市场脆弱性、系统性风险和里奇曲率

我们可以看到，受到相同噪声（σ=1）干扰的信号，曲率较高的信号能够更快地（例如，更稳健地）恢复到平衡（零）。图3。我们给出了4000个网络的平均奥利维尔-里奇曲率，这些网络由两个不同时间尺度上的市场回报数据生成：（A）T=22天和（B）T=122天。我们可以看到，在已知的金融危机期间，与正常脆弱的市场行为相比，奥利维尔-里奇曲率有所增加。D.关于轻轨分布的评论由于目前工作的主旨是理解系统风险，我们重新审视轻轨分布的概念及其与里奇曲率的关系。特别是，有人认为，市场中的股票收益率应建模为重尾分布，而不是标准正态分布[30]、[42]、[43]。这样做在一定程度上是为了更好地解释发生金融崩溃和相关黑天鹅事件时的风险管理。这就是说，让我们考虑一个这样的Leptokurtic分布，即具有给定平均值θ和方差φ的拉普拉斯分布，以及具有相同平均值和方差的相应正态分布。然后，众所周知，拉普拉斯分布和高斯分布的熵由以下公式给出：SGe=log（2πe~n）（14）SLe=1+logr k. （15） 在这里，我们看到SLI的增长比SG慢，因此拉普拉斯过程比相应的图更脆弱。4.我们将奥利维尔-里奇曲率（A）与网络熵（B）以及最短平均路径（C）和图直径（D）在22天的短时间尺度上进行了比较。正如预测的那样，网络熵和网络曲率之间有着显著的相似性。

进一步的分析表明，图直径和最短路径长度的减小会导致图曲率的增加。高斯过程通过涨落定理。简而言之，用来模拟市场回报的厚尾现象实际上是在试图解释由于市场脆弱性而增加的市场风险。更有趣的是，鉴于我们已经看到里克×硒≥ 0（Ricci曲率与熵呈正相关），我们可以利用Ricci曲率来分析系统风险，我们现在将通过实验证明这一点。四、 结果作为概念证明，我们给出了一组股票相关网络的结果。我们再次注意到，上述技术可以应用于其他有趣的金融网络——这将是一个新的研究课题。我们还注意到，这里的结果可以从一般意义上看（即，不管实际的网络及其构造如何，网络曲率和网络熵之间有一个迷人的联系）。A.数据，网络生成我们从https://quantquote.com/.特别是，公开可用的数据集包括目前包含标准普尔500指数的股票，从1998年1月到2013年7月的15年跨度。然后，我们过滤那些没有整个时期数据的股票，总共有388只股票。由此，我们可以计算特定时间窗口（表示为T）上的相关值cxyo。然后，在[5]之后，我们构造了一个最小生成树，其中“距离”定义为^cxy:=p2（1）- cxy）。这是在这样的假设下完成的，即在任何给定时间，特定股票必须与另一个股票“互动”。

此外，为了通过动态过程检查市场的拓扑结构，我们添加了满足特定阈值的高值链接，即cxy≥ ξ，其中我们根据之前的文献[44]，[45]选择ξ=.85（例如，这是因为在MST上形成随机游动将提供非常相似的结构）。也就是说，对于给定的窗口tb=[tb，…，tbT]，我们通过上述过程构建一个未加权的网络。b+1的新网络是通过“滑动”1天的窗口并重复该过程生成的。因此，产生了大约4000个时变网络。B.Crisis的市场脆弱性和稳健性我们首先计算所有可能对的奥利维尔-里奇曲率κ（x，y）(≈ 75K对）在两个不同的时间窗口T={22132}天。因此，图3给出了邻接矩阵上的平均Ricci曲率，这样就可以与计算全局网络熵所需的信息进行公平比较。从分析的角度来看，重温方程（8），可以看到与基础拓扑“远”的交互作用的曲率（以及曲率的变化）将退化为术语d（x，y）。因为图是一个1-测地空间，如果κ（x，y）≥ k代表d（x，y）=1，然后是κ（x，y）≥ K x、 y[8]。因此，计算相邻顶点的统计数据（即平均值）就足够了，结果仍然有效（在稳健性和脆弱性的意义上）用于d（x，y）≥ 2，例如，非相邻对通常的贡献可以忽略，并且可以被视为缩放静态。有趣的是，图3显示市场在一种普遍脆弱的行为中运行。正如之前的工作[5]所指出的，在金融危机期间发生了拓扑市场重组。这在一定程度上是因为在“崩溃期”建立了更多的联系，而这种联系自然来自众所周知的“羊群效应”。

以动态的方式构造相关图（通过分析曲率）从反馈的角度呈现市场，而不仅仅是任意两个给定股票对之间的平均相关性。反过来，图3说明，即使有两个时间尺度，在危机期间奥利弗-利玛窦曲率也会增加，因此市场趋于更加强劲。这与之前的分析一致[5]分析了这段时间内股票之间的最短平均路径，并发现MST“收缩”在这里，在这些股票相关性网络上测量奥利维尔-里奇曲率说明了脆弱的市场行为和金融崩溃的稳健性。C.稳健性度量的比较虽然这项工作的预期前提是关注与曲率有关的金融（相关性）网络，但很难将奥利维尔-里奇曲率与其他公认的表征网络脆弱性的模型进行比较。为此，图4和图5绘制了曲率与通过方程（3）、最短平均路径和图直径计算的全球网络熵的曲线图。我们可以看到奥利维尔·里奇曲率和全球网络熵的结构有着惊人的相似性。也就是说，我们通过两个非常重要的方面揭示了与熵相似的信息：首先，本文提出的方法在计算上更易处理，与熵相比表现良好——我们只需计算一个线性规划（LP）问题，该问题能够表征图中任意两个节点之间的曲率（而不仅仅是相邻节点）。其次，奥利维尔-里奇曲率提供了有关网络的局部几何（边缘）信息，而不是节点度量的熵。

特别是，我们可以在一个更复杂的金融网络中想象一个场景，其中一个特定的金融机构通常包括对其他机构的正常风险敞口，只有少数极端（间接）风险交易。通过平均这些风险敞口，节点度量可能无法恰当地解决这种关系的局部脆弱性。通过研究变容癌组织的转录网络，可以发现这种情况，其中单个基因可能参与稳健和脆弱的相互作用，但被认为是“稳健”基因[14]。尽管如此，图4和图5也说明奥利维尔-里奇曲率的增加与最短平均路径和图直径的增加有关。因此，奥利维尔-里奇曲率是表示网络函数鲁棒性的另一种方法。1.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 512.4139.636 7.186 8.060 7.469 6.208 9.545直径31.361 34.726 38.210 33.186 25.500 27.397 31.250 29.929 31.494 25.064 21.044 22.480 20.964 17.770 25.144表IWE提供平均（平均）里奇曲率、平均全球网络熵、平均（平均）最短路径，从每年1月1日开始的一年期间内计算的平均图直径，窗口T=22天，保持ξ=0.85。如前一张图所示，曲率与众所周知的脆弱性测量值之间存在相关性。D

最小风险Markowitz PortfoliosLet我们现在将重点转移到曲率和熵（脆弱性度量）在经典Markowitz投资组合构建中的作用。在典型情况下，给定一组平均回报率表示为‘r=[’r，’r，…，‘rN]的N个资产，并估计协方差∑r（通常都是根据历史数据计算得出的），一个任务是分配N个资产权重SW=[w，w，…，wN]Tin，以便在一定的风险承受能力wT∑w的情况下，最大化投资组合回报u=Pni=wT\'r≤ τ风险，Pniw=1和wi≥ 0（无卖空）。有效前沿投资组合[26]可以根据不同的风险承受能力水平进行计算——这里我们感兴趣的是最小风险投资组合以及与曲率的关系。众所周知，熵的减少与多样化的增加有关，在投资组合构建中多次尝试捕捉这种属性（见[46]和其中的参考文献）。从目前工作的角度来看，我们可以看到，在正常的市场行为（曲率减小）中构建这种关联网络时，会出现大量反馈，这可能是寻求多元化投资组合时的一个理想特性（例如，那些表现出脆弱互动的对是多元化的候选对象）。考虑到这一点，我们提出了以下度量，它只是最小风险投资组合的Markowitz PortfolioWeghts到边缘奥利维尔-里奇曲率的投影：Wκport=nXiwTκW（16）。我们注意到，上述度量依赖于特定的图构造。也就是说，图6显示了风险最小的Wκportalong。可以看出，曲率的增加和最小风险概率的增加之间存在相关性。此外，上述趋势似乎与之前的分析一致——在危机期间，它已经注意到多元化“消失”[47]。

这类似于图3和图6所示的曲率增加。另一方面，我们注意到较高的奥利维尔-里奇曲率与均值回复系数正相关(里克×β） 从奥恩斯坦·乌伦贝克的角度来说。因此，投资组合结构的Ricci曲率增加图。5.我们将Ollivier-Ricci曲率（A）与网络熵（B）以及最短平均路径（C）和图直径（D）在132天的长时间尺度上进行了比较。正如预测的那样，网络熵和网络曲率之间有着显著的相似性。进一步的分析表明，图直径和最短路径长度的减小会导致图曲率的增加。与可能形成“无风险”市场中性投资组合的概念有关（例如，投资组合中的扰动将迅速恢复到某种平衡）。我们提醒读者以上几点建议，因为这将取决于未来的工作，需要进行更深入（更深思熟虑）的分析。图6。我们使用最小风险投资组合和最小风险的权重计算WκPort。突出显示了（A）水稻生长和（b）在给定窗口内沿有效边界可获得的最小风险（T=122天，阈值ξ=0.85）的相关区域。五、总结与结论鉴于2007-2008年的金融危机和欧洲债务危机，了解互联网络的脆弱性越来越重要。这项工作提出了一种新的基于Ricci曲率的粗略定义的度量方法，以了解复杂交互代理网络的系统风险。由于初始数据的限制，我们在股票相关性网络的背景下提供了概念证明，以阐明市场脆弱性。

尽管如此，利玛窦曲率似乎不仅与各种网络的财务稳定性有着非常有趣的联系，而且还与市场中立战略的构建和可能新颖的风险管理政策有关。特别是，人们可以开始探索离散奥利维尔-里奇流（即ddtd（x，y）=-κ（x，y）d（x，y））为了对抗和防止金融传染，相关领域[48]提出了消除无线网络中过载队列的建议。未来研究的主要课题之一是继续探索和分析更有趣的金融网络中的系统性风险，在这些网络中，复杂金融工具[13]的兴起可能是金融不稳定的一个重要来源。最后，值得注意的是，这些结果在总体上是成立的，并且可以非常适用于研究各种动态网络，其中高频数据可用，也就是说，表征转移癌进展的高通量基因组研究是一个易于应用的领域。虽然我们寻求药物靶点来对抗癌症的强大本质[14]，但我们同时也在寻求对抗金融传染导致的市场脆弱本质。我们进一步注意到Billera[49]的一些有趣工作，他描述了树空间上的度量几何，与具有非正曲率的空间的系统发育学有关。从[38]的结果来看，这允许我们对这个空间进行统计，因为在任何两点之间都有一个唯一的测地线。在这里，我们可以将分析从单一网络结构推广到设计比较网络家族的统计方法，例如市场回报、基因组研究等。

[50].总之，在我们之前的研究结果[14]的基础上，我们希望通过提供新的“药物靶点”来遏制金融传染病，比如几乎摧毁金融体系的2007-2008年危机，从而建立这样的政策，让市场更像癌症。参考文献[1]Schweitzer，F.等人，《经济网络：新挑战》。科学325, 422-5 (2009).[2] 南卡罗来纳州巴蒂斯顿市、普利加市、右考希克市、塔斯卡市、P.和卡尔达雷利市、G.DebtRank：太中心而不能失败？金融网络、美联储和系统性风险。科学报告。2, (2012).[3] 《银行生态系统中的系统性风险》。《自然》杂志469351-355（2011）。[4] Mantegna，R.金融市场的等级结构。欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统1193-197（1999）。[5] Onnela，J.，Chakraborti，A.，Kaski，K.，Kertesz，J.和Kanto，A.市场相关性的动力学：分类和投资组合分析。《物理评论》E68（2003年）。[6] 有机会加强管理紧急援助的政策和程序。高科报告（2011）。[7] DoCarmo，M.Riemannian几何学（Birkhauser，1992[8]Ollivier，Y.度量空间上马尔可夫链的Ricci曲率.《函数分析杂志》256810-864（2009）。[9] 奥利维尔，Y.度量空间的里奇曲率。C.R.数学。阿卡德。Sci。巴黎345, 643-646 (2007).[10] 洛特，J.和维拉尼，C.度量测度空间的Ricci曲率，通过最优传输。数学年鉴。169, 903-991 (2009).[11] Maas，J.有限马尔可夫链的熵梯度流。功能分析杂志。17, 2250-2292, (2011).[12] 周，S.，黄，W.，李，Y.&周，H.图上自由能泛函或马尔可夫过程的福克-普朗克方程。理性力学和分析档案。203, 969-1008 (2012).[13] Battiston，S.，Caldarelli，G.，Georg，C.，May，R.&Stiglitz，J.复杂衍生物。

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