赌博中的Jarzynski型均衡：信息在资本中的作用

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英文标题：
《Jarzynski-type equalities in gambling: role of information in capital
  growth》
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作者：
Yuji Hirono, Yoshimasa Hidaka
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the capital growth in gambling with (and without) side information and memory effects. We derive several equalities for gambling, which are of similar form to the Jarzynski equality and its extension to systems with feedback controls. Those relations provide us with new measures to quantify the effects of information on the statistics of capital growth in gambling. We discuss the implications of the equalities and show that they reproduce the known upper bounds of average capital growth rates.
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中文摘要：
我们研究了有（或没有）副信息和记忆效应的赌博中的资本增长。我们推导了赌博的几个等式，它们的形式与Jarzynski等式及其对反馈控制系统的扩展类似。这些关系为我们提供了量化信息对赌博资本增长统计数据影响的新方法。我们讨论了等式的含义，并表明它们重现了平均资本增长率的已知上限。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Jarzynski-type_equalities_in_gambling:_role_of_information_in_capital_growth.pdf (286.22 KB)

2022-5-8 06:11:27 上传

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关键词：JAR Quantitative Implications Applications information

RIKEN-QHP-182，RIKEN-STAMP-10Jarzynski赌博中的等式：信息在资本增长中的作用，*Yoshimasa Hidaka2，+纽约石溪石溪大学物理与天文学系，11794-3800，日本和子351-0198理研中心美国理论研究部（日期：2018年8月28日）。摘要我们研究赌博中的资本增长，有（或没有）副信息和记忆效应。我们推导了赌博的几个等式，它们的形式类似于Jarzynski等式，并将其推广到带有反馈控制的系统。这些关系为我们提供了量化信息对赌博资本增长统计的影响的新方法。我们讨论了等式的含义，并表明它们重现了平均资本增长率的已知上界。PACS编号：*电子地址：YUji。hirono@stonybrook.edu+电子地址：hidaka@riken.jpContentsI.导言3II。凯利准则与信息论4A。凯利标准5B。附带信息的二进制赌博7III。独立赌博游戏的Jarzynski型等式9A。简单的二进制赌博9B。附带信息10C的二进制赌博。备注13IV。Jarzynski型记忆效应赌博等式13A。简单的二进制赌博14B。附带信息17C的二进制赌博。泛化：附带信息的赛马22D。赌博中Jarzynski型平等的统一表达25V。总结和展望25致谢26A。符号和定义26B。马尔科夫硬币投掷和1D伊辛模型28i参考文献29I。

引言非平衡等式的发展，如微分定理和Jarzynski等式，是自1990年代以来统计物理学的主要进展之一[1–13]。这些关系包含了有关物质生产在不稳定环境中的变化的信息，并用于推导热力学第二定律。它们被推广到具有测量和反馈控制的系统，并阐明了可提取功与通过测量获得的信息之间的关系[14–16]；因此，麦克斯韦魔鬼的悖论得到了充分的理解[15]。最近，将信息处理纳入热力学是一个备受关注的话题[17–24]。信息是赌徒和恶魔成功的关键。本文的目的是论证一个类似的理论框架可以被发展为g-ambling。凯利在1956年提出了赌博资本增长率与信息理论之间的紧密联系[26]。他证明了重复赛马中的最佳财富增长率是由一个信息理论量（即通道容量）从上方限定的[27]。凯利还考虑了在信息员的帮助下进行赌博，信息员在下注前将结果（可能是错误的）告诉赌徒。Kelly指出，平均资本增长率的最大值的增加是因为来自告密者的信息，即所谓的“附带信息”，是由附带信息和赌博结果之间的相互信息量化的。将资本对数最大化的想法被称为凯利标准，由21点点卡的发明者索普首次应用于实际赌博[28]和股票投资[29]。

庞德斯通（Poundstone）[31]撰写的《财富公式》（Fortune’s formula）一书将凯利的理论介绍给了更广泛的读者。在本文中，我们推导了几个等式，它们限制了赌博中资本增长率的统计。我们首先考虑二元期权的重复博弈，每个博弈都是独立且相同的，在这种情况下，我们推导出了Jarzynski型等式。在存在旁侧信息的情况下，等式包括反馈控制系统中的功的扩展和赌博之间的相互信息，最近在参考文献[25]中讨论了这两者之间的类比。卡计数是一种利用已发卡的信息来提高赌徒回报的方法。附带信息和赌博的结果。然后，我们将等式推广到具有记忆效应的案例，其中游戏的结果可能取决于过去的结果。在利用附带信息赌博的情况下，我们得到了一个等式，其中包括定向信息[32,33]，这是因果关系的一种度量。derivedJarzynski型等式阐明了信息在赌博资本增长中的作用。我们发现，将Jensen不等式应用于等式，可以重现资本增长率的上界，这类似于从Jarzynski等式推导热力学第二定律[3]。我们在这里展示的独立赌博游戏中的一些等式也是由Bell和Cover使用不同的推理路线推导出来的[34]。从这个意义上说，我们的主要贡献在于概括了赌博与记忆的关系。不过，为了举例说明，我们还是从讨论独立的赌博游戏开始。论文的结构如下。以秒计。二、 我们回顾了两人赌博游戏中的凯利准则，它们是独立的和相同的。

我们解释了平均资本增长率的上限与信息论中的概念之间的关系。以秒计。三、 我们推导了二元赌博的独立g ames的几个Jarzynski型等式，并讨论了它们的含义。我们引入了一个称为效率的量，作为衡量赌徒下注的程度以及附带信息的质量。以秒计。四、 我们推广了具有记忆效应的二元赌博的Jarzynski型等式，其中的结果可以依赖于过去的结果。我们进一步推广了与赛马的关系，其中包括作为特例的二元投注。这种效应也被推广到具有记忆效应的病例。在第二节的最后一节。四、 我们给出了本文讨论的赌博中Jarzynski型等式的统一表达式。第五部分是总结和展望。在附录A中，我们总结了本文件中使用的信息理论量的符号。在附录B中，我们将讨论第节中如何讨论马尔科夫币抛掷。IV被映射到一维伊辛模型。二、KELLY准则和信息理论Let us首先对KELLY准则及其与信息理论的关系进行了教学回顾，使用了一个重复的二元博弈，结果是独立的，且呈身份分布（i.i.d.）。我们证明了平均资本增长率的上界是用信息论中的量子信息来描述的。以秒计。我们讨论了一个简单的二元期权博弈，并引入了凯利准则的概念。不安全。II B，我们研究了附加信息对资本增长的影响。凯利标准让我们考虑一下简单的赌博游戏。玩家在游戏中有二元选择下注。如果玩家赢了，赌场将向玩家支付下注金额的两倍。玩家多次重复游戏。

让我们用fi表示玩家在第i个游戏上下注的钱的分数。本节假设每场比赛的结果为i.i.d。在米的第1场比赛之前，我们先把球员的首都挖出来。首都随着我的进步而发展-→Mi（1+fi）winMi（1- fi）失败。（1） 我们引入一个随机变量yi∈ {1, -1} 表明玩家是否在第i场比赛中获胜或失败。首都的演变写为asMi+1=Mi（1+fiyi）。（2） 问题是：为了尽快赚钱，玩家应该下注多少？凯利的食谱如下。让我们来确定玩家在ngames bygn（fn）期间的资本增长率≡nlnMn+1M，（3）是下注分数fn的函数≡ {f，···，fn}。分数对于玩家来说是可控的变量。Kelly的建议是选择fn，以使资本增长率（3）的平均值最大化，该平均值写为sgn（fn）iyn=nlnMn+1Myn=nnXi=1hln（1+fiyi）iyi=nnXi=1[piln（1+fi）+piln（1- fi）]，（4）式中，pi（`pi=1- pi）是玩家在第i场比赛中获胜（失败）的概率，h··iy是关于变量y的平均值。我们用f表示最佳fr动作*n={f*, · · · , F*n} 。因为所有的游戏都是i.i.d.，p=·p=pn≡ p、 在本文中，我们使用上标来共同表示变量。分数都是一样的，f*= · · · = F*N≡ F*. 因此，hgn（f*n） iyn=hg（f）*)艾伊≡ 汞（f）*)我只需要考虑一个游戏中的平均资本增长率。D hg（f）iy/df=0的溶液很容易从asf中获得*= P- \'p，（5）其中\'p≡ 1.- p、 为了最大化logof Mn+1/Mis的平均值而选择的下注分数称为凯利标准[26]。布雷曼表明，凯利战略在长期战略中明显优于其他战略[35]。自从f*应该满足0≤F*≤ 1，p应该满足p≥ 1/2. F*≤ 1代表p的任何值。

当p<1/2时，玩家不应下注，即f*= 0.平均资本增长率的最大值e hg（f*)我得到了hg（f）*)i=ln2- 其中S（Y）是结果的香农熵，可以写成S（Y）=S（p）≡-p-ln-p- “p ln”p.如果p接近1，S（p） 0和hg（f）*)我 第二阶段，这意味着玩家每场比赛的资本都会翻倍。在她手上，如果p 1/2，S（p） 而玩家很难增加资本。Kelly没有指出，在Kelly准则下，资本增长率（6）只不过是错误率为p（或1）的二元对称信道的信道容量- p） 。一般f增长率的方差写为sv[g]=gn（f）- hgn（f）i=p¨pln1+f1- F.（7） 在凯利下注的情况下（f=f）*),v[g（f）*)] = p’plnp\'p. （8） 尽管从长期来看，凯利博彩是最有利的，但众所周知，它在短期内风险很大，而且资本会受到大波动的影响。为了减少r iskof破产，一种流行的策略是“分数凯利下注”，即赌徒下注凯利分数的一定分数（例如，1/2）。B.有边信息的二元赌博我们在这里考虑存在边信息的二元赌博。在本节中，所有的g游戏都假设为i.i.d.，我们只需考虑一个游戏的资本增长率。游戏的结果用y表示∈ {1, -1}. 玩家在下注前会收到SideX信息。我们用P（y | x）表示agiven边信息x的结果y的概率分布。玩家根据边信息确定资本的分数，因此分数取决于x，f=fx。大写字母表示sMi+1=Mi（1+fxy）。（9） 我们定义了资本增长率asg（fx）=lnMi+1Mi=ln（1+fxy）。（10） 让我们计算一下这种情况下平均资本增长率的最大值。

固定x的Kellyfraction由f给出*x=P（y=1 | x）- P（y=-1 | x）。它是1+f*xy=2P（y | x）。（11） 凯利赌注下的平均资本增长率由Hg（f）给出*x） ix，y=Xx，yP（x，y）ln2p（y | x）=ln2- S（Y）+I（X:Y），（12）其中P（X，Y）是X和Y的联合概率，S（Y）=- hlnp（y）i是香农熵，i（X:y）≡ hln[P（x，y）/P（x）P（y）]i是相互信息。这是在存在旁侧信息的情况下，人均增长率的最大值。在没有旁侧信息的情况下，前两项为上限。第三项是附加信息的贡献。借助于边信息，资本增长率的上界由边信息和赌博结果I（X:Y）之间的互信息量增加。这种关系量化了附带信息的财务价值。让我们用一个具体的例子来说明这一点。我们考虑的情况是，当玩家收到表格x的侧面信息时∈ {1, -1} 下注前从线人那里得到的。表1的值I：在下注前，在资本单位下注后，将附带信息和游戏结果P（x，y）和金钱联合分布。（x，y）P（x，y）比值(-1.-1） “pq 1- F-1（1，1）pq 1+f(-1,1）p\'q 1+f-1(1, -1） “p”q 1- f(-1） 意思是“玩家会赢（输）。”不幸的是，告密者提供的信息可能是错误的。让我们对条件概率asP（x=1 | y=1）=P（x=-1 | y=-1） =q，P（x=-1 | y=1）=P（x=1 | y=-1) = 1 - Q≡ “\'q，（13），其中q是量化侧信息正确性的参数。玩家获胜的概率（lo se）用p（`p）表示。

g（fx）的平均值为（见表一）hg（fx）ix，y=Xx，yP（x，y）ln（1+fxy）=pq ln（1-F-1） +pq ln（1+f）+p\'q ln（1+f）-1） +p/q ln（1）-f） 。（14） 我们可以确定分数f*-1和f*给出了hg（fx）ix，ybysolving的最大值 hg（fx）ix，y/f=0和 h g（fx）ix，y/F-1= 0. 解决方案是F*-1=p'q- “pqp”q+“pq，f*=pq- “p”qpq+“p”q.（15）平均资本增长率的最大值*x） ix，y=\'pq ln2\'pqp\'q+\'pq+p\'q ln2p\'qp\'q+\'pq+pq LN2PQ+\'p+\'p\'q=ln2- S（Y）+I（X:Y），（16）其中S（Y）=S（p）=-p-ln-p- “p ln”p，我们使用p（x=1）=pq+“p”q和p（x=-1） =p‘q+’pq。三、 独立博弈的JARZYNSKI型等式从到目前为止的讨论中，我们了解到，平均人均l增长率ingambling是有界的，g（f）≤ 液氮- 例如，在没有附加信息的二进制赌博的情况下，S（Y），（17）。这种关系可以被视为赌场的“第二定律”。如果人们回忆起热力学第二定律是从积分涨落定理（IFT）推导出来的，人们可能会想，也可能有一个相应的类似于IFT的方程，它可以导出等式（17）。正如下文所示，在第二节讨论的所有情况下，实际上都存在这样的等式。下面我们认为赌博的结果是不对称的∈ {R，-\'R}，其中R和\'R是正数。我们引入以下量，Q（y=R）=\'RR+\'R，Q（y=-\'R）=RR+\'R.（18）Q（y）可被视为概率分布，因为Q（y）∈ （0:1）和Pyq（y）=1。后来被广泛使用的Q（y）的一个重要性质是y在Q（y）上的平均值为零，XyyQ（y）=0。（19） 我们还表示sqy≡ - lnq（y）。（20） A.简单二进制赌博在没有第节讨论的附带信息的简单二进制赌博中。II A，以下等式成立。定理。

1设g（f）为资本增长率，其中有一个下注分数f。g（f）满意度经验g（f）+sy- sQyy=1，（21），其中sy=- ln P（y），其平均值为香农熵py，hsyi=S（y）。在非平衡态物理学的背景下，sy被称为轨迹（随机）entr opy[11]证明。LHS=（1+fy）Q（y）P（y）y=Xy（1+fy）Q（y）=1，（22），其中我们使用了Q（y）的范数，Pyq（y）y=0。方程（21）表示增长率和结果的（随机）熵之间的平衡。我们可以从公式（21）中复制凯利策略下的人均增长率上限。因为指数函数的凸性（exp[hF i]≤ hexp F i），式（21）表示Hg（F）iy≤ DKL（P（y）| | Q（y）），（23），其中DKL（·| |·）是Kullback-Leibler散度（见附录A或定义）。在偶数下注的情况下（y）∈ {1, -1} ），增长率的界限写为ashg（f）iy≤ 液氮- S（Y），（24），等于通过显式最大化hg（f）iy获得的资本增长率（6）的上限。B.带边信息的二元赌博在第节讨论的边信息下带二元期权的赌博中。II B，资本增长率满足以下等式。定理。2.假设下注分数fx是共振峰信息x的函数。资本增长率g（fx）服从经验g（fx）+sy- 伊克西- sQyx、 y=1，（25），其中ixy≡ ln[P（x，y）/P（x）P（y）]，平均时给出互信息，hixyi=I（x:y）。在非平衡等式的讨论中，参考文献中引入了IXY。[16, 36]. 方程（25）是反馈控制下广义Jarzynski等式的一部分。证据经验g（fx）+sy- 伊克西- sQyx、 y=（1+fxy）Q（y）P（y | x）x、 y=Xx，y（1+fxy）P（x，y）Q（y）P（y | x）=Xx，y（1+fxy）P（x）Q（y）=1，（26），其中我们在最后一行使用了Q（y）的范数，Pyq（y）y=0。