扩展信用风险的精算应用与估计$^+$

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英文标题：
《Actuarial Applications and Estimation of Extended~CreditRisk$^+$》
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作者：
Jonas Hirz, Uwe Schmock, Pavel V. Shevchenko
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce an additive stochastic mortality model which allows joint modelling and forecasting of underlying death causes. Parameter families for mortality trends can be chosen freely. As model settings become high dimensional, Markov chain Monte Carlo (MCMC) is used for parameter estimation. We then link our proposed model to an extended version of the credit risk model CreditRisk$^+$. This allows exact risk aggregation via an efficient numerically stable Panjer recursion algorithm and provides numerous applications in credit, life insurance and annuity portfolios to derive P\\&L distributions. Furthermore, the model allows exact (without Monte Carlo simulation error) calculation of risk measures and their sensitivities with respect to model parameters for P\\&L distributions such as value-at-risk and expected shortfall. Numerous examples, including an application to partial internal models under Solvency II, using Austrian and Australian data are shown.
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中文摘要：
我们引入了一个加性随机死亡率模型，该模型允许联合建模和预测潜在的死亡原因。死亡率趋势的参数族可以自由选择。随着模型设置变得高维，马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）被用于参数估计。然后，我们将我们提出的模型链接到信用风险模型CreditRisk$^+$的扩展版本。这允许通过有效的数值稳定Panjer递归算法进行精确的风险聚合，并在信贷、人寿保险和年金投资组合中提供了大量应用，以推导损益分布。此外，该模型允许准确（无蒙特卡罗模拟误差）计算风险度量及其对损益分布模型参数（如风险价值和预期短缺）的敏感性。本文给出了许多例子，包括Solvency II下部分内部模型的应用，使用了奥地利和澳大利亚的数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Actuarial_Applications_and_Estimation_of_Extended~CreditRisk$^ $.pdf (879.21 KB)

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关键词：信用风险 Applications distribution Quantitative Application

精算应用和扩展信用风险估计+乔纳斯·赫兹、乌韦·施莫克和帕维尔·V·舍甫琴科摘要。潜在死亡原因的联合建模和预测。死亡率趋势的参数家族可以自由选择。随着模型设置变得高维，马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）被用于参数估计。然后，我们将我们提出的模型链接到信用风险模型CreditRisk+的扩展版本。这允许通过有效的数值可调Panjer递归算法进行精确的风险聚合，并在信贷、人寿保险和年金投资组合中提供了大量应用，以推导损益分布。此外，该模型允许准确（无蒙特卡罗模拟误差）计算风险度量及其对P&L分布模型参数（如风险价值和预期短缺）的敏感性。本文给出了许多例子，包括Solvency II下使用澳大利亚和澳大利亚数据的部分内部模型的应用。内容1。导言22。另一种随机死亡率模型42.1。基本定义和符号42.2。一些经典的随机死亡率模型42.3。一个加性随机死亡率模型53。参数估计83.1。最大似然估计83.2。通过最大后验概率方法进行估计103.3。通过MCMC 123.4进行估算。通过矩匹配进行估计134。应用154.1。潜在死亡原因预测154.2。预测死亡概率185。扩展CreditRisk+模型和应用程序225.1的链接。ECRP型号22日期：2017年5月3日。关键词和短语。随机死亡模型；扩展信用风险+；风险聚合；部分内部模型；死亡风险；长寿风险；马尔可夫链蒙特卡罗。J

Hirz感谢澳大利亚政府通过2014年奋进研究奖学金，以及Oestreichische国家银行（周年基金，项目编号：14977）和算术提供的财政支持。P.V.舍甫琴科衷心感谢CSIRO莫纳什退休金研究集群的财政支持，该集群是CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、沃里克大学和退休系统利益相关者之间的合作，旨在为所有人带来更好的结果。arXiv:1505.04757v7[q-fin.RM]20172年4月30日J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.SHEVCHENKO5。2.应用I：死亡风险、寿命风险和偿付能力II应用255.3。应用二：投资组合265.4中某些健康情景的影响。应用三：预测中心死亡率，并与Lee-Carter模型265.5进行比较。考虑风险285.6。通用型和替代型306。模型验证和模型选择306.1。通过互协方差306.2进行验证。通过独立性316.3进行验证。通过序列相关性进行验证316.4。通过风险因素实现进行验证326.5。型号选择327。结论32参考文献331。引言随着当前的低利率环境迫使保险公司更加关注生物特征风险，适当的死亡率随机建模变得越来越重要。偿付能力II等新监管要求允许使用内部随机模型，该模型针对不同的风险源对资本进行更为敏感的风险评估。

对于使用精算工具（如内部模型）的公司来说，收益主要取决于准确性。保险公司通常使用确定性建模技术，然后添加专门的风险保证金，以考虑与寿命、投资组合规模和公司相关的风险。推导大型信贷、人寿和养老金投资组合的损益分布通常是一种方法，因为它很容易在所有不同类型的随机环境中实现。然而，它在精确度和速度方面存在缺陷，尤其是在计算模型灵敏度方面。在数值试验的推动下，我们发现信用风险+[Schmock（2017），第6节]是蒙特卡罗的一个非常有效且灵活的替代方案，同时也适用于寿险精算设置。来自信用风险，常见的随机风险因素。ECRP模型依赖于Panjer递归（参见[Sundt（1999）]，与蒙特卡罗不同，Panjer递归不需要模拟。它允许一个高效的实现，在给定输入数据和与离散化相关的选定粒度的情况下，精确推导P&L分布。关于模型参数的风险度量衍生敏感性（即衍生工具）的速度2017。精算应用和扩展信用风险的估计+难以通过蒙特卡罗有限差分计算。此外，在第2节中，我们介绍了一个加性随机死亡率模型，该模型与[Cairns et al.（2009）]中讨论的Lee和Carter（1992）模型有关。它允许基于泊松假设对潜在的随机死亡原因进行联合建模，如[Wilmoth（1995）]和[Booth and Tickle（2008）]中所述，其中依赖性是内在的。然而，由于高维性，死亡原因的联合建模可能会产生计算问题，这就是为什么这方面的文献很少。

[Alai等人（2015年）]研究了大量文献综述和用于死亡原因联合建模的多项式逻辑模型。给出合适的死亡率数据，在第3节中，我们提供了几种估计模型参数的方法，包括矩匹配、最大后验概率法和最大似然法以及马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）。死亡和人口数据通常可以在ZF网站或统计局免费获得。由于问题的高维性，我们建议将其用于具有常见随机风险因素的环境。然而，模型参数的估计通常不需要经常进行。我们建议采用李-卡特方法。然而，我们的方法允许使用任何其他类型的参数族，因为MCMC非常灵活。在第4节中，我们估计了澳大利亚死亡数据的模型参数，并对影响进行了估计。进一步的应用包括预测中心死亡率和预期未来寿命。在第5节中，我们接着介绍了ECRP模型，见[Schmock（2017），第6节]，这是一个集体风险模型，与我们提出的信贷组合随机分布一一对应，起源于[credit Suisse First Boston（1997）]引入的经典credit risk+模型。在信用风险模型中，它被归类为泊松混合模型。用死亡来识别违约使得该模型完全适用于精算应用。Extended CreditRisk+为建模多级依赖关系提供了灵活的基础，并允许快速且数值稳定的风险聚合算法。在ECRP模型中，死亡由独立的随机风险因素驱动。每个保单的死亡人数作为单一死亡真实案例的近似值，每个人可以在一段时间内多次死亡。

然而，如[Barbour et al.（1992）]或[Vellaisami and Chaudhuri（1996）]以及其中的参考文献所示，在适当的参数缩放下，近似值非常好，最终损失分布由于泊松近似而准确。例如，ECRP模型与（混合）泊松4 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.Shevchenko的闭合。ECRP模型的另一个巨大优势是，它自动整合了许多不同的风险来源，如趋势、统计波动性风险和参数风险。第6节简要说明了验证和模型选择技术。模型验证方法基于之前定义的依赖性和独立性结构。所有测试都表明，该模型适合澳大利亚的死亡率数据。2.另一种随机死亡率模型2。1.基本定义和符号。根据标准精算符号和定义，[Pitaco et al.（2009）]或[Cairns et al.（2009）]，letTa，g（t）表示一个人年龄的剩余寿命的随机变量∈ {，，…，A}，最大年龄A∈ N、 还有根德格∈ {m，f}时/年∈ N.生存与τ≥τpa，gtPTa，gt>τ和τqa，g（t）=P（Ta，g（t）≤ τ） 分别为。为了便于注释，我们写下qa，g（t）：=qa，g（t）。确定性死亡力（随机情况的理论也可用）aτgatua+τ，gt-τlogτpa，gtaat时间t和性别g由致命力的加权平均值给出，g（t）：=Rspa，g（t+s）ua+s，g（t+s）dsRspa，g（t+s）ds=qa，g（t）Rspa，g（t+s）ds≈qa，g（t）1- qa，g（t）/2。如果ua+s，g（t+s）=对于所有0≤ s<1和a，t∈ 恩维萨≤ A、 即，低于MA、gtuA、gtqa、gt1- 经验(-ma，g（t））。LetNa，g（t）表示年龄A和性别A的记录死亡人数，以及年龄A和性别A的平均人数，g（t）表示风险暴露。

后者通常可以从人口普查欠计和移民等组件中检索到）arek，k是直接导致死亡的一系列疾病事件的始作俑者，letNa，g，k（t）表示每年因死亡原因而记录的实际死亡人数（Agna，gtNa，g，0t··Na，g，k和相关健康问题）在许多国家都可以找到死亡计数。澳大利亚的这些数据可在澳大利亚健康与福利研究所（AIHW）找到，该研究所按ICD-9和ICD-10.2.2分类。一些经典的随机死亡模型。我们从一个简单的模型开始，假设年龄a和性别a的人的年死亡率分布为Na，g（t）~ 泊松（Ea，g（t）ma，g（t））。在这种情况下，最大死亡人数，gtbNa，gt/Ea，gtbNa，g（t）是实际记录的死亡人数。文献中考虑的基准随机死亡率模型是传统的Lee–Carter模型[Lee and Carter（1992）]，其中对数中心应用和扩展信用风险+死亡率的估计采用对数bma，g（t）=αa，g+βa，gκt+εa，g，tεa，g，tκt，以及年龄和性别参数αa，和βa，g、 使用合适的正态化，这些参数和κtca的估计值可以通过Kainhofer等人（2006）第4.5.1节得出。然后，可以通过对κt应用自回归模型来获得预测。请注意，[Fung et al.（2017）]和[Fung et al.（2015）]通过使用MCMC的状态空间框架，提供了Lee-Carter模型中参数和潜在因子κ的联合估计。文献中提出了这一经典方法的各种扩展，包括多个时间因素和队列成分；有关综述，请参见[Cairns et al.（2009）]。Carter方法[Brouhns et al.（2002）]提出通过泊松回归对死亡计数进行建模，其中错误项由有毒随机变量代替。

在这种情况下，na，g（t）~ 泊松（Ea，g（t）ma，g（t）），其中，在最简单的情况下，log ma，g（t）=αa，g+βa，gκt。相应地，假设我们想要预测不同潜在死亡原因k的中心脱色物，自然假设a，g，k（t）~Poisson（Ea，g（t）ma，g，k（t）），其中log ma，g，k（t）=αa，g，k+βa，g，kκk，t。然而，在这种情况下，不难看出ma，g，0（t）+··+ma，g，k（t）=ma，g（t），一般来说，因此[Na，g（t）]6=KXk=0E[Na，g，k（t）]Na，gt~ 泊松Ea，gtma，g，0t·ma，g，Kt澳大利亚75-79岁人口的失业率从1987年到2011年翻了一番），预测呈指数增长，未来将超过1。鉴于这一缺陷，我们将引入一个加性随机死亡率+[Schmock（2017）]2.3。一个加性随机死亡率模型。为了能够模拟不同的死亡原因，或者更一般地，显示一些常见死亡行为的不同协变量（然而，我们将限于本文中的第一种情况），t，Ktwa，g，KT不同的风险因素，其中满意度wa，g，0（t）+·+wa，g，K（t）=1。持有者。如果风险系数∧k（t）取大值或小值，则所有保单持有人的死亡可能性分别同时增加或减少，wa，g，Kagt，这对预测死亡原因特别重要。举个实际例子，假设有一种新的、非常有效的癌症治疗方法可用，因此死于肺癌的人数会减少。这种情况将对所有6名J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.Shevchenko保单持有人产生长期影响。这样的情况将对应于肿瘤的风险因素显示出很小认识的情况。定义2.2（加性stoch.mort.模型）。给定风险因素∧（t），具有单位均值和方差σ（t）的∧K（t），σK（t），假设，g，K（t）~ 泊松Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）∧k（t）, k=1。

假设K=0的特异性死亡a，g，0（t）与所有其他随机变量相互独立，如na，g，0（t）~ 泊松Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，0（t）.正确地向上，即，假设e[Na，g（t）]=Ea，g（t）ma，g（t）=Ea，g（t）ma，g（t）KXk=0wa，g，k（t）=KXk=0E[Na，g，k（t）]为e[λk（t）]=1。备注2.3。在应用中，如果k=0，用更现实的二项式假设a，g，0（t）代替泊松假设是可行的~ 二项式Ea，g（t），ma，g（t）, 如第4.2节所述，用于说明。备注2.4。如果风险因素是独立的且呈伽马分布（如+Na，g，k二项分布。然后，死亡的方差由var（Na，g，k（t））=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）（1+Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）σk（t））给出，σk（t）表示∧k（t）的方差。类似地，对于所有a6=aor g6=g，Cov（Na，g，k（t），Na，g，k（t））=Ea，g（t）Ea，g（t）ma，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）wa，g，k（t）wa，g，k（t）σk（t）。（2.5）该结果将在第6节中用于模型验证。类似的结果也适用于具有相关风险因素的更一般模型，见[Schmock（2017），第6.5节]。为了说明死亡率的改善和死亡原因随时间的变化，我们引入了以下时间相关的参数族，用于预测趋势。与李-卡特模型类似，我们可以简单地考虑对数死亡率的线性下降。然而，由于随着时间的推移，这会导致死亡率下降或爆炸式增长，因此我们选择了更复杂、具有趋势减少功能的类别。

首先，为了保证数值在单位区间内，让flapdenote使用均值为零且方差为2的拉普拉斯分布函数，即FLap（x）=+符号（x）1.- 经验(-|x |）, 十、∈ R，因此，对于x<0，表达式的两倍变成指数函数。确保权重和死亡概率严格为正→ ∞,我们使用趋势减少/加速技术*ζ、 η（t）=ηarctan（η（t）- ζ） ），（2.6）和参数（ζ，η）∈ R×（0，∞) 安德特∈ R、 受[Kainhofer et al.（2006）的启发，扩展信用风险+η的实际应用和估计很小，这说明了与Lee–Carter模型的密切联系。为了使估计更稳定，我们建议使用正态分布tζ，η（t）=（t*ζ、 η（t）-T*ζ、 η（t））/（t*ζ、 η（t）- T*ζ、 η（t）-1） ）带有归一化参数∈ R.自1970年以来，日本的死亡率改善趋势明显下降，见[Pasdika and Wolff（2005），第4.2节]，澳大利亚的女性也是如此。定义2.7（中心死亡率和体重的趋势家族）。年龄a、性别g在t年的中心脱色率由MA给出，g（t）=αa，g+βa，gTζa，g，ηa，g（t）+γt-A., （2.8）参数为αa，g，βa，g，ζa，g，γt-A.∈ 兰特ηi∈(0, ∞), 以及权重由wa，g，k（t）=exp给出的位置ua，g，k+va，g，kTφk，ψk（t）PKj=0expua，g，j+va，g，jTφj，ψj（t）, K∈ {0，…，K}，（2.9）带参数a，g，0，va，g，0，φ，ua，g，K，va，g，K，φK∈ 兰德ψ，ψK∈(0, ∞).上述假设产生了中心死亡率随时间的指数变化、模趋势下降tζ、η（t）和队列效应γt-a（t）-从出生α开始，β表示死亡率提高的速度，η表示趋势降低的速度，ζ表示S形反正切曲线上的位移，即趋势加速和趋势降低的位置。参数γt-amodels对同一出生年份的群体有协同效应。