用衍生证券完成市场交易

过程P和V定义为dpt=rPtdt+ν（Yt）PtdWtdYt=（α（m-Yt）- u（Pt，Yt））dt+σ（Yt）dWtVt=e-r（1）-t） E[（P- Γ）+|Ft]，（25）对于常数Γ，α，m，r∈ R wΓ>0，R≥ 0.这尤其包括[Fouque等人，2000年，方程式（2.7），第43页]中介绍的随机波动性模型。系数ν，u，σj:R→ R、 假设j=1，2满足以下条件：（C1）存在常数N，D，ρ，>0，使得∈ R、 ν（y）>N和σj（y）>N；导数dν/dy（y）6=0，几乎在R上的所有地方，且函数ν，σjandu（p，·）是完全可微分且满足的kuyk（p，y）+kνyk（y）+kσjyk（y）≤Dk！（ρ+| y |）k，（p，y）∈ R×R。函数u=u（p，y）在p和y中具有第一和第二连续导数基尼lpu∈ L∞, l=0,1,k=1,2,l+k≤ 2.我们现在准备陈述本节的主要结果。定理4。假设条件（C1）满足，那么（25）定义的（Pt，Vt）市场就完成了。备注3。我们提请注意，在（C1）中，对（25）的系数的空间正则性进行适当的假设是非常必要的，因为我们允许P根据几何布朗运动进行演化，Y具有均值回复动力学，而在系数无界的情况下。从下面的定理4的证明中可以很容易地看出这一点。在这种特殊的动力学选择中，定理1假设的验证要简单得多。备注4。满足（C1）中的ν和σ条件的函数的两个具体例子是arctan和tanh函数的sca-led和移位版本。证据

考虑随机过程△= 对数Pt，SFt△= E-rt+Xt，Xt△= eαt（Yt）- m） ，SBt△= E[E]-r（前）- Γ）+|Ft]。通过简单应用It^o公式，我们发现=R-ν（m+e）-α（tXt）dt+ν（m+e）-αtXt）dWtdXt=-eαtu（eXt，m+e-αtXt）dt+eαtσ（m+e-αtXt）dWt。我们定义了ν（t，x）△= ν（m+e）-αtx），σj（t，x）△= σj（m+e）-αtx）和¨u（t，x，x）△= u（ex，m+e-αtx）。现在，通过附录A中的引理6，观察地图T7→ [0,1]toC（R）的∧ν（t，·），∑j（t，·）和映射t7→ [0,1]到C的*u（t，·，·，·）是分析性的。通过计算t的导数，并使用（C1）中的u、ν和σj的导数上的bo unds，可以很容易地验证映射t 7→ ~ν（t，·），~σ（t，·）是[0,1]到C（R）和mapt 7的连续→ μ（t，·，·，·）在[0，1]到C之间是连续的。因此，条件（A1）-（A3）满足。仍需验证条件（A4）。定义为f（x）△= E-r+x，a（x）△= （△ν（1，x）），a（x）△= eα（△νσ）（1，x），b（x）△= R- （1/2）（ν（1，x）），g（x）△= E-r（前）- Γ）+配对BKbecomesBK[g，Γ；1]=ZKXk=1dfdxda1kdxφxk+xkdfdxda1kdxφdgdx- 2DFDxDxDxDgDx~ndx=e-rZK∩（十）≥日志（Γ））exdivdfdxdadxа，dfdxdadxа- 2exdfdxdbdx~ndx=-（e）-rΓ）Z^Kdadxˋ（logΓ，·）dx，其中^K△= K∩ （x=log（Γ）），最后一步是散度理论的一个变体，以及db/dx=-（1/2）da/dx。Sincedadx（·）=2~nνd~ndx（1，·）=2e-ανdνdy（m+e）-α·），由（C1）可知，对于Rwe c中的e极有界开集K，对于某些p>1，可以找到一个函数φ=φ（x）inWp，0（K），使得BK[g，φ；1]6=0。例如，我们可以选择函数的适当截断、移位和缩放d版本-|x |。现在的结果遵循定理1。感谢Dmitry Kr amkov向我介绍了衍生证券市场的完整性，并进行了有趣的讨论。

我要感谢Leonar d Monsaingeon a和Peter Tak\'ac对所提交作品的讨论，以及Johannes Ruf对本文件早期版本的评论。解析性作为函数组合的映射定理4的证明需要下列引理。引理6。设S是R中的有界开集，可测函数g=g（x）：R→ R、 f=f（t，x）：S×R→ R的性质是g（·），f（·，x）是连续可微的，f（t，·），tf（t，·）是两次连续可微的，假设R上存在一个连续函数C=C（x），常数sδ，R，D，R，>0，使得公斤xk（x）≤Dk！（r+| x |）k，x∈ R、 δ| C（x）| k！Rk≤kftk（t，x）≤ |C（x）| k！Rk，（t，x）∈ S×R，对于k=1，2。，然后是地图t 7→ h（t，·）△= （g）o f） （t，·）作为S到C（R）的映射进行分析。证据为了证明分析性断言，我们必须证明正常数M>0的存在，这样khtk（t，·）C（R）≤Mk！Lk，t∈ S.（26）根据我们的差异性假设，我们可以应用Fa’a di Bruno公式来获得khtk（t，x）=Xk！α! . . . αk！|α| gx |α|（f（t，x））FTα. . .Kkftkαk（t，x），其中总和取所有α，αk例如α+2α++kαk=k。使用[Krantz and Parks，2002，第18页]中g和f的导数以及引理1.4.1的估计，我们估计khtk（t，·）≤ KDRkX |α|！α! . . . αk！|C（x）| r+δ| C（x）||α|=k！D | C（x）| Rk（r+δ| C（x）|）1+| C（x）|r+δ| C（x）|K-1=D | C（x）| r+（1+δ）| C（x）|“k！Rkr+（1+δ）|C（x）|r+δ|C（x）|k#。取范数后，估计值（26）为M=D/（1+1δ）和L=Rδ/（1+2δ）。参考文献[Anderson and Raimondo，2008]R.M.Anderson and Raimondo，R.C.（2008）。均衡不连续时间金融市场：内生动态完全市场。《计量经济学》，76（4）：841-907。[Bhatia，1997]Bhatia，R.（1997）。矩阵分析。

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