预测平均场方程的最优控制及其应用

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英文标题：
《Optimal control of predictive mean-field equations and applications to
  finance》
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作者：
Bernt {\\O}ksendal and Agn\\`es Sulem
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study a coupled system of controlled stochastic differential equations (SDEs) driven by a Brownian motion and a compensated Poisson random measure, consisting of a forward SDE in the unknown process $X(t)$ and a \\emph{predictive mean-field} backward SDE (BSDE) in the unknowns $Y(t), Z(t), K(t,\\cdot)$. The driver of the BSDE at time $t$ may depend not just upon the unknown processes $Y(t), Z(t), K(t,\\cdot)$, but also on the predicted future value $Y(t+\\delta)$, defined by the conditional expectation $A(t):= E[Y(t+\\delta) | \\mathcal{F}_t]$. \\\\ We give a sufficient and a necessary maximum principle for the optimal control of such systems, and then we apply these results to the following two problems:\\\\ (i) Optimal portfolio in a financial market with an \\emph{insider influenced asset price process.} \\\\ (ii)   Optimal consumption rate from a cash flow modeled as a geometric It\\^ o-L\\\' evy SDE, with respect to \\emph{predictive recursive utility}.
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中文摘要：
我们研究了由布朗运动和补偿泊松随机测度驱动的受控随机微分方程（SDE）耦合系统，包括未知过程$X（t）$中的前向SDE和未知过程$Y（t），Z（t），K（t，\\cdot）$中的后向SDE（BSDE）。在时间$t$时，BSDE的驱动因素可能不仅取决于未知过程$Y（t）、Z（t）、K（t、\\cdot）$，还取决于预测的未来值$Y（t+\\delta）$，由条件期望$A（t）定义：=E[Y（t+\\delta）| \\mathcal{F}\\t]$我们给出了这类系统最优控制的一个充分必要的极大值原理，然后将这些结果应用于以下两个问题：\\\\（i）具有内部人影响的资产价格过程的金融市场中的最优投资组合。\\\\ \\（ii）从现金流建模为几何It“o-L”evy SDE的最优消费率，关于预测递归效用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_control_of_predictive_mean-field_equations_and_applications_to_finance.pdf (204.35 KB)

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关键词：最优控制 Optimization Differential Quantitative Applications

预测平均场方程的最优控制及其在ceBerntOksendal1,2,3法国南部地区的应用2015年5月4519日SC（2010）：60HXX；60J65；60J75；93E20；91G80。关键词：预测（时间推进）平均场BSDE，耦合的FBSDE系统，最优控制，最大化原理，最优投资组合，内部影响金融市场，预测性循环效用，效用最大化消费率。摘要我们研究由布朗运动和补偿泊松随机测度驱动的受控随机微分方程（SDE）耦合系统，由未知过程X（t）中的正向SDE和未知过程Y（t）、Z（t）、K（t、·）中的预测平均场反向SDE组成。时间t时BSDE的驱动因素可能不仅取决于未知过程Y（t）、Z（t）、K（t，·），还取决于由条件期望A（t）：=E[Y（t+δ）|Ft]定义的预测未来值Y（t+δ）。我们给出了这类系统最优控制的充分必要的最大原则，然后将这些结果应用于以下两个问题：（i）具有内部人影响的资产价格过程的金融市场中的最优投资组合。（ii）根据预测递归效用，将现金流建模为几何It^o-LKevy SDE的最优消费率。1导言本文的目的是介绍和研究一个定价模型，其中关于价格过程未来发展的信念影响其当前动态。我们认为这是可以接受的。奥斯陆大学数学系，P.O。

挪威奥斯陆北区布林登1053号信箱-0316，电子邮件：oksendal@math.uio.no.Norwegian挪威卑尔根Hellevien 30-5045经济学院。这项研究是在挪威科学与文学学院（NorwegianAcademy of Science and Letters）的CAS高级研究中心（Centre for Advanced Study）的支持下，在SEFE研究项目范围内进行的。法国巴黎罗库库库尔特、沃卢索庄园、罗库库尔特、BP 105、Le Chesnay Cedex、78153和巴黎东部大学，电子邮件：agnes。sulem@inria.frUniversit巴黎经济特区——马恩·拉瓦尔（Marne la Vall）是价格动态中的一个现实假设，其中涉及人类心理，例如电价、油价和能源市场。它也可以是内部影响市场中风险资产价格的自然模型。见第5.1节。我们用布朗运动和补偿泊松随机测度驱动的倒向随机微分方程（BSDE）等价格过程建模，其中系数不仅取决于未知过程的当前值，还取决于其预测的未来值。这些预测值用条件预测的数学形式表示，因此我们将这些方程命名为预测平均场方程。据我们所知，这种系统以前从未被研究过。在金融市场的投资组合优化应用中，价格过程由预测平均场方程建模，我们考虑了向前向后随机微分方程（FBSED）的耦合系统，其中BSDE为预测平均场类型。本文用极大值原理研究了这类系统最优控制的求解方法。

然后，我们将这些方法应用于研究（i）金融市场中具有影响资产价格过程的最优投资组合。（第5.1节）和（ii）基于几何It^o-LKevy SDE建模的现金流的最优消费率，关于预测递归效用（第5.2节）。2问题的公式我们现在详细介绍我们的模型。设B（t）=B（t，ω）；（t，ω）∈ [0, ∞) × Ohm N（dt，dζ）=N（dt，dζ）- 在滤波概率空间中，ν（dζ）dt分别是布朗运动和独立补偿泊松随机测度(Ohm, E、 F={Ft}t≥0，P）满足通常条件。我们考虑预测（时间推进）耦合平均场正反向随机微分方程（FBSDE）的受控系统，其形式为（T>0和δ>0为给定常数）oX（T）中的正向SDE：dX（t）=dXu（t）=b（t，X（t），Y（t），A（t），Z（t），K（t，·），u（t），ω）dt+σ（t，X（t），Y（t），A（t），Z（t），K（t，·），u（t），ω）dB（t）+RRγ（t，X（t），Y（t），A（t），Z（t），K（t，·），u（t），ζ，ω）~N（dt，dζ）；T∈ [0，T]X（0）=X∈ RoY（t）、Z（t）、K（t）中的预测BSDE：dY（t）=-g（t，X（t），Y（t），A（t），Z（t），K（t，·），u（t），ω）dt+Z（t）dB（t）+RRK（t，ζ）~N（dt，dζ）；T∈ [0，T）Y（T）=h（X（T），ω）。（2.1）我们setY（T）：=L；T∈ （T，T+δ]，（2.2），其中L是给定的有界F-可测随机变量，表示时间T后过程Y的“公墓”状态。过程A（t）代表我们的预测性定义术语。定义为a（t）：=E[Y（t+δ）|Ft]；T∈ [0，T]。（2.3）这里R是从R:=R\\{0}到R的函数集，h（x，ω）是从R×（相对于x）到R的c函数Ohm 使h（x，·）对所有x是FT可测的，且g:[0，T]×R×R×R×R×U×Ohm → Ris一个给定的函数（驱动程序），使得g（t，x，y，a，z，k，u，·）是一个适应于llx，y，a，z的过程∈ R、 k∈ R和u∈ U、 这是一组允许的控制值。

过程u（t）是我们的控制过程，假设t在一个给定的可容许过程族中，假设为c`adl`ag，并适应给定的子过滤G={Gt}t≥过滤F的0，即Gt 对于所有的t，西格玛代数GT代表了时间t上控制器可用的信息∈ 耦合系统（2.1）-（2.3）有唯一解X（t）=Xu（t）∈ L（m×P），Y（t）=Yu（t）∈ L（m×P），A（t）=Au（t）∈ L（m×P），Z（t）=Zu（t）∈ L（m×P），K（t，ζ）=Ku（t，ζ）∈ L（m×ν×P），其中X（t），Y（t），A（t）是c`adl`和Z（t），K（t，ζ）是可预测的。这里和la t er m表示[0，t]上的勒贝格测度。据我们所知，这一预测平均场FBSDESA系统（2.1）-（2.3）以前从未被研究过。然而，预测BSDE（2.1）-（2.3）与时间超前BSDE有关，后者是随机微分延迟方程的随机控制问题的伴随方程。参见[OSZ2]及其参考文献。过程A（t）对时间t+δ时状态Y的预测未来值进行建模。因此（2.1）-（2.3）代表了一个系统，在这个系统中，状态的动态受到对未来的信念的影响。这是一个自然模型，适用于涉及人类行为的情况，例如金融或能源市场的定价问题。与u相关的性能函数∈ A由j（u）=E定义ZTf（t，X（t），Y（t），A（t），u（t），ω）dt+ψ（X（t），ω）+ψ（Y（0））（2.4）式中f:[0，T]×R×R×U×Ohm → R、 ν：R×Ohm → R和ψ：R→ R是给定的c函数，f（t，x，y，a，u，·）对所有x，y，a进行f-调整∈ R、 u∈ U.我们假设φ（x，·）对于所有x都是可测量的。我们研究了以下预测平均场随机控制问题：问题发现U*∈ 一个这样的人∈AJ（u）=J（u*).

（2.5）在第3节中，我们给出了上述类型正向预测平均场系统最优控制的充分性和必要的最大值原则。第4节给出了预测平均场BSDE的存在性和唯一性结果。然后在第5节中，我们将结果应用于以下问题：o股票价格由预测平均场BSDE建模的市场中的Portf olio优化，o关于预测递归效用的消费优化。随机控制问题的3种解决方法。1符号简单性的充分极大原理我们在后继中抑制了ω在f，g，h，ψ和ψ中的依赖性。我们首先通过修改[OS2]中给出的随机最大值原理，给出控制u最优性的充分条件，以适应我们的新情况：我们定义哈密顿量H:[0，T]×R×R×R×R×R×R×u×R×R×R×R）→ 与问题（2.5）相关的是h（t，x，y，a，z，k，u，p，q，r，λ）=f（t，x，y，a，u）+b（t，x，y，a，z，k，u）p+σ（t，x，y，y，a，z，k，u）q+ZRγ（t，x，y，a，z，k，u，ζ）~N（dt，dζ）+g（t，x，y，y，a，z，k，u）λ。（3.1）我们假设f、b、σ、γ和g以及H在变量x、y、a、z、k、u中是Fr’echet可微分的（C），并且Fr’echet导数关于k的H的kH∈ R作为arandom测度，对于ν是绝对连续的，且Radon-Nikodym是导数kHdν。因此，如果hkH，hi表示线性算子的作用关于函数∈ 我们有kH，hi=ZRh（ζ）dkH（ζ）=ZRh（ζ）dkH（ζ）dν（ζ）dν（ζ）。

（3.2）伴随过程p（t）、q（t）、r（t）、λ（t）中相关的前后向方程组由p（t）、q（t）、r（t）中的oBSDE定义：dp（t）=-Hx（t）dt+q（t）dB（t）+ZRr（t，ζ）~N（dt，dζ）；0≤ T≤ Tp（T）=~n′（X（T））+λ（T）h′（X（T））。（3.3）o单位为λ（t）的SDE：dλ（t）=nHy（t）+Ha（t）- δ） χ[δ，T]（T）odt+Hz（t）dB（t）+ZRdkHdν（t，ζ）~N（dt，dζ）；0≤ T≤ Tλ（0）=ψ′（Y（0）），（3.4），其中我们使用了缩写符号H（T）=H（T，X（T），Y（T），A（T），Z（T），K（T，·），u（T），p（T），q（T），r（T），λ（T））。请注意，与时间推进的BSDE（2.1）-（2.3），（3.4）相比，它是一个（向前）随机微分方程，具有延迟。定理3.1（有效极大值）让^u∈ A与（2.1）-（2.3），（3.3）-（3.4）的解^X（t），^Y（t），^A（t），^Z（t），^K（t，·），^p（t），^q（t），^r（t），^λ（t）对应。假设如下：o^λ（T）≥ 0（3.5）o对于所有t，函数X→ h（x），x→ ~n（x），x→ ψ（x）和（x，y，a，z，k，u）→ H（t，x，y，a，z，k，u，^p（t），^q（t），^r（t），^λ（t））是凹的（3.6）o对于所有t，以下保持不变，（条件最大原理）ess supv∈u[H（t，^X（t），^Y（t），^A（t），^Z（t），^K（t，·），v，^λ（t），^p（t），^q（t），^r（t，·））=E[H（t，^X（t），^Y（t），^A（t），^Z（t），^K（t，·），^u（t），^λ（t），^（t），^t），^；T∈ [0，T]（3.7）oDk^H（t，.）dν< ∞ 尽管如此，t∈ [0，T]。（3.8）那么^u是问题（2.5）的最优控制。证据通过用停止时间τ的递增序列替换终端时间t，当n进入到单位时，将t转换为t，并在[OS2]中进行论证，我们可以认为，在下面的计算中出现的所有局部鞅都是鞅。大部分证明类似于[OS2]中定理3.1的证明，但由于BSDE（2.1）-（2.3）的可预测平均场特征，也存在本质差异。

因此，为了方便读者，我们概述了整个证明：选择u∈ A和考虑者J（u）- J（^u）=I+I+I，（3.9）带I:=EZT{f（t）-^f（t）}dt，I:=E[~n（X（T））- ψ（^X（T））]，I:=ψ（Y（0））- ψ（^Y（0）），（3.10），其中^f（t）=f（t，^Y（t），^A（t），^u（t））等，且^Y（t）=Y^u（t）是（2.1）-（2.3）当nu=^u，且^A（t）=E[^Y（t）|Ft]时的解。根据H的定义，我们有i=EZT{H（t）-^H（t）- ^p（t）~b（t）- ^q（t）~σ（t）-ZR^r（t，ζ）～γ（t，ζ）ν（dζ）-λ（t）~g（t）, （3.11）从现在起，我们使用缩写符号H（t）=H（t，X（t），Y（t），A（t），Z（t），K（t，·），u（t），^λ（t））^H（t）=H（t，^X（t），^Y（t），^A（t），^Z（t），^K（t，·），^u（t），^λ（t）），我们把^b（t）：=b（t）-^b（t），类似地，与∧X（t）：=X（t）-^X（t），~Y（t）：=Y（t）-^Y（t），~A（t）：=A（t）-^A（t）等，通过^（3.4）的凹度和It^o公式，I≤ E[^′（^X（T））~X（T）]=E[^p（T）~X（T）]- E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]=EZT^p（t-)d~X（t）+ZT~X（t-)d^p（t）+ZT^q（t）~σ（t）dt+ZTZR^r（t，ζ）~γ（t，ζ）ν（dζ）dt- E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]=E“ZT^p（T）~b（T）dt+ZT~X（T）-^Hx（t）！dt+ZT^q（t）~σ（t）dt+ZTZR^r（t，ζ）~γ（t，ζ）ν（dζ）dt- E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]。（3.12）通过ψ和h的凹性，（3.5）和我们得到的It^o公式≤ Ehψ′（Y（0））~Y（0）i=E[λ（0）~Y（0）]=E[λ（T）~Y（T）]- EZT^λ（t）d^Y（t）+ZT^Y（t）d^λ（t）+ZTd[KY，^λ]（t）= E[^λ（T）（h（X（T））- h（^X（T））]- EZT^λ（t）d^Y（t）+ZT^Y（t）d^λ（t）+ZTd[KY，^λ]（t）≤ E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]+E“ZT^λ（T）~g（T）dt+ZT~Y（T）”-^Hy（t）-^Ha（t）- δ） χ[δ，T]（T）#dt+ZT^Hz（t）~z（t）dt+ZTZRdk^Hdν（t，ζ）~k（t，ζ）ν（dζ）dt#（3.13）加上（3.11），（3.12）和（3.13）我们得到，通过（3.4），J（u）- J（^u）=I+I+I≤ E“ZT（H（t）-^H（t）-^Hxx（t）-^Hyy（t）-Ha（t）- δ） χ[δ，T]（T）~Y（T）-Hz（t）~z（t）-Hk^H（t，·），~k（t，·）idt.

（3.14）注意，由于Y（s）=^Y（s）=L代表s∈ （T，T+δ）通过（2.1），我们得到了“ZT”^Ha（t）- δ） ~Y（t）χ[δ，t]（t）dt#=E“ZT-δ^Ha（s）~Y（s+δ）ds#=E“ZT-δE“^Ha（s）~Y（s+δ）|Fs#dt#=E“ZT-δ^Ha（s）EhY（s+δ）| Fsids#=E“ZT^Ha（s）~a（s）ds#。（3.15）替换为（3.14），由此得出H，J（u）的凹度- J（^u）=I+I+I≤ E“ZT（H（t）-^H（t）-^Hx（x（t）-^X（t））-^Hy（y（t）-^Y（t））-Ha（t）（a（t）-^A（t））-Hz（t）（z（t）-^Z（t））-Hk^H（t，·），（k（t，·）-^K（t，·）idt≤ 中兴通讯^Hu（t）（u（t）- ^u（t）dt#=E“中兴通讯[^Hu（t）|Gt]（u（t）- ^u（t））dt#≤ 0，（3.16），因为u=^u（t）最大化[^H（t）|Gt]。3.2一个必要的极大值原理我们继续证明定理3.1的部分逆，在这个意义上，我们给出了控制^u为最优的必要条件。在这种情况下，我们只能得出结论，^u（t）是哈密顿量的临界点，而不一定是最大点。另一方面，我们不需要任何凹性假设，而是需要允许控件集A的一些属性，如下所述。定理3.2（必要极大值原理）支持∈ A和（2.1）-（2.3）和（3.3）（3.4）的相关解^X，^Y，^Z，^K，^p，^q，^r，^λ。

支持对于所有过程β（t）的形式β（t）：=χ[t，t]（t）α，（3.17），其中t∈ [0，T）a和α=α（ω）是一个有界的Gt可测随机变量，存在δ>0使得过程^u（T）+rβ（T）∈ A代表所有人∈ [-δ, δ].我们假设，我们假设的衍生过程由x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（3.18）y（t）y（t）y（t）y（t）y（t）y（t）y（t）y（t）t）y（t）y（t）t）y（t）t）y（t）y（t）t）y（t）y（t）y（t）y（t）t）y（t）y（t）t）y（t）y（t）y（t）y（t）y（t）t）y（t）y（t）x（t）y（t）t）x（t）y（t）x（t）t）t）x（t）x）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x（t）x）x（t）x（t）x）n×P）和L（m×P×ν）。此外，我们假设x（t）满足该方程dx（t）=Bx（t）x（t）+By（t）y（t）+Ba（t）a（t）+Bz（t）z（t）+hkb，k（t，·）i+Bu（t）β（t）dt+σx（t）x（t）+σy（t）y（t）+σa（t）a（t）+σz（t）z（t）+hkσ，k（t，·）i+σu（t）β（t）dB（t）+ZRγx（t，ζ）x（t）+γy（t，ζ）y（t）+γa（t，ζ）a（t）+γz（t，ζ）z（t）+hkγ（t，ζ），k（t，·i）+γu（t，ζ）β（t）~N（dt，dζ）；T∈ [0，T]x（0）=0（3.23），y（T）满足方程dy（t）=-NGx（t）x（t）+Gy（t）y（t）+Ga（t）a（t）+Gz（t）z（t）+hkg（t），k（t，·）i+Gu（t）β（t）odt+z（t）dB（t）+RRk（t，ζ）~N（dt，dζ）；0≤ t<Ty（t）=h′（X（t））X（t）y（t）=0；T<T≤ T+δ，（3.24），其中我们使用了缩写符号Gx（t）=（t，x，x，y，a，z，k，k，u）x=x（t），y（t），a（t），z（t），k（t），k（t），k（t），u（t）u（t）u（t）u（t），u（i）和（ii）是等价的。那么以下，（i）和（i）和（i）是（i）以下，（i）和（i）和（i）和（i）是，（i）和（i）是，k，k，k，k，k，k，k，k，k，k，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u）是）是）是）是，u，u是（这是（2.1）、（2.3）和（3.4）对应于u=^u.证明的解。