赌博中的Jarzynski型均衡：信息在资本中的作用

等式（25）限制了资本增长率、结果熵和获得的副信息的统计。利用Jensen不等式exp[hF i]≤ hexp fi，可以导出hg（fx）ix，y，hg（fx）ix，y的上界≤ DKL（P（y）|Q（y））+I（X:y）。（27）在偶数下注的情况下（y）∈ {1, -1} hg（fx）ix，y≤ 液氮- S（Y）+I（X:Y），（28），与式（12）一致。同样，我们能够从质量（25）中推导出K elly界。在存在旁侧信息的情况下，等式（21）的RHS偏离统一。让我们把这个量记为γ，γ≡经验g（fx）+sy- sQyx、 y，（29）也可以写成γ=1+Xx，yfxyP（x | y）Q（y）。（30）我们将γ称为有效性[16]，因为γ是衡量玩家如何有效地使用附带信息的一个指标。如果一个人把γ表示为γ，这个意思就很明显了-1=hexp[Axy- ixy]ihexp[Axy]i hexp[-ixy]i，（31）Axy在哪里≡ g（fx）+sy- sQy，我们使用等式（25）和一个平凡的恒等式hexp[-ixy]i=1。因此，γ是Axy和互信息ixy之间相关性的度量。如果附带信息对资本增长没有影响，γ=1。当附带信息有助于增加资本增长时，它可以大于1。为了明确地看到这一点，让我们对条件概率P（x | y）asP（x=-\'R|y=-\'R=P（x=R | y=R）=q，（32）P（x=-\'R|y=R=P（x=R|y=-\'R）=\'q.（33）参数q量化了x和y之间的相关性。值q=1/2表示没有相关性，而q=1表示完美相关性。有了参数q，效率表示为γ=1+R\'RR+R（f- F-1） （q）- q）。（34）在没有相关性的情况下（q=’q=1/2），效率为单位，γ=1。即使q 6=1/2，如果玩家忽略获得的边信息（f=f-1） γ又是统一。

如果q6=1/2且玩家下注良好，则γ变得大于1。正如我们在上面所看到的，效率取决于选择的策略，以及附带信息的性质。当赌徒选择凯利策略时，效率的形式很简单，γ*= hexp[ixy]ix，y=Xx，yP（x | y）P（y | x），（35）式中γ*是凯利战略下的效力。γ的上界*可以找到γ*= hexp[ixy]ix，y=经验sy- sy|xx、 y≤ hexp[sy]iy=Xy1=NY，（36）其中sy | x≡ - lnp（y | x）和NY=2是可能结果的数量，我们使用了属性sy |x≥ 0.有效性可用于检测赌博中使用的辅助信息。假设赌场里有个赌徒，我们不知道赌徒是否在秘密使用机密信息。如果我们知道赌徒下了多少赌注，赌博的结果，以及结果的概率分布，我们就可以计算出h··i inEq中的数量。(2 9). 观察赌徒在多个游戏中的行为并取平均值，我们可以评估其效果。如果赌徒使用的是内幕信息，那么效果就会偏离统一性。C.注释：关于本节中得出的等式，有几条注释是正确的所得到的关系适用于任何投注策略的选择，并且不受凯利投注的限制。这与Jarzynski等式的情况类似，它适用于任何远离平衡的过程[3]。o在以上讨论的所有情况下（除涉及效率的情况外），可将获得的质量改写为以下形式：，例如（f）-g（f）*)= 1，（37）可通过注释1+f进行验证*y=P（y）/Q（y），适用于无旁侧信息或1+f的情况*xy=P（y | x）/Q（y）在存在旁侧信息的情况下。

方程式（37）是在贝尔和Cover[34]以不同方式进行股票投资的情况下推导出来的。由于赌博可以被视为某种形式的股票投资，情商（37）是他们结果的特殊情况。以秒计。四、 我们将这个等式推广到具有记忆效应的赌博。四、 具有记忆效应的赌博的JARZYNSKI型等式我们假设所有的游戏都是独立且相同的。在这里，让我们考虑更一般的情况，每一次赌博都可能取决于过去的结果。也就是说，我们利用记忆效应进行赌博。我们将发现，Jarzynskit型等式可以推广到这些情况。以秒计。IV A，我们讨论了无边信息的二进制博弈，并在Sec中考虑了有边信息的情况。IV B.不安全。IV C，我们将等式推广到更一般的一类具有任意多个选项和任意支付函数的遗传算法。以秒计。IV D，我们给出了本文推导的等式的统一表达式。A.简单的二元博弈这里我们把没有附带信息的简单二元博弈推广到有记忆效应的情况。我们确定了n届奥运会期间的资本增长率asgn（fn）≡nlnMn+1M=nnXi=1lnMi+1Mi=nnXi=1ln1+fi（易）-1） 易, （38）其中第i局的下注分数为Fi，而yi∈ {R，-\'R}。f对IME的依赖性意味着玩家可以自适应地改变下注策略。分数fi=fi（yi-1） 是过去结果的函数，易-1={y，···，yi-1}. 资本增长率的平均值写为ashgn（fn）iyn=XynP（yn）gn（fn），（39），其中P（yn）=P（y，··，yn）是比赛结果的联合概率。我们定义了概率分布Q（yn）byQ（yn）≡YiQ（yi），（40），其中Q（yi）由Q（yi=R）=R/（R+）-R）和Q（yi=R）定义-\'R）=R/（R+\'R）。后来我们使用了Q（yi）、XyiQ（yi）=1、（41）和xyiyiyiq（yi）=0的性质。（42）我们还表示sqyn≡ - lnq（yn）。

（43）定理。3对于具有记忆效应的二元赌博，资本增长率gn（fn）满足指数phngn（fn）+syn- sQyniEyn=1，（44）其中syn≡ - lnp（yn）=- lnp（y，··，yn）。证据Dexphngn（fn）+syn- sQyniEyn=XynnYi=1（1+fi（yi-1） yi）Q（yi）=Xyn1+fn（yn）-1） 伊恩Q（yn）n-1Yi=1（1+fi）yi-1） yi）Q（yi）。（45）扩大第一个括号，第二项在公式（42）中求和时消失。重复这个过程，Dexphngn（fn）+syn- sQyniEyn=XynQ（yn）=1，（46），其中使用Q（yn）[Eq.（41）]的归一化。将詹森不等式应用于等式（44）可得出hgn（fn）iyn≤nDKL（P（yn）| | Q（yn））。（47）通过选择博彩分数asf，不等式（47）达到饱和*i=RP（yi=R | yi）-1) -\'-RP（yi=-“R|yi”-1） R’-R.（48）选择分数，1+f*iyi=P（yi | yi）-1） Q（yi），（49），平均资本增长率为*n） iyn=nXynP（yn）nXi=1lnP（yi | yi-1） Q（yi）=nDKL（P（yn）| | Q（yn）），（50），其中我们使用联合概率P（yn）=QiP（yi | yi）的分解-1). 就连莫尼赌博（易建联）∈ {1, -1} ），hgn（fn）iyn≤ 液氮-nS（Yn），（51）其中S（Yn）≡ - hln P（yn）是结果的熵。平均资本增长率的最大值由yn，S（yn）的熵决定。也就是说，不确定性的大小决定了赌徒能赚多少钱。yiis的顺序越可预测，玩家的资本增长越快。举个例子（马尔可夫抛硬币）让我们考虑一下用硬币赌博。首先，商人把一枚硬币放在桌子上。然后，经销商拍了拍桌子。硬币的浮动取决于庄家在桌子上的力度。如果硬币是正面（反面），玩家赢（输）。下一场比赛是通过再次击球来完成的。在这场赌博中，结果产生了马尔可夫记忆效应P（yi | yi）-1） =P（yi | yi）-1).

我们将第i场比赛的结果与之前的结果asP（yi=1 | yi）的相关性参数化-1= -1） =P（yi=-1 |易-1=1）=（52）P（yi=1 |yi）-1=1=P（yi=-1 |易-1= -1） =\'，（53）其中0<<1为常数，且≡ 1.- . 参数是硬币的翻滚概率。让我们假设硬币的表面最初是随机的，P（y=1）=P（y）=-1） =1/2，其中Ys是作为虚拟变量引入的，而不是实际下注开始数n=1。在这个模型中，P（yi=1）=P（yi=-1） =1/2对于任何i，如果不使用相关性，就不可能增加资本。赌徒可以通过利用下一场比赛的结果与过去的结果之间的相关性来赚钱。jo int分布的熵P（yn）=P（y，···，yn）可以通过asS（yn）=- hln P（yn）iyn=-nXi=1hln P（yi | yi-1） 伊伊，易-1=（n）- 1） S（）+ln2，（54）其中S（）≡ -ln-ln。注意，当P（yi | yj）=P（yi）为空时，我们使用的符号。例如，式（54）中的P（y | y）=P（y）。式（47）的RHS为byRHS=n- 1n[ln 2- S（）]。（55）另一方面，我们可以通过选择1+f的分形明确地最大化增长率*iyi=2P（yi | yi）-1） 满足。该分数选择的平均资本增长率为*)iyn=nnXi=1hln（1+f*iyi）i=nnXi=1hln 2P（yi | yi-1） i=n- 1n[ln 2- S（）]，（56）与界（54）重合，不等式（47）是饱和的。由于AcquiredGrowth rate（54）为正，玩家有机会增加资本，除非硬币的流动是完全随机的（即=1/2）。如附录B所述，此处讨论的马尔科夫硬币可以映射到一维伊辛模型。抛硬币结果的顺序与一维伊辛自旋的配置一致。B

带边信息的二元赌博我们在这里研究带记忆效应和边信息的二元赌博。在第i场比赛中，玩家根据过去的结果确定下注分数-1和边信息xi={x，···，xi}，所以分数写为fi=fi（xi，yi）-1).n次下注期间的资本增长率定义为ashgn（fn）ixn，yn≡NlnMn+1Mxn，yn。（57）在这种情况下，我们也可以显示Jarzynski型关系。定理。4对于具有记忆效应和副信息的二元下注，Dexphngn（fn）+syn- ixn→伊恩- sQyniExn，yn=1，（58）其中≡ - lnp（yn），ixn→伊恩≡ lnP（yn | | xn）P（yn），sQyn≡ - lnq（yn）。（59）表达式P（yn | | xn）≡QiP（yi | yi）-1，xi）是基于xn的Yn的概率分布。证据公式（58）的LHS计算为dexphngn（fn）+syn- ixn→伊恩- sQyniExn，yn=齐（1+fi）（xi，yi）-1） yi）Q（yi）P（yn | | xn）xn，yn=Xyn，xnP（yn，xn）P（yn | | xn）Yi（1+fi（xi，Yi）-1） yi）Q（yi）=Xyn，xnP（xn | | yn-1） 易（1+fi）（xi，易-1） yi）Q（yi）=Xyn，xnYi（1+fi（xi，yi）-1） yi）P（xi | xi）-1，易-1） Q（易）≡ ,（60）其中我们使用了联合概率P（yn，xn）=P（yn | | xn）P（xn | | yn）的分解-1） 以及P（xn | | yn）的定义-1） （见附录A）。让我们来定义（易，习）≡ (1+fi)(xi,yi)-1） yi）Q（yi）P（xi | xi-1，易-1). 表情 可以写成 =Xyn，xnnYi=1Ai（yi，xi）=Xyn，xnAn（yn，xn）n-1Yi=1Ai（yi，xi）=Xyn，xn1+fi（xn，yn）-1） 伊恩Q（yn）P（xn | xn-1.yn-1） n-1Yi=1Ai（yi，xi）。（61）如果我们展开最后一行中的括号，第二项将消失，因为它在ynandPynynQ（yn）=0中是线性的。对xn进行求和（注意pxnp（xn | xn-1.yn-1） =1），并重复相同的程序n次， =Xyn，xn-1Q（yn）n-1Yi=1Ai（yi，xi）=···=XynQ（yn）=1。 （62）使用Jensen不等式。

（58），我们得到了平均资本增长率ashgn（fn）ixn，yn的界≤nDKL（P（yn）|Q（yn））+nIdr（Xn）→ Yn），（63）其中IDR（Xn）→ （伊恩）≡ hixn→ynixn，yn=lnP（yn | | xn）P（yn）xn，yn。（64）数量Idr（Xn→ Yn）是来自Xnto Yn的定向信息，这是因果关系的度量[32,33,37]。相关度量，例如X和Y之间的互信息和互相关，在X和Y的交换下是对称的，并且不能捕获影响的方向性。定向信息量化了信息的“定向”流动，有助于揭示交互系统之间的因果影响。当玩家下注分数f时，不平等性（63）达到饱和*i=RP（yi=R | yi）-1，xi）-\'-RP（yi=-“R|yi”-1，xi）R’-R.（65）这个选择意味着“玩家应该根据所有可用信息下注凯利分数。”选择这个分数，1+f*iyi=P（yi | yi）-1，xi）Q（yi），（66），可以很容易地检查等式（63）是否饱和。在对称下注的情况下（y∈ {1, -1} ，DKL（P（yn）|Q（yn））=n ln 2- S（Yn）和t平均资本增长率的上限写为ashgn（fn）ixn，Yn≤ 液氮-nS（Yn）+nIdr（Xn→ （伊恩）。（67）示例（附带信息的马尔可夫硬币抛掷）让我们在上一节讨论马尔可夫硬币抛掷的扩展。商人拍了拍桌子，像以前一样试着把硬币弄脏。这一次，第i场比赛的起跳率是一个随机变量。玩家从庄家那里推断出牌价（庄家拍打桌子的力度）。我们表示硬币asP（yi | yi）的浮动率-1，θi）=θiyi6=yi-1，’θiyi=yi-1，（68）式中θi∈ [0:1]是一个随机变量。玩家测量下注率，并根据测量的下注率确定下注分数。

我们假设硬币的初始面是随机的，P（y=1）=P（y=-1) = 1/2.让我们计算公式（67）的RHS。从mΘ到YnreadsIdr（Θn）的定向信息→ （伊恩）=lnP（yn |θn）P（yn）θn，yn=hlnp（y |θ）iy，θ+nXi=2hlnp（yi | yi）-1，θi）iyi，yi-1，θi+S（Yn）=- 液氮-nXi=2hS（θi）iθi+S（Yn），（69）其中S（p）≡ -p-ln-p- “p ln”p是二元熵函数，我们使用p（yi）=1/2，因为硬币的初始状态是随机选择的。如果硬币的表面与测量的浮力ra t e，P（yi | yi）无关-1，θi）=P（yi | yi-1） ，则定向信息消失，Idr（Θn）→ Yn=0。因此，等式（67）的RHS被写成RHS=n- 1nln 2-nnXi=2hS（θi）iθi.（70）凯利下注下的资本增长率计算如下。注意到1+f（易）-1，θi）yi=1+f（yi）-1，θi）yi=2P（yi | yi）-1，θi），（71）平均资本增长率ishg（f）*n） iθn，yn=nnXi=1自然对数1+f（易）-1，θi）yi=nnXi=2hln 2P（yi | yi）-1，θi）i+nhln 2P（y |θ）i=n- 1nln 2-nnXi=2hS（θi）iθi，（72），这里我们再次使用P（yi）=1/2。这与等式（70）一致，不等式（67）是饱和的。假设θi服从均值为p且方差为σ的高斯分布，θi与方差无关。当σ与p相比很小且p=1时- p、 定向信息IDR（Θn）→ Yn）近似为asIdr（Θn）→ （伊恩）（n）- 1） σ2p′p.（73）由于附加信息δhg对最大资本增长率的额外贡献*我≡ 汞（f）*n） iθn，yn- 汞（f）*n） 因此，iyn被写成δhg*i=nIdr（Θn）→ （伊恩）N- 因此，随机波动率θ总是帮助赌徒，它是波动率方差的递增函数。让我们找到假设赌徒遵守凯利战略的有效性表达式。这种效率可以用类似于无记忆情况的方式来定义[见等式（92）]。

如下一节所示，凯利策略下的效率写为γ*= hexp[iθn→我们可以计算γ*as（γ）*)n=hexp[iθn→[yn]我=P（yn |θn）P（yn）yn，xn=Xyn，θnP（yn，θn）P（yn |θn）P（yn）=Xyn，θnP（y，θ）P（y |θ）P（y）nYi=2P（yi，θi | yi）-1，θi-1） P（yi | yi）-1，θi）P（yi | yi）-1).（75）注意到P（yi，θi | yi）-1，θi-1） =P（yi，θi | yi）-1） P（yi，θi | yi）-1） =P（yi | yi）-1，θi）P（θi | yi-1） =P（yi | yi）-1，θi）P（θi），（γ）*)n=Xyn，θnP（y，θ）P（y |θ）P（y）nYi=2P（yi | yi）-1，θi）P（θi）P（yi | yi）-1). （76）式（76）中的总和可以用与一维伊辛模型的传递矩阵法类似的方法计算。在当前模型中，出现在inEq中的边际通货膨胀率。（75）是asP（易|易）写的-1） =XθiP（yi，θi | yi）-1） =XθiP（yi | yi）-1，θi）P（θi）=p yi6=yi-1，\'p yi=yi-1.（77）让我们定义矩阵偏差[Bi]yiyi-1.≡XθiP（yi | yi）-1，θi）P（θi）P（yi | yi）-1)=h′θii′phθiiphθiiph′θii′p=\'p+σ\'pp+σpp+σp\'p+σ\'p. （78）这些矩阵实际上都是相同的，我们把它们表示为B≡ 毕。还注意到P（y）=P（y |θ）=1/2，效率可以用这些矩阵的乘积表示为（γ）*)n=Xa=1nYi=2Bi1/21/2a=Xa=1（B） n-1.1/21/2a=1+σp\'-pN-1.（79）因此，在当前近似中，效率和定向信息由（式（73）和式（79））γ关联*=1+n- 1Idr（Θn）→ （伊恩）1.-n、 （80）C.泛化：有边信息的赛马我们在这里把Jarzynski型等式推广到一种赌博，在这种赌博中，玩家有多种选择，可以借助边信息下注。这种情况实际上与赛马相对应，在赛马中，一场比赛的每个结果都取决于第一场比赛的结果。赛马可以被视为前几节讨论的二元下注情况的推广。关于赛马资本增长率上限的讨论，见参考文献。

[39–41].设f（yi）和o（yi）为第i场比赛的赌注分数和赔率。WetakePyif（yi）=1，这意味着g ambler在每一场比赛中都把所有的钱下注。Gambler的资本演化为sMi+1=Mif（yi | yi-1，xi）o（yi | yi-1） ，（81）其中，Yi是赢得第i场比赛的马，Xi是第i场比赛的辅助信息。赌徒根据过去的结果和收到的信息来决定赌注分数，因此f（yi）=f（yi | yi-1，xi）。概率o（yi | yi）-1） 也是过去结果的函数。赌徒在n场比赛中的资本写为asMn+1=MnYi=1f（yi | yi）-1，xi）o（yi | yi-1). （82）我们定义了n场比赛后的资本增长率asgn（fn，on）=nlnMn+1M=nln f（yn | | xn）o（yn），（83）。作为另一个扩展，我们还可以使用贝叶斯网络，在更复杂的信息结构下，建立赌博中的Jarzynski型等式。等式的证明也是一样的，我们只需要用Pc（xn | | yn）代替P（xn | | yn）≡QniP（xi | pa（xi））和类似的f（yn | | xn）和o（yn | | xn）。见参考文献[38]。式（81）中的量f和o与（1+yf）Q（y）和1/Q（y）在前面小节讨论的二元优化的情况下对应。式中f（yn | | xn）≡尼夫（易|易）-1，xi），o（yn）≡nYi=1o（yi | yi）-1). （84）定理。5.在有记忆效应和附带信息的赛马中，首都增长率为gnsatis ESHEP[ngn（fn，on）+syn- ixn→伊恩- ln o（yn）]iyn，xn=1，（85）其中≡ - lnp（yn），ixn→伊恩≡ lnP（yn | | xn）P（yn）。（86）证据。hexp[ngn（fn，on）+syn- ixn→伊恩- ln o（yn）]iyn，xn=f（yn | | xn）P（yn | | xn）yn，xn=Xyn，xnf（yn | | xn）P（yn，xn）P（yn | | xn）=Xyn，xnf（yn | | xn）P（xn | | yn-1） =1，（87）其中我们使用了P（xn，yn）和xyn，xnf（yn | | xn）P（xn | | yn）的分解-1) = 1. （88）这种关系可以用notingPyif（yi | yi）来表示-1） =1和pxip（xi | xi-1，易-1) = 1.