动力平衡模型的非局部解：近似稳定解

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英文标题：
《Nonlocal Solutions to Dynamic Equilibrium Models: The Approximate Stable
  Manifolds Approach》
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作者：
Viktors Ajevskis
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This study presents a method for constructing a sequence of approximate solutions of increasing accuracy to general equilibrium models on nonlocal domains. The method is based on a technique originated from dynamical systems theory. The approximate solutions are constructed employing the Contraction Mapping Theorem and the fact that solutions to general equilibrium models converge to a steady state. The approach allows deriving the a priori and a posteriori approximation errors of the solutions. Under certain nonlocal conditions we prove the convergence of the approximate solutions to the true solution and hence the Stable Manifold Theorem. We also show that the proposed approach can be treated as a rigorous proof of convergence for the extended path algorithm to the true solution in a class of nonlinear rational expectation models.
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中文摘要：
本研究提出了一种构造非局部区域上一般平衡模型的近似解序列的方法，以提高其精度。该方法基于一种源于动力系统理论的技术。利用压缩映射定理和一般平衡模型的解收敛于稳态的事实构造了近似解。该方法允许导出解的先验和后验近似误差。在某些非局部条件下，我们证明了近似解收敛于真解，从而证明了稳定流形定理。我们还证明了在一类非线性理性期望模型中，所提出的方法可以作为扩展路径算法收敛于真解的严格证明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Nonlocal_Solutions_to_Dynamic_Equilibrium_Models:_The_Approximate_Stable_Manifol.pdf (437.09 KB)

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关键词：Differential Quantitative Constructing Applications Approximate

动态平衡模型的非局部解：近似稳定的manifolds逼近Viktors AjevskisBank of Latvia 2018年8月15日电子邮件：Viktors。Ajevskis@bank.lvThe本文中表达的观点仅由作者负责，不一定反映拉脱维亚银行的立场。摘要本文提出了一种构造非局部区域上一般均衡模型的近似解序列的方法。该方法基于一种源自动态系统理论的技术。利用压缩映射定理和一般平衡模型的解收敛到稳态的事实构造了近似解。该方法允许导出解的先验和后验近似误差。在一定的非局部条件下，我们证明了近似解收敛于真解，从而证明了稳定流形定理。我们还证明了在一类非线性期望模型中，该方法可以作为扩展路径算法收敛于真解的严格证明。1引言本研究的贡献如下。首先，基于起源于动力系统理论（Smale，1967；Katok和Hasselblatt，1995）的稳定流形概念，我们提出了一种在非局部区域上构造一系列近似解的方法，以提高一般平衡预测模型的精度。其次，我们证明了所提出的近似解与真解的收敛性，指出了近似误差和解的定义域。这样，结果就是稳定流形定理的新证明（Nitecki，1971；Katok和Hasselblatt，1995）。

第三，我们建立了本文提出的方法与Fair和Taylor（1983）提出的扩展路径法（EP）之间的关系，并证明了该方法可以作为EP算法收敛性的一个有力证明。稳定流形是一组随着时间趋于完整而接近鞍点的点（Smale，1967；Katok和Hasselblatt，1995）。事实上，非线性理性预期模型的解集决定了稳定性，因为每个解都必须满足稳定性条件，即长期收敛到稳定状态。在经济文献中，这个集合由一个政策函数（换句话说，决策函数）的图形表示，该函数将状态变量映射到控制变量中。由于我们主要关注于构造稳定流形的近似（而不是流形本身），我们将本文提出的方法称为近似稳定流形（ASM）方法。使用Lyapunov-Perron方法或Hadamard的图变换方法（Potzsche，2010；Stuart，1994）证明了动力系统文献中稳定流形的存在性。Hadamard方法将整个稳定流形构造为映射图，而Lyapunov-Perron方法依赖于稳定流形的动力学特征，作为指数衰减到稳定状态的解的一组初始点。本文提出的方法具有Hadamard方法和Lyapunov-Perron方法的特点。一方面，ASM方法的迭代格式可以看作是哈达玛方法的隐式迭代格式。另一方面，ASM方法得到的解是所谓的截断LyapunovPerron算子的一个固定点（Potzsche，2010）。

我们还展示了theLyapunov-Perron方法和用于求解非线性理性预期模型（Lipton et al.，1982）的前向射击方法之间的关系，并解释了后者的计算不稳定性。最初，提出的方法涉及与扰动方法相同的步骤（Jin和Judd，2002；Collard和Juillard，2001；Schmitt Groh’eand Uribe，2004））：（i）找到稳定状态；（ii）围绕稳定状态对模型进行线性化；（iii）在稳态和不稳定块上分解雅可比矩阵。下一步是将原始系统投影到稳定特征空间（跨越稳定特征向量）和不稳定特征空间（跨越不稳定特征向量）。因此，该系统将由两个仅通过非线性项相互关联的子系统表示。这些项作为线性化系统与原始非线性系统相减后的残差获得；因此，它们和它们的第一个衍生物在起源处消失。这种转换使获得的系统便于进行该方法的下一阶段。具体地说，近似解是利用解对稳态的收敛性和收缩映射定理构造的。通过这种方式，我们在非本地域中获得了一系列精度越来越高的策略函数。本文的主要结果是定理3.1和定理3.2，它们在第三节中得到了证明。定理3.1建立了近似策略函数序列的存在性。定理3.2估计了近似解的精度，下面的推论证明了在有限的非局部域中近似策略函数与真策略函数的收敛性。

因此，该结果可以被视为稳定的ManifoldTheorem的新证据（Smale，1967；Katok和Hasselblatt，1995）。提出的方法与扩展路径法有关（Fair and Taylor，1983）。具体来说，在假设状态变量是外生的情况下，在每个时间点，应用于转换系统的扩展路径方法的解取决于相应的ASM。这样，EP方法就可以很容易地放在ASM框架中。Gagnon和Taylor（1990）提到，没有证据表明EP算法收敛于真正的理性期望解。AMS方法可被视为EP算法收敛性的严格证明。事实上，定理3.1和3.2可以直接用于证明EP算法对原始（未转换）系统的收敛性。然而，使用线性化和谱分解将系统转换为更便于验证压缩映射定理条件的形式。此外，就收敛到真实解的速度而言，这给了我们ASM方法比EP方法的优势。这是因为变换使得在稳定状态的一组邻域中涉及的映射更小时，Lipschitz常数不变。利用收缩映射定理还可以获得先验和后验近似误差（Zeidler，1986）。与EP方法的类比表明，ASM方法中的随机模拟可以像Fair和Taylor（1983）中那样进行。该方法的一个吸引人的特点是它能够处理不可微的问题，例如偶尔绑定约束，例如零下限问题。

这一特征源于这样一个事实：收缩映射定理要求的限制条件比可微性少；也就是说，这个条件就是Lipschitz连续性。布罗克和米尔曼（Brock and Mirman，1972）的确定性新古典增长模型（deterministic Neo-Classic growth model）被视为说明该方法如何工作的一个例子，该模型表明，前几个近似值产生了非常高的全局精度。即使在泰勒级数的收敛范围内，低阶ASM解也比高阶泰勒级数近似更精确。论文的其余部分组织如下。下一节将介绍该模型及其转换为便于处理的形式。在第3节中，我们的主要结果被陈述和证明。第4节建立了拟议方法和EP方法之间的关系。第5节将ASM方法应用于新古典增长模型。结论见第6.2节模型本文主要关注模型的确定性完美预见平衡，其形式为：f（yt+1，yt，xt+1，xt，zt）=0，（1）zt+1=∧zt，（2）其中，xt是时间t内生状态变量的nx×1向量；包含非状态变量的t周期内生变量的ytisan ny×1向量；Zt是时间t的外生状态变量的nz×1向量；f mapsRny×Rny×Rnx×Rnx×Rnzinto-Rny×Rnx假设至少连续可微。矩阵∧的所有特征值的模都小于1。与Fair和Taylor（1983）的EP方法相同，向量Zt可以被视为时间t的临时冲击的初始值。我们将稳态定义为向量（\'y，\'x，0），使得f（\'y，\'y，\'x，\'x，0）=0。（3） 下面，我们还将传统的Blanchard-Kan条件（Blanchard and Kahn，1980）施加在稳态。

然后，问题是找到给定初始条件（x，z）下所有t的有界解（xt，yt）到（1）∈ N.2.1模型转换和初步考虑（^yt，^xt，zt）表示偏离稳态的向量。在稳态附近线性化（1），我们得到f^yt+1+f^yt+f^xt+1+f^xt+fzt+N（^yt+1，^yt，^xt+1，^xt，zt）=0，（4）其中fi，i=1÷5，分别是映射f对yt+1，yt，xt+1，xt和zt的偏导数，在（\'y，\'y，\'x，\'x，0）；N由N定义（^yt+1，^yt，^xt+1，^xt，zt）=f（\'y+^yt+1，\'y+^yt，\'x+^xt+1，\'x+zt）- f^yt+1- f^yt- f^xt+1- f^xt- f^zt。映射N被称为f的非线性部分。通过假设onf，映射N是连续可微的，并且在（0,0,0,0,0）处与其一阶导数一起消失。为了简单起见，我们假设（4）可以这样变换，即N不依赖于^yt+1和^xt+1f^yt+1+f^yt+f^xt+1+f^xt+f^zt+N（^yt，^xt，zt）=0。（5） 这种转换可用于许多确定性一般平衡模型（新古典增长模型见第5节）。实际上，方程（2）和（5）可以向量形式写成：Φwt+1=Γwt+N（重量）,式中，wt=（zt，^xt，^yt），Φ=我不知道Γ=∧0 0fff.我们假设矩阵Φ是可逆的。然后将最后一个方程的两边乘以Φ-1giveswt+1=Kwt+N（wt），（6），其中k=Φ-1Γ =∧0（f，f）-1f（f，f）-1f（f，f）-1fandN（wt）=（f，f）-1N（重量）.如果映射N确实依赖于^xt+1和^yt+1，那么我们可以利用隐函数定理来表示^xt+1和^yt+1是^xt、^yt和zt的映射。实际上，考虑到N（·）对^xt+1和^yt+1的导数在原点为零，以及Φ的可逆性，我们可以很容易地看到隐函数定理的条件成立。

在奇异矩阵Φ的情况下，我们没有零特征值的问题，因为它们对应的恒等式不包含^xt+1和^yt+1项。因此，在下文中，我们假设原始模型的代表形式为（6）。接下来，矩阵K被转换成块对角矩阵，该矩阵可以通过例如使用块对角舒尔分解K＝ZP Z来获得-1，（7）其中=A 00 B; （8） 其中A和B分别是特征值大于和小于1（模）的拟上三角矩阵；Z是可逆矩阵。现在我们引入新的变量（ut，vt）=Z-1（zt，^xt，^yt）（9）这个假设是为了便于阐述。如果Φ是一个奇异矩阵，那么在这个问题中，我们必须使用广义特征值分解，如King和Watson（2002）所述。Matlab控制系统工具箱的函数bdschur执行此分解。约旦标准形式在这里也是可能的，但在计算上并不精确（Golub和Van Loan，1996）。将（6）乘以Z-1 Yieldsut+1=Aut+F（ut，vt）（10）vt+1=Bvt+G（ut，vt）（11）其中ut∈ Rnx+nz，vt∈ Rnyand（F（ut，vt），G（ut，vt））=Z-1N（Z·（ut，vt））。通过构造，它遵循F（0，0）=0，G（0，0）=0，F（0，0）=0，G（0，0）=0，（12）其中F（0，0）和G（0，0）分别代表点（0，0）处映射Fand G的雅可比矩阵。形式为（10）-（11）的系统便于获得第3.3节理论结果的理论结果。下一小节将介绍一些必要的符号。

定理3.1证明了第3.2小节中近似策略函数序列的存在性，而定理3.2告诉我们，在第3.3.3.1小节中，Uru和Vrvdenote分别以Rnx+Nzy和Rny的原点为中心的半径Ru和Rv的闭合球的符号和定义中，这些近似值的准确性。让Xru，rv=Uru+Vrvbe为这些球的直接和。由|·|表示Rn中的欧几里德范数。实矩阵D的诱导形式由kdk=sup | s |=1 | Ds |定义。（13） （7）中的矩阵Z可以这样选择，即Kak<α+γ<1和kB-1k<β+γ<1，（14），其中α和β是矩阵A和B的最大特征值-1（inmodule），γ是任意小的。这与Hartmann（1982，§IV 9）中的论点相同，该论点适用于Jordan矩阵分解。设F:Rnx+nz×Rny→ Rnx+nz，G:Rnx+nz×Rny→ RNY和h:Rnx+nz→ Rnyare是连续可微映射。确定以下标准：kGkXru，rv=sup（u，v）∈Xru，rv | G（u，v）|，khkUru=supu∈乌鲁| h（u）|；kGkXru，rv=sup（u，v）∈Xru，rvkG（u，v）k，kFkXru，rv=sup（u，v）∈Xru，rvkF（u，v）k和khkuru=supu∈其中G（u，v）、F（u，v）和h（u）分别是G（u，v）、F（u，v）和h（u）在（u，v）和u处的雅可比矩阵。定义3.1。A映射s:X→ 如果存在实常数L，则Y称为Lipschitz连续≥ 因此，对于所有X和xin X，|s（X）- s（x）| 6 L |x- x |，对于映射s.3.2，任何这样的L都被称为Lipschitz常数。近似策略函数序列的存在性定理3.1。设Xru，rv是（10）和（11）中的映射F和G的定义域，从而满足以下条件：条件1。kGkXru，rv<1- kB-1KB-1krv；条件2。L<kB-1k- 卡克;式中，L=最大值（kGkXru，rv，kFkXru，rv）；（15） 条件3。

如果（ut，vt）∈ Xru，rv，然后ut+1（ut，vt）=Aut+F（ut，vt）∈ 乌鲁。然后，存在一系列映射hi:Uru→ Vrv，我∈ N、 满足循环方程：hi（u）=-B-1G（u，hi（u））+B-你好-1（Au+F（u，hi（u）））（16）初始条件为h≡ 此外，下列关于映射及其导数形式的不等式成立：khikUru6（1）- kB-1ki+1）kB-1k·kGkXru，rv1- kB-1k（17）khikUru1- kB-1KB-1公斤。（18） 备注3.1。满足条件1-3的邻域Xru，RVR总是局部存在性别歧视，因为映射G（u，v）和F（u，v）及其一阶导数在（0，0）处消失。尽管如此，条件1-3本身并不是本地的。备注3.2。从条件1和（14）可以看出，（17）的右侧满足不等式（1）- kB-1ki+1）kB-1k·kGkXru，rv1- kB-1k<rv。（19） 证据1。证明是通过对i的归纳。更准确地说，使用压缩映射定理，我们通过对i的归纳推导∈ N是否存在使他满意（16）。为了满足压缩映射定理的条件，我们需要在归纳的每个阶段上的映射的估计（17）-（18）。假设i=1。设T1，ube Vrvto Rnvsuch thatT1，u（v）=-B-每u 1克（u，v）∈ 乌鲁。（20） 我们认为T1，umap闭球vrvin自身，且lipschitz常数小于1，因此满足收缩映射定理的条件（Zeidler，1986）。然后存在一个固定点hof T1，通常为茅草（u）=-B-1G（u，h（u）），u∈ 乌鲁。（21）请注意，hon u的依赖性决定了Uru到Rnv的映射。此外，如果该映射满足不等式（17）和（18），则将证明i=1的诱导假设。事实上，取两边的范数（20），并使用范数性质和条件1，我们得到了kT1，ukVrvB-1.· kGkXru，rv<rv。（22）这意味着T1，UMA将闭合球Vrvin映射到自身。