金融市场从对数正态到卡方超统计的转变

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英文标题：
《Transition from lognormal to chi-square superstatistics for financial
  time series》
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作者：
Dan Xu and Christian Beck
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Share price returns on different time scales can be well modelled by a superstatistical dynamics. Here we provide an investigation which type of superstatistics is most suitable to properly describe share price dynamics on various time scales. It is shown that while chi-square superstatistics works well on a time scale of days, on a much smaller time scale of minutes the price changes are better described by lognormal superstatistics. The system dynamics thus exhibits a transition from lognormal to chi-square superstatistics as a function of time scale. We discuss a more general model interpolating between both statistics which fits the observed data very well. We also present results on correlation functions of the extracted superstatistical volatility parameter, which exhibits exponential decay for returns on large time scales, whereas for returns on small time scales there are long-range correlations and power-law decay.
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中文摘要：
不同时间尺度上的股价回报可以用超统计动力学很好地建模。在这里，我们提供了一项调查，哪种类型的超统计学最适合恰当地描述不同时间尺度上的股价动态。研究表明，尽管卡方超统计学在日的时间尺度上运行良好，但在小得多的分钟时间尺度上，对数正态超统计学能更好地描述价格变化。因此，作为时间尺度的函数，系统动力学表现出从对数正态到卡方超统计的转变。我们讨论了一个更通用的模型，它在两个统计数据之间进行插值，非常适合观测数据。我们还展示了提取的超统计波动率参数的相关函数的结果，该参数在大时间尺度上表现出指数衰减，而在小时间尺度上表现出长期相关性和幂律衰减。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
--

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PDF下载：
--> Transition_from_lognormal_to_chi-square_superstatistics_for_financial_time_series.pdf (450.16 KB)

2022-5-8 07:32:09 上传

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关键词：金融市场 correlations Applications Econophysics Quantitative

金融时间序列从对数正态到χ-超统计的转变Dan Xu和Christian BeckQueen Mary伦敦大学数学科学学院，伦敦E1 4NS英里端路，英国不同时间尺度上的股价回报可以通过超统计动力学很好地建模。在这里，我们提供了一项调查，哪种类型的超统计学最适合在不同时间尺度上正确描述股票价格动态。研究表明，尽管χ-超统计学在日的时间尺度上效果良好，但在小得多的分钟时间尺度上，对数正态超统计学能更好地描述价格变化。因此，作为时间尺度的函数，系统动力学表现出从对数正态到χ超统计的转变。我们讨论了一个更通用的模型，该模型在两个统计数据之间进行插值，可以很好地拟合观测数据。我们还给出了提取的超统计波动率参数的相关函数的结果，该函数在大时间尺度上抑制了收益率的指数衰减，而在小时间尺度上则存在长期相关性和幂律衰减。I.引言数学金融中许多公认的概念（如Black-Scholes模型）基于指数或股票价格遵循年龄计量布朗运动的假设，因此这些过程的对数收益率是高斯分布的。但如今众所周知，现实股价的对数回报率通常是非高斯的，带有厚尾[1]–[22]。这种行为可以被超统计模型很好地捕捉到[2]–[15]。该方法借用非平衡统计力学的基本思想，将时间序列视为局部高斯过程的叠加，并用缓慢变化的方差参数（通常称为β）加权。

这种方法已应用于复杂系统研究的许多领域，包括湍流、高能散射过程、非均匀非平衡系统和经济物理学（见例[11]）。Duarte Queiros等人[6,7]和Ausloos等人[5]研究了超级统计学概念的早期应用。Vander Straeten和Beck[3]分析了道琼斯工业平均指数（DJI）和标准普尔500指数的每日收盘价。他们验证了对数正态超统计和χsup-statistics都能得到很好的近似值。Biro和Rosenfeld[4]研究了道琼斯指数的数据集，并验证了Tsallis分布很好地拟合了对数收益率的分布。Katz和Li Tian[1]表明，在2006-2012年金融危机期间，520家北美工业公司的每日杠杆收益率的概率分布符合q-高斯分布，该分布可由χsuperstatistics生成。他们还在[2]中验证了通过直接拟合q-高斯系数得到的Tsallis熵参数q与通过χ分布形状参数得到的q符合收益率波动性直方图。Gerig、Vicentes和Fuentes[8]考虑了一个类似的模型，该模型表明，日内收益率的波动性由χ分布很好地描述，这方面的相关工作也见[9]。在本文中，我们将仔细分析历史股票价格的各种数据集，哪种超统计学最适合建模动态。

虽然已知Tsallis统计量（=q统计量）等同于χsuperstatistics[13,22]，但还有其他类型的超统计量，如对数正态超统计量和逆χsuperstatistics[10]，它们与q统计量不同（尽管如果β中的函数方差为s mall[13]）。我们表明，在我们的分析中，χ-超统计似乎最适合描述每日价格变化，而在小得多的分钟时间尺度上，对数正态超统计似乎更可取。我们分析了超统计参数β变化的相关时间尺度，并给出了β中相关性的计算结果。对于较小的返回时间尺度，相关函数表现出幂律衰减，并且存在长记忆效应。在最后一节中，我们开发了一个适用于达塔维尔的合成随机模型。这是一种在对数正态和χ-超统计之间插值的混合模型。本文件组织如下。在第二节中，我们关注大（日）时间尺度上的股价回报。第二部分我们在小（分钟）时间尺度上做了类似的分析。在第四节中，我们研究了两个时间尺度上的UP统计波动率参数的相关性。第五节介绍了混合模型。我们的总结意见见第六章第二节。大时间尺度上股票价格对数收益的超统计非均衡系统动力学通常可以被视为局部均衡动力学和某些方差变量β的缓慢波动过程的叠加[13]。

这些类型的“超统计”非平衡模型也适用于金融时间服务[6,7]。在本文中，我们以美国铝业公司（AA）的历史股价为例，该公司是一家从事原铝、装配铝和氧化铝生产和管理的美国公司。我们也研究了许多其他公司的股票（见第一节和第五节中的表1），结果相似。我们的数据集覆盖了1998年1月至2013年5月这段时间。我们研究了日志返回RidenotedbyRi=logSi+1Si（1） 式中，i=0，1，2。。。，NSi和Si+1是两个连续的每日收盘价。我们考虑标准化对数回归sui=Ri- 赫里- hRi（2）已重新调整为方差1。符号h··i表示长期平均值。从最简单的超统计模型来看，股票价格的整个时间序列可以划分为更小的时间片T。我们称之为最佳窗口大小。在每个T中，金融波动率β是暂时不变的，股票价格的对数回报率是高斯分布的。β具有某种概率分布f（β），在给定的切片中获得特定值。条件概率p（u |β）isp（u |β）=rβ2πexp-βu（3） 长期观测u的边际概率分布是局部高斯加权的平均值，概率密度f（β）p（u）=Zp（u |β）f（β）dβ。（4） β上的积分产生具有厚尾的非高斯行为。现在，我们使用我们的技术来获得给定时间序列的最佳窗口大小T。首先我们把时间分成两部分：NT （5） 等间隔，在哪里  表示楼层功能和t是无量纲窗口大小，即给定窗口中的数据点数量。N是整个时间序列的数据点总数。

通常，随机变量u的峰度定义为κ=huihui（6），对于任意方差的高斯分布，它等于3。对于给定的窗口t、 第j个窗口中的峰度由κ给出t（j）=tPjti=（j）-1)t+1uitPjti=（j）-1)t+1ui, （7） 图1：确定Alcoa股价数据的最佳窗口大小。与峰度¨κ=3的直线相交产生T=18±0.5。“κ”对agiven的各种价值t（在在线版本中由不同的颜色表示）用于滑动窗口的不同平移位移。数据的散射可用于估计标准偏差δ′κ~ 0.03.其中j=1，2。。。，n、 当我们有所有窗口的所有峰度值时，我们可以计算n个窗口的平均峰度为‘κt=nnXj=1κt（j）。（8） 其目的是获得一个最佳的窗口大小，使得对于给定的数据集，每个窗口中的分布尽可能接近高斯分布，但方差是可变的。为此，最佳窗口大小应满足“κ”条件t=3。（9） 图1显示了平均峰度如何随窗口大小变化。我们从条件（9）中得出本例的最佳窗口大小为18±0.5。结果在财务上是有意义的。18个交易日对应的时间范围约为3-4个交易日。这是一个典型的时间尺度，由于未来经济发展信心的变化、预期的利益变化等事件，市场波动会发生变化。相关工作参见[23]。在给定的最佳窗口大小下，我们现在可以计算每个时间间隔内的局部波动率参数ββk=T-1PkTi=（k）-1） T+1（用户界面）- 其中k=1，2。。。，n、 注意，每个窗口中u的方差为β-1.

然后可以绘制β的历史图，并用一些合适的模型分布对其进行拟合。在这里，我们将考虑三种分布，以与我们之前在[10]中提出的β的实验分布进行比较。第一个是χ分布，其中f（β）由f（β）=Γ给出Dd2βd/2βd/2-1e-dβ/2β。（11） 图2：以对数线性（顶部）和双对数曲线（底部）绘制的美国铝业股份波动率β分布（用点绘制）可能达到的最佳结果。蓝色：χ分布f（β），d=1.51，β=2.19，绿色：逆χ分布f（β），d=0.45，β=2.19，红色：对数正态分布f（β），s=0.87，u=0.45，。第二个是逆χ分布，其中f（β）=βΓDdβd/2β-d/2-2e-dβ/2β。（1 2）将要测试的第三个分布是对数正态分布，其概率密度函数由f（β）决定=√2πsβexp-（lnβ- u）2s！（13） 式中u=lnβ-s、 （14）式（14）、（11）、（12）中的β是β的平均值，由β=hβi=nnXk=1βk（15）给出，d，d，s是参数。对数正态超统计学适用于级联动力学描述的复杂系统[12]，而χ和逆χ超统计学更适用于自由度的叠加，自由度对温度或温度的影响[10]。我们的实验组织图f（β）符合上述分布。给定β，我们改变d，并计算公式（11）、（12）、（13），以获得观测到的f（β）的最佳值。从图2中可以看出，对数正态、χ-和逆χ-超统计将产生更高或更差的结果，尽管逆χ-超统计不太有利。图3:u的直方图（用点绘制）与3种超统计学的比较，与图2所示的相同参数进行整合。

蓝色：χ超统计学p（u），绿色：逆χ超统计学p（u），红色：对数正态统计p（u）。图4：修正后的超统计学蓝色：χ超统计学SP（u），d=1.51，β=2.19，绿色：反χ超统计学p（u），d=1.2，β=2.19，红色：对数正态超统计学p（u），s=1.2，u=0.65。为了保持一致性，我们还需要检查等式（4）的有效性。因此，我们还将原始的his togramof返回u与以下积分进行比较，其中参数取与图2相同的值：pi（u）=Zrβ2πexp-βufi（β）dβi=1,2,3（16），如图3所示，与对数正态超统计和逆χ超统计相比，综合密度χ超统计似乎更适合u的概率密度。因此，如果假设每个区间波动率参数的独立变化，那么数据清楚地指向χsuperstatistics，相当于Tsallis统计[22]。另一方面，βK的独立性并不总是一个好的近似。波动性参数βk和时间尺度的变化之间可能存在很强的相关性，在时间尺度上，波动性参数βk近似为常数。在这种情况下，会出现更复杂的动力学，如果使用其他有效参数，则可能得到积分分布p（u）的更好拟合。因此，我们还允许p（u）、p（u）、p（u）的设置参数采用其他可能的值。这种“修正的超级统计学”的结果如图4所示。调整后，我们在图4中发现，事实上，所有三个超统计学都可以很好地描述p（u）。为了区分它们，我们需要更多的数据，这样尾巴的行为就会更清晰。在实践中，如果考虑价格变化的时间尺度比几天小得多，就可以获得更多的数据。这将在英菲格完成。5：确定美铝1分钟数据的最佳窗口大小。

直线峰度=3的交点产生T≈ 11.下一节。三、 短期规模让我们将分析扩展到小规模的回报。对于许多复杂系统来说，统计数据随时间变化是一种常见现象，参见[25,26]了解这方面的工作。因此，在更小的时间尺度（比如，分钟）上考虑返回数据是很有趣的，与上一节的分析相比，可以看到什么是相似的，什么是不同的。让我们计算每分钟的股价，在我们的例子中，我们选择了Alcoa Inc（AA）的股价。数据点总数约为1。500万我们看一下返回量si+τsi（17） 其中τ是以分钟为单位的整数。日志返回值再次标准化为方差1:ui=ri- 赫里- hri（18）这些类型的数据有一个小的技术问题，因为返回不是一夜之间给出的，而是在正常工作时间内给出的。这可能会导致严重的夜间跳跃，并影响分析。因此，如果连续两个交易日的si+τ和siare，我们删除了Corres pon nding logsi+τsi. τ=1表示每分钟提取一次对数。我们再次使用与上一节相同的技术确定了最佳窗口大小。我们得到了T≈ 11（见图5）。同样，这个大约11分钟的时间尺度是有意义的。这是一个典型的时间尺度，在这个时间尺度上，交易者可以获得新的相关信息，从而导致小范围波动的变化。它也与典型的时间尺度相吻合，在这些时间尺度上，短期内观察到的相关性会使其从开始变为衰退[24]。我们对三种超统计学的拟合结果如图6-8所示。如图6所示，如果时间刻度为1分钟，对数正态分布是f（β）的最佳函数。无花果

6：短期波动率参数β（回报时间尺度：1分钟）分布可达到的最佳效果。蓝色：χ分布f（β），d=0.13，β=6.33，绿色：逆χ分布f（β），d=2.83，β=6.33，红色：对数正态分布f（β），s=1.11，u=1.23，顶部：对数线性图，底部：双对数图。图7：使用与图6相同的参数，将u的直方图（用点绘制）与综合超统计分布进行比较。蓝色：χ超统计p（u），绿色：逆χ超统计p（u），红色：对数正态超统计p（u）。所有曲线都不是很好的拟合，表明波动性参数βk存在强相关性。图7显示，与图3中的日常数据相比，存在明显差异：现在的综合公式不能很好地拟合p（u）。原因是，βkon a时间标度（分钟）不再是统计上独立的，因此，对具有不同变化的高斯变量进行随机抽样不适用于nymore。在对p（u）、p（u）、p（u）的参数进行自由调整后，χ和对数正态超统计学同样可以提供p（u）的良好结果。见图8。如果不考虑参数修正，那么我们可以得出结论，当时间从1天变为1分钟时，从χ超统计学过渡到对数正态超统计学。此外，一个更普遍的结论似乎是，假设一系列独立的波动性参数βkis是无效的，因为我们得到了f（β）的最佳值和p（u）的对应值之间的一般差异，p（u）被写成具有相同对应参数的高斯积分。图8：修正后的超统计学蓝色：χ超统计学SP（u），d=0.36，β=6.33，红色：对数正态超统计学p（u），s=2.7，u=3.9，绿色：反χ超统计学（d=0.2，β=1.8）。无花果