黄金市场中的长程记忆和多重分形

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英文标题：
《Long-range memory and multifractality in gold markets》
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作者：
Provash Mali, Amitabha Mukhopadhyay
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Long-range correlation and fluctuation in the gold market time series of world\'s two leading gold consuming countries, namely China and India, are studied. For both the market series during the period 1985-2013 we observe a long-range persistence of memory in the sequences of maxima (minima) of returns in successive time windows of fixed length, but the series as a whole are found to be uncorrelated. Multifractal analysis for these series as well as for the sequences of maxima (minima) is carried out in terms of the multifractal detrended fluctuation analysis (MF-DFA) method. We observe a weak multifractal structure for the original series that is mainly originated from the fat-tailed probability distribution function of the values, and the multifractal nature of the original time series is enriched into their sequences of maximal (minimal) returns. A quantitative measure of multifractality is provided by using a set of \"complexity parameters\".
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中文摘要：
研究了世界两大黄金消费国中国和印度黄金市场时间序列的长期相关性和波动性。对于1985年至2013年期间的两个市场序列，我们观察到在固定长度的连续时间窗口中，收益的最大值（最小值）序列中存在长期记忆，但发现整个序列不相关。根据多重分形去趋势波动分析（MF-DFA）方法，对这些序列以及最大值（最小值）序列进行多重分形分析。我们观察到原始时间序列的多重分形结构较弱，主要来源于值的厚尾概率分布函数，原始时间序列的多重分形性质丰富到其最大（最小）收益序列中。通过使用一组“复杂性参数”，提供了多重分形的定量度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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关键词：黄金市场 Multifractal Quantitative Applications Mathematical

印度西孟加拉邦大吉岭734013北孟加拉邦大学阿弥陀佛·穆霍帕德海亚物理系，金市场的长程记忆和多重分形provashmali@gmail.comAbstract.研究了世界上两个主要黄金消费国，即中国和印度的黄金市场时间序列中的长期相关性和波动。对于1985年至2013年期间的两个市场系列，我们观察到在固定长度的连续时间窗口中，在收益的最大值（最小值）序列中记忆的长期持续性，但发现整个系列不相关。根据多重分形去趋势波动分析（MF-DFA）方法，对这些序列以及最大值（最小值）序列进行多重分形分析。我们观察到原始时间序列的多重分形结构较弱，主要来源于值的厚尾概率分布函数，原始时间序列的多重分形性质丰富到其最大（最小）收益序列中。通过使用一组“复杂性参数”，提供了多重分形的定量度量。PACS编号：05.45。Tp，61.43-j、 89.65。Gh1。简介黄金是一种公认的贵金属，是一种非常受欢迎的投资工具。黄金也被认为是一种具有高度市场流动性的硬通货。黄金市场利率的逐日波动似乎非常有趣，甚至对常规交易员来说，波动模式也是如此随机，以至于通常几乎不可能预测其准确的涨跌。有几个因素直接影响黄金市场，例如：（i）黄金的涨跌。s

货币价值通常与黄金市场呈反比关系，（ii）地缘政治形势，（iii）本地/全球金融危机，（iv）供需匹配和（v）通货膨胀率等。。由于参数众多，黄金的市场动态总是相当复杂，要理解这一点，需要从所有可能的角度进行严格的研究。近年来，人们发现所谓的多重分形去趋势波动分析（MF-DFA）[1]是描述非平稳时间序列的非常成功的工具之一。迄今为止，MF-DFA技术已被应用于随机系统的各个领域，例如股票市场分析[2,3,4,5]，地球物理学[6,7,8,9]，生物物理学[10,11,12]，以及黄金市场2和应用物理学[13,14,15]中的基差记忆和多重分形的各个分支。显然，这里给出的MF-DFA方法适用性的参考文献列表并不完整。在这项工作中，我们使用DFA技术分析了1985-2013年期间世界两个主要黄金消费国，即中国和印度的黄金市场时间序列。需要注意的是，这两个国家的黄金消费总量约为全球需求量的50%[16]。因此，我们选择这两个市场只是为了进行一个案例研究，因此没有其他意图添加到选择中。中国目前是黄金的唯一生产国和消费国。另一方面，尽管印度与中国一样不是一个重要的黄金生产国，但它也是最大的黄金消费国之一，其中大部分黄金是进口的。然而，bot h国家的黄金市场尚未完全自由化，预计市场波动的一个组成部分是各自ZF采取的经济和金融政策。

向中国内地黄金市场供应的黄金总量中，约84%用于制造珠宝、酒吧、硬币等，并用于技术。2013年底，中国所有私营部门黄金需求（1066吨）中约60%仅用于珠宝，而与此同时，与其他可用投资渠道相比，投资者持有的黄金规模较小，为770亿美元。与此同时，印度私营部门的黄金需求量为975吨，其中约80%用于珠宝制造业，约15%用于投资，约5%用于各种美国工业[16]。在最近关于黄金市场分析的一些报告[17、18、19]中，已经观察到黄金回归时间序列本质上是多因素的，其主要来源是数据中存在的长期时间相关性。但很明显，价格回报或任何其他时间序列的影响不能在某个合理的持续时间内持续关联到可以利用它获得超额回报的水平[20,21]。否则，这一事实很容易被用于价格变动预测，最终消除相关性。因此，人们不能期望在金融时间序列和高流动性商品（如go ld）的市场价值中有容易利用的相关性模式。然而，这当然并不意味着相关性根本不存在。我们最近的观察[22,23]表明，黄金回归时间序列中的多重分形不仅源于长程相关性，也源于数值的厚尾概率函数。[22,23]中的观察结果与她之前的一些分析[17,18,19]中得到的结果相矛盾。此外，我们的自相关分析（将在第3.1节中讨论）表明黄金回归时间序列不具有自相关。

因此，人们会发现黄金市场回报中存在一个隐藏的长期相关性来源。在fact中，任何市场序列最神秘的特性之一是收益方差中存在长期相关性模式，称为波动性聚类[24,2,5]。它的一个定量假设是，虽然收益本身是不相关的，但绝对收益|Rt |（也称为“波动性”）或其平方在适度的时滞τ范围内呈现自相关，遵循幂律类型的标度关系[26]。[27]表明，特定的收益记录序列也可能表现出长期相关性，这可能会进一步加深对市场动态的了解。黄金市场的长期记忆和多重分形表明，至少在中国和印度的黄金市场收益序列中，有一些（子）序列表现出适度的长期持续性，可以与相关指数（γ）进行比较，而持续性效应在这些市场中引入了大量的多重分形。此处采用的序列是固定长度R（=5和10个交易日）连续时间窗口中收益的最大值（最小值）。注意，如果一个最大（最小）收益序列几乎是同一个符号，如图所示，那么这个序列可以作为市场价值的代理。文章的其余部分如下。在第2节中，我们描述了本分析中使用的数据。方法和结果见第3节，其中在两个不同的小节中，我们描述了自相关分析和扭曲分析。第4.2节对本文进行了总结。如上所述，这两个国家的黄金市场并非完全自由，它们受到各自政府采取的政策的实质性影响。

1950年，中华人民共和国将其黄金市场置于国家的严格控制之下。禁止私人使用贵金属，而这方面的所有进出口活动过去都由国家通过中国人民银行（PBoC）控制。1978年开始了一场经济改革，在中国人民银行的严密控制下建立了黄金市场。中国人民银行是一个持续到2001年的单一垄断组织。在2004年之前，中国实际上禁止黄金投资。自2001年上海黄金交易所成立以来，国家控制逐渐减少。然而，中国仍需继续努力，将其黄金市场从国家控制下完全解放出来。这方面的一个重要步骤可能是停止低估人民币。由于美国盛行的政治和行政体系由一个政党控制，中国无疑正在以稳定和快速的速度走向自由市场。相比之下，历史上政府对印度黄金市场的控制一直较少。自古以来，人们就可以使用、买卖贵金属。该国的经济改革始于1911年。然而，在印度，这方面的进展相当缓慢。印度黄金市场在很大程度上依赖进口，政府仍在继续采取措施，如提高进口关税、限制进口配额等，以控制这种对黄金市场有重大直接影响的贵金属的供应。主要是由于其多党政治体制和功能性民主，印度不愿意在大多数经济问题上采取一致意见，因此，它在自由化进程中不能走得很快。这里使用的黄金价格时间序列数据来自世界黄金协会的数据库[16]。

连续两个交易日之间的对数差值，也称为收益率，计算公式为：Rt=ln Pt+1- ln Pt，其中Ptin为第t天的收盘价。这一定义可以简单地推广到针对任意时滞τ计算的回报。我们在图1中展示了中国黄金市场的长期记忆和多重分形周期趋势404000800012000-0.10.00.1 2009200520021199719931989汇率[CNY]/troy盎司19852013（a）中国黄金市场时间序列（b）时间序列的标准化收益率（a）返回时间[year]图1。（a） 1985年至2013年期间中国黄金市场时间序列和（b）相应的回报率。1985年至2013年，图（a）表示原始时间序列，而图（b）显示了相应的回归序列。图中显示了中国黄金市场在过去28年中是如何随时间发展的。印度黄金市场也或多或少遵循类似的模式，因此相应的系列没有以图形显示。这些价格系列以当地货币计量，即人民币和印度卢比。为了检查相对货币波动对货币计价时间序列的影响程度，我们采用日常货币换算率[28]，将卢比计价的印度货币序列换算为人民币计价的印度货币序列。然而，这是在有限的时间段（1994年至2013年）内完成的，而不是在原始分析的整个时间段（1985年至2013年）内完成的。正如我们稍后将看到的那样，货币转换的后果是巨大的。F ig中显示了中国和印度市场系列ar e的标准化收益率的累积分布函数（CDF）。2.我们定义rtasrt=Rt- hRtiTσT，（1）其中h表示在所考虑的时间段T内r的平均值，σ表示收益率对T的标准偏差。

我们找到了尾指数ζ≈ 3.2也就是说，每个HCDF几乎遵循一个逆三次幂律，具有标准化收益，因此黄金市场中的长程记忆和多重分形510-110010110-210-1100累积分布函数标准化收益中印y~X图2。中国（黑圈）和印度（红空圈）市场收益对数黄金收益的累积分布函数。潜在的概率分布可以被视为一个胖函数。这种幂律型CDF市场回报数据的首次显示可追溯到[29]。对于股票市场[30,31]以及1968-2010年期间的黄金市场[17]，CDF也被发现是逆立方的。3.分析和结果3。1.自相关函数考虑时间序列{xi:i=1,2，···，N}，其中指数i对应于测量时间。自相关函数为不同的时滞值提供第i次和第（i+s）次测量之间的相关性。为了删除序列中的常数集，通常会减去序列hxi=（1/N）PNi=1xi的平均值，并使用新的变量“xi=xi- 介绍了hxi。然后，由s步分隔的任意两个X之间的自协方差定义为asC′（s）=h'xi'xi+si=N- 锡-sXi=1'xi'xi+s。（2）当上述C′（s）-函数被方差h'xii归一化时，该函数称为自相关函数C（s）。如果{xi}-s是不相关的，那么对于任何大于0的s，C（s）=0。如果C（s）呈指数下降，即黄金市场6C（s）的长程记忆和多重分形，则序列具有短期相关性∝ 经验(-另一方面，在一个较长的范围内，相关级数C（s）以幂律形式下降，如C（s）∝ s-指数为0<γ<1的γ。

由于某些未知来源的潜在趋势在数据上叠加了噪声，通常不可能直接测量C（s）。因此，间接估算了expo-nitγ。在这里，我们使用MF-DFA方法来捕获分析的时间序列数据中存在的相关性（如果有的话）。然而，作为γ的初步估计，我们研究了自相关函数。请注意，一个固定的流量系列也可以用所谓的功率谱E（f）来表征，频率f为，E（f）~ fβ。然而，对于平稳时间序列，指数β=1- γ.在图3中，我们展示了我们的自相关分析结果，其中仅显示了印度黄金市场时间序列的结果。对于中国市场，也获得了或多或少类似的结果，因此，未显示相应的曲线图。我们没有观察到世界主要黄金消费国（中国）黄金市场回报率的任何相关性，印度黄金市场也是如此[图3（a）]。在误差范围内，所有s的自相关函数C（s）均消失。如前所述，长范围相关性也可能源于序列中的某些序列。例如，我们考虑固定长度R的连续时间窗口中收益的最大值（最小值）序列。请注意，序列是通过在固定长度R的每个连续间隔内选择dailyreturns的最大值（最小值）从每日对数收益的原始序列中构造出来的。显然，固定长度R的两个序列包含的点数都比原始序列少R倍一图3（b）显示了从印度黄金市场系列中获得的R=5收益的最大值（红色）和最小值（蓝色）序列。

在这张图中，我们可以看到明显的小块和大块的最大值和最小值（高于和低于平均值）聚集在一起。这些斑块定性地证明了记忆效应（聚类）的发生，其中大的最大值（最小值）倾向于跟随大的最大值（最小值），小的最大值（最小值）倾向于跟随小的最大值（最小值）。我们计算了三个不同值（R=5、10和15个交易日）序列的自相关函数。图3（c）和（d）显示了该计算的结果。图3（c）中R=5显示了序列中存在的长程相关性，该相关性导致自相关函数遵循幂律类型的标度关系和时间滞后。在R=10的序列中，也可以看到lo ng-Range相关性的特征【图3（d）】，但在窗口长度R=15时，相关性被清除。显然，R=15时，子系列在统计上变得太弱，无法在合理的时滞值上显示任何相关性，而R=15时，统计噪声也变得显著。这可能是R=15时C（s）不稳定的原因。在接下来的分析中，我们将只考虑R=5和10的最大和最小收益序列。黄金市场中的长程记忆和多重分形70200400600800100012001400-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15030060012001500-0.06-0.04-0.020000.020.040.0610010110210-310-210-110010010110210-310-210-1100最小值的最大值序列返回时间（b）R=5Lag[Day]自相关[Day]自相关[Day]（a）R=5最大值-最小值斜率-0.4（c）R=5=10最大最小值=15最大最小斜率-0.25（d）图3。（a） 印度市场系列黄金市场收益率的自相关函数。