金融市场从对数正态到卡方超统计的转变

9:log的相关函数在AA股票的每日时间尺度上返回u。t的时间单位是天。四、 相关函数对于开发合适的动力学模型，不仅要关注概率密度，还要关注相关函数和记忆效应[16]–[21]，这一点非常重要。在我们的例子中，有两种类型的相关函数：一种是原始数据ui，Cu（t）=N- tN-tXi=1IUI+t- huii（19）和波动性参数βk，Cβ（t）=n- tn-tXk=1βkβk+t- hβki。（20） 无花果。9-12显示Cu（t）/Cu（0）和Cβ（t）/Cβ（0），这两种球都是在第二回合以及1分钟的第二回合。如图9和图10所示，Cu（t）几乎立即衰减为零，无论是对于每日数据还是分钟数据。更有趣的是相关函数Cβ（t）。我们对相关函数的衰减率进行了分析。10:log的相关函数以分钟为时间尺度返回u。t的时间单位是分钟。图11：AA股票在当前时间尺度上的收益率波动率β的相关函数。图12：以分钟为单位的收益率波动率β的相关函数。对于来自不同行业的许多不同股票的波动性，结果总结在表1中。1.我们观察到，波动率的相关函数以指数方式衰减，对于每日收益率，Cβ（t）~ E-γt，而对于分钟返回，存在幂律衰减β（t）~ T-α具有周期性调制，参见图。11-12以AA股票为例。基本材料的股票在日尺度上的相关性衰减（最大γ）最强，而医疗保健股票和消费品部门的股票在小时间尺度上的幂律衰减（指数α）最大。请注意，在某种意义上，波动率c或相关函数的强衰减衡量的是“波动率的波动性”，这是一个值得研究的有趣数量。

我们在图12等图中观察到的波动周期（大致）对应于一个交易日，并且与之前在[19]中报告的日内波动的周期性波动一致。标签。1：不同部门股票波动率相关函数的衰减率v。综合模型基于前面章节的结果，我们希望构建一个简单的超统计动态模型，在不同的尺度上对对数正态和χ超统计的可能性进行综合评估，并允许相关函数的不同衰减模式。这里我们提出以下模型。我们从线性超统计Langevin方程˙u=-γu+σL（t）（21），其中L（t）是高斯白噪声，根据爱因斯坦的布朗运动理论，“逆温度”β定义为β=γ2σ。（22）给定一个固定的β，方差hu（t）i由hui=β给出-1时间t→ ∞. 然而，对于超统计版本，我们考虑了参数β的波动。通过构造，上述朗之万方程是超统计的，因为我们不保持参数β不变，而是将其视为一个在大时间尺度上影响的随机变量。公式（21）基因评级是一个随机过程，最后，在β具有许多不同的值后，可以使用完整时间序列的方差将整个时间序列u（t）重新缩放为方差1，就像我们在公式（2）和（18）中所做的那样。现在让我们考虑n+1高斯随机变量xi，i=0，1，2，n在统计上是独立的，方差和均值均为0（X除外，X可能具有不同的方差和不同的均值）。然后我们将β写成β=κeX+（1）- κ） （X+X+…+Xn），（23）式中κ∈ [0，1]是一个参数。我们现在看到，如果κ=1，这个系统生成对数正态超统计，aslogβ=Xis是一个高斯随机变量。

另一方面，如果κ=0，这个系统会产生χ-超统计，其中自由度为n，在这种情况下β=Pni=1xi是χ分布的。选择κ的任意值∈ [0,1]人们可以在对数正态和χsup统计之间进行插值，得到一种混合类型的行为。用˙Xi=-ΓXi+∑Li（t），i=0，n（24）对于常数Γ和∑，这些方程生成了Ornstein-Uhlenbeck过程，即相关函数呈指数衰减的高斯马尔可夫过程。如果这些线性随机微分方程中的驱动力不是高斯白噪声，而是更复杂的相关过程，或具有接近消失的李雅普诺夫指数的临界映射，则可以构造更复杂的动力学，例如导致相关函数的幂律衰减[27]。图13：在日常时间尺度上，κ=0.36时f（β）的混合分布。图14：在分钟的时间尺度上，κ=0.92时f（β）的混合分布。图13和图14显示，实际上，美铝股份公司观察到的f（β）分布最好由中间分布（具有适当权重的对数正态χ分布的叠加）来拟合。参数κinc表示，如果一个g的回报时间尺度从大到小。混合综合模型能够以定量正确的方式产生观察到的密度从χ超统计到对数正态超统计的过渡场景，在任何时间尺度上都能给出良好的结果。我们再次以美国铝业股份为例，对各种时间尺度的sτ回报进行了分析。英菲格。15我们展示了参数κ如何依赖于回报的时间尺度。正如预期的那样，最适合观察结果的参数κ随着时间尺度的变化而减小。

事实上，如果时间尺度不太大，我们会观察到对数相关性，见图15中的直线。最后的一点是：我们可以将统计概念简化为非局部高斯的更复杂的局部过程。事实上，由于小时间尺度上存在的相关性，和/或由于一系列清晰的时间尺度分离，可能存在不同于高斯分布的局部分布。在这种情况下，我们仍然可以通过让可测量的方差参数变化来叠加这些局部分布。然而，值得注意的是，对于本文分析的金融数据而言，无需对更复杂的非高斯局部过程进行这种推广：基于局部高斯分布的最简单的超统计模型很好地拟合了我们的数据，假设插值模型等式（23），其中β的概率分布随着尺度的变化而变化。图15：描述混合模型中对数正态和χ超统计的相对权重的参数κ，作为回报时间尺度τ的函数。随着时间尺度τ的增加，κ减小。对于不太大的时间尺度τ，观察到对数依赖性：直线对应于κ=0.907形式的前六个数据点- 0.044对数τ。六、 结论过去对复杂系统的许多研究都集中在特殊统计学的应用上，例如q统计量[22]，然后研究不同系统参数的影响，这可能会改变熵指数q。在这里，我们已经表明，对于财务时间序列s，有时考虑更广泛的统计数据，甚至在考虑的尺度或其他系统参数发生变化时，从一类统计数据到另一类统计数据是有用的。我们在本文中详细考虑的例子是各种公司的股价回报。

我们提供的证据表明，存在从对数正态超统计学到χsup-erstatistics的过渡情况，对数正态超统计学对小时间尺度上的数据和较大时间尺度上的χsup-erstatistics（=q-统计）有更好的拟合。我们构建了一个hy-brid超统计模型，可以实现这两种类型的超统计，其中一个参数κ描述了我们离这两种情况中的一种有多远。提取的超统计波动率参数βK的相关函数表现出不同的定性行为，作为回报时间尺度的函数，在大时间尺度上呈指数衰减，在小时间尺度上呈幂律衰减，受日内周期性调制。指数衰减或幂律衰减的衰减参数是从数据中提取出来的，并显示出略微依赖于所考虑的股票部门。然而，作为回报时间尺度的函数，从对数正态到χsuperstatistics的一般转换场景是一种普遍现象，在所有部门都以类似的方式发生。[1] Y.A.Katz和L.Tian，杠杆回报的q-高斯分布，首次停止时间和违约风险，PhysicaA 392，4989（2013）[2]Y.A.Katz和L.Tian，杠杆回报的超统计波动时间序列，Physica A 405，326（2014）[3]E.Van der Straeten和C.Beck，时间序列中的超统计波动：股价动态和动荡的应用，菲斯。牧师。E 80036108（2009）[4]T.S.Biro和R.Rosenfeld，金融收益非高斯分布的微观起源，Physica A38716031612（2008）[5]M.Ausloos，K.Ivanova，大时间窗口市场指数的动力学模型和非扩展统计力学，Phys。牧师。E 68046122（2003）[6]S.M.Duarte Queiros，关于广义伽马分布的出现。

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