将分布与风险价值和预期短缺相匹配

第6.1节解释了方法和参数。相关性%0.0 30.0 60.0 90.0 100.0超额债券EL 0.002 0.014 0.057 0.173 0.257高级无担保EL 0.007 0.039 0.132 0.345 0.465初级EL 0.020 0.097 0.294 0.711 0.943所有EL 0.007 0.038 0.126 0.330 0.4506。数字示例由于完全缺乏与担保债券相关的信用损失数据，我们无法直接测试第3.2、4.1和5.1节中描述的模型。我们可以做的是检查模型结果的经济合理性，并比较两种资产和调整后的一种资产模型的利润率。因此，在本节中，我们展示了一些结果，以说明模型在以下三种情况下是如何工作的：o分别增加覆盖池资产和发行人其他资产价值之间的相关性。o通过增加担保债券占总债务的比例来增加资产负担使用调整后的对数正态单资产模型，而不是对数正态双资产模型。6.1. 覆盖池和剩余资产之间依赖性的影响我们使用定义5.5中描述的经利润率校准的对数正态双资产模型，分别说明相关性对覆盖债券（高级担保债务）、高级无担保债务和初级（无担保）债务的预期损失的影响。输入参数如下：oC=0.3，S=0.6，U=0.1，v=0.2.opcover=pother=0.01，LGDcover=LGDother=0.45.o%∈ {0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.0}. 这就产生了一系列依赖性，从独立性（%=0）增加到共单调性（%=1）。CGFS最近在一项对60家欧洲银行的调查中发现，银行资产负债表中的资产负担中值为28.5%（CGFS，2013年，图3）。

这一发现是在本例债务层级中选择债务金额的动机，同时考虑到初级债务的比例通常比高级债务的比例小。计算结果如表1所示。在所有债务类型中，相关性增加对预期损失的影响都非常强烈，但对担保债券（优先担保债务）的影响最大。这种行为是直观的，因为强烈的依赖性意味着发行人很大一部分资产被删除的可能性更大。在下面的两个例子中，我们只考虑共单调情况（%=1），因此选择了最坏情况的观点，尤其是可能适用于压力测试目的。6.2. 资产产权负担的影响我们使用定义5.2中所述的调整后对数正态单资产模型来说明资产产权负担对高级无担保债务和初级（无担保）债务的预期损失的影响表2：担保债券的预期损失（作为风险敞口的百分比）说明，优先无担保债务和初级债务作为担保债券敞口的函数（占总债务的百分比）。方法和参数见第6.2节。担保债券风险敞口C 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0调整后的产权负担比率0.0 12.0 24.0 36.0 48.0 60.0 72.0 84.0 96.0担保债券EL NA 0.237 0.2460.257 0.269 0.283 0.300 0.320 0.347高级无担保EL 0.395 0.415 0.438 0.465 0.496 0.536 0.587 0.658 0.777 EL 0.943 0.940.943。输入参数如下：oPisuer=0.01，LGDissuer=0.45.oELcover=0.0045.oC∈ {0,0.1,0.2，…，0.8}，S=0.9- C、 U=0.1，v=0.2。

这会产生一系列资产负债，从无（C=0）增加到强（C=0.8）。请注意，根据备注5.6，该特定调整的单一资产模型（ELissuer=ELcover）与pcover=Pother和LGDcover=LGDother的利润率校准模型等效。此外，在这种情况下，调整后的资产负债率为ε=（1+v）CC+S+U。计算结果如表2所示。由于初级债务在分配回收时处于从属地位，初级债务的预期损失不取决于有担保和无担保优先债务的比例。然而，高级无担保预期损失对资产负债率有很大的依赖性。资产负债率越接近100%，这种依赖性就越强。但是，随着资产负债率的增加，担保债券的单位预期损失也会增加。这是因为，随着由担保债券组成的总债务比例的增加，级别较低的无担保债务提供的担保债券的份额减少。请注意，尽管如此，在表2中，无论担保债券风险敞口的变化如何，发行人整个投资组合的预期损失仍保持在0.45%不变。6.3。对数正态两项资产与调整后的对数正态一项资产Mark 5.6给出了充分的条件，以符合定义5.5中校准的对数正态两项资产模型和定义5.2中调整后的对数正态一项资产模型的利润率。在本节中，我们证明了如果违反了pother=pcover和ELother=ElCovers的假设，即。

如果覆盖池和发行人剩余资产池的风险不再相同。关于债务敞口和过度抵押水平，我们使用第6.1节中相同的输入参数，即C=0.3，S=0.6，U=0.1，v=0.2。根据定义5.5，对于双资产模型，我们使用以下参数：o%=1，即我们考虑共单调情况pother=0.01，LGDother=0.45.o我们将ELcover FIX保持在0.003，但选择LGDcover∈ {0.3,0.45,0.6}并确定pcoverbypcover=ELcoverLGDcover。表3：调整后的对数正态双资产模型与调整后的对数正态单资产模型的结果对比。有关模型校准和输入参数，请参见第6.3节。所有数字都是百分比。LGD覆盖30 45 60厘覆盖1。000 0.667 0.5001。000 0.848 0.655ELissuer0。396 0.382 0.3482资产1资产2资产1资产2资产1资产转换债券EL 0.147 0.168 0.189 0.188 0.216 0.211无担保EL 0.431 0.421 0.409 0.409 0.368 0.371初级EL 0.931 0.929 0.799 0.799 0.629 0.628根据定义5.2，相应的一个资产模型校准如下：o我们确定参数u、σ，定义5.5中所述的双资产模型的ν和τ然后我们计算出（3.7a），（3.7b）和（3.7c）给出的概率之和。

同样，我们计算（3.8a），（3.8b）和（3.8c）的右侧之和除以c+S+U作为定义5.2中所述单一资产模型校准的输入参数，我们使用Pissuer和Elissuert确定κ和ψ，使用Elcover和v确定ε。表3显示，只要发行人的整个投资组合的风险特征与两个模型的输入相同（在PD和预期损失方面），且覆盖池和剩余资产池的预期损失差异不太大，根据双资产模型和单资产模型，不同EBT类型的预期损失值非常接近。两种模型的结果可能会产生重大差异，尤其是在定义5.2中建议的资产产权负担比率上限生效的情况下。如果发行人整个投资组合的预期损失远大于覆盖池的预期损失，则可能发生这种情况。然后，调整后的单一资产模型可能会输出覆盖债券的预期损失值，该值大于覆盖池的预期损失——这是一个非常不直观的结果。表3中另一个有趣的观察结果是，覆盖池资产价值分布的形状（由其损失概率和给定违约率的损失确定）对投资组合预期损失和债务类型的预期损失都有一定的影响。特别是，coverpool资产价值分布越扭曲，coverpool债券的预期损失增长越大。7.

结论由于备兑债券作为银行的融资工具和风险规避投资者的投资越来越重要，备兑债券预期损失的定量方法以及备兑债券的资产负担对高级无担保债务预期损失的影响对从业者和研究人员具有很高的兴趣。在本文中，我们研究了一个自然对数正态双资产模型，该模型考虑了备兑债券的预期损失。然而，事实证明，在某些情况下，该模型的精确校准是不可能的。因此，我们提出了一种简单且计算效率高的调整对数正态分布方法来解决这些问题。这种方法对输入数据的要求很轻：担保债券发行人的PD和LGD、担保池的预期损失、发行人对账单中债务类型的分布以及担保债券的过度抵押程度。因此，该模型可以应用于压力测试等情况，在这种情况下，可用信息很少，许多债券必须在短时间内进行评估。我们已经证明，对于同质投资组合，一种资产方法是更自然的两种资产方法的特例，然而，这种方法的校准很困难，有时根本不可行。对所讨论的两个模型进行回溯测试是不可能的，因为从未观察到任何担保债券违约。尽管如此，我们给出的数字示例表明，只要发行人的整个投资组合和覆盖债券的覆盖池的风险水平没有实质性差异，所提出的“调整后对数正态单资产模型”的结果与直觉一致。参考资料c。Acerbi和D.Tasche。关于预期短缺的一致性。《银行与金融杂志》，26（7）：1487-15032002。CGFS。资产产权负担、金融改革和抵押资产需求。

全球金融体系委员会，2013年5月。统一资源定位地址http://www.bis.org/publ/cgfs49.htm.2015年5月12日访问。J.Chan Lau和H.Oura。自救条款、储户优先权和资产负担：廉价优先无担保债务的终结？结构定价展望，2014年。统一资源定位地址http://www.researchgate.net/publication/262047985.2015年3月21日查阅。A.达斯和R.M.斯坦。分级方法的差异：一些结果和影响。D.R–oschand H.Scheule，《信贷证券化和衍生品：全球市场的挑战》编辑，第171-185页。约翰·威利父子有限公司，2013年。EPRS。担保债券——扩张时机成熟吗？欧洲议会研究局，2015年1月。统一资源定位地址http://www.europarl.europa.eu/thinktank/en/document.html?reference=EPRS_BRI(2015)545713. 2015年5月1日查阅。霍尔默和席德。随机金融：离散时间介绍。Walter de Gruyter，柏林，第三版，2011年。J.R.M.霍斯金。瞬间还是瞬间？一个比较两种分布形状度量的例子。《美国统计学家》，46（3）：186-1891992。C.肯扬。定价担保债券，2009年。统一资源定位地址http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1405585.2015年3月21日查阅。R.C.默顿。关于公司债务的定价：利率的风险结构。《金融杂志》，29（2）：449-4701974年。C.迈耶。部门内资产相关性的估计。《风险模型验证杂志》，3（3）：47–792009。R.T.Rockafellar和S.Uryasev。一般损失分配的条件风险价值。《银行和金融杂志》，26（7）：1443-14712002。D.塔什。2009年，在违约次数较少的情况下估算歧视性权力和PD曲线。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/0905.3928.2015年3月21日查阅。维基百科撰稿人。贝塔分布，2015a。统一资源定位地址http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution.2015年3月18日查阅。维基百科撰稿人。

对数正态分布，2015b。统一资源定位地址http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution.2015年3月18日查阅。杨海子。基于波动率的单参数损失违约模型。《金融机构风险管理杂志》，8（2）：196-2102015。A.附录：均值-方差匹配将双参数分布拟合为均值和方差的给定值是财务中的常用方法，尤其是在对目标分布知之甚少的情况下。这种方法被称为均值-方差匹配，是矩匹配或矩方法的特例。我们从定义2.2的意义上重新审视与某个随机变量X相关的位置尺度族开始描述均值-方差匹配。显然，如果X具有正的绝对值，则对于每个预先定义的对（u，σ）∈ R×（0，∞) 在X的位置标度分布族中，只有一个分布具有平均值u和标准偏差σ。为了确定这个分布的参数m和s，我们必须求解方程组u=E[m+sx]=m+se[X]σ=var[m+sx]=svar[X]。（A.1a）因此我们有s=σpvar[X]，m=u-σpvar[X]E[X]。（A.1b）在（A.1b）中，变量X通常会被标准化，从而遵循m=u和s=σ。这尤其适用于X为标准法线的情况。有时，标准化X可能会很不方便，就像固定自由度n>2的t分布族一样。然后，该家族的“标准”分布将以E[X]=0和var[X]=nn为特征-2> 1.位置尺度族的指数变换。如第2.1节所述，为了在正实数半轴上生成双参数分布族，可以方便地采用定义2.2意义上的位置尺度族的指数。

一般来说，在这种情况下，均值-方差拟合问题不再有封闭形式的解决方案。在X是标准正态变量的重要特殊情况下，（2.5）给出了对数正态分布族。众所周知，平均方差拟合问题u=E[exp（m+sx）]=exp（m+s/2），σ=var[exp（m+sx）]=经验（s）- 1.exp（2 m+s），（A.2a）的u>0和σ>0则有以下解决方案（例如，参见维基百科撰稿人，2015b）：s=slogσu+ 1,m=对数uu+ σ.（A.2b）位置比例族的正态变换。在定义2.2的意义上，通过将R映射到（0，1）上，可以生成unitinterval上的两个参数分布族。原则上，整个真实轴上分布的每个分布函数（或链接函数）都可以完成这项工作。然而，对于连接函数和位置-尺度分布族的任意组合，通常没有均值和方差的闭合形式解。具有标准法线链接函数（以下用Φ表示）的法线位置比例族的情况是一个显著的例外。然后我们研究了公式y=Φ（m+sx），（A.3）的分布，其中X表示标准正态随机变量，我们假设m∈ R和s>0。用可选参数m=Φ-1（p）√1.- %, s=r%1- %, 0<p<1，0<%1，由（A.3）给出的Y分布被一些作者称为Vasicek分布。很容易证明（例如，见Meyer，2009）e[Φ（m+sx）]=Φ（m），var[Φ（m+sx）]=Φm、 m；s1+s- Φ（m），（A.4）和Φ（·，·；r）表示二元标准正态分布，相关系数为r。注意，对于任何值在[0,1]和P[0<Z<1]>0的随机变量Z，它认为0<E[Z]<1和0<var[Z]<E[Z]（1）-E[Z]）。

（A.5）作为（A.4）和（A.5）的结果，可以表明，对于0<u<1和0<σ<u（1）的任何对（u，σ）- u）方程组u=Φ（m），σ=Φ，只有一个解（m，s）m、 m；s1+s- Φ（m）。（A.6）该解由m=Φ给出-1（u）和s=qr1-r是方程0的（0，1）中的唯一解=Φ（m，m；r）- Φ（m）- σ.因此，Vasicek分布的均值-方差fit问题没有完全明确的解决方案。这就是为什么尽管Vasicek分布（Meyer，2009）在实践中具有经济证明，但贝塔分布的双参数族用于单位区间的均值-方差fit。参数α>0和β>0的β分布由其密度bα，β（x）=（Γ（α+β）Γ（α）Γ（β）xα确定-1(1 - x） β-1dt，0<x<1,0,x≤ 0或x≥ 1，其中Γ表示伽马函数Γ（a）=R∞助教-1e-a>0的tdt。如果u和σ与0<u<1和0<σ<u（1-μ）表示一个β分布的随机变量，Y分布的参数α和β可以通过求解方程组u=E[Y]=αα+β，σ=var[Y]=αβ（α+β）（α+β+1），（a.7a）来确定。事实证明（例如，参见维基百科撰稿人，2015a），α=u给出了一个封闭的解决方案u (1 - u)σ- 1.,β = (1 - u)u (1 - u)σ- 1..（A.7b）