动力平衡模型的非局部解：近似稳定解

我们现在的任务是展示T1，UI是一种收缩。T1，uisT1，u（v）的雅可比矩阵-B-1Gv（u，v），（23），其中Gv（u，v）是关于点（u，v）处v的映射G的雅可比矩阵。取（23）两边的范数，利用（15），范数性质和条件2，我们得到T1，u（v）B-1.L<1表示所有（u，v）∈ Xru，rv。（24）规范T1，u（v）是域Vrv中T1的Lipschitz常数的上界（Zeidler，1986）。由于映射T1，uh是小于1的Lipschitz常数，并将闭球vruin映射到自身，我们可以通过收缩映射定理看出，T1，uh是每个u的唯一固定点∈ 乌鲁。这意味着（21）定义的映射hde存在。从（22）可以看出，不平等（17）。还有待检查hsatis fies不等式导数的范数（18）。通过对u的微分，我们得到了h（u）=-B-1Gu（u，h（u））- B-1Gv（u，h（u））h（u）。取范数，应用三角形不等式，并使用范数性质，得到skh（u）k6kb-1k·kGu（u，h（u））k+kB-1k·kGv（u，h（u））k·kh（u）k（25∈ 乌鲁。重新排列（25）中的条款，并考虑到KHKURUAN和kGukXru、rv、条件2和（15）的定义，我们得到KHKURU6（1）- kB-1公斤）-1.kB-1公斤。从条件2可以很容易地得出-1kg<1/2。这意味着Khkuru<（1- kB-1kg）/（kB-1kg），从而消除了不平等（20）。因此，i=1的归纳假设得到了证实。接下来，假设存在映射hk（u），k=1，2，i、 满足（16）-（18）。设Ti+1，ube为Vrvto Rnvsuch thatTi+1，u（v）=-B-1G（u，v）+B-每个u的1hi（Au+F（u，v））（26）∈ 乌鲁。如前所述，我们将证明Ti+1适用于压缩映射定理的条件。

事实上，利用（26）中的范数性质，应用三角形不等式yieldskTi+1，ukVrvB-1.· kGkXru，rv+kB-1k·希库鲁。（27）根据归纳假设，不等式（17）成立；因此，KTI+1，ukVrv6（1- kB-1ki+2）kB-1k·kGkXru，rv1- kB-1k<rv，（28），其中最后一个不等式来自注释3.2。这意味着ti+1，u:Vrv→ 所有美国∈ 乌鲁。点v isTi+1，u（v）=-B-1Gv（u，v）+B-1hi（Au+F（u，v））Fv（u，v）。（29）取范数，利用范数性质，应用三角形不等式，条件3和（15），我们得到了kTi+1，u（v）k6kb-1kL+kB-1k·khikUruL。（30）插入希库鲁的归纳假设，我们得到了所有v的kTi+1，u（v）k<1∈ Vrv。由于映射Ti+1，uH的Lipschitz常数小于1，并且将Vrvin映射到自身，因此每个u都有一个唯一的固定点hi+1（u）∈ 乌鲁。这意味着存在Uruto Vrvsuch thathi+1（u）=-B-1G（u，hi+1（u））+B-1hi（Au+F（u，hi+1（u）））。（31）从（28）可以看出，hi+1的标准描述了不平等（17）。为了得出i+1的归纳假设，仍然需要检查映射hi+1的导数形式的不等式（18）。这是最难的部分。实际上，取hi+1在点u的导数，我们得到hi+1（u）=-B-1Gu（u，hi+1（u））- B-1Gv（u，hi+1（u））hi+1，u（u）+B-1hi（Au+F（u，hi+1（u）））A+Fu（u，hi+1（u））+Fv（u，hi+1（u））hi+1，u（u）.取范数，利用三角不等式和范数性质，我们得到了KHI+1（u）k6kb-1k·kGu（u，hi+1（u））k+kB-1k·kGv（u，hi+1（u））k·khi+1（u）k+kB-1k·khi（Au+F（u，hi+1（u））k·kA+Fu（u，hi+1（u））k+kB-1k·khi（Au+F（u，hi+1（u））k·kFv（u，hi+1（u））k·khi+1（u）k∈ 乌鲁。

使用（15）和条件3 yieldskhi+1kur6 kB-1kL+kB-1k·L·khi+1kUru+kB-1k·khikUru·（K+L）+kB-1k·khikUru·L·khi+1kUru。通过归纳假设，标准Khikurus满足了估计（18），因此（1）- kB-1公斤- kB-1kg·khikUru）>0。然后从（18）开始，它跟随thatkhi+1kUrukB-1kL+kB-1k·khikUru·（kAk+L）1- kB-1公斤- kB-1k·L·希库鲁。（32）现在考虑以下差异方程：si+1=ρ+（kB-1k·kAk+ρ）si1- ρ - ρsi，（33），其中ρ=kB-1公斤。引理3.1。假设ρ<（1）- kB-1k·kk）/4；（34）那么差异方程（33）有两个固定点：s*=1.- 2ρ - kB-1k·kk-p（1）- 2ρ - kB-1k·kk）- 4ρ2ρ（35）和*=1.- 2ρ - kB-1k·kAk+p（1）- 2ρ - kB-1k·kk）- 4ρ2ρ（36）这样*6秒*<1.- ρρ，（37）式中：*是一个稳定的固定点，s*是一个不稳定的固定点。如果s=0，那么si，i=1，2，是一个单调递增的序列，收敛到*.证据2。这个引理可以通过直接计算得到证明。不等式（34）很容易从定理的条件2得到。比较初始点s=0和初始映射h的（32）和（33）≡ 0，我们有≥ khi+1kurui∈ N、 即khi+1KURIS由si主导。从（37）开始，它遵循thatkhi+1kurus*1.- ρρ=1 - kB-1KB-1公斤。因此，映射hi+1满足不等式（18）。诱导论证到此结束。3.3近似策略函数的精度及其收敛性映射h的图是不变流形的条件是，图h的一般点的变换（10）-（11）下的图像必须再次位于h的图中。这只适用于当且仅当ifBh（u）+G（u，h（u））=h（Au+F（u，h（u））。考虑到B的可逆性，我们得到H（u）=-B-1G（u，h（u））+B-1h（Au+F（u，h（u）））。（38）因此，真正的政策功能是令人满意的（38）。

下一个定理给出了近似策略函数hi，i产生的误差估计∈ N、 在定理3.1中得到。定理3.2。在定理3.1的条件下，下列不等式成立：|hn（ut）- h（ut）| 6安-1.kB-1k·1.- kB-1公斤-1·| h（ut+n）|，（39）适用于所有ut∈ 乌伦∈ N、 where=2kB-1k1+kB-1k·kAk，（40）和ut+n+1是t+n和初始值ut时差分方程us+1=Aus+F（us，h（us））（41）的解。证据3。这个证明是通过对i的归纳得到的，假设i=1。让ut+n-1在t+n时（41）的溶液- 1作为起始点∈ 乌鲁。在ut+n点从（21）中减去（38）-取范数，利用范数性质，应用三角不等式，我们得到| h（ut+n）-1) - h（ut+n）-1） | 6kB-1k·| G（ut+n-1，h（ut+n-1)) - G（ut+n）-1，h（ut+n-1） ）|+kB-1k·| h（Aut+n）-1+F（ut+n-1，h（ut+n-1)))|.（42）很容易得出| G（u，h（u））- G（u，h（u））| 6 L·| h（u）- h（u）|。（43）结合（41）、（42）和（43），并考虑不平等性-1kL<1，我们得到| h（ut+n-1) - h（ut+n）-1)| 61.- kB-1公斤-1.kB-1k·| h（ut+n）|。（44）因此，对于i=1，证明了归纳假设。假设不等式（39）对k=1，2，我我们将为i+1证明这一点。特别是，对于k=i，我们有| hi（ut+n-（一）- h（ut+n）-i） | 6 ai-1.kB-1k·1.- kB-1公斤-1·| h（ut+n）|。

（45）换句话说，ut+nis是稳定流形上解的u坐标。从（16）中减去（38）都是为参数ut+n编写的-我-1为简洁起见表示j=n- 我- 1，我们得到+1（ut+j）- h（ut+j）=-B-1.G（ut+j，hi+1（ut+j））- G（ut+j，h（ut+j））+hi（Aut+j+F（ut+j，hi+1（ut+j）））- h（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）））.（46）加上和减去括号中的hi（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）），wehavehi+1（ut+j）- h（ut+j）=-B-1.G（ut+j，hi+1（ut+j））- G（ut+j，h（ut+j））+hi（Aut+j+F（ut+j，hi+1（ut+j）））- hi（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）））+hi（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）））- h（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）））.（47）使用（15）、（43）和三角形不等式得出| hi+1（ut+j）- h（ut+j）| 6 kB-1kL | hi+1（ut+j）- h（ut+j）|+Lkikuru·| hi+1（ut+j）- h（ut+j）|+| hi（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）））- h（Aut+j+F（ut+j，h（ut+j）））|.（48）重新安排条款，我们获得1.- kB-1公斤- kB-1k·L·khikUru· |hi+1（ut+j）- h（ut+j）| 6 kB-1k·| hi（ut+j+1）- h（ut+j+1）|。（49）带符号B=1- kB-1公斤- kB-1k·L·khikUru，（50）从（18）我们有b>0。由（49）可知| hi+1（ut+j）- h（ut+j）|<b-1.kB-1k·| hi（ut+j+1）- h（ut+j）|。插入|hi（ut+j+1）上界的归纳假设（45）-h（ut+j+1）|收益率| hi+1（ut+j）- h（ut+j）|<b-1ai-1kB-1k1.- kB-1公斤-1 | h（ut+n）|。（51）从定理3.1的证明可以看出，Khikurus*, 在哪里*是吉文比（35岁）。因此-1.1.- kB-1公斤- kB-1k·Ls*-1.（52）乘（50）。现在考虑L的以下函数：q（L）=1.- kB-1公斤- kB-1k·Ls*-1.插入s*从（35）平方米（L）=21+kB-1k·kAk+q（1）- 2kB-1公斤- kB-1k·kk）- 4（kB）-1公斤）-1.可以很容易地检查函数q（L）是否在区间[0，（1）内达到最大值- kB-1k·kAk）/4]在L点*= (1 - kB-1k·kAk）/4，此时q的值为*= q（L）*) =1+kB-1k·kk。然后从（52）开始-11+kB-1k·kk。

（53）使用（40）、（51）和（53）并返回索引i，我们得到| hi+1（ut+n）-我-1) - h（ut+n）-我-1） |<aikB-1k1.- kB-1公斤-1 | h（ut+n）|。归纳步骤到此结束。最后，用n代替上一个等式中的i+1，我们得到了（39）。推论3.1。作为n→ ∞ 估算值（39）采用以下形式：|hn（ut）- h（ut）|<Ca（kk+θ）n、 （54）对所有人来说∈ 其中C>0是某个常数，θ>0是一个任意球常数。证据4。从Hartmann（1982，推论5.1）可以看出，对于稳定流形上的解，以下估计成立：|ut+n |<C（kAk+θ）n，（55），其中Cis是一个常数，θ>0是一个任意小的常数。因此，kAk+θ<1，而ut+n→ 0作为n→ ∞. 由于h（0）=0和h（0）=0（Hartmann（1982，引理5.1）），映射h的泰勒展开项至少从二阶开始。由此和（55）对于n的有效面积，我们有| h（ut+n）|<C（kAk+θ）2n，（56），其中Cis是常数。结合最后一个不等式和（39），我们得到（54），其中C=Ca-1kB-1k（1）- kB-1公斤）-1.推论3.2。在定理1的条件下，C-拓扑中的映射Hn趋向于H为n→ ∞.证据5。很容易证明，如果-1k<1，kAk+θ<1，θ非常小，考虑到（40），我们得到a（kAk+θ）=2kB-1k·（kk+θ）1+kB-1k·kAk<1，（57）推论的断言现在来自（54）。备注3.3。从（18）可以看出，h是一个Lipschitz连续函数。备注3.4。稳定流形定理（Smale，1967；Nitecki，1971）源自推论3.2和备注3.3。备注3.5。（38）的右侧可被视为定义函数h上的非线性算子，即。

（38）可以解释为定点方程h=th，其中th（u）=-B-1G（u，h（u））+B-1h（Au+F（u，h（u）））。在动力系统文献（Potzsche，2010；Stuart，1994）中，与找到T的固定点以构建稳定模型相关的方法称为Hadamard方法。其思想是选择一个函数空间，其中算子T是一个收缩。然后，它的迭代给出了明确的近似解hi（u）=-B-1G（u，你好-1（u））+B-你好-1（Au+F（u，hi-1（u）））。（58）通过比较（58）和（16），我们可以将建议的递归程序（16）视为哈达玛方法的隐式迭代格式。备注3.6。很容易证明，迭代（16）可以得到映射hi，i=1，2，作为参数化映射TLPI的固定点，v（ut）=-iXk=0B-K-1G（ut+k（ut，vt），vt+k（ut，vt）），（59），其中（ut+k（ut，vt），vt+k（ut，vt））是系统（10）-（11）在初始条件（ut，vt）下的解。在动力系统文献中，该方法基于寻找算子TLP的固定点∞,vis称为theLyapunov-Perron方法和算子TLPi，vis称为截断Lyapunov-Perron算子（Potzsche，2010）。事实上，李雅普诺夫-佩龙方法是应用于变换系统（10）-（11）的打靶方法。这种方法的主要缺点是计算不稳定，因为如果初始点不在稳定流形上，解的协调ut+kof随k呈指数增长。这需要非常小心地选择迭代的起点。3.4变换系统的初始条件和原始变量的恢复为了获得系统（10）–（11）的解，我们需要找到与原始系统（1）–（2）的初始条件（x，z）相对应的初始条件U。

利用时间t=0时（7）和（9）的变换Z，给出了方程组szu+Zhi（u）=Z，（60）Zu+Zhi（u）=x- \'-x.（61）通过解（60）-（61）可以找到初始条件uthen。不难证明，在定理3.1的条件下，方程组（60）-（61）有唯一的解u。有了映射hi，并且知道初始条件u，我们可以从系统中找到近似的平衡轨迹：ut+1=Aut+F（ut，hi（ut）），（62）vt+1=hi（Aut+F（ut，hi（ut）），（63）对于非转换模型的应用，参见Lipton等人（1982）。对于t=0，1。利用Z变换，我们恢复了原始变量的动力学ztxtyt= Z乌西（ut）+“x”y. （64）4与EP方法的连接。随机模拟所提出的方法与EP方法相似（Fairand Taylor，1983）。实际上，为了简单起见，我们假设变量xtisexogeneous，那么很容易证明（10）中的映射F的形式为F（u，v）=F（u）。因此，u也是一个外生变量，因此在初始条件下，utone可以找到所有i的解ut+If∈ N.在此假设下，应用于转换系统（10）-（11）的EP方法包括以下步骤：1。固定一个地平线n，终端值vt+n+1=0.2。对于vt+i，i=1。n、 三,。如果Vjn，t+iis是vt+iin迭代j的近似值，那么下一个迭代Vj+1n，t+iis由类型I迭代隐式定义（根据Fair and Taylor的定义），Vj+1n，t+I=-B-1G（ut+i，Vj+1n，t+i）+B-1Vjn，t+i+1.4。对于j=1，…，重复步骤3，n、 这些迭代称为II型迭代。第二类的第一次迭代，即j=1，给出了近似值vn，t+i=h（ut+i），i=0，1，n、 他的地图在（21）中定义。因此，值Vn，t+i等于映射点ut+i的值。

完成II型结果inVnn的n次迭代，t=h*n（ut），Vnn，t+i=h*N-我（ut+i），Vnn，t+n-1=h*（ut+n），其中h*N-i、 i=0，1，N- 1，是由以下循环方程定义的映射：h*k（u）=-B-1G（u，h）*k（u））+B-1小时*K-1（Au+F（u）），（65），其中k=1，n、 这个循环映射序列对应于（16），假设变量XT是外生的。因此，定理3.1和3.2可以直接用于证明theEP方法的收敛性。据作者所知，到目前为止，还没有证据表明EP算法收敛于非线性模型的真正理性期望解（见Gagnon和Taylor（1990）的结论）。因此，所提出的方法可以被视为一类非线性模型中EP算法收敛于真解的严格证明。此外，ASM方法中稳态线性化和谱分解的使用，在收敛速度和算法收敛区域的大小方面，给了我们比EPM方法更多的优势。实际上，在处理平稳状态下具有近单位根稳定特征值的模型时，EP方法很难被认为是令人满意的（例如，见Laff argue（1990））。这是因为，如果稳定状态下的雅可比矩阵具有接近单位根的稳定特征值，则当邻域半径增加时，相应映射的Lipschitz常数超过1。大于1的Lipschitz常数不允许EP方法在域中收敛，因为它违反了收缩映射定理的假设。

在系统变换下的ASM方法中，稳态下的雅可比矩阵为零矩阵，因此，对于Lipschitz常数小于1的区域半径，ASM方法可能比EP方法更大。考虑到与EP方法的相似性，ASM方法的随机模拟可以采用与Fair和Taylor（1983）相同的方式进行。即，在给定的初始条件（xt，zt）下，假设扰动εt+i，i∈ N、 如果在未来的所有周期内都等于零，则确定性系统可通过第3节所述的ASM方法求解。此解决方案还包含变量xt+1的下一阶段初始条件。通过绘制随机扰动εt+1，得到了外生状态变量zt+1=∧zt+εt+1的下一周期初始条件。这提供了下一个周期的控制变量yt+1。迭代这个过程可以得到随机模拟的时间序列实现。作为theEP方法，AMS方法通过将未来冲击设置为零，忽略了Jensen不等式。然而，正如Adjemian和Juillard（2011）所示；加格农（1990）；Love（2010）这种未来冲击的近似值所引起的误差可能相当小。5.例子。新古典主义增长模式5。1.解决方法为了说明所提出的方法是如何工作的，我们将其应用于Brock和Mirman（1972）的简单确定性新古典增长模型。考虑劳动力供给非弹性的单部门增长模型。representativeagent最大化跨期效用函数max{ct}∞Xt=0βtln（ct）（66）受toct+kt=kαt.（67）利用资源约束来替代消耗，我们得到以下平衡条件：kαt- kt+1=βαkαt+1- kt+2k1-αt+1。