市场脆弱性、系统性风险和里奇曲率

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英文标题：
《Market Fragility, Systemic Risk, and Ricci Curvature》
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作者：
Romeil Sandhu, Tryphon Georgiou, Allen Tannenbaum
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Measuring systemic risk or fragility of financial systems is a ubiquitous task of fundamental importance in analyzing market efficiency, portfolio allocation, and containment of financial contagions. Recent attempts have shown that representing such systems as a weighted graph characterizing the complex web of interacting agents over some information flow (e.g., debt, stock returns, shareholder ownership) may provide certain keen insights. Here, we show that fragility, or the ability of system to be prone to failures in the face of random perturbations, is negatively correlated with geometric notion of Ricci curvature. The key ingredient relating fragility and curvature is entropy. As a proof of concept, we examine returns from a set of stocks comprising the S\\&P 500 over a 15 year span to show that financial crashes are more robust compared to normal \"business as usual\" fragile market behavior - i.e., Ricci curvature is a \"crash hallmark.\" Perhaps more importantly, this work lays the foundation of understanding of how to design systems and policy regulations in a manner that can combat financial instabilities exposed during the 2007-2008 crisis.
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中文摘要：
衡量金融系统的系统性风险或脆弱性是分析市场效率、投资组合配置和遏制金融传染病时一项普遍存在的具有根本重要性的任务。最近的尝试表明，将此类系统表示为一个加权图，以描述某些信息流（例如债务、股票回报、股东所有权）上交互代理的复杂网络，可以提供某些敏锐的洞察力。在这里，我们证明了脆弱性，或者说系统在面对随机扰动时容易发生故障的能力，与里奇曲率的几何概念呈负相关。与脆弱性和曲率相关的关键因素是熵。作为概念证明，我们研究了标准普尔500指数成份股在15年内的收益率，以表明金融崩溃比正常的“一切照旧”脆弱市场行为更为强劲——也就是说，里奇曲率是“崩溃的标志”也许更重要的是，这项工作为理解如何设计系统和政策法规奠定了基础，以应对2007-2008年危机期间暴露的金融不稳定。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-5-8 05:58:10 上传

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关键词：系统性风险 系统性 脆弱性 Quantitative Perturbation

市场脆弱性、系统性风险和RiccurvatureRomeil Sandhu、Tryphon Georgiou、Allen Tannenbaumromeil。sandhu@stonybrook.edu, tryphon@umn.edu艾伦。tannenbaum@stonybrook.eduAbstractMeasuring金融系统的系统性风险或脆弱性是分析市场效率、投资组合配置和遏制金融传染的普遍任务，具有根本重要性。最近的尝试表明，将此类系统表示为一个加权图，以描述某些信息流（如债务、股票回报、股东所有权）上交互代理的复杂网络，可能会提供某些敏锐的见解。在这里，我们证明了脆弱性，或者说系统在面对随机扰动时容易发生故障的能力，与里奇曲率的几何概念呈负相关。重新定义脆弱性和曲率的关键是熵。作为概念证明，我们对标准普尔500指数成份股的一组股票在15年内的收益进行了检验，以表明金融崩溃比正常的“一切照旧”脆弱的市场行为更为稳健——也就是说，里奇曲率是“崩溃的标志”也许更重要的是，这项工作为理解如何设计能够应对2007-2008年危机期间暴露的金融不稳定的制度和政策法规奠定了基础。一、导言2007-2008年的金融危机使人们更加关注全球金融体系对地方金融体系脆弱性的理解[1]。最近一个被接受的模型是，这些相互关联的系统被表示为一个加权图，其中节点表示一个经济主体，边链表示这类主体之间的依赖关系（例如收益、债务、衍生性敞口）[2]，[3]，[4]，[5]。

反过来，系统性风险可以被视为网络无法处理一个或多个代理的违约，导致级联故障，从而引发金融传染。也就是说，在给定的金融网络中，必须能够将适当的风险度量归因于这些机构（节点），更重要的是，它们的关系（边缘）通常被认为“太大而不能倒”在2007-2008年危机期间，美国联邦储备银行（FED）提供紧急援助期间，这一点似乎尤其正确[6]。如图1所示，在这段时间内，存在一系列间接的“隐藏”暴露。在金融系统的背景下理解脆弱性不仅可以提供预防（打击）金融传染的措施，还可以为设计下行保护（VaR）措施提供新的见解。图1。随着最近的全球金融危机以及复杂金融工具的持续上升，了解间接交易对手风险变得越来越重要。本文提出了一种新的度量方法，用于描述全球网络环境下agent对agent信息的不稳定性。作为一个例子，我们展示了从反馈角度分析市场脆弱性的初步概念验证分析，这是由金融危机期间众所周知的“羊群效应”现象造成的。本文的目的是证明里奇曲率可以作为金融网络背景下脆弱性的指标。广义上，曲率是一种测量几何物体偏离平面的方法，在微分几何[7]中以各种方式进行了表征。最近，这一概念已扩展到更一般的框架，例如建模为加权图的网络[8]、[9]、[10]、[11]、[12]。

在目前的工作中，我们研究了标准普尔500指数在15年跨度内构建的股票相关网络的拓扑结构，并表明曲率是一个“崩溃特征”虽然本文中的初始分析仅限于相关网络，但人们自然可以将我们的分析应用于与银行生态系统[2]、[3]或更复杂的金融工具[13]相关的信息量。股票收益率的使用有两个动机：首先，我们将股票市场的演变简单地用作一个数据平台，主要说明利玛窦曲率和一个公认的熵（以及脆弱性）概念之间的密切联系。其次，库存数据很容易获得，并且不会因为机构本身的专有知识而变得模糊——目前正在收集更多的数据集进行分析。尽管如此，我们首先回顾了与当前工作相关的几篇关键论文。答：首先，我们注意到，本文是之前工作的后续和补充，我们引入了里奇曲率作为鲁棒性的代表，以区分癌症网络[14]。现在，我们将注意力转向金融网络，并注意到本文中提供的信息与现有概念重叠，以便本手稿能够自我包含（有关详细信息，请读者参考[14]）。尽管如此，随着网络科学的出现，最近的进展已经探索了加权图的脆弱性概念（及其构造）[15]，[16]，[17]，[18]。特别是，德米特里厄斯[15]，[19]从大偏差理论中正式定义了速率函数的“稳健性”，并通过涨落定理表明这与熵正相关；我们将在第II-A节中详细描述这一点。

我们的方法的关键区别在于，与定义为节点属性的熵相比，Ricci曲率在任何加权图的边缘层充当鲁棒性/脆弱性的代理。也就是说，与熵不同，Ricci曲率保留了sch几何量。熵通过构造，由于边相关性的加权收缩而表现出“信息损失”。在金融网络的背景下，各种研究试图检验互动（边缘）的脆弱性，以更好地描述市场复杂性[2]、[13]、[20]、[21]、[22]——完整的综述超出了本文的范围，但我们强调了最近的几项研究。最近，Battiston[2]提出了债务等级的概念，以分析一般银行环境[3]中债务义务导致的系统性风险，进一步阐述了理解复杂衍生工具[13]的不稳定性，以了解经济网络中企业控制权的更多隐性领域[23]的必要性。这些作品的主旨和动机是“反馈中心性”，为此我们引入了里奇曲率的概念作为反馈度量。关于股票关联网络，Mantenga[4]首先通过最小生成树（MST）说明了股票的层次结构。随后，Onnella[5]、[24]、[25]利用MST的概念开发了潜在的回报动态。特别是，作者随后指出，在崩盘期间，与正常的市场行为相比，树结构“收缩和收紧”，也许更有趣的是，那些充当树的“叶子”的股票与马科维茨开创的投资组合结构的多元化相关[26]。

这项工作试图在曲率、脆弱性和不确定性的背景下对相关网络的现有工作进行分析，同时也为分析银行间借贷市场中常见的更有趣的金融网络铺平道路。本文的其余部分概述如下：在下一节中，我们首先提供了重要的初步介绍，介绍了涨落定理和LpWasserstein距离。第三节将Ricci曲率作为脆弱性度量，以及Ollivier[8]，[9]提出的离散度量空间上Ricci曲率的兼容概念。然后，第四节提供了有关正在调查的金融网络构建的信息，实验结果证明了正常市场行为的脆弱性和市场崩溃的稳健性，并将曲率与已确立的图形稳健性概念进行了比较。最后，第五节总结并讨论了未来的工作。二、在本节中，我们将回顾我们在续集中需要的必要概念。A.波动理论我们首先提供了鲁棒性（以及脆弱性）的精确定义，并通过[18]、[19]中的波动定理将其与熵联系起来。给定一个网络，我们可以考虑一个随机扰动，它会导致某个可观测值的偏差。更正式地说，让qδ（t）表示平均值在某个时间t偏离原始值超过δ的概率。那么，如果我们假设qδ（t）→ 0作为t→ ∞, 系统“放松”并恢复到其未受干扰状态的相对速率衡量其脆弱性（例如，更长的衰变速率类似于更脆弱的状态），由r:=limt给出→∞(-tlog qδ（t））。

（1） 因此，大R表示偏差不大，小R表示偏差较大。在热力学中，众所周知，大偏差下的熵函数和速率函数密切相关[27]。波动定理是网络这一事实的一种表达，可以用脆弱性来表示F=-R asSe×F≤ 0.（2）其中[18]中定义了Sedenotes网络熵。具体地说，让我们考虑一个描述阿马尔科夫链的随机矩阵φ=（ηxy），它表征了从状态x的转移速率→ y与ηxy≥ 0和Pyηxy=1（及其不变量分布π=πφ）。那么网络熵可以定义为：Se=Xxπ（x）`S（x）与`S（x）=-XyηxylogηXy（3）我们注意到，在上述定义中，节点熵S（x）是仅在向相邻顶点发射的边y上的总和。这一点尤其重要，因为它首先为非相邻顶点提供信息；n>1的n步随机游动（马尔可夫过程）的计算可能会变得计算昂贵[28]。正如我们不久将看到的，Riccurvature可以表示为一个简单的线性规划，并且不限于直接发生。其次，或许更重要的是，局部（节点）熵通过加权收缩“丢失”了有关边缘信息的信息——这种边缘脆弱性的量化正是里奇曲率所提供的。B.Wasserstein距离我们现在通过记录Lp-Wasserstein距离的基本定义来转移我们的注意力，这是我们下面需要的最佳运输理论。关于Monge-Kantorovich（最优质量传输）问题和相关的Wasserstein距离的全部细节，我们请读者参考关于这个主题的几部著作[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]。

LPWAssersteination定义为WP（u，u）：=infu∈π（u，u）Zd（x，y）pdu（x，y）1/px是一个带有距离d的公制测量空间，∏（u，u）是两个测量u和u之间的所有耦合的集合，具有相同的总质量和有限的p阶矩。更准确地说，u和u之间的耦合是一个度量uonX×X，使得zydu（X，y）=du（X），Zxdu（X，y）=du（y）。换句话说，u的边缘是u和u。在本文中，我们只考虑p=1，2的情况。三、 建议方法本节介绍Ricci曲率作为鲁棒性和脆弱性的代表。然后，我们在Ollivier[9]提出的离散度量空间（图）上提供了一个兼容的Ricci曲率概念。在众多考虑因素中，这种粗糙的几何定义源自经典的Ornstein-Uhlenbeck过程，并被置于厚尾分布的背景下。A.Ricci曲率和脆弱性[9]、[35]、[11]、[12]、[10]、[36]、[37]、[38]、[39]将Ricci曲率的概念扩展到更一般的度量测度空间。目前，一种方法与另一种方法的确切关系尚不清楚。特别是，我们遵循[9]，[35]，因为它们与度量熵的概念有关。也就是说，如果我们让（X，d，m）表示测地空间和setP（X，d，m）：={u≥ 0:ZXudm=1}，P*（X，d，m）：={u∈ P（X，d，m）：lim&0Zu≥ulogudm<∞}然后，Lott和Villani【10】表明，对于每u，u，X具有以k为界的Ricci曲率∈ P（X），存在一个恒定速度测地线ut，关于连接u和u的Wasserstein 2-度量，即se（ut）≥ tSe（u）+（1）- t） 硒（u）+kt（1）- t） W（u，u）（4）表示0≤ T≤ 1，我们定义的位置（u）：=lim&0Zu≥ulogudm，用于u∈ P*（X，d，m），（5）是玻尔兹曼熵Se（u）的负值：-H（u）。

这表明熵和曲率正相关，表示为Se×里克≥ 0.（6）我们注意到，脆弱性的变化，即一个容易发生故障且无法适应环境变化的系统，通过波动定理[18]，[19]与熵负相关，因此与里奇曲率负相关：F×里克≤ 0.（7）然而，在我们最感兴趣的离散图空间中，上述定义是难以理解的。为此，weadopt最近提出的奥利维尔-里奇曲率概念源自粗糙几何[8]，[9]。B.奥利维尔·里奇曲率我们采用了利奇曲率的简洁概念[9]，灵感来自粗糙的几何图形。这个想法的动机是两个小（测地线）球之间的距离小于它们中心的距离。特别地，如果我们让（X，d）是具有一系列概率测度{uX:X的度量空间∈ 十} ，我们通过（uX，uy）=（1）定义沿测地线连接节点X和y的奥利维尔-里奇曲率κ（X，y）- κ（x，y））d（x，y），（8），其中Wdenotes表示地球移动器的距离（Wasserstein 1-公制）[31]，[32]，d表示图上的测地距离。对于加权图，我们设置dx=Xywxyux（y）：=wxydx，其中dx是节点x的所有邻域的总和，其中wxy表示连接节点x和节点y的边的权重（如果d（x，y），则wxy=0）≥ 2). 测量值ux可以被视为从x开始的一步随机游动的分布，权重wxy量化节点组件之间的相互作用强度或相应连接（边缘）的扩散率。此外，如果u和u是由n个离散点{x。

，xn}具有相同的总质量，表示x，y之间的距离d（x，y）∈ X（对于图，作为跃点度量），则W（u，u）可定义如下[40]：W（u，u）=minunXi，j=1d（xi，xj）u（xi，xj），其中u（X，y）是受以下约束的耦合（或流动）：u（X，y）≥ 0x、 y∈ X（9）nXi=1u（X，xi）=u（X）十、∈ X（10）nXi=1u（xi，y）=u（y）Y∈ X.（11）上述成本找到了以最小“功”将一组质量从分布u移动到u的最佳耦合。C.里奇曲率和均值反转直到现在，我们已经通过熵将里奇曲率与脆弱性联系起来。当系统受到扰动时，进一步研究衰减率的情况下的行为是有益的。因此，让我们考虑奥利维尔-里奇曲率与奥恩斯坦-乌伦贝克过程的关系。更准确地说，考虑随机微分方程dxt=-βXtdt+σdWt，X（0）=X，（12），其中W是维纳过程（布朗运动），我们认为xto是确定性的。如果我们让t>0，那么可以证明，对于任意两点，xi，xj，这个随机游动的奥利维尔-里奇曲率∈ Rnκ（xi，xj）=1- E-βt.（13）等式13以非常简单明确的方式说明了函数之间的联系。较小的β对应较小的曲率κ，这对应于系统恢复平衡的速度，也就是说平均值变为0。这可以在图2中看到。最后，虽然这超出了本文的工作范围，但这可能会说明统计套利和均值回复投资组合中一组新的基于Ricci曲率的策略[41]。图2：。我们生成了三个Ornstein-Uhlenbeck过程β=0.05（红色）、β=0.15（蓝色）和β=1.00（绿色），计算出相应的奥利维尔-里奇曲率，在t=1时为κ（x，y）=0.0488、κ（x，y）=0.1393和κ（x，y）=0.6321。