扩展信用风险的精算应用与估计$^+$

这一因素也可以理解为分类变量，如吸烟者/非吸烟者、糖尿病/非糖尿病者或WA、g、K国家，以便进行适当的估计。在应用中，我们建议使用fixφ和ψ，以便将维度降低到合适的水平。此外，拟合趋势加速/还原参数（ζ、η、φ、ψ）会随着时间的推移产生稳定的结果，其行为与Lee-Carter模型类似。随着时间的推移，包含趋势减少参数可能会导致不太稳定的结果。然而，我们提出的模型允许自由调整参数家庭的死亡率和权重。备注2.10（长期预测）。使用（2.8）givelimt对死亡概率进行长期预测→∞ma，g（t）=FLapαa，g+βa，gπ2ηa，g.同样，IMT给出了使用（2.9）对权重的长期预测→∞wa，g，k（t）=expua，g，k+va，g，kπ2ψkPKj=0expua，g，j+va，g，jπ2ψj.ψktrend将在长期内占据主导地位。如果我们预先确定趋势还原ψkat参数的合适值，这种影响是可以控制的。或者，可以使用不同的权重参数族，例如线性族。请注意，我们的模型确保了风险因素的权重k=0，Kalways总结了toone，这就是为什么总死亡率MA，g（t）不受体重及其趋势的影响。8 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.舍甫琴科3。参数估计在本节中，我们根据定义2.2和2.7在我们提出的模型中提供了几种参数估计方法。这些方法包括最大似然、最大后验概率、矩匹配和MCMC。虽然矩估计的匹配很容易推导，但精度较低，但一般来说，最大后验概率和最大似然估计无法通过确定性数值优化进行计算。因此，我们建议MCMC作为一种速度较慢但功能强大的替代方案。

使用基于一个国家全体人口的公开数据。[McNeil et al.（2005）]在第8.6节中，考虑泊松混合模型和伯努利混合模型的统计推断。他们简要介绍了伯努利混合模型中同质群的动量估计器和最大似然估计器。或者，他们通过广义线性混合模型表示得出统计推断，该混合模型与我们的环境密切相关。在“注释和评论”部分，读者可以找到有趣参考文献的综合列表。然而，他们的大多数结果和论点并不直接适用于我们的案例，因为我们使用了不同的参数化和sincedefaults。简化时间独立性假设：定义3.1（时间独立性和风险因素）。给出定义2.2，考虑离散时间周期su:={，…，T}，并假设随机变量在时间6=tinU的不同点是独立的。此外，对于每个人来说∈ U、 风险系数∧（t），假设∧K（t）是独立的，对于eachk∈ {，…，K}，∧K（1），λk（T）的伽马分布与均值1和方差σk相同≥ 0.上述假设似乎适用于奥地利和澳大利亚的数据，这些数据是由死亡概率和权重的趋势家庭得出的。对于生命表的估算，我们通常假设所有年龄和性别的k=0，k=1，w，g，1=1。为了估计和预测死亡原因，我们确定了潜在死亡原因的风险因素。注意，对于fixedaandg，方程（2.9）在参数（ua，g，k）k的恒定位移下是不变的∈{0，…，K}以及（va，g，K）K∈如果φ=···=φ和ψ=···=ψK，则分别为{0，…，K}。因此，对于eacha和g，我们始终可以为ua、g、0和va、g、0.3.1选择固定和任意值。通过最大似然估计。我们从经典的最大似然法开始。

似然函数可以以封闭形式导出，但不幸的是，由于高维性，确定性数值优化很快就会崩溃，因此必须通过MCMC导出估计值。引理3.2（似然函数）。给定定义2.2-3.1，定义（t）：=AXa=0Xg∈{f，m}bNa，g，k（t），k∈ {0，…，K}和t∈ U，精算应用和扩展CREDITRISK+的估计以及ρa，g，k（t）：=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）适用于所有年龄组a，最大年龄组a，性别g和ρk（t）：=AXa=0Xg∈{f，m}ρa，g，k（t）。然后，参数θm的似然函数`（bN |θm，θw，σ）：=（α，β，ζ，η）∈ E、 θwu，v，φ，ψ∈ Fσ∑k∈, ∞KbNbNa，g，kt∈NA×2×（K+1）×由`（bN |θm，θw，σ）=TYt=1给出AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，k（t）！×KYk=1Γ(σ-2k+bNk（t））Γ（σ-2k）σ2σ-2kk（σ）-2k+ρk（t））σ-2k+bNk（t）AYa=0Yg∈{f，m}ρa，g，k（t）bNa，g，k（t）bNa，g，k（t）！!.（3.3）证据。根据我们的假设，通过简单的计算，我们得到了`（bN |θm，θw，σ）=TYt=1AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，0（t）！×KYk=1E“PA\\A=0\\g∈{f，m}Na，g，k（t）=bNa，g，k（t）∧k（t）#!,其中，`（bN |θm，θw，σ）=P（N=bN |θm，θw，σ）表示给定参数下事件{N=bN}的概率。在上述yieldsE等式中计算期望值PA\\A=0\\g∈{f，m}Na，g，k（t）=bNa，g，k（t）∧k（t）=AYa=0Yg∈{f，m}ρa，g，k（t）bNa，g，k（t）bNa，g，k（t）！Z∞E-ρk（t）xtxbNk（t）txσ-2k-1te-xtσ-2kΓ（σ）-2k）σ2σ-2kkdxt。上面的被积函数是伽马分布的密度，它是归一化常数与参数σ的模-2k+bNk（t）和σ-2k+ρk（t）。因此，相应的积分等于正规化常数的乘法逆，即。，(σ-2k+ρk（t））σ-2k+bNk（t）Γ（σ）-2k+bNk（t））-1，k∈ {1，…，K}和t∈ {1，…，T}。把所有结果放在一起得到（3.3）。由于（3.3）中的产品可能变小，我们建议使用对数似然函数。

对于实施，我们建议使用loggamma函数，例如“R”中的lgamma函数，请参见[R Core Team（2013）]。定义3.4（最大似然估计）。回顾（3.3），并给出引理3.2的假设，参数θm、θ和σ的最大似然估计由10 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.SHEVCHENKO定义θMLEm，θMLEw，σMLE:= arg supθm，θw，σ`（bN |θm，θw，σ）=arg supθm，θw，σlog`（bN |θm，θw，σ）。由于高维性，似然函数的确定性优化可能很快导致数值问题。在“R”中，见[R Core Team（2013）]的确定性优化路线在简单示例中给出了稳定的结果。我们建议的替代方案是切换到贝叶斯设置，并使用MCMC，如第3.3.3.2节所述。通过最大后验概率方法进行估计。其次，我们提出了一种基于贝叶斯推断的最大后验概率估计的变异，Shevchenko（2011）hood函数，我们还可以推导出风险因素的后验密度，如下所示。这种方法的一个主要优点是可以获得风险因素的估计值，这对于情景分析和模型验证非常有用。此外，还得到了风险因素实现和方差估计的简便近似。外稃3.5（后密度）。给定定义2.2–3.1，考虑参数θm:=（α，β，ζ，η）∈ E、 θw:=（u，v，φ，ψ）∈ F、 以及实现λ：=（λk（t））∈(0, ∞)K×Tof危险因素∧：=（K（t））∈(0, ∞)K×T，以及数据n:=（bNa，g，K（T））∈ NA×2×（K+1）×T.假设它们的先验分布由π（θm，θw，σ）表示。

然后，给定参数的后验密度π（θm，θw，λ，σ| bN）等于π（θm，θw，λ，σ| bN）给出的常数∝ π（θm，θw，σ）π（λ|θm，θw，σ）`（bN |θm，θw，λ，σ）=TYt=1AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，0（t）！KYk=1E-λk（t）σ-2kλk（t）σ-2k-1Γ(σ-2k）σ2σ-2kk×AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，k（t）λk（t）（ρa，g，k（t）λk（t））bNa，g，k（t）bNa，g，k（t）！!π（θm，θw，σ），（3.6），其中π（λ|θm，θw，σ）表示风险因素在∧=λ给定所有其他参数时的先验分布，其中`（bN |θm，θw，λ，σ）表示n=bN给定所有参数的可能性，其中ρa，g，k（t）=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）。证据第一个比例等式遵循贝叶斯定理，该定理也广泛用于贝叶斯推理，例如，参见[Shevchenko（2011），第2.9节]。此外，π（λ|θm，θw，σ）=KYk=1TYt=1E-λk（t）σ-2kλk（t）σ-2k-1Γ(σ-2k）σ2σ-2kk.如果θm∈ E、 θw∈ F，λ∈ (0, ∞)K×Tandσ∈ [0, ∞)K、 然后注意`（bN |θm，θw，λ，σ）=AYa=0Yg∈{f，m}TYt=1E-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，0（t）！×KYk=1PNa，g，k（t）=bNa，g，k（t）∧k（t）=λk（t）,精算应用和扩展CREDITRISK+的估计，然后通过简单计算得出（3.6），如引理3.2所示。上述方法可能看起来像纯贝叶斯推理方法，但请注意，风险因素∧k（t）是真正随机的，因此，我们将其称为最大后验估计方法。

参数的先验分布有许多合理的选择，包括（不适当的）一致先验π（θm，θw，σ）：=1E（θm）1F（θw）1（0，∞)K（σ）为第4.2节中给出的平滑优先级。后验估计。定义3.7（最大后验估计）。回顾（3.6），并给出引理3.5的假设，给定唯一性，参数θm、θw、λ和σ的最大后验估计由θ映射，θ映射，λ映射，σ映射:= arg supθm，θw，λ，σπ（θm，θw，λ，σ| bN）=arg supθm，θw，λ，σlogπ（θm，θw，λ，σ| bN）。后验函数的高维性导致的数值问题，这也是我们推荐MCMC的原因。然而，我们可以为风险因子和方差估计提供方便的近似值。引理3.8（最大后验估计的条件）。给出定义3。7，估计每k的^λ映射和^σ映射满足∈ {1，…，K}和t∈ U、 λMAPk（t）=（σMAPk）-2.- 1+PAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）（σMAPk）-2+PAa=0Pg∈{f，m}ρa，g，k（t）（3.9）if（σMAPk）-2.- 1+PAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）>0，以及2 log^σMAPk+Γ（σMAPk）-2.Γ（σMAPk）-2.=TTXt=11+log^λMAPk（t）-λMAPk（t）, （3.10）其中，对于给定的λMAPk（1），^λMAPk（T）>0，（3.10）有一个唯一的正解。证据首先，设置π*（bN）：=logπ（θm，θw，λ，σ| bN）。那么，对everyk来说∈ {，…，K}和t∈ U、 微分π*（bN）给予π*（十亿）λk（t）=σ-2k- 1λk（t）-σk+AXa=0Xg∈{f，m}bNa，g，k（t）λk（t）- ρa，g，k（t）.将该项设为零，求解∧k（t）得到（3.9）。同样，弗雷克∈ {1，…，K}，我们得到π*（十亿）σk=σkTXt=1对数σk- 1 +Γ(σ-2k）Γ（σ）-2k）- 对数λk（t）+λk（t）.同样，将该项设置为零，并重新排列这些项会得到（3.10）。对于（3.10）中解的存在唯一性，设λMAPk（1），λMAPk（T）>k∈ {，…，K}严格负除非λMAPk（1）=···=λMAPk（T）=1，aslog x≤ 十、-1表示所有x>12的J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.SHEVCHENKOwith等式为x=1。

如果λMAPk（1）=···=λMAPk（T）=1，则风险因素中不存在σk=0的变量。从今往后，注意f（x）：=logx-Γ（x）/Γ（x）对于allx>0，是连续的（Γ（x）/Γ（x）被称为digamma函数或ψ-函数），2x<f（x）<2x+12x，x>0，（3.11），然后是[Qi等人（2005），推论1]和f（x+1）=1/x+f（x）对于allx>0。-f/x-cc>f∞好的，利姆斯→∞f（x）=0。因此，当f（1/x）在x>0时是连续的，就必须存在一个解。此外，f（x）=x-∞Xi=0（x+i）<x-Z∞xzdz=0，x>0，Chaudhry和Zubair（2001）f（x）和(-f（1/x））是严格递减的。因此，（3.10）中的解决方案是唯一的。可通过匹配第3.4节中给出的力矩或Lee–Carter等其他模型得出。IfPAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）较大，合理定义^λMAPapprk（t）：=-1+PAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）PAa=0Pg∈{f，m}ρa，g，k（t）（3.12）作为λk（t）的近似估计，其中ρa，g，k（t）：=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）。推导出λ的近似值后，我们可以使用（3.10）得到σ的估计值。或者，请注意，由于（3.11），我们得到-2 log^σMAPk-Γ（σMAPk）-2.Γ（σMAPk）-2.=（σMAPk）+O（σMAPk）.此外，如果我们对对数使用二阶泰勒展开，那么（3.10）getsTTXt的右边=1λMAPk（t）-1.-对数λMAPk（t）=2TXT=1λMAPk（t）-1.+OλMAPk（t）-1..λ的值越接近1，这种近似就越好。因此，利用这些观察结果，风险因素方差σ的近似值如下所示：^σMAPapprk:=TTXt=1λMAPapprk（t）- 1., （3.13）这是^λ映射的样本方差。注|λMAPk（t）-| < |λMAPapprk（t）-|,这意味着在大多数情况下，（3.13）将主导（3.10）得到的解。3.3.通过MCMC进行估算。正如我们在前面章节中所概述的，由于高维性（几百个参数），通过确定性数值优化导出最大后验估计和最大似然估计几乎是不可能的。

或者，我们可以使用McMcCunder进行贝叶斯设置。例如，可以在[Gilks（1995）]，[Gamerman AND Lopes（2006）]以及[Shevchenko（2011）第2.11节]中找到关于这一主题的介绍，精算应用和扩展CREDITRISK+的估计。我们建议使用Gibbsalgorithm中的随机游走Metropolis–Hastings，考虑到马尔可夫链是不可约且非周期的，生成收敛于平稳分布的样本链[Tierney（1994）]和[Robert and Casella（2004），第6-10节]。但是，请注意，可以使用各种MCMCalgorithms。MCMC需要贝叶斯设置，我们在maximuma-posteriori方法中自动设置，见第3.2节。类似地，我们可以通过将似然函数与参数的先验分布相乘，切换到最大似然法中的贝叶斯设置，见第3.1节。MCMC生成马尔科夫链，该链提供来自后验分布的样本，其中这些样本的模式对应于最大后验估计的近似值。通过从静态分布中提取MCMC链样本后，取所有样本的平均值，可以获得更稳定的均方误差估计值，[Shevchenko（2011），第2.10节]。当然，如果参数的后验分布是双峰分布，那么将所有样本的平均值作为估计值可能会导致问题，例如，我们最终会进入一个极不可能的区域。此外，采样后验分布可用于估计参数不确定性。该方法需要一定的磨合期，直到概率接近0.234，如[Roberts等人（1997）]所示，这对于多元高斯概率是渐近最优的。

为了减少较长的计算时间，可以运行几个具有不同起点的独立MCMC链。e、 通过调整先验分布，平滑，最大后验估计。这种技术特别适用于回归，以及许多应用，如信号处理。在4.2节中预测死亡概率时，我们使用具有一定相关性结构的高斯先验密度。同样在MCMC下，请注意，最终我们会受到维数诅咒的困扰，因为我们永远无法在具有数百个参数的环境中获得联合后验分布的精确近似值。由于MCMC样本产生了参数估计的置信区间，因此可以很容易地检查它们在每个期望水平上的显著性，也就是说，如果置信区间覆盖零值，则参数不显著。在我们接下来的例子中，几乎所有的参数估计也可以用来测试参数是否显著适用于稀疏数据，因为生命表可以用作具有较少数据点的先验分布。3.4.通过矩匹配进行估计。最后，我们提供了一个精确的匹配。因此，我们建议仅使用这种方法来获取其他更复杂估算程序的起始值。此外，随着时间的推移，匹配相同的随机变量。14 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.舍甫琴科假设3.14。（Na，g，k（t））t∈Uto be i.i.d.with Ea，g：=Ea，g（1）=···=Ea，g（T）and ma，g：=ma，g（1）=······=ma，g（T），以及wa，g，k：=wa，g，k（1）=····=wa，g，k（T）。为了实现这样的i.i.d.设置，转换死亡SNA，g，k（t），使泊松混合强度随时间保持恒定，viaNa，g，k（t）：=Ea，g（T）ma，g（T）wa，g，k（T）Ea，g（T）ma，g（T）wa，g，k（T）Na，g，k（T）, T∈ U，以及相应的deneea，g:=Ea，g（T），以及asma，g:=ma，g（T）和wa，g，k:=wa，g，k（T）。

通过这种修改，我们成功地消除了长期趋势，并使Ea、g（t）、ma、g（t）和wa、g、k（t）随时间保持恒定。中心死亡率的估计值^mMMa，g（t）SMA，g（t）可通过最小化粗死亡率的均方误差获得，如果参数ζ、η和γ之前固定，可通过回归（FLap）获得-1.PKk=0bNa，g，k（t）Ea，g- γa-tonTζa，g，ηa，g（t）。对参数a、g、k、va、g、k、φk、ψkvia的估计^uMMa、g、k、^vMMa、g、k、k、φk、ψkvia将粗死亡率的均方误差最小化，如果参数φ和ψ之前已确定，可通过回归log（bNa、g、k（t））获得-在tφk，ψk（t）上记录（Ea，g^mMMa，g（t））。估算值^wMMa，g，k（t）由（2.9）给出。然后，确定权重的无偏估计值*a、 g，k（t）：=Na，g，k（t）/Ea，gma，g，以及*a、 g，k:=TTXt=1W*a、 g，k（t）。特别是，我们有E[W]*a、 g，k]=E[W*a、 g，k（t）]=wa，g，k引理3.15。假设3.1，定义∑a，g，k=T- 1text=1W*a、 g，k（t）- W*a、 g，k,尽管如此∈ {0，…，A}，g∈ {f，m}和k∈ {0，…，K}。那么，E[b∑a，g，k]=VarW*a、 g，k（1）=wa，g，kEa，gma，g+σkwa，g，k.（3.16）证明。注意（W）*a、 g，k（t））t∈Uis被认为是一个i.i.d.序列。因此，sinceb∑a，g，kis是w的标准偏差的无偏估计量*a、 g，k（1）和W*a、 g，k，参见[Lehmann and Romano（2005），示例11.2.6]，我们立即得到[b∑a，g，k]=Var（W*a、 g，k（1））=VarNa，g，k（1）Ea，gma，g.使用[Schmock（2017），引理3.48]中的总方差定律，以及定义5.6 givesEa，gma，gE[b∑a，g，k]=E[Var（Na，g，k（1）|∧k）]+Var（E[Na，g，k（1）|∧k]）。VarNa，g，k（1）|∧kENa，g，k（1）|∧kEa，gma，gwa，g，kk以上给出了结果。精算应用和扩展CREDITRISK的估计+获得方程式（3.16）后，我们可以确定以下风险因素方差的矩估计匹配。定义3.17（风险因素方差矩估计值的匹配）。给定σkk∈ {, . . .