将分布与风险价值和预期短缺相匹配

这意味着担保池和非担保池之间存在同质性的假设，因此两个子投资组合都可以用一个资产价值变量建模。在缺乏适当校准数据（即担保债券的违约和损失观察）的情况下，由模型校准问题驱动，在这里，我们遵循Chan Lau andOura（2014）的简单方法，但介绍了几个要素：o我们从本节开始，使用一个具有两个资产价值变量的模型：一个用于担保池（如担保债券的担保池），另一个用于无担保池，即补充担保池的投资组合部分。o然后，我们假设银行的总债务由三部分组成：有担保（通过担保池、过度抵押）债务、高级无担保债务和初级无担保债务。担保债券通常是优先担保债务：如果担保池不足以满足担保债券的服务，担保债券债务的未担保债权与优先未担保债务是平等的，并且比初级无担保债务的级别更高此外，在第5节中，我们通过调整产权负担比率来重新定义Chan Lau和Oura（2014）的单资产模型，以考虑覆盖池的风险，并研究上述双资产案例中的三部分债务结构。3.1. 一期两资产在本文中，我们只研究担保债券发行人的投资组合中同时存在高级和初级（即次级）债务的情况。根据这种情况下的公式，无初级债务情况下的公式可通过在以下方程式中设置S=U和U=0轻松获得。在主题术语中，设置如下：oC是发行人资产负债表中优先担保（由担保池）债务的金额。S是高级无担保债务的数量。

U是剩余债务的金额，假设为次级担保债务v是担保债券的过度抵押水平。v=20%意味着共同债券的价值为担保债券面值的120%。对于受监管的担保债券，一般而言，存在过度抵押的最低要求。下面，参数v用于模型校准X是担保覆盖池资产（担保覆盖债券）的未来价值，Y是剩余资产的未来价值，Z=X+Y是发行人投资组合的未来总价值。作为资产值，X和Y不能为负。我们认为X、Y和Z的值是不可预测的，因此将它们视为随机变量RCI是指担保债券的回收率，RSI是指高级无担保债务的回收率，RUI是指初级无担保债务的回收率。RC、Rs和Ru是随机变量LC=1- RCis指担保债券的损失率，LS=1- RSI是无担保债务的损失率，LU=1- RUI是初级无担保债务的损失率。在简化的一个时期背景下，观察期结束时的以下事件（用数学术语描述）会给次级债务、优先未偿还债务或担保债券的债权人造成财务损失：o发行人违约，但总资产足以支付所有优先债务（担保债券和无担保优先债务）：Z<C+S+U，Z≥ C+S。不同类别债权人的损失率如下：LU=1-Z- （C+S）U，LC=LS=0。（3.1a）o发行人违约，总资产不足以支付所有优先债务（担保债券和无担保优先债务）。担保池用于支付担保债券的债务偿还。我们假设覆盖池的盈余（即。

不需要支付担保债券的担保池资产的金额将提供给优先无担保债务的债权人（实际上，这可能只会在多年后发生）。这种情况可以用Z<C+S+U，Z<C+S，X来描述≥ C.隐含损失率如下：LC=0，LS=1-Z- CS，LU=1。（3.1b）o发行人违约，总资产不足以支付所有优先债务（担保债券和无担保优先债务）。担保池不足以支付担保债券的还本付息：Z<C+S+U，Z<C+S，X<C.（3.1c）在这种情况下，债权人会经历这些损失率（Chan Lau和Oura，2014，见图1）：LC=（C）- 十） （S+C）- Z） （S+C）- 十） C，LS=S+C- ZS+C- 十、 LU=1。（3.1d）乍一看，发行人资产的总价值足以支付所有债务，但由于担保债券的资产负担，没有足够的流动性来支付未担保债券（Z≥ C+S+U，X≥ C、 Y<S+U）也可能被视为损失事件。然而，就本文而言，我们不将该事件视为损失事件，因为从长远来看，无担保债务的债权人应从担保池的盈余中全额偿付。类似地，事件Z≥ C+S+U，X<C也不是损失事件，因为担保债券持有人的目标是针对有偿付能力的债券发行人，尽管担保池（尽管过度抵押）将不足以支付担保债券。备注3.1损失假设（3.1a）、（3.1b）和（3.1d）的一个重要结果是，当且仅当Z=X+Y<C+S+U时，债券发行人才承担损失（即发行人违约）。因此，对于债券发行人的PD P[Z<C+S+U]，它认为P[Z<C+S+U]≤ P[X<C+S+U]。

（3.2）图1：方程式（3.1d）的说明：陈刘和欧拉（2014）的图10。如果覆盖池资产的信用质量比债券发行人的剩余资产的信用质量好得多，（3.2）可能是双资产模型的主要限制，因为这意味着发行人的PD不能任意变差（参见第4.1节的示例）。更准确地说：请注意，根据（3.1c），coverpool的独立（即没有债券发行人的支持）损失概率为P[X<C]。因此，如果担保池的信贷质量良好（即P[X<C]较小），且S+UI与C相比较小（即大多数公司的投资组合被抵押为担保债券的抵押品），那么（3.2）意味着债券发行人的PD也较小，即使其他资产风险很高。在任何情况下，重要的是要记住，（3.2）中的概率可能指的是不同的时间范围，这取决于模型部署的目的：o如果模型用于计算（比如）债券发行人的一年PD和LGD，P[Z<C+S+U]指发行人的一年期PD，而P[X<C+S+U]应与覆盖资产作为抵押品的覆盖债券的到期日有关。因为只有在覆盖池资产不再抵押后，发行人的无担保债权人才能在多大程度上追索覆盖池资产以满足其债权如果该模型用于计算（比如）受保债券的一年预期损失，则P[Z<C+S+U]和P[X<C+S+U]必须指一年的时间范围。因为在这种情况下，只有在债券发行人违约的情况下，才可能发生承保债券损失事件。一年后，担保债券的违约由担保池的价值触发。

一年后的备兑债券回收价值由备兑池资产和剩余资产的一年价值确定。3.2. 双资产对数正态分布模型中的备兑债券预期损失自从默顿（1974）发表开创性论文以来，用对数正态分布对公司资产价值分布进行建模一直非常流行。这样做是方便的，如果不是总是真实的。在这里，我们之所以采用这种方法，主要是因为它允许将模型设置为稀疏的给定数据。假设第3.1节中的X和Y都是对数正态变量，由正态copula连接。HenceX=exp（u+σξ），Y=exp（ν+τη），（3.3）带u，ν∈ R、 σ，τ>0和（ξ，η）~ N,1 %% 1大约%∈ [0, 1]. 由于两个对数正态随机变量之和通常不是对数正态分布，因此第3.1节中列出的变量的大多数概率和预期只能通过数值计算。为了便于数值计算，在下文中，我们提供了评估损失概率和预期损失的公式，这些损失不需要比一维积分更多的数值效果。我们需要区分%<1和%=1这两种情况（当X和Y是共单调的）。例%<1。我们利用了这样一个事实，即通过（3.3）中连接ξ和η的正态copula假设，ξ=x条件下η的分布是正态的，平均值为%x，标准偏差为p1- %.

通过应用分解定理，我们得到了第3.1节中列出的损失事件概率的以下方程式：P[Z<C+S+U，Z≥ C+S]=EP[Y<C+S+U- 十、 Y≥ C+S- X | X]=日志（C+S+U）-σZ-∞ν（x）Φ日志（C+S+U）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx-日志（C+S）-σZ-∞ν（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx，（3.4a）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X≥ C] =对数（C+S）-Zlog（C）-*σ*（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx，（3.4b）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X<C]=log（C）-σZ-∞ν（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx。（3.4c）我们通过将方程（3.1a）、（3.1b）和（3.1d）中的损失变量积分到各自的损失事件中，然后将结果相加，从而获得预期损失率的公式。在推导（3.5a）和（3.5b）时，我们使用了（2.6a）中的第二个等式。ce[LC]=log（C）-σZ-∞C- eu+σxν（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx- eν+τ（1）-%)/2log（C）-σZ-∞（C）- eu+σx）eτ%xC+S- eu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%- τp1- %dx，（3.5a）se[LS]=（C+S）P[Z<C+S，X≥ C]-日志（C+S）-Zlog（C）-uσeu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx-日志-ντZ-∞eν+τx~n（x）Φ对数（C+S）-eν+τx）-（u+σ%x）σ√1.-%- Φ日志（C）-（u+σ%x）σ√1.-%dx- seν+τ（1）-%)/2log（C）-σZ-∞eτ%xC+S- eu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%- τp1- %dx+sp[Z<C+S，X<C]，（3.5b）ue[LU]=up[Z<C+S]+（C+S+U）P[C+S≤ Z<C+S+U]+对数（C+S）-σZ-∞eu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx-日志（C+S+U）-σZ-∞eu+σx~n（x）Φ日志（C+S+U）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx+log（C+S）-ντZ-∞eν+τxν（x）Φ对数（C+S）-eν+τx）-（u+σ%x）σ√1.-%dx-日志（C+S+U）-ντZ-∞eν+τxν（x）Φ日志（C+S+U）-eν+τx）-（u+σ%x）σ√1.-%dx。（3.5c）病例%=1。在这种情况下，资产价值变量X和Y是共单调的，即如果其中一个已知，另一个的值也已知。这是两个随机变量之间最强烈的依赖类型。

它定义了一种最坏的情况，因为在发行人剩余资产的损失较高的同时，覆盖债券的覆盖池也出现了高损失。用x（a）表示a>0时方程a=eu+σx+eν+τx的唯一解。（3.6）第3.1节中损失事件的概率可计算如下p[Z<C+S+U，Z≥ C+S]=Φx（C+S+U）- Φx（C+S）, （3.7a）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X≥ C] =最大值Φx（C+S）- Φ日志（C）-uσ, 0, （3.7b）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X<C]=Φ闵x（C+S），对数（C）-uσ. （3.7c）尽管在这种情况下，该模型基本上是一维的，但由于（3.1d）中损失变量的非线性结构，在评估以下等式（3.8a）和（3.8b）时，无法避免数值积分，以计算担保债券和高级无担保债务持有人的预期损失。相反，初级债务持有人的预期损失不需要太多计算功能，如图所示（3.8c）。C E[LC]=min（对数C）-μσ，x（C+S））Z-∞~n（x）C- eu+σxC+S- eu+σx- eν+τxC+S- eu+σxdx，（3.8a）se[LS]=sp[Z<C+S，X<C]- Smin（日志（C）-μσ，x（C+S））Z-∞ν（x）eν+τxC+S- eu+σxdx+（C+S）P[Z<C+S，X≥ C]- eu+σ/2maxΦx（C+S）- σ- Φ日志（C）-uσ- σ, 0- eν+τ/2maxΦx（C+S）- τ- Φ日志（C）-uσ- τ, 0, （3.8b）UE[LU]=U P[Z<C+S]+（C+S+U）P[Z<C+S+U，Z≥ C+S]- eu+σ/2Φx（C+S+U）-σ- Φx（C+S）- σ- eν+τ/2Φx（C+S+U）-τ- Φx（C+S）- τ. （3.8c）4。两种资产模型的校准金融机构的信用风险通常以机构的PD和LGD表示。如第2节所述，通常可以通过改变矩量法来确定机构资产价值的分布，从而匹配给定的PD和LGD（见（2.1a）和（2.1b））。

然而，为了实现第3.1节和第3.2节所述的双资产模型，我们需要分别对覆盖池和剩余资产的价值对（X，Y）进行联合分配。4.1. 对数正态情况在（3.3）规定的双资产对数正态模型的情况下，我们必须确定五个参数的值u、σ、ν、τ和%。如果有一种方法可以将与发行担保债券的金融机构相关的PD和LGD（或相当于PD和预期损失）拆分，分别对担保池和剩余资产池进行PD和LGD估计，那就太好了。然后，我们可以使用第2.2节中的方法，分别拟合覆盖池资产和其他资产的对数正态边际分布（即参数u、σ、ν、τ），并尝试以某种方式估计相关性%或仅为%选择适当的值。由于存在明显的最坏情况（共单调边际分布的情况%=1），选择%可能比估计更好，因为这样模型很容易在保守的一面出错。在没有进一步限制的情况下，很可能有许多方法可以将发行人的PD和LGD拆分为子投资组合的PD和LGD参数，从经济角度来看，其中一些方法甚至可能是合理的。但有些限制实际上是有道理的。

鉴于如果打算免除债券投资者的资本要求，则需要获得担保债券发行的监管批准，那么担保池可能会受到有关其组成和风险的若干规则的约束。因此，似乎可以安全地假设覆盖池的损失概率和预期损失估计Pcover和ELcover=PcoverggdCover是可用的。有许多不同的方法来校准覆盖池资产价值参数，以提供NPcoverage和ELcoverage。在这里，我们建议根据覆盖池资产价值低于“覆盖债券的面值乘以（100%加上过度抵押水平）”阈值的事件概率和低于阈值的短缺预期值进行校准。用C>0表示担保债券的面值，用v>0表示担保债券的过度抵押水平，如第3.1节所示。因此，我们有担保债券的面值×（100%加上过度抵押水平）=C（1+v）。为了确定覆盖池资产价值的对数正态表示（3.3）参数，我们利用备注2.1中关于PD、阈值和回收率与PD、分位数和ES之间关系的观察结果。一旦我们用阈值C（1+v）和ELcover=pcover（1）表示了资产价值的分位数安第斯- RRcover），我们可以使用第2.2节的结果来推断u和σ的值。X表示覆盖池的资产价值。

如备注2.1所示，我们有C（1+v）=qpcover（X）和spcover（X）C（1+v）=RRcover<==> ESpcover（X）=C（1+v）pcover- Elpcover。（2.6a）和（2.6b）现在表示u和σ的以下方程系统：u=对数（（1+v）C）- σ Φ-1（pcover），0=ΦΦ-1（pcover）- σ-pcover- ELcover经验σ Φ-1（pcover）- σ/2.（4.1）第（4.1）行中的系数1+v反映了这样一个事实，即风险特征是针对整个覆盖池提供的，而不仅仅是针对具有覆盖债券价值的部分。回想一下，根据命题2.3，（4.1）有一个唯一的解决方案（u，σ）∈ R×（0，∞). 因此，可以假设覆盖池资产价值的参数u和σ是已知的。债券发行人投资组合中剩余资产的价值分布参数ν和τ的情况并非如此，因为除非这些资产被抵押为借款抵押品，否则通常不会公开有关银行投资组合的结构和风险的详细信息。尽管如此，我们仍可以尝试确定ν和τ的隐含值，如下所示。由发行人的违约概率、发行人的违约概率和发行人的未偿债务总额（包括已发行的担保债券）表示。在第3.1节的设置中，Dissuer=C+S+U。如第3.2节所述，我们将Pissuer和Lgdisuer表示为参数u、σ、ν、τ和%的函数。在%<1的情况下，X和Y如（3.3）所示，我们得到的第一个方程为pisuer=P[X+Y<Dissuer]=log（Dissuer）-σZ-∞ν（x）Φ日志（Dissuer）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx。（4.2a）对于第二个方程，我们得到了dissuer（1）- LGDissuer）=E（X+Y）1{X+Y<Dissuer}=日志（Dissuer）-σZ-∞eu+σx~n（x）Φ日志（Dissuer）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx+eν+τ（1）-%)/2log（Dissuer）-σZ-∞eτ%xа（x）Φ日志（Dissuer）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%- τp1- %dx。