预测平均场方程的最优控制及其应用

如定理3.1所示，通过将终止时间t替换为随n的增加而增加的停止时间τ，我们得到了如[OS2]所示的结果，我们可以假设在下面的计算中出现的所有局部鞅都是鞅。该证明与[OS2]中定理3.2的证明有许多相似之处，但由于预测平均场项存在一些本质差异，我们概述了整个证明。为了简单起见，我们在续集中脱帽致敬，也就是说，我们写的是u而不是^u等=> （ii）：我们可以写rj（u+rβ）|r=0=I+I+I，其中I=ddrEZTf（t，Yu+rβ（t），Au+rβ（t），Zu+rβ（t），Ku+rβ（t），u（t）+rβ（t））dtr=0I=ddr[ψ（Xu+rβ（T））]r=0I=ddr[ψ（Yu+rβ（0））]r=0。根据我们对f和ψ的假设=ZTFx（t）x（t）+Fy（t）y（t）+Fa（t）a（t）+Fz（t）z（t）+hkf（t，·），k（t，·）i+Fu（t）β（t）dt（3.25）andI=E[~n′（X（T）X（T）]=E[p（T）X（T）]（3.26）I=ψ′（Y（0））Y（0）=λ（0）Y（0）。

（3.27）通过It^o公式和（3.23）I=E[p（T）x（T）]=EZTp（t）dx（t）+ZTx（t）dp（t）+ZTd[p，x]（t）= EZTp（t）Bx（t）x（t）+By（t）y（t）+Ba（t）a（t）+Bz（t）z（t）+hkb（t），k（t，·）i+Bu（t）β（t）dt+Zτnx（t）-Hx（t）dt+Zτnq（t）σx（t）x（t）+σy（t）y（t）+σa（t）a（t）+σz（t）z（t）+hkσ（t），k（t，·）i+σu（t）β（t）dt+ZTZRr（t，ζ）γx（t，ζ）x（t）+γy（t，ζ）y（t）+γa（t，ζ）a（t）+γz（t，ζ）z（t）+<kγ（t，ζ），k（t，·）>+γu（t，ζ）β（t）ν（dζ）dt= EZTx（t）Bx（t）p（t）+σx（t）q（t）+ZRγx（t，ζ）r（t，ζ）ν（dζ）-Hx（t）dt+ZTy（t）By（t）p（t）+σy（t）q（t）+ZRγy（t，ζ）r（t，ζ）ν（dζ）dt+ZTa（t）Ba（t）p（t）+σa（t）q（t）+ZRγa（t，ζ）r（t，ζ）ν（dζ）dt+ZTz（t）Bz（t）p（t）+σz（t）q（t）+ZRγz（t，ζ）r（t，ζ）ν（dζ）dt+ZTZRhk（t，·），kb（t）p（t）+kσ（t）q（t）+ZRkγ（t，ζ）r（t，ζ）ν（dζ）iν（dζ）dt= EZTx（t）-Fx（t）- λ（t）Gx（t）dt+ZTy（t）Hy（t）-Fy（t）- λ（t）Gy（t）dt+ZTa（t）Ha（t）-Fa（t）- λ（t）Ga（t）dt+ZTz（t）Hz（t）-Fz（t）- λ（t）Gz（t）dt+ZTZRk（t，ζ）{kH（t）- kf（t）- λ（t）kg（t）}ν（dζ）dt+ZTβ（t）Hu（t）-Fu（t）- λ（t）Gu（t）dt= -我- EZTλ（t）Gx（t）x（t）+Gy（t）y（t）+Gz（t）z（t）+hkg（t），k（t，·）i+Gu（t）β（t）dt+EZTHy（t）y（t）+Hz（t）z（t）+hkH（t），k（t，·）i+Hu（t）β（t）dt（3.28）通过It^o公式和（3.24），I=λ（0）y（0）=Eλ（T）y（T）-ZTλ（t）dy（t）+ZTy（t）dλ（t）+ZTd[λ，y]（t）= E[λ（T）y（T）]-EZTλ（t）-Gy（t）y（t）-Ga（t）a（t）-Gz（t）z（t）-Hkg（t），k（t，·）i-Gu（t）β（t）dt+ZTy（t）Hy（t）dt+y（t）Ha（t）- δ） χ[δ，T]（T）dt+ZTz（T）Hz（t）dt+ZTZRk（t，ζ）kH（t，ζ）ν（dζ）dt.

（3.29）添加（3.25），（3.28）和（3.29）并使用Ha（t）- δ） χ[δ，T]dt]=E[ZT-δy（s+δ）Ha（s）ds]=E[ZTHa（s）E[y（s+δ）|Fs]ds]=E[ZTy（t）Ha（s）a（s）ds]，（3.30）我们得到ddrj（u+rβ）|r=0=I+I=EZTHu（t）β（t）dt.我们得出结论，DDRj（^u+rβ）|r=0=0if且仅当ifE“ZT^H对于所有有界β，u（t）β（t）dt#=0∈ 表格的AGof（3.17）。因为这对所有这些β都成立，我们得到，如果（i）成立，那么^Hu（t）| Gt#dt=0表示所有t∈ [0，T）。（3.31）使用^Hu（t），我们得出结论（ii）成立。（二）=> （i） ：这可以通过颠倒上述论点来证明。我们省略了细节。4.预测均值方程的存在性和唯一性本节我们研究了未知量Y（t），Z（t），K（t，ζ）形式下预测均值方程的存在性和唯一性dY（t）=-g（t，Y（t），A（t），Z（t），K（t，·），ω）dt+Z（t）dB（t）+RRK（t，ζ）~N（dt，dζ）；T∈ [0，T）Y（T）=L；T∈ [T，T+δ]；δ>0固定（4.1），其中∈ L（P）是一个给定的FT可测随机变量，之前的过程a（t）由a（t）=E[Y（t+δ）|FT]定义；T∈ [0，T]。（4.2）为此，我们可以使用[OSZ2]中用于处理类似但不同的时间推进BSDE的相同论点。为了完备性，我们给出了细节：定理4.1假设如下holdsE[ZTg（t，0，0，0，0）dt]<∞ （4.3）存在一个常数C，使得| g（t，y，a，z，k）- g（t，y，a，z，k）|≤ C（| y）- y |+| z- z |+（ZR | k（ζ）- k（ζ）|ν（dζ））（4.4）对于所有t∈ [0，T]，a.s.然后（4.1）存在一个唯一的三重解（Y（T），Z（T），K（T，ζ）），这样就成立了：（Y是c`adl`ag，E[supt∈[0，T]Y（T）]<∞,Z、 K是可预测的，E[RT{Z（t）+RRK（t，ζ）ν（dζ）}dt]<∞.证据我们从时间间隔[T]开始向后旋转- δ、 T]：第一步。在这个区间内，我们有A（t）=E[L | Ft]，因此我们从经典BSDE的理论中知道（参见。

[Q] [QS]和其中的参考文献），即存在一个唯一的溶液三元（Y（t），Z（t），K（t，ζ）），如下所示：（Y是c`adl`ag和E[supt∈[T]-δ、 T]Y（T）]<∞,Z、 K是可预测的，E[RTT-δ{Z（t）+RRK（t，ζ）ν（dζ）}dt]<∞.第二步。接下来，我们继续间隔[T]- 2δ，T- δ]. 对于该区间内的t，Y（t+δ）的值从上一步已知，因此A（t）=E[Y（t+δ）|Ft]已知。此外，通过步骤1，该间隔的终值Y（T- δ） ，在L（P）中是已知的。因此，我们可以参考经典BSDE理论，在这个区间内得到一个唯一的解。步骤n.我们继续这个迭代，直到达到区间[0，T]- nδ]，其中n是一个自然数- （n+1）δ≤ 0<T- nδ。结合每个子区间的解，我们得到整个区间的解。5.应用在本节中，我们通过看两个例子来说明前面几节的结果。5.1内幕影响市场中的最优投资组合在Kyle[K]和Back[B]的开创性论文中证明，在一个由o噪音交易者（其中噪音由布朗运动建模）组成的金融市场中，o一个知道风险资产在终端时间T=T时的价格L值的内幕人士，以及o一个在任何时间T清算市场并设定市场价格的市场庄家，相应的均衡价格过程（由内幕人士的投资组合产生，该投资组合使其预期收益最大化），将是一个布朗桥，在时间t=t时终止于值L。

有鉴于此，我们发现预测平均场方程可以是受内幕影响市场中风险资产价格的自然模型。因此，假设我们有一个具有以下两种投资可能性的市场：o一个单价为S（t）：=1的风险资产o一个在时间t时单价为S（t）：=Y（t）的风险资产，由预测平均数方程（dY（t）=-A（t）u（t）dt+Z（t）dB（t）；T∈ [0，T）Y（T）=L（ω）；T∈ [T，T+δ]，（5.1），其中u（T）=u（T，ω）是给定的有界ada pted过程，L是给定的有界Ft可测量随机变量，是过程Y在时间T的终端状态。假设u（t）是一个投资组合，代表在t时刻持有的风险资产的数量。我们假设G=F。如果我们假设该投资组合是自融资的，那么相应的财富过程X（t）=Xu（t）dY（t）=u（t）a（t）u（t）dt+u（t）Z（t）dB（t）给出；T∈ [0，T）X（0）=X>0。（5.2）让U[0，∞) 7.→ [-∞, ∞) 是一个给定的效用函数，假设是递增的，Con（0，∞). 我们研究了以下投资组合优化问题：问题5.1找到u*∈ 一个这样的人∈AE[U（Xu（T））]=E[U（Xu）*（T））]。（5.3）这是前面几节中讨论过的问题，f=ψ=N=0，ψ=U，h（x，ω）=L（ω），我们可以应用第三节中的最大值原理来研究它。通过（3.1），哈密顿量的形式为h（t，x，y，a，z，k，u，p，q，r，λ）=uau（t）p+uzq+au（t）λ。（5.4）点过程p（t），q（t），λ（t）中相关的前后向方程组变成p（t），q（t）中的oBSDE:（dp（t）=q（t）dB（t）；0≤ T≤ Tp（T）=U′（X（T）），（5.5）oλ（T）中的SDE:（dλ（T）=u（T）- δ） [u（t- δ） p（t）- δ） +λ（t）- δ） ]χ[δ，T]（T）dt+u（T）q（T）dB（T）；0≤ T≤ Tλ（0）=0。（5.6）哈密顿量只能有一个关于u ifA（t）u（t）p（t）+Z（t）q（t）=0的最大值。

（5.7）将其代入（5.5），我们得到（dp（t）=-θ（t）p（t）dB（t）；0≤ T≤ Tp（T）=U′（X（T）），（5.8），其中θ（T）：=A（T）u（T）Z（T）。（5.9）由此我们得到p（t）=c exp(-Ztθ（s）dB（s）-Zt（θ（s））ds；0≤ T≤ T（5.10），其中constantc=p（0）=E[U′（X（T）]（5.11）有待确定。特别地，把t=t放在（5.10）中，我们得到u′（X（t））=p（t）=c exp(-ZTθ（s）dB（s）-ZT（θ（s））ds（5.12）orX（T）=（U′）-1（c）经验(-ZTθ（s）dB（s）-ZT（θ（s））ds）。（5.13）定义Γ（T）=exp（ZTθ（s）dB（s）-ZT（θ（s））ds）。（5.14）然后根据Girsanov定理，在FTbydQ（ω）=Γ（T）dP（ω）（5.15）上定义的测度Q是市场的等价鞅测度（5.1）。因此，通过（5.13），x=EQ[x（T）]=E[（U′）-1（c）经验(-ZTθ（s）dB（s）-ZT（θ（s））ds）Γ（T）]。（5.16）该方程隐含地确定了常数c的值，因此通过（5.13）最优终端财富X（T）=Xu*（T）。找到相应的最优投资组合u*我们的步骤如下：定义（t）：=u*（t） Z（t）。（5.17）然后（徐）*（t） ，Z（t））是通过求解线性BSDE（dXu*（t） =A（t）u（t）Z（t）Z（t）dt+Z（t）dB（t）；0≤ T≤ TXu*（T）=E[（U′）-1（c）经验(-RTθ（s）dB（s）-RT（θ（s））ds）Γ（T）]。（5.18）我们已经证明了：定理5.1（内部人影响市场中的最优投资组合）*问题（5.3）由U给出*（t） =Z（t）Z（t），（5.19），其中Z（t），Z（t）分别是BSDE（5.1），（5.18）的解，c和θ分别由（5.16）和d（5.9）给出。5.2预测性重复效用最大化考虑现金流X（t）=Xc（t），由（dX（t）=X（t）[u（t）dt+σ（t）dB（t）+RRγ（t，ζ）~N（dt，dζ）]- c（t）X（t）dt；T∈ [0，T）X（0）=X>0。（5.20）这里，u（T）、σ（T）、γ（T，ζ）是有界的适应过程，而u（T）：=c（T）是我们的控制，被解释为现金流的相对消耗率。我们说，如果c是F适应的，c（T）>0，并且Xc（T）>0，那么c是可容许的∈ [0，T）。

我们将G=F。设Y（t）=Yc（t），Z（t）=Zc（t），K（t，ζ）=Kc（t，ζ）为（dY（t）=-{α（t）A（t）+ln（c（t）X（t））}dt+Z（t）dB（t）+RRK（t，ζ）~N（dt，dζ）；T∈ [0，T）Y（T）=0，（5.21），其中α（T）>0是一个给定的有界F适应过程。然后，受[de]中递归效用的经典定义的启发，我们将Yc（0）定义为相对消费率c的预测递归效用。我们现在研究以下预测递归效用最大化问题：问题5.2发现c*∈ 一个这样的人∈AYc（0）=Yc*(0). （5.22）我们应用最大值原理来研究这个问题。在这种情况下，我们有f=~n=h=0，ψ（x）=x，哈密顿量变成（t，x，y，a，z，k，u，p，q，r，λ）=x[（u（t）- c） p+σ（t）q+ZRγ（t，ζ）r（ζ）ν（dt，dζ）]+[aα（t）+lnc+lnx]λ。（5.23）伴随过程p（t），q（t），λ（t）中相关的前后向方程组成为p（t），q（t）中的oBSDE：dp（t）=-[（u（t）- c（t）p（t）+σ（t）q（t）+RRγ（t，ζ）ν（dt，dζ）+λ（t）X（t）]dt+q（t）dB（t）+RRr（t，ζ）~N（dt，dζ）；0≤ T≤ Tp（T）=0，（5.24）oλ（T）中的SDE:（dλ（T）=α（T）- δ） λ（t）- δ） ]χ[δ，T]（T）dt；0≤ T≤ Tλ（0）=1。（5.25）延迟SDE（5.25）不包含任何未知参数，很容易看出它有一个唯一的连续解λ（t）>1，我们可以认为它是已知的。我们现在可以按照[AO]第5.2节中的相同路线进行：最大化H相对于c给出一阶条件c（t）=λ（t）X（t）p（t）。（5.26）线性BSDE（5.24）的解由Γ（t）p（t）=E[ZTtλ（s）Γ（s）X（s）ds | Ft]，（5.27）给出，其中（dΓ（t）=Γ-)[（u（t）- c（t）dt+σ（t）dB（t）+RRγ（t，ζ）~N（dt，dζ）]；0≤ T≤ TΓ（0）=1。（5.28）与（5.20）相比，我们看到x（t）=xΓ（t）；0≤ T≤ T.（5.29）将其代入（5.27）我们得到p（T）X（T）=E[ZTtλ（s）ds | Ft]；0≤ T≤ T

（5.30）将其代入（5.26），我们得到以下结论：定理5.3最佳相对消耗率c*（t） 对于预测递归效用消耗问题，m（5.22）由C给出*（t） =λ（t）E[RTtλ（s）ds | Ft]；0≤ t<t，（5.31），其中λ（t）是延迟SDE（5.25）的解。参考文献[AO]N.Agram和B.Oksendal:前向滞后随机微分方程的有限hor-izon最优控制。计算与应用数学杂志259（2014），336-349。[B] K.后退：持续时间的内幕交易。牧师。北卡罗来纳州国际泳联。螺柱。5(3) ( 1992), 387-409.[DE]D.杜菲和L.爱泼斯坦：随机微分效用。Econo metrica 60（1992），353394。[DI]L.Delong和P.Imkeller：具有时滞生成器的倒向随机微分方程结果和反例。Appl的编年史。Probab。20(4)(2010), 1512-1536.[EPQ]N.El Karoui，S.Peng和M.-C.Quenez：约束条件下递归效用优化的动态最大值原理。Appl的编年史。Probab。11(2001), 664-693.[K] A.S.凯尔：持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学》53（6）（1985），1315-1336。[MYZ]马建，尹H，张建：关于非马尔可夫向前向后SDE和向后随机PDE。Stoc h.Proc。还有他们的苹果。122 (2012), 3980-4004.[OS1]B.Oksendal和A.Sulem：应用跳跃差异的随机控制。第二版。斯普林格2007。[OS2]B.Oksendal和A.Sulem：通过It^o-LKevy过程建模的金融市场风险最小化。Afrika Matematika（2014），内政部：10.1007/s13370-014-02489-9。[OSZ1]B.Oksendal，A.Sulem和T.Zhang：正向随机微分方程最优控制的随机HJB方程（13页）。arXiv 1312.1472（2013年12月）。出现在A.Veraart、M.Podolskij、R.Stelzer和S.Thorbjornsen（编辑）：概率、统计学及其应用的基础上。

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