黄金市场中的长程记忆和多重分形

（b） 印度市场在R=5（交易日）的连续时间窗口中的最大（红色）和最小（蓝色）收益序列。（c） 自相关函数对应于（b）的最大和最小收益。（d） 与（c）相同，但R=10（红色和蓝色）和R=15（黑色和绿色）。请注意，总时间序列不显示任何自相关，但R=5和10的最大值（最小值）序列显示的自相关函数按照幂律递减（长程相关的特征）。R=15.3.2时，自相关消失。多重分形去趋势波动分析现在——一天一次MF-DFA形式主义[1]已成为时间序列数据分析的标准工具。在没有任何独创性的情况下，下面将简要介绍该方法。设{xk:k=1,2，…，N}为长度为N的时间序列。MF-DFAtechnique由以下五个步骤组成：黄金市场中的长程记忆和多重分形8（i）确定概率（i）=iXk=1[xk- hxi]，i=1，2，N、 （3）式中，hxi=（1/N）PNk=1xkis为所分析时间序列的平均值。（ii）将文件Y（i）划分为长度相等的Ns=int（N/s）非重叠段。根据系列的长度，必须选择合适的s值。如果长度N不是所考虑的时间尺度s的倍数，则从序列的另一端开始重复相同的分割过程。为了不忽略级数的任何部分，通常总共得到2个等长的分段。（iii）计算两个NSA细分市场的本地趋势。这是根据各个细分市场中的数据进行的。线性、二次、三次或甚至更高阶的多项式都可以用来表示级数，相应地，这个过程被称为MF-DFA1、MF-DFA2、MF-DFA3。分析

Letypo是级数任意段的最佳拟合多项式。然后确定方差f（p，s）=ssXi=1{Y[（p- 1） s+i]- 对于p=1。对于p=Ns+1，2Nsit的形式为，F（p，s）=ssXi=1{Y[N- （p- Ns）s+i]- yp（i）}。（5） （iv）定义第四个订单MF-DFA函数fq=2Ns2NsXp=1[F（p，s）]q/21/q（6）对于所有的q6=0，对于q=0，它被给出为fq（s）=exp4Ns2NsXp=1ln[F（p，s）]. （7） （v）然后针对指数q的几个不同值检查函数的标度行为。如果序列{xk}具有长程（幂律）相关性，大s的Fq（s）将形成幂律类型的标度关系，如EFQ（s）~ sh（q）。（8） 一般来说，指数h（q）依赖于q，被称为广义Hurstexp-onent。指数h（2）与相关指数γ和功率谱指数β之间的关系为h（2）=1- γ/2 = (1 + β)/2. （9） 对于平稳时间序列h（2）=h–众所周知的赫斯特指数[6]。另一方面，对于单分形序列，h（q）独立于q，因为黄金市场9中的方差F（p，s）长程记忆和多重分形对于所有子序列和等式都是相同的。（6） （7）对所有q产生相同的值。而不是e，因为只能对s定义函数Fq（s）≥ m+2，其中m是去趋势多项式的阶数。此外，Fq（s）在统计学上对于非常大的s是不稳定的(≥ N/4）。如果小的和大的波动规模不同，则h（q）对q有显著的依赖性。对于q的正/负值，Fq（s）将由大/小的方差决定，这些方差对应于去趋势多项式的大/小偏差。因此，对于q的正值/负值，h（q）描述了具有la r ge/小波动的段的缩放行为。3.2.1.

与标准多重分形变量的关系：可以很容易地将h（q）exponent与标准多重分形指数联系起来，例如多重分形（质量）exponentτ（q）。考虑序列{xk}是一个平稳的正规序列。然后，不需要MF-DFA方法的去趋势程序（步骤3），该系列Fn的方差由Fn（p，s）={Y（ps）给出- Y[（p- 1） s]}。（10） 在这种情况下，函数及其标度律由fq（s）给出=2Ns2NsXp=1 | Y（ps）- Y[（p- 1） s]| q1/q~ sh（q）。（11） 现在，如果我们假设序列N的长度是标度s的整数倍，那么上面的关系可以重写为，N/sXp=1 | Y（ps）- Y[（p- 1） s]| q~ sqh（q）-1.（12）在上述关系中，|·|下的项不是兴，而是长度s的任意pth段内{xk}的和。在多重分形的标准理论中，已知序列xk的盒概率P（s，P）。因此，P（P，s）≡psXk=（p-1） s+1xk=Y（ps）- Y（（p- 1） s）。（13） 多重分形标度指数τ（q）通过配分函数Zp（s）Zp（s）定义≡N/sXp=1 | P（P，s）| q~ sτ（q），（14），其中q是实参数。来自Eqns。（12） –（14）很明显，多重分形单元τ（q）通过以下关系与h（q）相关：τ（q）=q h（q）- 1.（15）知道τ（q）可以计算多重分形分析中最重要的参数——多重分形奇异谱（也称为谱函数）f（α），它通过勒让德变换与τ（q）相关[32]：α=τ（q）/q、 f（α）函数定义为f（α）=qα- τ（q）（16）黄金市场中的长程记忆和多重分形10这里α是奇点强度或H？older指数。奇异谱给出了分形分析的参数表示。换句话说，它是分形维数的一种度量。

对于单分形信号，它在相应的α上是一个δ函数，而对于多重分形信号，f（α）产生一个典型的凹面向下抛物线谱，并且多重真实性的程度以宽孔径和f（α）相对较小的不对称性为特征。MF-DFA分析结果我们计算了中国和印度市场收益的MF-DFA函数Fq（s），以及两个不同时间窗口R=5和10（天）的相应最大值（最小值）序列。作为用于去趋势的二阶多项式（如方法步骤（iii）所述），OFFQ（s）-函数被称为MF-DFA2函数。指数q从-10到+10，步长为0.5，标度参数（时间）s从fr om6到N/5变化，其中N是序列的长度。在图4中，我们展示了为中国（左）和印度（右）的g旧市场收益计算的一些Fq函数的标度行为。在图的下面板中，我们还显示了从与各自原始时间序列相对应的随机序列估计的Fq函数。分析给定时间序列数据的序列的重要性在于，对它们进行直接比较可以深入了解时间序列数据中多重cta litypresent（如果有）的来源。众所周知，时间序列数据中可能存在两种不同的多重分形来源，即（i）由于大小波动的长期时间相关性而产生的多重分形和（ii）由于值的厚尾概率分布函数而产生的多重分形。第一类多重分形可以通过给定序列的随机压缩来消除，生成的压缩序列将呈现单分形标度。

由于概率分布不会因随机突变而改变，因此第二类多重分形即使在突变后也会保持不变。如果一个给定的时间序列由这两种多重分形组成，相应的多重分形序列将比实际序列表现出较弱的多重分形。从图4可以清楚地看出，黄金市场时间序列和黄金市场时间序列的Fq的标度行为或多或少遵循相同类型的标度律方程。（8） ，但在有限的范围内。注意，在Fq值的s<15区域，值突然开始偏离平滑行为（8），而≥ 15不同q的Fq（s）值开始收敛。在大范围内可以看到显著的变化≥ 500). 在分形理论中，幂律型标度行为主义者只在la r ge s预期。这可能是小s时Fq（s）突然偏离的原因。此外，对Fq（s）函数的仔细检查表明，单个h（q）表达式无法标度整个15≤ s≤ 500间隔[参见图4（c）]，在该间隔内，OFFQ（s）函数系统地运行。黄金市场的长期记忆和多重分形斜率存在显著变化1110-410-310-210-110110210310-410-310-210-1101102103区域2 Fq（s）区域1区域2区域1（a）原产中国（c）原始s（b）洗牌（d）洗牌图4。MF-DFA2函数适用于中国（左图）和印度（右图）的黄金市场收益。下面板显示了从对应于原始序列的序列生成的函数。在所有情况下，从下至上开始，曲线代表q=-分别为10、-5、-3、-1、0、1、3、5和10。大约s=100。

所以，为了提取h（q），我们选择了两个不同的尺度区间OFQ（s）和s图——区域I（15≤ s≤ 100）和区域II（100≤ s≤ 500），如图4所示。在这一点上，标度指数的两种不同强度背后的原因并不十分清楚。图5显示了在两个不同的标度区间内计算的ma-Ketr系列及其shu-free ed值的h（q）光谱。τ（q）=qh（q）-1.同一图表下面板中给出的光谱。显然，h（q）谱的q依赖性和τ（q）谱的非线性意味着在分析的黄金市场中存在多重cta Lit。然而，世博会新界h（2）=1- 所有系列的γ/2都非常接近甚至小于0.5，这导致相关指数γ≥ 1.这与我们的自相关分析[图3（a）]一致，即数据中没有直接的相关性迹象。此外，从原始系列和相应的shu-free ed系列中获得的结果差异并不显著。因此，我们推测黄金市场时间序列中多重分形的来源，至少对于中国和印度市场而言，可能是（i）黄金市场中的厚尾概率分布长程记忆和多重分形120.00.20.40.60.8-10-50-5-8-40-10-5-10 h（q）区域1原始洗牌区域2原始洗牌（a）中印（d）（b）（q）q（e）qFigure 5。（a） 分析的g旧市场收益的一般赫斯特指数谱（上图）和多重分形指数谱（下图）。在ln Fq和ln s数据的两个不同区域重新计算光谱（见图4）。函数（PDF），或（ii）连续非重叠时间窗口内最大（最小）返回序列中的短/长程时间相关性，或（iii）甚至上述两个时间窗口。

从另一个意义上说，这种观察是我们这项工作背后的动机。区域II中原始和shu-free ed系列生成的h（q）值之间的差异略大于区域I中的差异。这表明数据中存在微弱的长期相关性，可能存在于最大（最小）序列中。在区域I中，原始序列和shu-free Ed序列生成的h（q）（或τ（q））值之间几乎没有差异的原因可能是，对于小规模的序列，该序列被划分为大量的小片段，这可能无法获取长程相关性的信息。这种情况下观察到的多重分形主要是由于厚尾概率密度函数。本节末尾给出了多重分形源的定量描述。在黄金市场1310-410-310-210-110110210-410-310-310-210110210-410-310-210-210110210-410-310-210-110110210-410-310-210-110110210-410-310-210-110110210-410-310-210-110110210-410-310-2101102Fq（s）Fq（s）（a）R=5最大值（c）R=5最小值（b）R=10最大值（d）R=10最大值最小值图6。对于R=5（上）和10（下）的最大值（最小值）序列，MF-DFA2函数具有函数。左（右）面板代表中国（印度）的市场系列。在所有情况下，从底部到顶部的电流重新出现Q=-分别为10、-5、-3、-1、0、1、3、5和10。R=5和10如图6所示。这些Fq函数也很好地服从缩放关系（8），但在有限的缩放间隔s内≈ 5.- 75

我们再次从线性回归中提取了黄金市场中Fq（s）与长程记忆和多重分形的对数数据的h（q）指数140.00.40.81.2-10-5 0 5-12-8-404-10-5 0 5 10 h（q）序列的极大值原始混合序列的极小值原始混合序列（a）（d）（q）q（b）q（e）中国-印度图7。从R=5的最大值（黑色）和最小值（红色）序列中获得的广义赫斯特指数谱（上面板）和多重分形分量谱（下面板）。左（右）面板代表中国（印度）市场系列的结果。还显示了对应于每个原始系列a的shu-ed系列的预测。q(≤ 75). 图7显示了R=5的h（q）谱和相应的τ（q）谱，其中左（右）面板是针对中国（印度）市场绘制的。R=10的类似结果如图8所示。在这些图中，我们还比较了原始序列的预测（实际上是最大/最小收益序列）和它们的预测。在极大值序列的情况下，得到了比极小值序列更强的阶相关h（q）谱。可以看出，由shu-frege ed级数计算的广义Hurst指数的阶依赖性比相应的经验值弱得多。h（2）指数值均在0.5范围内≤ h（2）≤ 1.0. 所有这些观察都是最大（最小）黄金收益序列中存在的长程相关性的特征。显然，τ（q）谱中的非线性遵循h（q）谱，因此不需要进一步讨论。

我们对R=10和R=5的序列的观察结果或多或少相似。黄金市场中的长程记忆和多重分形150.00.40.81.2-10-50-5-12-8-404-10-50-5-10 h（q）序列极大值原始洗牌序列极小值原始洗牌序列（a）（d）（q）q（b）q（e）中国-印度图8。与图7相同，但R=10。多重分形分析中最重要的观察点是多重分形奇异谱：f（α）=qα- τ（q）。频谱给出了时间序列数据中相关性数量的定量测量。从奇异谱的准度量表示可以刻画多重分形的基本过程。Shimizu等人[33]提出了围绕最大α位置的二次参数化off（α），如f（α）=a+B（α）- α） +C（α）- α). （17） 这里B是不对称参数，对于对称的，正（负）的，左（右）偏f（α）谱，B是零，A和C是控制谱的整体形状的两个参数。另一个有趣的参数是奇异谱的宽度W=αmax- αmin，可以从f（α）与α数据的二次函数中获得，然后将其外推到f（αmax）=f（αmin）=0。参数α，带W被用作所考虑过程的“复杂性”的度量[34]，因此它们被称为“复杂性参数”。粗略地说，一个较小的α值意味着潜在的过程在外观上更加规则。宽度W测量信号中可获得的分形指数的范围。因此，它给出了信号多重分形在黄金市场中的长程记忆和多重分形程度。分形指数范围越宽（α谱越宽）对应的过程结构越丰富。f（α）光谱形状的偏度可通过比率[34]r=（αmax）进行量化- α)/(α- αmin）。

（18） 对于对称谱r=1，对于右偏r>1，对于左偏r<1。a对称参数B表示哪些分形指数占主导地位——右偏谱由高分形指数s占主导地位（以“精细结构”为特征的过程），而左偏谱表示低分形指数占主导地位（更规则或更平滑的过程）。总之，与具有相反特征的t管相比，具有高α值、宽范围分形指数（更高W）和右偏（B<0）的信号可能被认为更复杂[33]。然而，二次函数可能并不总是能很好地解释观测到的f（α）谱，正如在这里观察到的那样。在这种情况下，四次多项式f（α）=a+B（α- α） +C（α）- α） +D（α）- α） +E（α）- α） （19）被使用[34]。这种情况下的不对称性分别取决于一阶和三阶系数B和D。奇异性系数f（α）=qα- 这里计算的τ（q）适用于黄金市场收益率数据，以及长度为R=5和R=10的连续非重叠窗口上的最大值（最小值）序列。这些光谱如图所示。9相对于奇点强度α，一种被称为H¨older指数的lso。图中还包括与每个经验序列/序列相对应的舒松格序列/序列的预测。我们可以看到，与原始序列相对应的f（α）谱[图9（a）-（b）]比由序列的最大值（最小值）[图9（c）-（f）]生成的谱窄得多。原始的f（α）光谱与shu-free系列产生的f（α）光谱之间也存在非常小的差异。观测表明，原始序列与随机生成的任何时间序列一样，具有源自厚尾概率分布的多重分形。相反，黄金市场没有表现出记忆的长期持久性。