延迟索赔的定价公式：珍惜过去，重视未来

σ~A是一个可数集，且每个λ∈ σ~A是有限重数的各向异性特征值。L etλ=supnReλ：＠K（λ）=0o（23）是＠A引理4.1的谱界。函数 ξ -→~K（ξ）∈ R严格递增，且谱界λ是方程K（ξ）=0的唯一实根。特别是，当且仅当r>λ时，由（10）定义的∧K为正。证据函数K（·）：R→ R是可微的，且∧K′（ξ）=1+Z-deξτ|τ|Φ|（dτ）>0，ξ∈ R很容易看出limξ→±∞~K（ξ）=±∞ ,因此方程K（ξ）=0只有一个实解ξ。显然，我们有ξ≤ λ. 为了证明ξ=λ，考虑任意数λ=x+iy，使得≈K（λ）=0。然后0=x- u+ σκ -Z-dexτcos（yτ）|Φ|（dτ）≥ 十、- u+ σκ -Z-dexτ|Φ|（dτ）=K（x）。因此，K（x）≤ 0产生x=reλ≤ ξ、 因此λ≤ ξ. 最后，利用K是一个增函数的事实，我们立即得到λ<r当且仅当K（r）>0。引理4.2。设K和＠K定义为（6）和（7），λ和λ分别为算子A和＠A的谱界。它保持λ≥ λ.证据利用K是一个递增函数的事实（见引理4.1），证明λ≤ λ、 证明K（λ）是有效的≤~K（λ）。回想一下引理4.1，我们有λ∈ 实际上λ与方程K（λ）=0的唯一实根重合。因此，我们只需要证明∧K（λ）≤ 设λ=x+iy是K（λ）=0的复数根。特别是，这意味着其实部满足以下等式X- （u+σTκ）-Z-dexτcos（yτ）Φ（dτ）=0。让我们来证明∧K（Re（λ））=K（x）≤ 0

记住前面的等式，我们有tK（x）=x- （u+σTκ）-Z-dexτ|Φ|（dτ）=x- （u+σTκ）-Z-dexτcos（yτ）Φ（dτ）-Z-dexτ|Φ|（dτ）+Z-dexτcos（yτ）Φ（dτ）≤ -Z-dexτ（1）- cos（yτ））Φ（dτ）。此时，写入Φ=Φ+- Φ-, 用Φ+和Φ-Φ的正数部分和负数部分，我们分别有K（x）≤ -Z-dexτ（1）- cos（yτ））Φ（dτ）=-Z-dexτ（1）- cos（yτ））Φ+（dτ）+Z-dexτ（1）- cos（yτ））Φ-（dτ）≤ 0.因为λ是Awe的一个通用元素，所以有K（λ）≤ 证据到此结束。引理4.3。让λ∈ R∩ ρ（A）。然后预解式R（λ，A）i s给出n byR（λ，A）嗯=uu（24）u=K（λ）m+Z-dZs-deλ（τ）-s） Φ（dτ）m（s）ds,u（s）=eλsK（λ）m+Z-dZs-deλ（τ）-s） Φ（dτ）m（s）ds+Zse-λ（s）-s） 男（s）ds。（25）证据。为了计算R（λ，A），我们将考虑嗯∈ 方程（λ）- （A）uu=嗯, （26）对认可机构的定义相当于(λ - (u- σκ） ）你-Z-du（τ）Φ（dτ）=mλu-duds=m.Thenu（s）=eλsu+Zse-λ（s）-s） 男（s）ds，s∈ [-d、 0]和由方程式确定的uisλ - (u- σκ)u=hm+Z-Deλτu+Zτe-λ（s）-τ）m（s）dsΦ（dτ）ior等效，由方程k（λ）u=m+Z给出-dZs-deλ（τ）-s） Φ（dτ）m（s）ds，其中K（λ）在（6）中定义。因此，对于K（λ）6=0，方程（26）是可逆的，其结果如下。回想一下，S（t）表示由A生成的强连续半群。下面的事实是众所周知的。引理4.4。对于Re（λ）>λ的任意λ，我们有z∞E-λtS（t）嗯dt=R（λ，A）嗯. （27）证据。公式（27）是任何强连续半群的标准公式，只要λ足够大。为了证明我们可以取λ>λ，我们引用了半群（t）最终是紧的这一事实，因此对于延迟半群的生成元，增长界和谱界λ重合，参见[4]第121页的推论2.5。对于λ∈ R使得K（λ）6=0f（λ），g（λ）定义为sf（λ）：=K（λ），g（λ，s）：=K（λ）Zs-判定元件-λ（s）-τ）Φ（dτ）。（28）引理4.5。修正t≥ 0

设M=（M，M）∈ H是下列微分方程的解dM（t）dt=AM（t），M（t）=M，M（t，s）=M（s），s∈ [-d、 0）。（29）带有（m，m）∈ R×L([-d、 0]；R） 。那么对于任何λ∈ R、 λ>λ我们有+∞te-λtM（t）dt=e-λth（f（λ），g（λ，·）），（m，m）iH。证据我们首先证明了t=0的结果。回顾引理4.3和引理4.4，wehaveZ∞E-λtM（t）dt=Z∞E-λtS（t）mdt=R（λ，A）m=K（λ）m+Z-dZs-deλ（τ）-s） Φ（dτ）m（s）ds=h（f（λ），g（λ，·）），（m，m）iH。（30）现在，考虑一下t≥ 0，然后让M（t；t，M，M），M（t；t，M，M）从（m，m）开始求解方程（29）。那么我们有m（t；t，m，m）=m（t- T0，m，m）。到（30）岁时，它保持着+∞te-λtM（t；t，m，m）dt=Z+∞E-λ（s+t）M（s；0，M，M）ds=e-λtZ+∞E-λsM（s；0，m，m）ds=e-λth（f（λ），g（λ）），（m，m）iH。为了证明定理2.1，我们还需要以下技术引理。引理4.6。它认为ZttX（s）σ+R-dX（s+τ）~n（dτ）。。。R-dX（s+τ）~nn（dτ）RND< +∞ .证据让我们用∑表示∑的第i个分量，并且让我们展示ZttX（s）σi+Z-dX（s+τ）~ni（dτ）ds< +∞.通过平凡不等式（a+b）≤ 2（a+b），这足以证明ZttX（s）（σi）ds< +∞, （31）安第斯山脉ZttZ-dX（s+τ）~ni（dτ）ds< +∞. （32）为了证明（31），根据[12]中的定理7.4，我们可以写出ZttX（s）（σi）ds≤ （σi）（t）- t） E小吃∈[t，t]X（s）< +∞.通过H¨older不等式来说明（32）Z-dX（s+τ）~ni（dτ）≤Z-d | X（s+τ）| |i（dτ）Z-d~ni（dτ）= ~ni([-d、 0]）Z-d | X（s+τ）| |i（dτ）.苏斯ZttZ-dX（s+τ）~ni（dτ）ds≤ ~ni([-d、 0]）ZttZ-判定元件|X（s+τ）|νi（dτ）ds≤~ni([-d、 0]）（t）- t） supτ∈[-d、 0]sups∈[t，t]E|X（s+τ）|.根据[12]中的定理7.4，上述表达式是有限的。我们现在可以提供定理2.1的结果。证据我们有Z+∞tξ（s）X（s）ds | Ft=Z+∞tEξ（s）X（s）|英尺ds P-a.s。

（33）事实上，利用条件平均数的性质，Fubini定理和[12]中的定理7.4，f或任何f∈ Ftwe haveZFEZ+∞tξ（s）X（s）ds | FtdP=ZFZ+∞tξ（s）X（s）ds dP=Z+∞tZFξ（s）X（s）dP ds=Z+∞tZFEξ（s）X（s）|英尺dP ds=ZFZ+∞tEξ（s）X（s）|英尺ds dP。计算Eξ（s）X（s）|英尺, 让我们考虑测得的等效概率P（s）：=e-|κs-κZsdP，定义于Fs。请注意，DP（s）dP=e-|κs-κZs=ersξ（s），因此通过[23]中的引理3.5.3，我们可以写出ξ（s）X（s）|英尺= ξ（t）e-r（s）-t） ~EX（s）|英尺,式中，E表示测量值P（s）下的平均值。我们的目标是评估+∞tEξ（s）X（s）|英尺ds=ξ（t）ertZ+∞te-rsEX（s）|英尺ds。（34）让P表示度量，这样PFs=所有s的P（s）≥ 0.根据Girsanovo定理，过程Z（t）=Z（t）+κt（35）是在测度P下的n维布朗运动，且Xunder＠P的动力学为isdX（s）=(u- σκ） X（s）+R-dX（s+τ）Φ（dτ）ds+X（t）σ+R-dX（s+τ）~n（dτ）。。。R-dX（s+τ）~nn（dτ）d~Z（s），其中Φ在（8）中定义。积分和t我们得到X（t）=X（t）+Ztt（u- σκ） X（s）ds+ZttZ-dX（s+τ）Φ（dτ）ds+ZttX（s）σ+R-dX（s+τ）~n（dτ）。。。R-dX（s+τ）~nn（dτ）d~Z（s），（36）因此~EX（t）|英尺=X（t）+（u）- σκ） ~EZttX（s）ds|Ft+~EZttZ-dX（s+τ）Φ（dτ）ds | Ft+~EZttX（s）σ+R-dX（s+τ）~n（dτ）。。。R-dX（s+τ）~nn（dτ）d~Z（s）|英尺.（37）根据引理4.6（在度量改变后仍然适用），与Z有关的随机积分是一个有意义的ale，并且具有零均值。根据条件平均的定义和富比尼定理，（37）中的表达式给出X（t）|英尺=X（t）+（u）- σκ） 中兴通讯X（s）|英尺ds+ZttZ-dEX（s+τ）|FtΦ（dτ）ds。（38）推导（38）关于t，我们得到以下结果，对于t>t:dEX（t）|英尺dt=（u）- σκ） ~EX（t）|英尺+Z-dEX（t+τ）|FtΦ（dτ）。

（39）然后我们看到X（t）|英尺一定是解决问题的办法dMdt（t）=（u- σκ） M（t）+R-dM（t+s）Φ（ds），t>0，M（t）=M，M（t，s）=M（s），s∈ [-d、 0）。（40）通过形合1和引理4.1和4.2，我们得到r>λ，因此调用引理4。我们得到了+∞te-逆转录酶EX（t）|英尺dt=e-rthf（r），g（r，·）, （m，m）iH。回想（33）和（34），我们可以写Z+∞tξ（s）X（s）ds | Ft= ξ（t）ertR+∞te-rsEX（s）|英尺ds=ξ（t）hf（r），g（r，·）, （m，m）iH。注意f（r），g（r，·）= （K，KG（·）），其中（f，g）定义在（28）、K（9）和g（13）中。因此，证据是完整的。5结论在本文中，我们对GBM驱动的具有风险资产的标准完整市场模型中具有延迟动态的支付流的mula进行了估值。作为一个实际例子，我们讨论了我们的分析在粘性工资环境下的人力资本估值中的应用，在粘性工资环境下，通过在标准G BM劳动收入动态的漂移系数和波动系数中引入延迟项来获得波动性。我们的估值公式得出了人力资本的明确表达式，证明了对过去进行增值以量化未来劳动收入的当前市场价值的重要性。更一般地说，本文采用的方法表明，如何利用有限维分析中的最小二乘法成功地解决非马尔可夫估值问题，从而超越常规方法。参考文献[1]Abowd，J.M.和D.Card，关于收入和小时变化的共变结构（1989），计量经济学，57（2），411-445。[2] M.Arriojas，Y.Hu，S.E M ohammed和G.Pap，一个延迟的Black and Scholes公式，（2007），随机分析和应用，25（2），第471-492页。[3] A.Barattieri，S.Basu和P.Gottschalk，《关于粘性工资重要性的一些证据》（2010），NBER第16130号工作文件。[4] A.本苏桑，G。

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