将分布与风险价值和预期短缺相匹配

（4.2b）在%=1的情况下，第一个方程为φx（迪苏尔）, （4.3a）为了简单起见，我们假设我们获得了发行人全部债务的LGD。在实践中，发行人的优先无担保债务更可能有LGD。如果%<1，则将（4.2b）的右侧替换为（3.5b），如果%=1，则将（4.3b）的右侧替换为（3.8b）。其中，对于a>0，函数x（a）定义为（3.6）的解。第二个方程式由Dissuer（1）给出- LGDissuer）=eu+σ/2Φx（迪苏尔）- σ+ eν+τ/2Φx（迪苏尔）- τ. （4.3b）假设参数u、σ和%已知，我们必须求解方程组（4.2a）和（4.2b）（或分别为（4.3a）和（4.3b））以对第3.2节中的对数正态双资产模型进行完全参数化。不幸的是，没有明显的方法来转换方程组（4.2a）和（4.2b），从而分离变量ν和τ。这对于方程组（4.3a）和（4.3b）在共单调情况下是不同的%=1。因此，我们可以对系统的解决方案陈述以下结果。该命题表明，存在输入数据pcover、ELcover、C、v、pisuer、LGDissuer和dissuer的组合，使得方程组（4.3a）和（4.3b）对于ν和τ根本没有解。命题4.1假设Dissuer>0，0<pissuer<1，0<LGDissuer<1，u∈ R和σ>0已知并保持为x。然后存在一个解（ν，τ）∈ R×（0，∞) 方程组（4.3a）和（4.3b）的当且仅当它保持0<Pisuer<Φ日志（Dissuer）- uσ和（4.4a）Pisuereu+σΦ-1（皮苏尔）- eu+σ/2ΦΦ-1（皮苏尔）- σPissuerdisuer<lgdisuer<1-eu+σ/2ΦΦ-1（皮苏尔）- σ皮苏尔·迪苏尔。（4.4b）如果有解（ν，τ）∈ R×（0，∞) 在（4.3a）和（4.3b）中，它是独一无二的。证据

为了更简洁的表示法，在这个证明中，我们删除了索引“issuer”。注意，对于任何有限元（ν，τ），方程D=eu+σx（D）+eν+τx（D）（4.5）的解x（D）必须满足yx（D）<log（D）- uσ.共单调性（%=1）意味着（3.3）中的随机变量X和Y可以表示为某些标准正态变量ξ的X=eu+σξ，Y=eν+τξ。因此，P=P[eu+σξ+eν+τξ<D]=P[ξ<x（D）]<Pξ<log（D）- uσ= Φ日志（D）- uσ.这表明（4.4a）对于解的存在是必要的。现在假设p满足（4.4a）和（ν，τ）是（4.3a）和（4.3b）的解。然后（4.5）就可以解出ν：ν=logD- eu+σx（D）- τx（D）。将其替换为术语eν+τ/2Φ中的νx（D）- τ取（4.3b），以获得termg（τ）def=D- eu+σx（D）eτ/2-τx（D）Φx（D）- τ.g对τisg（τ）的导数=D- eu+σx（D）eτ/2-τx（D）Φ（x（D）- τ) (τ - x（D））- φ(τ - x（D））.图2：命题4.1的说明。担保池两组参数的债券发行人PD和LGD范围。较小的范围（双阴影）与覆盖池PD和LGD为0有关。分别为05%和30%。较大的范围（单阴影）与覆盖池PD和LGD分别为0.5%和50%有关。更多解释请参见示例4.2。0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.0120.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0组合PDDBY（2.3），如果在所有τ>0的情况下遵循g（τ）<0，则g是一个严格的递减函数。因此g是从（0）映射到，∞) 到limτ→∞g（τ），limτ→0g（τ）. 很容易看出（再次使用（2.3））thatlimτ→0g（τ）=D- eu+σx（D）p、 limτ→∞g（τ）=0。通过重新排列（4.3b），使得LGD是方程一侧的唯一项，因此（4.4b）对于（4.3a）和（4.3b）的解的存在是必要的。效率源于g是“on”这一事实。

解的唯一性是g严格递减的结果。2示例4.2为了说明命题4.1的后果，在图2中，我们绘制了债券发行人在覆盖池的两组参数下可能的PD LGD范围（有关参数含义的信息，请参见第3.1节）：oC=0.3，S=0.6，U=0.1，v=0.2，o（pcover，LGDcover）∈ {（0.0005,0.3），（0.005,0.5）}，o%=1（共单调病例）。阅读图2的示例：债券发行人的PD=2%无法通过覆盖池的两个参数集实现。债券发行人的PD=0.8%，LGD=40%可通过（pcover，LGDcover）=（0.005，0.5）实现，但不能通过（pcover，LGDcover）=（0.0005，0.3）实现。直观地说，命题4.1和示例4.2中债券发行人的PD-LGD范围受限是由以下现象引起的：覆盖池资产价值X分布的输入参数pcover、ELcover、C和v可能会迫使X具有较大的方差，而同时输入参数PISUER、LGDissuer、，发行人资产价值的分布Z=X+Y可能会迫使Z有一个小的方差。因此，模型（3.3）可能无法满足给定的风险特征。但回想一下备注3.1中关于风险特征时间范围的适当选择的评论。在一定程度上，在正确的时间范围内，没有一个精确匹配的两资产模型的问题可能会得到缓解。由于方程组（4.2a）和（4.2b）的复杂结构，当系统完全没有解时，很难尝试和分析问题的细节。为了更好地说明问题的原因，在本节的其余部分，我们将分析一个基于两个联合正态分布资产价值变量的玩具模型。4.2.

模型存在在两个共同正常资产价值的情况下，在本例中，我们保留第3.2节和第4节中的所有假设不变，但将（3.3）替换为x=u+σξ，Y=ν+τη，（4.6），其中我们有u，ν∈ R、 σ，τ>0和（ξ，η）~ N,1 %% 1大约%∈ [0, 1]. 这不是资产价值建模的假设，因为X和Y可能取负值。但这有助于说明潜在的校准问题，因为两个联合正态随机变量之和也是正态的。因此，在这种情况下，与方程（4.2a）和（4.2b）（或（4.3a）和（4.3b））的对数正态情形相反，我们得到了标定方程的封闭形式解。在（4.6）项下，参数u和σ的方程式由（参见第2.1节）u=（1+v）C给出- σ Φ-1（pcover），σ=（1+v）C Elcover pcoverΦ-1（pcover）+~nΦ-1（pcover）.（4.7）ν和τ的方程组（4.2a）和（4.2b）替换为ν=Dissuer- u - ψ Φ-1（皮苏尔），τ=pψ- (1 - %) σ- σ%，ψ=dissuer-pissuerlgdisuer-pissuerΦ-1（皮苏尔）+~nΦ-1（皮苏尔）.（4.8）关于（4.8），很容易看出τ>0<==> ψ > σ. （4.9）参数ψ实际上是债券发行人总资产价值的隐含标准差。如上所述，条件（4.9）是存在一个双资产模型的自然条件，该模型包含覆盖池和发行人整个投资组合的PD和LGD约束。然而，尽管在假设（4.6）的情况下，该条件对于基于联合正态分布的模型的存在确实是必要且充分的，但不清楚类似的陈述在假设（3.3）的情况下是否成立。请注意，即使（4.9）是令人满意的，结果模型仍然可能没有经济意义，因为它可能发生≤ 0.5.

对数正态单资产模型如第4节所示，可能不可能精确地为涵盖债券计算建立双资产模型。因此，在本节中，我们将考虑如何实施对数正态单资产模型，并探索如何使其对覆盖池和剩余资产的风险差异敏感。对数正态单资产模型。担保债券发行人总资产（包括担保池资产）的不确定未来价值A由A=exp（κ+ψξ），（5.1）给出，其中ξ是标准正态随机变量。对于常数ε，覆盖池资产的价值为εA∈ （0，1）。ε的数字称为资产产权负担比率。在本节中，我们基本上再次假设第3.1节的设置，X=εA，Y=（1）- ε） 答：如果发行人的PD和LGD LGDISSUERARE已知，那么对数正态单资产模型的参数κ和ψ的校准是简单的（见对（4.1）推导的评论）：κ=log（C+s+U）- ψ Φ-1（皮苏尔），0=ΦΦ-1（皮苏尔）- ψ-皮苏尔- 埃利苏尔经验ψ Φ-1（皮萨）- ψ/2,（5.2）使用ELissuer=Pissuerlgdisuer。根据命题2.3，方程组（5.2）有唯一的解（κ，ψ）原则上，产权负担比率ε可以确定为ε=（1+v）CA，（5.3），其中A>C+S+U是发行人在时间0（今天）的总资产，v是担保债券的过度抵押水平，C是担保债券的面值。在实践中，由于一些可能的原因，Amight的价值无法准确地知道。特别是，在摊销成本会计制度下，资产价值的总和可能被认为是对其真实总价值的过于不可靠且可能过于保守的估计。这就是为什么在本节中，我们探索如何从过度抵押v的水平和覆盖池的预期损失中隐含地推断ε。5.1.

调整资产产权负担比率假设，除了第3.1节中的债务金额C、S和U以及过度抵押水平v和参数κ、ψ（根据（5.2）进行校准）之外，还提供了覆盖池的预期损失覆盖值。其想法是找到ε，使得（1+v）C ELcover=E（1+v）C- εA{εA<（1+v）C}. （5.4）实际上，（5.4）相当于（4.1）的第二个等式。回想一下，我们用一个标准正态随机变量ξ将Portfolio的值表示为A=eκ+ψξ。由于θ=κ+对数（ε），因此我们可以将（5.4）改写为（1+v）C ELcover=E（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}= （1+v）CΦ对数（1+v）C- θψ!- eθ+ψ/2Φlog（1+v）C- θψ- ψ!def=f（θ）。（5.5）基于（5.5），可以证明（5.4）总是有唯一解ε：命题5.1正好有一个θ∈ R使得f（θ）=（1+v）C ELcover，其中f（θ）由（5.5）定义。证据显然，我们有limθ→-∞f（θ）=（1+v）C.极限行为limθ→∞f（θ）=0不那么明显，但从（2.3）中得出。由于0<ELcover<1，因此通过f的连续性，f（θ）=（1+v）C ELcover有一个解。因为θ<θ意味着eθ+ψξ<（1+v）Ceθ+ψξ<（1+v）C我们获得了θ<θE（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}≥ E（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}> E（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}.这意味着f（θ）=（1+v）C的解的唯一性。2根据命题5.1，我们可以以下列方式定义备兑债券预期损失的对数正态单资产模型：定义5.2假设发行人的PD Pisuer、发行人的预期损失ELissuer、备兑池预期损失ELcover、备兑债券的债务面值C、高级无担保债务的s、初级无担保债务的UF、，并给出了担保债券的过度抵押水平v。

然后，通过以下两个校准步骤指定调整后的对数正态单资产模型：o用ξ参数化资产值A=eκ+ψξ~ N（0，1），κ∈ 通过求解（对于κ和ψ）方程组（5.2），R和ψ>0通过求解唯一解θ的（5.5）并设置ε=min（1，eθ），确定调整后的产权负担比率ε-κ).定义5.2的第二个校准步骤中需要ε的100%上限，因为尽管ε始终是正的，但不能保证它小于1，特别是如果Elcoverage和Elissuer的值非常不同。ε大于100%的值在经济上是没有意义的，因为这样一来，发行人投资组合中的非覆盖池资产的价值将为负值。实际上，以类似于Proposition 4.1的方式，我们可以说明对于发行人投资组合的给定特征，哪些值可以准确实现。以下观察结果是（5.5）中的函数f（θ）是参数θ的递减函数（如命题5.1的证明所示）。备注5.3在定义5.2的设置中，可与调整后的对数正态单资产模型匹配的覆盖池的最小预期损失为lCOVER，min=Φlog（1+v）C- κψ!-eκ+ψ/2（1+v）CΦlog（1+v）C- κψ- ψ!.如第3.2节和第4.1节所述，调整后的对数正态单资产模型与对数正态双资产模型有多大区别？以下命题有助于解释这一点。命题5.4考虑以下两个二元随机向量：o（εA，（1- ε） A）0<ε<1，A=eκ+ψζ，ζ~ N（0，1），κ∈ R、 ψ>0。

将这种模式称为1.o（X，Y）X=eu+σξ，Y=eν+τη，ξη~ N,1 %% 1, u, ν ∈ R、 σ，τ>0，%∈ [-1, 1].把这个叫做模型2。模型1和模型2在如下意义上是等价的：当且仅当ψ=τ=σ，%=1，ε=eueu+eν，κ=log（eu+eν）时，各自的随机向量具有相同的分布。（5.6）证据。首先假设（5.6）满足%=1和σ=τ，我们几乎可以确定（X，Y）=eu+σξ，eν+σξ.利用ψ=σ以及（5.6）中ε和κ的表示，我们得到了u+σξ=εeκ+ψξ，eν+σξ=（1）- ε） eκ+ψξ。自ξ~ N（0，1），这意味着命题5.4的“如果”部分。现在假设模型1和模型2分别隐含的二元分布相等。然后，特别是对数（εA）=log的分布() + κ+ψζ和log（X）=u+σξ相等。由于ζ和ξ均为标准正态，因此u=对数() + κ和σ=ψ。同样的道理也适用于（1）- ε） A和Y给出了ν=log（1- ) + κ和τ=ψ。因此我们有ψ=τ=σ和u-日志() = ν -日志（1）-) 给出ε=eueu+eν。这意味着κ=u-日志() = 对数（eu+eν）。通过ψ>0（εA，（1）的成分-ε） A）是共单调的。因此X和Y也是共单调的，这意味着log（X）=u+σξ和log（Y）=ν+τη是共单调的。然而，如果两个联合正态随机变量的相关性为1，则它们仅为共单调变量。这就完成了“仅当”的证明。2根据命题5.4，对于同质投资组合，定义5.2的调整后对数正态单资产模型是第3.2节对数正态双资产模型的一个共单调特例。

为了正式证明这一点，我们考虑以下类型的对数正态双资产模型。定义5.5（3.3）中规定的对数正态双资产模型，如果按照以下方式进行校准，则称为保证金校准：o担保债券的债务面值C，高级无担保债务的债务面值S，初级债务的债务面值U给出了v级过度抵押相关参数%是根据专家判断或单独的校准练习选择的通过求解方程组（4.1）确定参数u和σ通过求解方程组ν=log（S+U）确定参数ν和τ- v C）- τ Φ-1（波特），0=ΦΦ-1（波特）- τ-波特- 埃洛瑟经验τ Φ-1（波特）- τ/2,（5.7）其中Pother和Elother分别表示发行人的投资组合（不包括覆盖池）的独立损失概率和预期损失。术语-Vc是（4.1）中术语1+v的结果，以反映覆盖池的过度抵押。该术语是确保总债务为C+S+U所需的修正。定义5.5中的校准方法在计算上比第4.1节中的校准方法要求低，且始终可行。但如第4.1节所述，通常没有对potherandELothermight的估计值可作为（5.7）的输入。尽管如此，为了与调整后的对数正态单资产模型进行比较和说明，如以下注释和第6节所示，经利润率校准的双资产模型是有用的。备注5.6在定义5.5的共单调情况下（%=1），如果另外pother=pcoverandELother=ELcover（即发行人的投资组合在风险方面是同质的），则根据命题2.3if，σ=τ。因此，根据命题5.4，双资产模型可以表示为对数正态单资产模型。

该单资产模型实际上是定义5.2意义上的调整对数正态单资产模型，Pisuer=pcover，ELissuer=ELcover。这是从以下观察结果得出的：·对于ε=（1+v）CC+S+Uthe，单资产模型的校准方程系统（5.2）和两资产模型的校准方程系统（4.1）和（5.7）都是等效的，·通过（5.6）我们得到eu=εeκ，并且o（4.1）意味着（5.4）εA被eu+σξ替换，其中ξ是标准正态。5.2. 调整后的对数正态单资产模型的预期损失在（5.1）等对数正态单资产模型的情况下，根据（5.3）或定义5.2校准产权负担率ε，可以直接推导（3.1a）、（3.1b）和（3.1d）定义的损失变量的预期损失公式（X=εa，Y=（1）- ε） A）。为了方便读者，我们在下面列出这些公式损失事件的概率：P[A<C+S+U，A≥ C+S]=Φ日志（C+S+U））- uσ- Φ日志（C+S）- uσ, （5.8a）P[A<C+S，εA≥ C] =Φlog最大值（C/ε，C+S）- uσ!- Φ对数（C/ε）- uσ, （5.8b）P[A<C+S，εA<C]=Φlog最小值（C/ε，C+S）- uσ!. （5.8c）o不同类型债务（有担保债券、高级无担保债券和初级无担保债券）的预期损失：C E[LC]=对数（最小（C/ε，C+S））-σZ-∞~n（x）C- εeu+σxC+S- eu+σxC+S- εeu+σxdx，（5.9a）S e[LS]=Slog（最小（C/ε，C+S））-σZ-∞~n（x）C+S- eu+σxC+S- εeu+σxdx+（C+S）P[A<C+S，εA≥ C]- eu+σ/2（Φ对数最大值（C/ε，C+S）- uσ- σ!- Φ对数（C/ε）- uσ- σ),（5.9b）UE[LU]=upa<C+S]+（C+S+U）P[A<C+S+U，A≥ C+S]- eu+σ/2Φ日志（C+S+U）- uσ- σ- Φ日志（C+S）- uσ- σ. （5.9c）表1：覆盖债券、高级无担保债务和初级债务的预期损失（风险敞口百分比）说明，作为覆盖池对数资产价值和剩余债务价值对数之间相关性（百分比）的函数。