赌博中的Jarzynski型均衡：信息在资本中的作用

利用詹森不等式，我们得到了资本增长的界，hgn（fn，on）iyn，xn≤nhln o（yn）iyn，xn-nS（Yn）+nIdr（Xn→ Yn），（89）我们使用hixn的地方→ynixn，yn=Idr（Xn→ （伊恩）。在“公平统一”的赔率下（o（yi | yi）-1） =M表示任何i，其中M表示比赛中的马数），hgn（fn，on）iyn，xn≤ 在M-nS（Yn）+nIdr（Xn→ Yn），（90），再现了参考文献中获得的结果。[40, 41]. 当玩家选择下注分数asf（yi | yi）时，上界（89）就达到了-1，xi）=P（yi | yi-1，xi）。（91）这种效应也可以直接扩展到具有记忆效应的情况，我们将其定义为γ≡hexp[ngn（fn，on）+syn- ln o（yn）]iyn，xn1/n.（92）效率也写为γ-n=hexp[Axnyn- ixn→yn]iyn，xnhexp[Axnyn]iyn，xnhexp[-ixn→yn]iyn，xn，（93）Axnyn在哪里≡ ngn（fn，on）+syn- 在o（yn）中，我们使用了hexp[-ixn→yn]iyn，xn=1和q。(85). 从表达式（93）可以明显看出，效率衡量的是资本增长率和信息流之间的相关性。如果赌徒要采取凯利策略，效果写为γ*=hexp[ixn→yn]iyn，xn1/n，可表示为（γ*)n=hexp[ngn（fn，on）+syn- ln o（yn）]iyn，xn=f（yn | | xn）P（yn）yn，xn=P（yn | | xn）P（yn）yn，xn=hexp[ixn→yn]iyn，xn，（94），其中使用了f（yn | xn）=P（yn | xn）对凯利下注有效的事实。γ的上界*被发现为γ*=hexp[ixn→yn]iyn，xn1/n=经验syn- syn | | xnyn，xn1/n≤hexp[syn]iyn1/n=Xyn！1/n=M，（95），其中syn | | xn≡ - lnp（yn | | xn）和a，我们使用了属性syn | | xn≥ 0.D.gambling中Jarzynski型等式的统一表达式这里我们给出赌博中Jarzynski等式的统一表达式。本文所示形式h··i=1的等式可写成以下形式：，英[gn（fn）-gn（f）*n） ]yn，xn=1，（96），其中fn是n次博弈的下注分数，f*根据凯利策略确定下注分数。

投注分数可能取决于过去的结果，也取决于附带信息。无论选择何种下注方式，这种平等都是成立的。等式（96）是Bell和Cover结果[34]对具有记忆效应的赌博的推广。V.总结与展望在本文中，我们导出了赌博中新的Jarzynski型等式。基于这些关系，我们讨论了记忆的附带信息如何影响赌徒的资本增长。本文的主要结果总结如下：o简单的二进制赌博→ Eqs。（21）和（44）o附带信息的二进制赌博→ Eqs。（25）和（58）o具有辅助信息和记忆效应的赛马→ 等式（85）o引入有效性→ Eqs。（29）和（92）赛马平等是最普遍的平等。我们还提供了本文所示的Jarzynski型关系的统一表达式（涉及效率的除外）。(9 6). 这些等式通过应用詹森不等式重现了已知的资本增长率的凯利·博恩兹。在使用辅助信息下注的情况下，信息的财务价值由独立重复下注中的多个信息和具有记忆效应的定向赌博信息确定。我们在等式中定义了有效性。（29）和（92），这是衡量赌徒利用附带信息的程度。我们证明了当赌徒在凯利策略下下注时，效率允许一个简单的表达式[Eqs.（35）和（94）]，并讨论了它的上限。最后，让我们谈谈未来可能的发展方向适用于实际赌博。一个有趣的方向是对实际赌博的分析。21点是个不错的候选人。

在21点游戏中，玩家可以利用已经开放的汽车ds的信息来提高回报率。这种方法被称为“卡片计数”[30]。玩家为每张牌指定一个数字，并将所有已发牌的数字相加。总数被称为计数，这是对鞋牌组成的衡量。真正的计数，即计数除以剩余甲板的数量，表示预期收益。卡片上的重量有很多可能的选择。计算系统的性能由一个称为下注相关性的量来评估。在凯利标准下，作为改善相关性的函数，可以估计财富的增长率扩展到股票投资。虽然我们在本文中关注的是赌博，但将这种平等延伸到股票投资中是非常有趣的。非平衡物理学中发展出来的贾辛斯基质量和波动定理等概念可能有助于揭示信息在金融世界中的作用。致谢。广野感谢S.Nakayama进行了有益的讨论，并仔细阅读了手稿。Y.Hirono得到了JSPS青年科学家研究金的支持。这项工作得到了RIKEN iTHES项目的部分支持。这项工作还得到了JSPS战略青年研究员海外访问计划（编号R2411）的支持。附录A：符号和定义这里我们总结了文本中使用的信息理论量的符号和定义。随机变量X的一个函数由它的小写字母X表示，在这种情况下为X。Werthamer[42]的一本新书全面分析了21点的数学方面。设{xi}，{yi}为随机变量的时间序列。

上标为9的变量表示从1到n的变量，统称为xn≡ {x，···，xn}。（A1）我们假设变量的依赖关系是因果的，这意味着如果j<i，概率分布P（xi）依赖于xjonly。联合概率（xn）分解为asP（xn）=YiP（xi | xi）-1） 式中，P（x | y）是条件概率。变量{x，y，···}的平均值用h··ix，y，···表示。下标可以省略，在这种情况下，所有随机变量的平均值都可以忽略。Xn={X，··，Xn}isS（Xn）的香农熵≡ - hln P（xn）ixn=-XxnP（xn）ln P（xn）。（A3）分布Q（y）与另一个分布P（y）的库尔贝克-莱布勒散度由dkl（P（y）| | Q（y））定义≡XyP（y）lnP（y）Q（y）。（A4）随机变量X和Y之间的互信息由i（X:Y）定义≡lnP（x，y）P（x）P（y）x、 y=Xx，yP（x，y）lnP（x，y）P（x）P（y）。（A5）我们使用了Kramer[33]开发的下列因果条件符号。XnCa的概率分布通常以yn为条件-dis表示asP（xn | | yn）-d）≡nYi=1P（xi | xi）-1，易-d） 。（A6）如果我- D≤ 0，易-dis设置为null。大多数情况下，使用d=0，1的情况：P（xn | | yn）=nYi=1P（xi | xi）-1，yi），（A7）P（xn | | yn-1） =nYi=1P（xi | xi）-1，易-1). （A8）x和yn的联合概率被分解为asP（xn，yn）=P（xn | | yn）P（yn | | xn）-1). （A9）∵ P（xn，yn）=叶（xi，yi | xi-1，易-1） =叶（xi | xi）-1，yi）P（yi | xi-1，易-1） =P（xn | | yn）P（yn | | xn）-1).（A10）因果条件熵定义为asS（Xn | | Yn）≡ - hlnp（xn | | yn）i=nXi=1S（Xi | Xi）-1，易）。（A11）梅西[32]介绍的定向信息定义为asIdr（Yn）→ Xn）≡ S（Xn）- S（Xn | | Yn）。（A12）它可以明确地写为ADR（Yn）→ Xn）=lnP（xn | | yn）P（xn）=xilnP（xi+1 | xi，yi+1）P（xi+1 | xi）.

（A13）附录B：马尔科夫硬币抛掷和1D伊辛模型我们在这里展示了第节中讨论的马尔科夫硬币抛掷的等效性。IV A采用一维伊辛模型。在不丧失一般性的情况下，我们可以将条件概率P（yi+1|yi）asP（yi+1|yi）=exp[βJ yi+1yi]2 coshβJ.（B1）参数化，可以看到0<P（yi+1|yi）<1，并且也可以满足标准化条件Pyi+1P（yi+1|yi）=1。新参数J可以与波动率相关，如βJ=ln。（B2）通过以下方式重写P（yn）的非规范化条件，伊辛模型的对应关系是明显的：1=XynP（yn）=xynxp“xilnp（yi+1 | yi）#=（2 coshβJ）nXynexp”XiβJ yi+1yi#≡trE-βHZ.（B3）因此，数值是伊辛模型的配分函数的定义，没有外部场。当fi（Yi | Yi）时，g的指数平均值写成ashexp[ngn]iyn=XynP（yn）Yi（1+fiyi）=（2 coshβJ）nXynexp“XiβJ Yi+1yi+Xiln（1+fiyi）#（B4）-1） 独立于易-1，RHS的分子是伊辛模型的配分函数，是一种奇怪的磁场形式。在一维中，伊辛模型在特定温度下不会出现对称性破坏。在马尔可夫抛币的背景下，对称性破坏的缺失与以下事实相对应：在一定的值下，在一定的试验次数后，硬币会浮起，“磁性”总是消失，limn→∞nXihyii=0。（B5）[1]丹尼斯·J·埃文斯、E·格德·科恩和GP莫里斯。希林斯泰迪州违反第二定律的可能性。《物理评论快报》，71（15）：24011993。[2] 丹尼斯·J·埃文斯和黛布拉·J·西尔斯。产生第二稳态的平衡微态。物理评论E，50（2）：16451994。[3] 克里斯托弗·贾津斯基。自由能差的非平衡相等。物理评论，78（14）：26901997。[4] 加文·克鲁克斯。

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