用衍生证券完成市场交易

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英文标题：
《Market Completion with Derivative Securities》
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作者：
Daniel C. Schwarz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Let $S^F$ be a $\\mathbb{P}$-martingale representing the price of a primitive asset in an incomplete market framework. We present easily verifiable conditions on model coefficients which guarantee the completeness of the market in which in addition to the primitive asset one may also trade a derivative contract $S^B$. Both $S^F$ and $S^B$ are defined in terms of the solution $X$ to a $2$-dimensional stochastic differential equation: $S^F_t = f(X_t)$ and $S^B_t:=\\mathbb{E}[g(X_1) | \\mathcal{F}_t]$. From a purely mathematical point of view we prove that every local martingale under $\\mathbb{P}$ can be represented as a stochastic integral with respect to the $\\mathbb{P}$-martingale $S := (S^F\\ S^B)$. Notably, in contrast to recent results on the endogenous completeness of equilibria markets, our conditions allow the Jacobian matrix of $(f,g)$ to be singular everywhere on $\\mathbf{R}^2$. Hence they cover, as a special case, the prominent example of a stochastic volatility model being completed with a European call (or put) option.
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中文摘要：
假设$S^F$是一个$\\mathbb{P}$-鞅，表示不完备市场框架下原始资产的价格。我们对模型系数给出了易于验证的条件，这些条件保证了市场的完整性，在这个市场中，除了原始资产，一个人还可以交易一个S^B$美元的衍生合同。$S^F$和$S^B$都是根据一个$2$维随机微分方程的解$X$来定义的：$S^F_t=F（X_t）$和$S^B_t:=\\mathbb{E}[g（X_1）| \\mathcal{F}t]$。从纯数学的角度，我们证明了$\\mathbb{P}$下的每个局部鞅都可以表示为关于$\\mathbb{P}$-鞅S:=（S^F\\S^B）$的随机积分。值得注意的是，与最近关于均衡市场内生完备性的结果相比，我们的条件允许$（f，g）$的雅可比矩阵在$\\mathbf{R}^2$上处处奇异。因此，作为特例，它们涵盖了随机波动率模型与欧洲看涨期权（或看跌期权）组合的突出例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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关键词：Mathematical Quantitative Applications Differential coefficients

衍生证券的市场完成Daniel C.SchwarzCarnegie Mellon大学数学科学系，地址：宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，美国15213号2015年5月27日Abstractlet SFbe是一个P-鞅，表示不完全市场框架中原始资产的价格。我们提供了关于模型系数的易于验证的条件，这些条件保证了市场的完整性，在这个市场中，除了原始资产，一个人还可以交易衍生合同SB。SF和SBt都是根据二维随机微分方程的解X定义的：SFt=f（Xt）和SBt△= E[g（X）| Ft]。从纯数学的角度，我们证明了在P-鞅下的每个局部鞅都可以表示为关于P-鞅的随机积分△= （SFSB）。值得注意的是，与最近关于均衡市场内生完备性的结果相比，我们的条件允许（f，g）的雅可比矩阵在R.Hencethey cover上处处是奇异的。作为一个特例，随机波动率模型的一个突出例子是用欧式看涨（或看跌）期权完成的。AMS 2010主题分类：60G44、60H05、91G20、35K15、35K90JEL分类：G10关键词：完备性、导数、积分表示、微分、鞅、抛物线方程、解析函数、雅可比行列式(Ohm, F、 P）作为一个概率空间，考虑一个等于1的固定时间范围，并设F=（Ft）t∈[0,1]是一种满足通常条件的过滤，仅含FOhm 设S=（Sjt）是一个d维随机过程，描述了金融市场中流动交易证券贴现价格的演化，其性质是S是测度P下的（向量）鞅。

如果任何未定权益支付可以作为自我融资交易策略的终值获得，则该模型被认为是完整的。资产定价的第二个基本定理（参见[Harrison and Pliska，1983]）允许我们用纯数学术语重申完备性，如下所示：每个局部鞅M=（Mt）都允许一个与S对应的积分表示，即Mt=M+ZtHudSu，t∈ [0,1]，（1）对于一些可预测的S-可积过程H=（Hjt）。ssetpricing的第二个基本定理还断言，上述陈述等价于P是等价测度类中S的唯一鞅测度。例如，S过程可以描述S股票或期权合同的价格，这些股票或期权合同现在通常与其标的物一样流动。根据不同的应用，人们会清楚地意识到S差异的构造。一般来说，有三种可能性需要考虑。给定其初始值，S可以根据其在测度P下的可预测特性，以正向形式定义。在这种情况下，完整性属性的验证是简单的。例如，如果S在波动矩阵为过程σ=（σt）的测度P下是一个无漂移的扩散过程，那么市场是完整的，当且仅当σ几乎肯定具有满秩dP×dt（参见[Karatzas and Shreve，1998，定理6.6]）。或者，S可以向后定义，作为其给定终值在P下的条件表达式。最后，一些组件可能以正向形式定义，而其他组件则以反向形式定义，从而导致正向-反向设置。在本文中，我们假设上面的最后一个设置，并关注d=2的二维情况。

特别地，让SF=（SFt）和SB=（SBt）是标量值鞅，比如=SFSB.人们可以将远期成分视为原始资产的贴现价格，将远期成分视为衍生证券的贴现价格。也就是说，给定一个过程σF=（σF，jt）j=1,2，一个P-布朗运动W=（Wjt）j=1,2和一个随机变量ψ，则过程SF和sb由sft=SF+ZtσFudWu，SBt定义△= E[ψ| Ft]，对于t∈ [0, 1].我们正在寻找关于σFandψ的易于验证的条件，以保证所有P-鞅相对于S的积分表示性质，从而保证市场的完整性，其中除了原始资产SF之外，还可以交易衍生合约SBS。原则上，我们的主要结果定理1的证明推广到了d维情况。我们只提出二维情况的原因有两个：第一，系数σFandψ的结构条件在更高维度变得非常复杂；第二，使用我们现有的方法，将其扩展到更高的维度，需要额外的规律性ψ，尤其是r，排除看涨期权和看跌期权的支付函数，这些函数只有一次是脆弱的。在我们的分析中，我们假设σFandψ具体表示为一个二维随机微分方程的解X，其漂移向量b=b（t，X）和波动率矩阵ixσ=σ（t，X）。考虑到空间变量，我们的条件非常经典：b=b（t，·）连续可微，σ=σ（t，·）是两次连续可微且具有有界逆。此外，函数本身及其导数是有界的。

关于时间，我们的条件是非常精确的：b=b（·，x）和σ=σ（·，x）必须在（0，1）上进行实分析。我们的研究结果扩展并严格证明了关于衍生证券市场完整性的观点，这些观点最初是在[Romano and Touzi，1997]和[Davis and Obl\'oj，2002]中提出的。本文[Romano and Touzi，1997]关注随机波动模型的特殊情况。本文的主要结果要求导数支付函数仅为股票价格的凸函数，除非欧式看涨期权或看跌期权的特例给出，否则导数支付函数是两次连续可微的。从适用性的角度来看，可能最具局限性的是，要求波动性风险溢价在等价鞅测度下波动过程的漂移系数不依赖于股票价格。此外，资产价格与其（随机）波动过程之间的相关性以及波动过程的波动性也不依赖于股票价格。在[Davis and Obl\'oj，2002]中，设置不限于二维情况。然而，本文中的关键条件不是放在模型原语上，而是放在条件期望E[（SF，ψ）|Ft]=v（t，Xt）。特别地，假设v在时间和空间变量中是（联合）实解析的，并且在本文的主要定理中，假设v=v（t，x）的雅可比矩阵（关于x）在（0，1）×R的某些开s子集上是非零的。我们的工作与最近关于鞅的积分表示的结果密切相关，其动机是金融经济学中连续时间拉德纳均衡的内生完整性问题（参见[Kramkov and Predoiu，2014，Hugonnier et al.，201 2，Riedel and Herzberg，2013，Anderson and Ra imondo，2008]）。

这些结果与我们的结果之间的差异有两个方面：首先，在拉德纳均衡环境中，S完全是以反向形式指定的，S图不适应正向成分；第二，也是最重要的，如果SF=f（X）和ψ=g（X），上述结果需要雅可比矩阵FXGXGX（x） ，x∈ R、 在R的某个开放子集上排名靠前。即使在完成带有欧洲看涨期权的随机波动率模型的最关键例子中，这个条件也不满足，当相应的雅可比矩阵在R上处处是奇异的时，我们用一个新的条件来代替这个要求，除了f和g之外，还涉及状态过程b和σ的系数，这在前面提到的一个典型随机波动率模型的例子中得到了满足，该模型是用欧洲看涨期权完成的（见第6节）。乍一看，限制我们结果适用性的最具限制性的条件似乎是关于微分系数X的有界性假设。这个假设源于椭圆和抛物偏微分方程的理论，它在我们的证明中起着至关重要的作用。然而，我们在第6节中展示了我们如何通过适当的变量变化来适应金融数学中的流行模型，如几何布朗运动或均值回复过程。符号和基本概念让X是一个范数为k·k的Banach空间。在续集中，我们将经常使用映射h:[0，1]→ 十、 在[0，1]上是H？older连续的，也就是说，存在常数N>0和δ>0，比如kH（u）- h（t）k≤ N|u- t |δ，u，t∈ [0,1]，并在（0,1）上进行分析，也就是说，对于每个u∈ （0，1）X中存在（u）>0和{An（u）}族元素，这样h（t）=∞Xn=0An（u）（t）- u） n，t∈ （0,1），|t- u |<u（u）。对于多指数α=（α。

，αd）对于非负整数，我们使用符号约定|α|△=Pdi=1αiandDα△=|α|xα。xαdd Rd.全文将使用以下空格：Lp（U）（代表p）≥ 1） ：无rm-khkLp（U）的uw上的勒贝格可测r值函数h的勒贝格空间△= （RU | h | pdx）1/p；Lp△= Lp（R）。L∞（U） ：U上本质有界实值函数h的勒贝格空间∞（U）△= ess supU | h |；L∞△= L∞（R） 。Ck（U）：uw上所有k次连续可微实值函数h的Banach空间，其无rmkhkCk（U）=khkC（U）+X1≤|α|≤kkDαukC（U），其中khkC（U）△= 苏普| h |；Ck△= Ck（R）。回想一下，U上的局部可积函数h是弱可微的，如果每个指数j=1，d存在一个局部可积函数，使得identityZUgj（x）~n（x）dx=-祖赫（x）φxj（x）dx适用于属于C的每一个函数∞（U） ，这是一个在U中具有紧凑支撑的多次完全不同功能的空间。在这种情况下，我们定义了hxj△= gj。高阶的弱导数是递归定义的。通常情况下，p≥ 1，我们用p′表示p的共轭指数，用p′定义△= p/（p）-1） 对于1<p<∞, p′△= ∞, 如果p=1和p′△= 1，如果p=∞.考虑到这些定义，我们定义了以下空间：Wmp（U）（代表m）∈ {0, 1, . . .} 和p≥ 1） ：m次弱可微函数h的Banach空间与normkhkWmp（U）△= khkLp（U）+X1≤|α|≤mkDαhkLp（U）；（m=0的情况恢复了经典的Lebesgue空间Lp（U）。）Wmp△= Wmp（R）。Wmp，0（U）（代表m）∈ {0, 1, . . .} 和p≥ 1） ：通过取C的闭包获得的Banach空间∞（U） 在空间Wmp（U）。W-议员（U）（代表m）∈ {0, 1, . .

和p≥ 1） ：形式h=X0的所有分布h的Banach空间≤|α|≤m(-1） |α| hDα·，uαi，（2）其中h·，·i表示土地uα中的内积∈ Lp（U），带正常功率-议员（U）△= min{X0≤|α|≤mkuαkLp（U）：U满意度（2）}。对于T R、 我们还定义了Wr，m+2rp（T×U）（对于R，m∈ {0 , 1, . . .} 和p≥ 1） ：函数的Banach空间h=h（t，x），t中的r次弱可微，x中的（m+2r）-次弱可微，具有normkhkWr，m+2rp（t×U）△=X |α|+2ρ≤m+2rρ≤rkDαρthkLp（T×U）。我们的符号与线性代数的标准符号一致。给定Rd中的两个向量x，y，xy表示标量积和| x|△=√xx。给定一个矩阵M∈ Rm×nwithm行和n列，mx用列向量x，M表示其乘积它的transposeand kMkF△=ptr（M）). 对于n×n矩阵M，我们用| M |或det M表示M的行列式。设l=（l，…，lk）表示符合条件1的多指标≤ l<…<lk≤ d、 给定n×n矩阵M，C，Ck，我们写M（l；C，…，Ck）作为矩阵，t是通过用Cp的lpth列替换M的lpth列而得到的，对于p=1，k、 在保持其余列不变的情况下；如果k>n，M（l；C，…，Ck）△= 0.设A是banach空间X上的算子，M是n×n矩阵，使得A，i，j=1，n、 我们为算子A的入口应用编写AM；托维特阿姆△= （Amij）i，j=1，。。。，n、 对于适当的正则函数h=h（t，x）：t×Rd→ 用J[h]=J[h]（t，x）表示向量值函数h（t，·）：J[h]（t，x）的雅可比矩阵函数△=xh。。。xhn（t，x），（t，x）∈ T×路，在哪里xh是h（t，·）的梯度向量，也就是xh△= (xh，xd h）。

类似地，对于可测正则函数h=h（t，x）：t×Rd→ R我们用H[H]=H[H]（t，x）表示sc-alar值函数H（t，·）的Hessianmatrix函数，即H[H]（t，x）△= J[xh]（t，x），代表（t，x）∈N>0表示一个常数，其值可能因行而异。2主要结果：正倒向鞅表示let Rd表示一个d维欧氏n向量空间，b=b（t，x）：[0，1]×R→ Randσ=σ（t，x）：[0,1]×R→ R2×2可测函数，对于所有i，j=1，2，满足以下假设：（A1）映射t7→ bj（t，·）和t 7→ [0，1]到C的σij（t，·）是H－older连续的，它们对（0，1）的限制是解析的。地图t 7→ σij（t，·）是[0，1]到Cd7的连续→ bj（t，·）是[0,1]到C的连续矩阵。矩阵σ是可逆的，存在常数N>0，使得kσ-1（t，x）kF≤ N、 （t，x）∈ [0,1]×R.（3）备注1。注意，（3）等价于协方差矩阵函数的一致椭圆度△= σσ:ya（t，x）y=kσ（t，x）ykF≥N | y |，y∈ R、 （t，x）∈ [0,1]×R.设X∈ R.在（A1）中对b和σ的假设意味着，给定一个完整的、经过过滤的概率空间(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0,1]，P）定义了一个布朗运动W，其值在R中，存在唯一的随机过程X，也取R中的值，例如xt=X+Ztb（u，Xu）du+Ztσ（u，Xu）dWu，t∈ [0,1]，（4）（参见[Friedman，1975，Theo-rem 2.2，第5章，第104页]）。这里，过滤F被假定为布朗过滤的强化，即Ft△= σ（FWt）∪N） ，t∈ [0,1]，其中FWtdenotes表示由（Wu）u生成的σ场∈[0，t]和N表示所有P-空集的集合。设可测函数r:[0，1]×r→ R满足以下条件：（A2）映射t7→ r（t，·）作为[0，1]到C的映射是H¨older连续的，作为[0，1]到C的映射是连续的，作为（0，1）到C的映射是解析的。

函数r是非负的：r（t，x）≥ 0，（t，x）∈ [0，1]×R.设可测函数f=f（t，x）：[0，1]×R→ R对于x是弱可微的三倍，并且假设存在一个常数N>0，对于j，k，l=1，2，它表示：（A3）映射t7→ E-N |·|（0，1）到L的xjxk f（t，·）∞是解析的，地图t7→ E-N |·|[0,1]到L的xjf（t，·）∞是连续可微的，地图t7→ E-N |·|[0,1]toL的xjxkxl f（t，·）∞是连续的。还记得吗△= σσ是X的协方差函数。我们用LX（t），t表示∈ [0,1]，在过程X的微型发生器内：LX（t）△=Xj，k=1ajk（t，x）xjxk+Xj=1bj（t，x）xjand定义[0,1]×RbyAjk上的函数A=A（t，x）、B=B（t，x）和C=C（t，x）△= |J[f，ajk]|- 2(-1） j（H[f]a）（3-j） k，Bj△= |J[f，bj]|- (-1） j(t+LX（t）- r）x（3）-j） f，C△= |J[f，r]|，对于J，k=1，2。对于R上的适当正则函数v=v（x），对于randt中的有界开集K∈ [0,1]，我们定义了pairingBK[v，~n；t]△=ZKXj，k=1Ajk（t，x）五、xjφxk-Xj=1Bj-Xk=1Ajkxk！（t，x）五、xj k+C（t，x）v k dx。设可测函数g=g（x）：R→ R一度是弱可微的，并假设存在一个常数N>0，这样：（A4）雅可比矩阵J[f，g]（1，·）在Ror上几乎处处都有满秩，对于R中的每一个有边界的开集K，存在一个属于Wp，0（K）的函数≥ 1，使得BK[g，~n；1]6=0和Gxj（x）≤ eN（1+|x |），x∈ R、 j=1,2。鉴于上述定义，我们用ψ定义标量值随机变量ψ△= g（X）e-Rr（t，Xt）dt。本文的主要结果是Orem 1（向前向后鞅表示）。假设（A1）、（A2）、（A3）和（A4）保持不变。然后是正倒向随机微分方程的解（SF，SB，Z）SFt=SF+Zte-Rur（s，Xs）ds(xfσ）（u，Xu）dWuSBt=e-Rr（u，Xu）挖（X）-中兴通讯-Rur（s，Xs）dsZudWu（5）定义良好。