=kXk:=PNi=1 | Xi |和Z:=kXk-1个满意度（r-1R，Z）| R>R）w→ ρα ψ，r→ ∞, （2.3）式中，ψ是1-范数单位球面s上的概率测度，ρα是帕累托分布：ρα（s，∞) = s-α、 s≥ 1.符号→ 在（2.3）中表示概率测度的弱收敛性，符号指概率测度的直积。（2.3）的直观含义是，对于足够大的R，以R>R为条件，随机变量R-1R近似帕累托（α）分布，与近似ψ分布的Z无关。除（2.3）外，还有其他几个与MRV相当的定义；更多详情请参考Resnick[40]。参数α>0称为tailindex。它将R的有限时刻与有限时刻区分开来，即Rβ<∞ 对于β<α和ERβ=∞ 对于β>α。在非退化情况下，随机向量X的所有分量xio发生相同的力矩爆炸。测度ψ称为X的谱（或角）测度，描述随机向量X.c的多余方向的渐近分布2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。直观地说，MRV意味着半径R有一个多项式尾，并且渐近（即，对于大R）独立于角度部分Z。此外，如果可测量集 Rn距离原点足够远，即如果kxk≥ t代表所有x∈ A和一些大t，然后P（X）∈ sA的-αP（X）∈ A） （2.4）对于s≥ 1和sA:={sx:x∈ A} 。标度特性（2.4）允许从大损耗扩展到超大损耗，甚至可能超出观测数据的范围。

这种近似是极值理论的核心思想（参见Embrechts等人[15]）。许多流行的型号都是MRV。特别是，多元t和多元α稳定分布（参见Araujo和Giné[1]，Hult和Lindskog[25]）就是这种情况。在后一种情况下，稳定性指数α也是尾部指数，表征多变量特性的谱测度是（2.3）中ψ的常数倍。在所有这些模型中，分量在P（Xi>r）/P（Xj>r）的意义上是等价的→ ci，j>0作为r→ ∞ 尽管如此，j∈ {1，…，N}。这相当于角测量ψ：ψ{x的以下非简并条件∈ SN:xi=0}<1对于i=1，N.应注意的是，MRV假设（2.3）具有渐近性质，并且具有相当的限制性。MRV模型经常被批评为排除了Xi组分甚至略有不同的尾部指数αIf。然而，这种批评也影响了多变量t和多变量α稳定模型，尽管结果限制为等于αi，但它们在实践中被广泛接受。事实上，单独估计每个分量的尾部指数α，很难获得不同i的相同值。但另一方面，αioftenoverlap的置信区间，因此，MRV模型可能足够接近现实，并提供有用的结果。MRV模型之所以在实践中有用，主要是因为实际问题是非渐近的。事实上，重要的不是约束渐近关系（2.3），而是标度性质（2.4）。如果（2.4）在与应用相关的范围内与实际情况非常接近，则在尾部进一步违反（2.3）不会对结果产生太大影响。C2015年，爱思唯尔。

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。实际应用通常涉及此类启发。特别是，如果Siare股价因此非负，那么相对损失fxiarebounded为1。深入到尾部，必须观察相对投资组合损失wTfX和对数近似wTX的不同行为。然而，由于典型的日收益率值位于低百分比区域，且约10%的值仅出现在危机时期，相对损失确实表现出P（fXi>rs）P（fXi>r）类型的多项式标度-α. （2.5）图2.1显示了对数标准普尔500指数收益率（与我们的回溯测试研究中的观察期相同）与正态分布和Student-t（3）分布的QQ图。正态分布为轻尾分布，而t（3）分布满足（2.5）α=3（更一般地说，t分布满足（2.5）自由度满足（2.5）α=ν）。灰红色线表示x轴上分布的0.4%、10%、90%和99.6%分位数（正态或t（3））。0.4%和10%分位数之间的区域对应于每两周（10个工作日）或每年一次（约250个工作日）观察到的最差回报。90%和99.6%分位数之间的区域对应于每2周或每年观察一次的最佳回报。这就是上面提到的应用范围。一个好的分布函数使得QQ图在这个范围内呈线性。图2.1清楚地表明，正态分布对标准普尔500指数收益率数据的影响很小，而重尾t分布的影响要好得多。

这幅图既不取决于是指数还是单只股票，也不取决于观察期。图2.1使用了与我们的回溯测试研究相同的观察范围，但即使将观察窗口向后移动10或20年，也会得到惊人的相似结果。因此，如果X和FX都是MRV，那么我们很幸运地留在了X和FX可以作为MRV处理的区域，并且wTfX’wTX的近似值工作得相当好。因此，即使如果rs太接近1，缩放特性（2.5）最终会下降，但在应用范围内也会产生一些有用的结果。我们的回溯测试结果证实了这一点。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp FIN.2015.03.003上获得-3.-2.-1 0 1 2 3-0.10 0.00 0.05 0.10正常无量子化和P 500对数-返回（已排序）-15-5 0 5 10 15-0.10 0.00 0.05 0.10t（3）无量子化和P 500对数-收益率（排序）图2.1标准普尔500指数对数收益率与正态andt（3）分布的QQ图。红色虚线表示0.4%、10%、90%和99.6%的分位数。2.3通过极端风险指数进行投资组合优化MRV假设（2.3）意味着LIMR→∞P（wTX>r）P（kXk>r）=γw:=ZSNmax（0，wTz）αdψ（z）（2.6）（参见35和33，引理2.2）。这意味着对于任何投资组合向量SV，w∈ 大r>0P（vTX>r）P（wTX>r）\'γvγw.（2.7）此外，对于λ≤ 1接近1时，可以得到VaRλ（vTX）VaRλ（wTX）\'γvγw！1/α（2.8）（参见35和34，推论2.3）。在这里以及接下来的内容中，我们将置信水平λ下随机损失X的风险价值VaRλ定义为X的λ-分位数：VaRλ（X）：=inf{X∈ R:P（X）≤ 十）≥ λ}.粗略地说，VaRλ（X）是最小的X≤ x保持概率λ。λ的典型值分别为95%、99%和99.5%。C2015年，爱思唯尔。

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。受（2.7）和（2.8）的影响，功能性γw=γw（ψ，α）被称为极端风险指数（ERI）。最小化函数w7→ γw，即在发生危机事件的情况下，可以获得最大限度地减少kXk损失的单行本。在精确的数学术语中，我们将λ的VaRλ（wTX）最小化→ 1.本程序的实际意义是利用缩放特性（2.4）获得一个组合，该组合在市场崩盘期间将下行风险降至最低。这个近似结果并不完美，但它可以朝着正确的方向迈出一步。在积分表示法（2.6）的基础上，Mainik和Rüschendorf[35]提出了以下投资组合优化方法：o通过将α和ψ的适当估计插入（2.6）中来估计γwb通过最小化所得到的估值器bγww（关于w）来估计最优投资组合。优化问题的一般性质在Mainikand Rüschendorf[35]、Mainik[32]和Mainik and Embrechts[34]中进行了讨论。具体而言，已知函数w7→对于α>1，bγ是凸的。因此，考虑到夏尔有限公司的预期，一个典型的最优投资组合将在多个资产上实现多元化。所得到的估计最优投资组合w的插件估计量Bγwand的一致性*在严格的理论意义上，麦尼克[32,33]、麦尼克和吕申多夫[35]对意识进行了研究。1数据本文的贡献是对基于ERI的Portfolio优化方法在真实市场数据上的回溯测试研究。我们的数据集涵盖了标准普尔500指数的所有组成部分，这些组成部分在2011年10月19日至10年前有着完整的历史。

这是500只股票中的444只。对于2007年10月19日至2011年10月19日的回溯测试期间的每个日期，最佳投资组合的估计都是基于之前对所有股票的1500次观察（大约6年的历史）。例如，根据该时期（2001年10月19日至2007年10月18日）的股价数据估计2007年10月19日的最佳投资组合。我们的计算基于（2.1）中定义的对数损失Xi（t）。如上所述，我们排除空头头寸。Thisc2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003basic framework最自然地用于投资组合策略的比较。资产指数i在1到N=444之间变化，时间指数T的值在1到T=2509之间（1500天的历史记录+回溯测试期间的1009天）。为了估计α和ψ，我们将（对数）损失向量X（t）转换为极坐标（R（t），Z（t））=（| | X（t）| |，|X（t）||-1X（t）），t=1，T.3.2估计器和算法通过将希尔估计器应用于径向部分R（T）来估计α：bα=kPkj=1log（R（j），T/R（k+1），T）（3.1），其中T>1500和R（1），T≥ . . . ≥ R（1500），是径向部分R（t）的降序统计-1500), . . . , R（t）-1） k=150。也就是说，在历史观测窗口中的1500个数据点中-1500, . . . , T-1我们使用最大径向部分的10%。回到Hill[23]，Hill估计器是估计尾部指数α的最典型方法。k的选择决定了假设哪些观测值来描述尾流行为。

选择k的另一个重要标准是偏差（大k通常会增加）和估计值方差（小k则会增加）之间的权衡。除了静态10%规则外，还要考虑Nguyen和Samorodnitsky[37]中提出的自适应方法。参见Daníelsson等人[7]、Drees和Kaufmann[14]、Resnick和Stˇaricˇa[41]了解更多相关方法。正如Mainik和Rüschendorf[35]中提出的那样，我们通过对具有最大半径部分的观测值的角度部分的经验测量来估计ψ。更具体地说，我们在移动观测窗口中使用相同的10%数据点（所谓的尾分数），用于获得Bα。结果估计量γwisbγw（t）=kkXj=1max（0，wTZ（ij，t））bα，其中ij是顺序统计量R（j）在整个数据集中的样本指数：R（j），t=R（ij，t），j=1，1500，t=1501，TC2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003W上获得最佳投资组合的结果估计*（t） 在交易日，t是投资组合向量w∈ n最小值为bγw（t）：bγw*（t） =minw∈Nbγw（t）。（3.2）最后，估计的最优投资组合w*（t） 用于撰写交易日t的投资组合。

由此产生的（相对）投资组合回报通过替换w来计算*（t） 在（2.2）中。在t>1500的所有交易日重复上述程序。例如，2007年10月22日的最佳投资组合基于2001年10月29日至2007年10月21日的观察窗口，而2007年10月23日的最佳投资组合基于2001年10月30日至2007年10月22日的观察窗口，依此类推。该投资组合优化算法的基准由平均加权（EW）投资组合和最小方差（MV）投资组合给出，平均加权（EW）投资组合为每项资产分配1/N=1/444的权重。与ERI最优投资组合类似，MV投资组合由对数资产收益率计算得出，具有相同的1500点移动观察窗口和协方差矩阵的经验估计。与ERI方法类似，我们对马科维茨方法的实施选择了风险最小的投资组合，即方差最小的投资组合。也就是说，给定资产收益率S的协方差矩阵的估计值BC，SN，通过最小化函数W 7得到的估计最小方差组合Wmvi→ wTbCwfor w∈ N.也就是说，我们不包括额外的线性约束Twtbu=’u（3.3），其估计值为每日收益的Bu，目标收益的u>0。这一选择有两个原因。一方面，ERI最小化也是一个纯粹的风险最小化过程，因此忽略马科维茨基准中预期收益的估计会增加竞争的公平性。此外，由于ERI方法只改变了风险的数量，还没有改变对收益的看法，因此自然要在纯风险导向的环境中研究其影响。有目标回报的theERI捐赠方法很简单。与Markowitz方法类似，它需要将线性约束（3.3）添加到优化问题（3.2）中。C2015年，爱思唯尔。

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。另一方面，在目标回报约束（3.3）下计算Markowitz有效投资组合需要估计预期资产回报率，并引入第1节中讨论的所有技术问题。同样的问题必须出现在扩展的ERI应用程序中，包括（3.3）。在实践中，这些技术问题可能会主导与目标回报相关的理论绩效改进。4实证结果4。1整套股票的基本设置我们从ERI最小化策略的最粗略应用开始，从参与我们研究的所有股票再培训的随机向量（X，…，X）的径向部分估计尾部指数。由此得出的估计值bα=bα（t）随时间变化，但它适用于所有N=444只股票，就好像它们的点分布是MRV一样。这是一个非常大胆的假设，但即使在这种情况下，我们也看到了一些有用的结果。这些结果的第一印象如图4.1所示，其中ERI最优投资组合的价值与同行（MV和EW）以及标准普尔500指数的表现进行了比较。图表显示，在市场崩盘期间，基于ERI的投资组合的价值更加稳定。另一方面，MV投资组合似乎在复苏期再次赶上。马科维茨方法也试图评估潜在收益。在这种情况下，ERI、MV和andEW获得的累积回报类似，但对于基于ERI的投资组合来说，仍然具有一些优势。

因此，ERI策略——即使在其粗略的实施过程中——似乎也有可能在危机中稳定投资组合的价值。EW投资组合的整体表现与theMV投资组合非常相似，但夏普比率较低，提取率较高。因此，有必要在目前的环境中考虑MV基准。所有活跃交易策略基准（ERI、MV、EW）明显优于标准普尔500指数。然而，这一优势的真正方面并不明显，因为为了实现的简单性，我们仅将ERI、MV和EW应用于整个观察期内仍在标准普尔500指数中的444只股票。由于这种关于未来发展的信息在现实中并不可用，因此可能存在幸存者偏见，从而提高了三个活跃交易基准的绩效。然而，ERI、MV和EW之间的比较结果应该是公平的，因为它们都适用于DC2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.0034050607080901001012013014001上获得-十一月-200720-12月-200711-二月-200801-四月-200819-也许-200808-七月-200825-八月-200813-十月-200801-12月-200821-简-200911-破坏-200929-四月-200917-六月-200905-八月-200923-九月-200910-十一月-200930-12月-200919-二月-201009-四月-201027-也许-201016-七月-201002-九月-201021-十月-201009-12月-201028-简-201118-破坏-201106-也许-201124-六月-201112-八月-201130-九月-2011年投资组合优化回溯测试- 每日再平衡ERI&P 500最小方差等权图4.1假设所有股票收益都具有相同的尾部指数α，ERI最小化策略的投资组合优化回溯测试。