延迟索赔的定价公式：珍惜过去，重视未来

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英文标题：
《A pricing formula for delayed claims: Appreciating the past to value the
  future》
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作者：
Enrico Biffis, Beniamin Goldys, Cecilia Prosdocimi, Margherita Zanella
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the valuation of contingent claims with delayed dynamics in a Black \\& Scholes complete market model. We find a pricing formula that can be decomposed into terms reflecting the market values of the past and the present, showing how the valuation of future cashflows cannot abstract away from the contribution of the past. As a practical application, we provide an explicit expression for the market value of human capital in a setting with wage rigidity.
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中文摘要：
我们考虑了Black\\&Scholes完全市场模型中具有时滞动态的未定权益的估值问题。我们找到了一个定价公式，可以分解为反映过去和现在的市场价值的条款，表明未来现金流的估值不能脱离过去的贡献。作为一个实际应用，我们给出了工资刚性条件下人力资本市场价值的明确表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_pricing_formula_for_delayed_claims:_Appreciating_the_past_to_value_the_future.pdf (225.13 KB)

2022-5-8 05:49:47 上传

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关键词：Quantitative Contribution Differential Applications Probability

延迟索赔的定价公式：珍惜过去，珍惜未来*Beniamin Goldys+Cecilia ProsdocimiMargarita Zanella§2019年1月11日摘要我们在aBlack&Scholes完全市场模型中考虑了具有延迟动态的或有权益估值。我们找到了一个定价公式，可以分解为反映过去和现在市场价值的条款，显示未来现金流的估值如何不能从过去的贡献中提取出来。作为一个实际应用，我们为人力资本市场价值提供了一个明确的表达方式。关键词：随机函数微分方程，延迟方程，无障碍定价，人力资本，粘性工资。AMS分类——34K50、91B25、91G801简介资产定价理论的一个标准结果是，没有套利机会本质上等同于存在一个等效的概率度量*恩里科办公室（e。biffis@imperial.ac.uk)，英国伦敦SW7 2AZ南肯辛顿校区Imp-erial CollegeLondon帝国理工学院商学院。+贝尼亚明·戈迪斯（贝尼亚明）。goldys@sydney.edu.au)，澳大利亚新南威尔士州悉尼大学数学与统计学院，2006年Cecilia Prosdocimi（塞西莉亚。prosdocimi@gmail.com)路易丝·吉多·卡利，意大利罗马。§玛格丽塔·扎内拉(mzanella@luiss.it)路易丝·吉多·卡利，意大利罗马。在这种情况下，任何或有债权的价格在货币市场账户贴现后为局部鞅；参见[14,20,21]。在本文中，我们在一个完整的市场模型中保持套利定价的标准公式，其中证券价格的求解是几何布朗运动（GBM）。

我们工作的主要创新之处在于，我们考虑了具有随机泛函微分方程（SFDE）描述的动力学的未定权益。也许令人惊讶的是，在记忆动力学的情况下，使用无ar位年龄定价机制，我们能够导出公式的显式估值，这是出了名的难以研究。特别是，我们表明，价格可以被分解为一个与“过去的当前市场价值”相关的术语（从某种意义上说，可以精确到下面），以及一个反映“现在的市场价值”的术语。在我们的设置中，过去的持续贡献由目标过去轨迹的一部分来表示，该轨迹决定了未来的动态。利用我们的定价公式，我们证明了在未来现金流的市场一致性估值中，过去的贡献不可忽视。作为我们结果的一个实际应用，我们详细考虑了这样一种情况，即CONT ingent索赔代表代理人在其一生中（例如[17,6]）收到的随机索赔。众所周知，当劳动收入由可交易资产构成时，人力资本的市场价值可以通过风险中性估值轻松得出。在[17]中，这一结果被扩展到考虑内生退休和经济增长约束。通常很难考虑更丰富的劳动收入动态，包括未经统计的风险来源（例如[33]）、或状态变量（例如[17]，第6节）。关于劳动收入动态的实证文献广泛依赖于自回归滑动平均（ARMA）过程（例如[28]、[1]、[22]、[31]）：Reiss[35]、Lorenz[26]和Dunsumir等人[16]展示了如何将SFDE理解为离散时间ARMA过程的弱极限。

因此，我们预测在GBM劳动收入模型中引入延迟漂移和波动系数，以提供一个易于处理的工资动态例子，该工资动态随着金融市场冲击缓慢调整。我们得到了人力资本的一个封闭形式解，它明确了过去和现在市场价值的贡献。我们的研究结果表明，SFDE是有价值的建模工具，可以解决大量关于工资操纵性的实证文献（例如[30]、[25]、[13]、[3]、[27]）的发现。虽然我们广泛讨论了人力资本的应用，但Fabbri和Gozzi[18]也强调了过去在理解延迟模型的定性特征方面的重要性，尽管在确定的环境下，在Boucek-kine等人[7]的vintage capital解决内生增长模型时强调了这一点。直接应用于其他应用程序。例如，我们提供了一些关于交易对手风险和衍生品估值的参考文献，其中类似的动态出现在场外衍生品（例如[9,10]）的市场化程序延迟的抵押程序中。值得注意的是，许多作者最近研究了延迟价格动态情况下的无套利定价，例如[2,29]。他们的重点在于证明市场的完整性，因此与我们的非常不同。另一方面，他们的工作表明，我们的结果具有更广泛的适用性，尤其是在市场完整性得以保持的情况下，例如t可追踪资产具有延迟漂移和波动项的情况。论文的结构如下。在接下来的部分中，我们将介绍这个设置，并陈述我们的主要结果。第3节介绍了用于处理具有延迟动力学的非马尔可夫背景的数学工具。

在第三部分中，我们将问题嵌入到有限维希尔伯特空间中，该空间上的状态变量过程是马尔可夫过程。在第4节中，我们通过五个引理来证明我们的结果。第5节结束。2设置和主要结果考虑在我们的筛选概率空间中定义的Black-Scholes完整市场模型(Ohm, F、 F，P）。可供交易的是货币市场账户S和n风险集合，其价格向量过程为S。价格的动态性由dS（t）=S（t）rdt，dS（t）=diag（S（t））{udt+σdZ（t）}，S（0）=1，S（0）∈ Rn>0，（1）其中Z是n维布朗运动，u∈ Rn和σ∈ 注册护士 Rn，诸如此类> 0.在这里以及接下来的内容中，我们使用符号Rn>0表示集合{（xi）∈ Rn:xi>0，i=1，n} 。我们假设F:=（Ft）t≥0是由布朗运动Z生成的过滤，并用P-空集放大。将风险的市场价格定义为κ：=（σ)-1(u - r1），（2）在我们的设置中，随机贴现因子ξ的变化如下（见[15]）：dξ（t）=-ξ（t）rdt- ξ（t）κdZ（t）ξ（0）=1。（3） 我们考虑由F-适应过程X表示的支付流的估值。我们的目标是给出以下期望的明确表达式：HC（t）：=ξ（t）-1EZ+∞tξ（t）X（t）dt英尺. （4） 支付流可以被认为是捕捉了按市值计价的账户交易过程、交易策略产生的利润和损失流动、场外衍生品交易产生的抵押品流动，或代理人随着时间的推移获得的劳动力收入。

在后一种情况下，表达式（4）代表代理人人力资本的市场价值（如[17]），可以扩展到丰富的范围，以模拟永久退出劳动力市场（如死亡、不可逆转的失业或退休），如下面备注2.3所示。我们假设支付流xObeyong以下随机函数微分方程（SFDE）：dX（t）=hX（t）u+R-dX（t+s）φ（ds）idt+X（t）σ+R-dX（t+s）洎（ds）。。。R-dX（t+s）~nn（ds）dZ（t），X（0）=X，X（s）=X（s）代表s∈ [-d、 0），（5）其中∈ R、 σ∈ Rn，φ，ψ是有界变化的符号测度[-d、 0]且i=1，n、 还有x∈ R> 0，x∈ L[-d、 0]；R> 0. 不是说，当工资流被理解为劳动收入时，SFDE通过aGBM模型的漂移和波动系数中的延迟项引入工资对市场冲击的缓慢调整。这提供了一个易于处理的模型，以获取导言中讨论的工资刚性的经验证据。等式（5）承认了一个独特的强解，正如[3 2]中定理I.1和第I.3节中的andRemark 4所保证的那样，并提供了一个简单、易处理的例子，说明收入动力学缓慢地适应金融市场冲击。在动力学（5）下，（4）的估值可以在一个完整的市场模型内进行，该模型的特点是一个独特的随机贴现过程ξ。

[2]和[29]的结果表明，这同样适用于风险资产动力学特征随记忆漂移和波动性项的更一般情况。为了给出（4）的显式表达式，并给出本文的主要结果，我们定义了函数sk（λ）：=λ- (u- σκ) -Z-deλτΦ（dτ），λ∈ C，（6）~K（λ）：=λ- (u- σκ) -Z-deλτ|Φ|（dτ），λ∈ C，（7）测量Φ的位置[-d、 0]由Φ（·）给出：=φ(·) -φ(·)...~nn（·）κ, （8） Φ是指Φ的总变化量。我们还可以定义常数sK:=K（r）=r- u+ σκ -Z-derτΦ（dτ），（9）K:=K（r）=r- u+ σκ -Z-derτ|Φ|（dτ）。（10） 并假设以下条件在整篇论文中保持不变。假设1。（i） Φ是上有界变化的有符号度量[-d、 [0]，（ii）~K是严格正的，i。e、 ~K>0。（11） 我们现在准备好陈述我们的主要结果，它提供了我们设定的或有支付的市场价值的明确分解。定理2.1。Le tξ可定义为（3），Xevolve可定义为（5）。然后，在假设1下，对于任何t≥ 0我们可以写出c（t）=KX（t）+Z-dG（s）X（t+s）ds, P- a、 其中X（t）表示方程（5）的解，K在（9）中定义，g由g（s）给出：=Zs-判定元件-r（s）-τ）Φ（dτ）。（13） 在表达式（12）中，我们认识到年金系数K-1，乘以一个表示X当前值的项和一个表示X在时间窗口（t）上的上一个轨迹的当前值的项-d、 t）。如表达式（8）所示，“过去的市场价值”将支付流的回报与其金融风险敞口进行交易。

当漂移和波动系数中的延迟项消失时，支付流r的估值为K-1X（t）。假设1是我们提供定理2.1明确评估结果所需的全部条件，而人力资本的特殊应用要求劳动收入几乎肯定为正。下一条备注中提供了这种情况的充分条件。备注2.2。Xis最确定正性的一个充分条件是φ≥ 对于所有i，0和φi=0，因此（5）体积系数中的延迟项消失，因此Φ与φ重合，且为非负。定义e（t）：=e（u-σσ） t+σZ（t），I（t）：=ZtE-1（u）Z-dX（s+u）φ（ds）du，常数公式yieldsX（t）=E（t）的取值x+I（t）, （14） 这表明劳动收入在这种特殊情况下是正的，因为我们考虑的是严格正的初始条件x∈ R> 0和x∈ L[-d、 0]；R> 0.备注2.3。在某些有趣的情况下，s设置可以扩展到有界范围内的支付。当在停止时间τ上的非齐次泊松（代表死亡或不可逆转的失业，例如，在劳动收入的情况下）之前收到付款流时，表达式（12）仍然适用，前提是贴现率为r+δ而不是r，δ>0代表泊松参数。例2.4。作为将我们的设置应用于反导数上下文的一个简单示例，在方程式（5）中，考虑n=1、u=0、φ=0、σ=0和Д（s）=δ的情况-d（s），其中δa（s）表示a处的δ狄拉克量度，因此方程（5）readsdX（t）=X（t- d） dZ（t）。（15） 那么，对于t∈ [0，d）我们有x（t）=x+ZtX（s）- d） dZ（s）=x+Zt-D-dx（τ）dZ（τ+d）。

（16） 在这种情况下，X（t）是高斯分布的，可以使用dynam i c s（15）来建模，例如，n个柜台交换的变化幅度，当抵押程序依赖于工具的延迟按市值计价时（例如，见[9]，第3 16页或[10]）。3数学工具将便于将劳动收入Xin嵌入有限维希尔伯特空间HH:=R×L[-d、 0]；R,赋予x=（x，x），y=（y，y）一个内积∈ 定义的ashx，yiH:=xy+hx，yiL，其中hx，yiL:=Z-dx（s）y（s）ds。在下面的内容中，我们省略了内积符号中的下标Lin。让我们定义两个作用于域D（A）A s的算子A和C如下：D（A）=D（C）：={（x，x）∈ H:x∈ W1,2[-d、 0]；R, x=x（0）}，Sobolev空间W1,2[-d、 0]；R定义为1,2[-d、 0]；R:=U∈ L([-d、 0]）： G∈ L([-d、 使u（θ）=c+Zθ-dg（s）ds.安达：D（A） H→ H、 A（x，x）：=ux+Z-dx（s）φ（ds），dxds,与（5）中的u和φ一样，和c:D（A） H→ Rn×L([-d、 0]；Rn），C（x，x）：=σx+R-dx（s）~n（ds）。。。R-dx（s）~nn（ds）, 0,（5）中有σ和φias。以下众所周知的f act（见[12]）对本文的其余部分至关重要。引理3.1。在H证明中，算子A生成一个强连续半群。运算符A可以写成形式（x，x）=Z-dx（θ）a（dθ），dxds, （17） 其中（dθ）=δ（dθ）+φ（dθ），δ是零处的δ狄拉克测度。该指标定义了一个明确的衡量标准[-d、 引理紧跟在[12]中命题A.25之后。（5）中的劳动收入可以等效地定义为以下等式（见[11]）中H中的解的第一个组成部分dX（t）=AX（t）dt+（CX（t））对于s，dZ（t），X（0）=X，X（0，s）=X（s）∈ [-d、 主要结果的证明定理2.1的证明将遵循以下五个引理。

为了证明这个定理，我们将考虑在一个等价的概率测度下劳动收入的条件平均值。我们将证明，这个量服从一个确定性微分方程，用下面定义的算子来描述。LetD（A）：=（x，x）∈ H:x（·）∈ W1,2[-d、 0]；R, x=x（0）,安达：D（A） H-→ HA（x，x）：=(u- σκ） x+Z-dx（s）Φ（ds），dxds,（19） 含（u）- σκ) ∈ R和Φ定义在（8）中。将u替换为u- σκ和φ与Φ我们根据L emma 3.1和假设1（ii）推断出H.Let中的一个强连续半群（S（t））M（t；0，M，M），M（t，s；0，M，M）是下列微分方程在时间t的解dM（t）dt=AM（t），M（0）=M，M（0，s）=M（s），s∈ [-d、 0），（20）带m∈ R> 0和m∈ L[-d、 0]；R> 0. 然后通过定义（t）嗯=M（t；0，M，M）M（t，s；0，M，M）. （21）用ρ（A）和R（λ，A）=（λ）表示- （A）-1，A的预解集和预解集分别由σ（A）表示A的谱。众所周知（例如参见[4]第126页的命题2.13或[12]中的命题A.25），A的谱由σ（A）={λ表示∈ C:K（λ）=0}，其中K（·）在（6）中定义。此外，我们知道σ（A）是一个可数集，并且是λ∈ σ（A）是有限重数的孤立特征值。L etλ=sup{Reλ：K（λ）=0}（22）是A的谱界。在这一点上，为了证明引理链（我们用来证明定理2.1），我们需要引入一个新的算子A.LetD（A）=D（A），和A:D（A） H→ H、 ~A（x，x）：=(u- σTκ）x+Z-dx（s）|Φ|（ds），dxds,借助引理3.1，我们推断出H中的∧生成了一个强连续半群。用ρ（∧a）和∧R（λ，~a）=（λ）表示-§A）-1，预解集和预解集分别由σ表示~AA的谱。关于Awe的论点是，A的谱由σ给出~A=nλ∈ C:~K（λ）=0o，其中~K（·）在（7）中定义。