用衍生证券完成市场交易

此外，P下的每个局部鞅M是关于二维P-M art-ingale S=（SFt，SBt）的随机积分，即（1）成立，并且P下的市场模型是完全的。如果函数g=g（x）的正则性稍好一些，我们可以从经典意义上解释（A4）中所述的结构条件。为了说明这一点，我们定义了线性微分斜率Q（t）△=Xj，k=1Ajk（t，x）xjxk+Xj=1Bj（t，x）xj- C（t，x），t∈ [0,1]，并假设g=g（x）是两次弱可微的。然后，对于Ris中的所有有界开集K，BK[g，~n；1]6=0，相当于假设Q（1）G6=0，几乎在R上的每一个地方。定理1的证明在第5节给出，并依赖于抛物方程解的特殊光滑性和可积性，我们在第3节中获得，以及雅可比矩阵的不可测性，我们在第4.3节研究了（t，x）相关抛物线方程解的正则性∈ [0,1]×R，考虑一个椭圆算子org（t）△=Xj，k=1ajk（t，x）xjxk+Xj=1bj（t，x）xj+c（t，x），（6）其中系数ajk，bj，c:[0，1]×R→ R是可测函数并满足：（B1）映射t7→ ajk（t，·），t 7→ bj（t，·），t 7→ [0，1]到c的c（t，·）是H－older连续的，它们对（0，1）的限制是解析的。地图t 7→ ajk（t，·）是[0，1]到t7的连续映射→ bj（t，·），t 7→ c（t，·）是[0，1]到c的连续矩阵。矩阵a是对称的：aij=aji，且一致椭圆：存在N>0使得ya（t，x）y≥N | y |，（t，x）∈ [0,1]×R，y∈ 函数c是非正的：c（t，x）≤ 0，（t，x）∈ [0,1]×R.设g=g（x）：R→ R是一个可测函数，因此对于某些p>1：（B2）函数g属于Wp。定理2。假设条件（B1）和（B2）成立。在[0,1]×Rsuch that1上存在唯一的可测函数v=v（t，x）。

t 7→ v（t，·）是[0，1]到Wp，2的连续映射。t 7→ v（t，·）是（0，1）到Wp，3的解析映射。t 7→ v（t，·）是[0,1]到Wp，4.t7的p-可积映射→ tv（t，·）是[0，1]到wp的p-可积映射，使得v=v（t，x）解齐次柯西问题t+G（t）v=0，t∈ [0,1），（7）v（1，·）=g（8）证明。通过假设（B1），我们知道对于每个t∈ [0,1]和j，k=1,2，函数ajk（t，·）在C中。特别是，AJKw相对于x的一阶偏导数是有界的，因此矩阵a与x一致连续。在假设（B1）和（B2）下，在进行时间变化t时，立即得到第1项和第2项的断言→ 1.- [Kramkov and Predoiu，2014]中定理3.1中的t。此外，[Kramkov and Predo iu，2014]中的orem 3.1告诉我们T 7→ v（t，·）是[0，1）到lp的连续可微分映射，[0，1）到Wp的连续映射，这意味着v=v（t，x）属于W1,2p（[0，1）×R）。因此，考虑到矩阵函数a=a（t，x）的对称性和一致椭圆性，a（t，·）的一致连续性，每个函数jk（t，·），bj（t，·），c（t，·）都属于c=c（t，x）的非负性，我们可以使用推论5。2.4在[K rylov，2008]中，我们推导出v=v（t，x）实际上属于W1,3p（[0，1）×R）。第三项和第四项中的规则性紧随其后。在下一节中，我们将要求定理2的推论，其中假设可测函数g=g（x）曾经是弱可微的，并且具有以下性质：（B3）存在常数N，而不是（B2）≥ 0这样的-N |·|Gxj（·）∈ L∞, j=1,2。固定一个函数φ=φ（x）：R→ R、 哪一个令人满意∈ C∞（R） φ（x）=|x |当|x |≥ 1.（9）推论1。假设条件（B1）和（B3）成立。设φ=φ（x）满足条件（9）。

证明是这样完成的：通过将常数N稍微大一点，情况p=1与情况p>1有细微的区别。对于（t，x）∈ [0,1]×Rde fi nevj（t，x）△=五、xj（t，x），j=1，2，（13），考虑椭圆算子△=Xj，k=1ajkxl（t，x）xjxk+Xj=1北京xl（t，x）xj+Cxl（t，x），l=1，2。（14） 然后我们得到以下推论，这将在下一节中需要。推论2。假设条件（B1）和（B3）成立。设v=v（t，x）为推论1生成的函数，并将vjbe定义为（13）。然后vj=vj（t，x）解非齐次偏微分方程vjt+G（t）vj+Gj（t）v=0，t∈ (0, 1). （15） 证据。从推论1中，我们知道函数v=v（t，x）对于x是弱可微的三倍，并且同一函数关于t的导数对于x是弱可微的。给定条件（B1），我们还知道算子G的系数对于x是连续可微的。因此，我们可以区分抛物线方程偏微分方程（7）与xj，j=1，2的关系表明vj=vj（t，x）满足（15）。4雅可比矩阵的可逆性a=a（t，x），b=b（t，x），c=c（t，x）和g=g（x）是第3节中的系数。

可测函数f=f（t，x）：[0，1]×R→ R对于x是弱可微的三倍，并且假设存在常数N≥ 因此，对于j，k，l=1，2，它持有：（B4）映射t7→ E-N |·|（0，1）到L的xjxkf（t，·）∞是解析的，地图t7→ E-N |·|[0,1]到L的xjf（t，·）∞是连续可微的，地图t7→ E-N |·|[0,1]toL的xjxkxl f（t，·）∞这就是我们。我们定义了[0,1]×RbyAjk上的函数A=A（t，x），B=B（t，x）和C=C（t，x）△= |J[f，ajk]|- 2(-1） j（H[f]a）（3-j） k，Bj△= |J[f，bj]|- (-1） j(t+G（t））x（3）-j） f，C△= |J[f，c]|，对于J，k=1，2。对于适当的正则函数v，а：R→ R、 对于一个开放的，有界的集合K，用Rand表示∈ [0,1]，我们定义了pairingAK[v，k；t]△=ZKXj，k=1Ajk（t，x）五、xjφxk-Xj=1Bj-Xk=1Ajkxk！（t，x）五、xj~n- C（t，x）v~ndx。我们假设满足以下假设：（B5）雅可比矩阵J[f，g]（1，·）在Ror上几乎处处都有满秩，对于每一个开放的有界集K，对于某些p，存在一个属于Wp，0（K）的测试函数≥ 1，使得AK[g，~n；1]6=0。下面的定理是本节的主要结果，最终将允许我们证明定理1中所述的马尔代尔表示。定理3。假设条件（B1）、（B3）、（B4）和（B5）已就位。设v=v（t，x）为推论1提供的函数。那么雅可比矩阵函数J[f，v]=J[f，v]（t，x）对于[0，1]×R上的勒贝格测度几乎处处都有满秩。在证明定理3之前，我们首先需要建立以下几个引理。设X和Y是Banach空间，E是X的开子集，考虑一个映射h:E→ Y.如果存在，我们用Dkhx表示h在x点的第k个Fr′echet导数∈ E众所周知，这构成了k折积X×。X X.因此，对于X，xk∈ 我们用Dkhx（x。

，xk）第k个Fr’echet差异。引理1。给定m矩阵m，C，C，C∈ R2×2，行列式映射在M处的一阶和二阶导数由d de t M（C）=Xl=1det M（l；C），Ddet M（C，C）=Xl=1det M（1，2；Cl，C3）给出-l） 。证据这些表达式是[Bhatia and Jain，2009]中等式（4）和（6）的特例。定义线性偏微分算子p（t）△=Xj，k=1Ajk（t，x）xjxk+Xj=1Bj（t，x）xj+C（t，x），t∈ [0, 1].引理2。设f=f（t，x），v=v（t，x）：[0，1]×R→ R是可测函数，其在（0，1）×上罕见的关于t的一次弱可微函数，关于x的三次弱可微函数，关于t和x的一次弱可微函数，并且让G（t）和Gj（t）分别是（6）和（14）中定义的算子。定义fj△= xjf，vj△= xjv，j=1,2，并假设vj满足偏微分方程vjt+G（t）vj+Gj（t）v=0，t∈ (0, 1). （16） 然后，行列式函数w=w（t，x）定义在[0,1]×Rby上△= |J[f，v]| s非齐次偏微分方程Wt+（G（t）+c）w=-P（t）v.（17）证明。考虑到我们关于f=f（t，x）和v=v（t，x）的可微性假设，我们可以区分关于t的决定函数w=w（t，x）。让我们回顾一下这个引理J的整个证明△= J[f，v]。Fr’echet微分演算中链式规则的简单应用（参见[Bhatia，1997年，第X.4章]）以及Vjs满足偏微分方程（16）的事实Wt=D det J-G（t）J-xG（t）五+t+G（t）xf, T∈ (0, 1).

（18） 直接计算G（t）w，并使我们e的恒等式2c det J=cD det J（J）和Fr’echet导数的线性度表明，我们可以替换该项-D用xj，k=1ajkDdet J表示上述J（G（t）J）Jxj，Jxk- （G（t）+c）w，t∈ (0, 1).通过引理1中导出的行列式映射的一阶和二阶Fr′echet导数的显式公式，以及矩阵函数a的对称性，我们经过一些计算得到了Wt+（G（t）+c）w=2Xj，k=1ajk | J[fj，vk]|+(t+G（t））xf十五-xf(xG（t））v.收集xjxkv，xjv和v产生结果。引理3。设γj，η：[0，1]×R→ R、 j=1，2是可测函数，当p>1时，映射t7→ γj（t，·），t7→ η（t，·）[0，1]对Lp，loc是连续的。设K是一个开放的、有界的集合，其秩为φ=φ（x），是一个属于Wp′，0（K）的测试函数。然后，对于每个t∈ [0,1]，配对＠AK（＠；t）△=ZKXj=1γj（t，x）φxj+η（t，x）~ndx是Wp′，0（K）上的有界线性泛函。此外，地图t 7→~AK（·；t）在[0,1]到W的amap中是连续的-1p（K）。证据通过三角不等式和H¨older不等式，对于每个t∈ [0, 1],■AK（η；t）≤ZKXj=1γj（t，x）φxj+ |η（t，x）|dx≤ k~nkWp′（k）Xj=1kγj（t，·）kLp（K）+Kη（t，·）kLp（K）,这意味着线性泛函的有界性。证明映射t7的连续性→~AK（·；t）[0,1]到W-1p（K），注意每个∈ [0,1]，~AK（·；t）在Wp′，0（K）的对偶空间中。我们记得Wp′，0（K）的对偶空间与W是等距同构的-1p（K）。因此~AK（·；t）-■AK（·；u）W-1p（K）≤Xj=1kγj（t，·）- γj（u，·）kLp（K）+Kη（t，·）-η（u，·）kLp（K），这意味着映射t7的期望连续性→通过mapst 7的连续性确定AK（·；t）→ γj（t，·），t7→ η（t，·）[0，1]对Lp，loc。证据

对于定理3的证明，我们定义了新的（t，x）△= |J[f，v]|（t，x），（t，x）∈ [0，1]×R.当且仅当setG△= {（t，x）∈ [0,1]×R:w（t，x）=0}在[0,1]×R上有勒贝格测度零。这相当于塞斯△= {x∈ R:ZG（t，x）dt>0}在R上有勒贝格测度为零。从推论1和（B4）我们推断，对于每一个p≥ 1、地图t 7→ E-Nφ（·）w（t，·）作为（0，1）到Wp的映射进行分析。此外，根据Sobolev的嵌入定理，对于p>2，它也是解析的，如（0，1）到C的映射。对于一个矛盾，thatZRH（t，x）dx>0。从t7的分析性→ w（t，·），因此如果x∈ H然后w（t，x）=0表示所有t∈ （0,1）然后这个极限↑1w（t，x）=0，x∈ H.我们首先证明了定理的要求，即suming J[f，g]（1，x）几乎在R上的每个位置都有满秩。从推论1和（B4）我们知道，对于每一个p≥ 1、地图t 7→ E-[0,1]到lps的Nφ（·）w（t，·）是连续的。因此，地图t 7→ [0，1]到Lp的w（t，·）是连续的，因此，对于R中的所有开有界集K，kw（t，·）- w（1，·）kLp（K）→ 0，t↑ 1.我们推断几乎所有地方的w（1，·）=J[f，v]|（1，·）=0。现在回想一下，通过（B5），矩阵函数J[f，v]（1，·）=J[f，g]（1，·）几乎在R上的每一个e上都有满秩。现在让我们假设，对于R中的每一个开放的有界集K，都存在一个属于Wp′，0（K）的测试函数，使得AK[g，~n；1]6=0。从推论1和（B4）我们知道，函数f=f（t，x）和v=v（t，x）满足引理2的可微性假设，从推论2可知VJ满足偏微分方程（16）。由（17）可知，对于所有（t，x），ifw（t，x）=0∈ （0，1）×H，那么P（t）v=0表示所有（t，x）∈ （0，1）×H。从推论1我们知道，对于每一个p≥ 1，t 7→ E-Nφ（·）v（t，·）是[0，1]到Wp的连续映射。

特别是，对于每一个p>1，t7→ v（t，·）和t7→ xjv（t，·）是[0，1]到Lp，loc的连续映射。假设（B1）和（B4）也意味着t7→ Ajk（t，·），t 7→ Bj（t，·），t 7→ C（t，·），t7→xk-Ajk（t，·）是每一个p>1的[0，1]到Lp，loc的连续映射。引理3得出结论，对于任何开的有界集K′ H、 对于Wp′、0（K′）类的任何测试函数和任何固定t∈ [0,1]配对AK′[v，·；t]是Wp′，0（K′）上的有界线性泛函。实际上，福特∈ （0,1），AK′[v，~n；t]=0是偏微分方程P（t）v=0的弱公式。因此，对于所有t，AK′[v，~n；t]=0∈ （0,1）和属于Wp′、0（K′）的每一个魟=魟（x）和该极限↑1AK′[v，а；t]=0，а∈ Wp′，0（K′）。同样从引理3我们知道，映射t7→ AK′[v，·；t]作为[0，1]拖的映射是连续的-1p（K′）因此thatkAK′[v，·t]- AK′[v，·；1]kW-1p（K′）→ 0，t↑ 1.由此得出，对于每一个φ，AK′[v，φ；1]=AK′[g，φ；1]=0∈ Wp′，0（K′）。现在回想一下（B5），对于每个开放的有界集K和一些p>1，存在一个测试函数∈ Wp′，0（K）这样的AK[g，~n；1]6=0.5定理1的证明从这里开始，我们采用第2节中介绍的符号，并假设条件（A1）、（A2）、（A3）和（A4）在平面上。我们在满足（9）的条件下定义了一个函数φ=φ（x），并回忆起LX（t），t∈ [0,1]是过程X:引理4的内部生成元。[0,1]×Rand a constantN上存在唯一的连续函数v=v（t，x）≥ 0，使以下内容保持不变：1。每p≥ 1，（a）t7→ E-Nφ（·）v（t，·）是[0，1]到Wp，（b）t7的连续映射→ E-Nφ（·）v（t，·）是（0，1）到Wp，（c）t7的解析映射→ E-Nφ（·）v（t，·）是[0，1）到Wp，（d）t7的p-可积映射→ E-Nφ（·）tv（t，·）是[0，1]到Wp，2的p-可积映射。

函数v=v（t，x）解决了齐次柯西问题五、t+（LX（t）- r） v=0，t∈ [0,1）、（19）v（1，·）=g（20）3.雅可比矩阵函数J[f，v]=J[f，v]（t，x）几乎在[0,1]×R上的勒贝格测度的所有地方都具有满秩。下文中，我们用v=v（t，x）表示引理4中定义的函数。证据观察到（A1）、（A2）、（A3）和（A4）在理论3中的相应系数上暗示（B1）、（B3）、（B4）和（B5）。v和J[f，v]的断言现在直接从mTheorem 3开始。引理5。鞅△= E【ψ| Ft】是一个完整的定义，其表示形式为sbt=v（t，Xt）E-Rtr（u，徐）杜。（21）此外，对于t∈ （0,1），dSBt=e-Rtr（u，徐）杜(xvσ）（t，Xt）载重吨。（22）证据。假设过程SBI实际上由（2 1）定义。从v在[0,1]×Rit上的连续性可以看出，它实际上是[0,1]上的一个连续过程，从v（1，·）的表达式（20）可以看出SB=ψ。因此，为了完成证明，仍然需要证明由（21）给出的SB是测度P下的鞅。从引理4我们知道映射t7→ E-Nφ（·）v（t，·）解析为（0，1）到Wp的映射；特别是，它是连续可区分的。这使得我们可以根据Krylov（参见[Krylov，1980，第2.10节，定理1]）使用It^o公式的一个变体，并考虑（19），我们立即得到（22）。我们已经证明了SBI是一个连续的局部鞅。现在只剩下验证过程的一致性。回想一下，对于每一个p≥ 1、地图t 7→ E-Nφ（·）v（t，·）从[0，1]到Wp是连续的。根据Sobo le v的嵌入定理，对于p>2，相同的映射从[0,1]到C是连续的。

因此，|v（t，x）|≤ eN（1+| x |）。特别是，考虑到r=r（t，x）的增长特性，supt∈[0,1]（|SBt |）≤ eN（1+支持）∈[0,1]| Xt |）。作为主管∈[0,1]|Xt |具有所有指数矩，sb的鞅性质如下。定理1的证明现在很容易完成。等式（5）和（22）表明（dSFt=e-Rtr（u，徐）杜(xfσ）（t，Xt）dWt，dSBt=e-Rtr（u，徐）杜(xvσ）（t，Xt）载重吨。（23）通过（A1）、（A2）和（A3）中r=r（t，x）、f=f（t，x）和σ=σ（t，x）的增长性质，可以很容易地证明连续局部鞅le SF=（SFt）也是真鞅。鉴于（23），我们得到了-Rtr（u，Xu）du（J[f，v]σ）（t，Xt）dWt，t∈ [0, 1].我们记得，根据布朗积分表示性质，每个P-局部鞅M都是关于W:dMt=~HtdWt，t的随机积分∈ [0,1]，对于某些渐进可测的平方可积过程ss＠H=（＠Ht）。因此，为了导出积分表示性质（1），需要证明矩阵过程（J[f，v]σ）（t，Xt），t∈ [0,1]，（24）在Ohm ×[0,1]几乎肯定是在乘积测度dP×dt下。从引理4我们知道矩阵函数J[f，v]=J[f，v]（t，x）在[0，1]×R上的勒贝格测度下几乎处处都有满秩。从（A1）中的非奇异性假设我们知道，在[0，1]×R上的勒贝格测度下，矩阵函数σ=σ（t，x）几乎处处都有满秩Ohm ×[0，1]几乎可以肯定，根据（A1）的事实，Xt的分布在Lebesgue测度R下有一个密度，参见[Stroock and Varadhan，2006，定理9.1.9]。6示例：一类随机波动率模型在本节中，我们应用我们的主要结果定理1来证明一个金融市场的完备性，其中一只股票的价格过程P=（Pt）和一只看涨期权的价格过程V=（Vt）被交易。