动力平衡模型的非局部解：近似稳定解

（68）反转（68）给定skαt- kt+1=βα（kαt+1- kt+2）k1-αt+1。将kt+2表示为kt+1和ktyieldskt+2=（1+αβ）kt+1的函数- αβkαtk1-αt+1。（69）考虑到稳态k=（βα）1-α、 （70）我们得到^kt+2=（1+αβ）\'k+k+1α-αβ\'k+^ktα\'k+k+11.-α-“好的。

（71）方程（71）可以改写为^kt+2=（1+αβ）\'kα1+^kt+1\'k！α-αβ′kα1+千吨α-k1-α1+kt+1\'k1.-α-\'k=f^kt+1，^kt.（72）可以很容易地检查f在点（0，0）处的导数是f^kt（0，0）=-1/β和f^kt+1（0，0）=（1/αβ）+α，因此（72）的形式为^kt+2=αβ+ α^kt+1-β^kt+“（1+αβ）\'kα1+^kt+1\'k！α-αβ′kα1+千吨α-k1-α1+kt+1\'k1.-α-\'k+β^kt-αβ+ α^kt+1#。（73）如果我们用^zt表示^kt+1，那么（73）可以重写为以下方程组：^kt+1=^zt，^zt+1=-β^kt+αβ+ α^zt+N^kt，^zt,（74）其中非线性项^kt，^zt= （1+αβ）`kα1+^zt\'kα-αβ′kα1+千吨α-k1-α1+^zt\'k1.-α-\'k+β^kt-αβ+ α^zt。以矩阵形式重写（74），给出^kt+1^zt+1= K^kt^zt+N（^kt，^zt）, （75）其中矩阵K的形式为=0 1-βαβ+ α.接下来，将K转化为约当标准形K=ZP Z-1.Where=α 0αβ, Z=1 1ααβ, Z-1=αβ1 - αβαβ-1.-α 1.在引入新变量之后utvt= Z-1.^kt^zt将（75）的两边乘以Z-我们可以重写（69）asut+1=Aut+F（ut，vt）vt+1=Bvt+G（ut，vt），其中A=α，B=1/（αβ），F（ut，vt）=ZN（Zut+Zvt，Zut+Zvt），和G（ut，vt）=ZN（Zut+Zvt，Zut+Zvt），其中Zijand-Zijarethe矩阵的分量Z和Z-分别为1。映射G有以下表示：G（ut，vt）=αβ1- αβ“（1+αβ）（\'k+αut+αβvt）α-αβ\'k+ut+vtα（`k+αut+αβvt）1-α-“k”-αβ+ ααβvt+αut+β（ut+vt）#那么，近似策略函数hh为隐式形式：h（ut）=-αβ1 - αβ“（1+αβ）（\'k+αut+αβh（ut））α-αβ\'k+ut+h（ut）α（`k+αut+αβh（ut））1-α-“k”-αβ+ ααβh（ut）+αut+β（ut+h（ut））#。（76）收缩映射的第一次迭代h1,1是通过在（76）h1,1（ut）=-αβ1 - αβ“（1+αβ）（\'k+αut）α-αβ\'k+utα（`k+αut）1-α-“k”- αut#。通过进一步迭代（76）的右侧，可以找到函数Hc。

以同样的方式，这些函数满足以下等式：h（u）=-B-1G（u，h（u））+B-1h（Au+F（u，h（u）））。h（u）=-B-1G（u，h（u））+B-1h（Au+F（u，h（u）））。要使映射hi、i=1、2或h1、1返回到原始变量，我们必须执行转换：ktkt+1= Z乌斯*（ut）+“k”k,h在哪里*= hior h1,1。最后，策略函数kt+1=~h（kt）具有以下参数表示：（kt=ut+h）*（ut）+k＠h（kt）=αut+αβh*（ut）+k.5.2 ASM方法的全局近似为了给人一个关于ASM方法在全局域上的近似精度的印象，我们构造了第3节中的函数，并将其与一阶、二阶、五阶和十六阶泰勒级数展开式进行比较，这与Schmitt Groh’e和Uribe（2004）在零激波波动情况下的微扰方法的解相对应。该模型对由kt+1=~h（kt）=αβkαt给出的策略函数有一个封闭形式的解。（77）我们在状态变量的水平（而不是对数）上计算近似值，否则问题变得非常线性。参数值采用标准值，即α=0.36和β=0.99。那么对于我们的校准，资本的稳态为‘（k=（αβ）1/（1）-α)= 0.20. 图1：不同近似值的策略函数。不难看出，真解（77）的泰勒级数展开式在区间[0，2\'-k]内收敛。图1显示了在全球区间[0,5\'k]上资本政策函数的不同解决方案。泰勒级数近似在区间[0,0.40]内表现良好，即在泰勒级数展开的收敛范围内；然而，在间隔时间之外，它们会爆炸。这些函数基本上与所有kt的真解不可区分，因此提供了完美的全局逼近。

即使在泰勒级数的收敛域内，~his的精度也与泰勒级数展开式的16阶精度一样好。halso函数为整个时间间隔提供了一个非常接近的函数。6结论本研究利用动力系统理论中的概念和技术，构造了非局部区域上一般平衡模型的近似解，并证明了这些近似解收敛于真解。得到了稳定流形定理的一个新证明。由于该方法涉及收缩映射定理，因此可以估计先验和后验近似误差。作为副产品，该方法可以被视为EP算法收敛性的严格证明。该方法通过应用Brock和Mirman（1972）的新古典增长模型来说明。结果表明，该方法的前几个近似值在全局范围内是非常精确的，同时它们在精度上至少与高阶摄动法获得的解相同。参考Adjemian，S.和Juillard，M.（2011）。在名义利率下限为零的新凯恩斯模型中，扩展路径模拟方法的准确性。”美墨，缅因大学。O.J.布兰查德和C.M.卡恩（1980年）。理性预期下线性差异模型的解决方案，计量经济学48 1305–1311。布罗克，W.A.和米尔曼，L.（1972）。最佳经济增长和不确定性。贴现案例，《经济理论杂志》4 479–513。Collard，F.和Juillard，M.（2001年）。随机扰动方法的准确性：资产定价模型案例，经济动力学与控制杂志25 979–999。R.费尔和泰勒，J.B.（1983年）。《动态理性预期模型的解和最大似然估计》，计量经济学51 1169–1185。Gagnon，J.E.（1990年）。

用扩展路径法求解随机均衡模型，《商业与经济统计杂志》8 35–36。Gagnon，J.E.和Taylor，J.B.（1990年）。通过确定性扩展路径求解随机增长模型，“经济建模7 251–257。Golub，G.H.和Van Loan，C.F.（1996年）。《矩阵计算》，第三版。约翰·霍普金斯大学出版社，巴尔的摩。哈特曼，P.（1982）。普通微分方程，第二版，威利，纽约。Jin，H.和Judd，K.L.（2002）。一般动态随机模型的摄动方法，讨论论文，胡佛研究所，斯坦福。贾德·K·L.（1998）。《经济学中的数值方法》，麻省理工学院出版社，剑桥。Katok A.和Hasselblatt B.（1995年）。介绍现代动力系统理论。，剑桥大学出版社，剑桥。King，R.G.和Watson，M.（2002年）。理性预期下奇异线性微分系统的系统约化和求解算法，计算经济学2057–86。拉法尔格，J.-P.（1990年）。《经济与统计年鉴》第17 97-119页《宏观经济解决方案》。爱，D.R.F.（2010）。《重温确定性扩展路径：宏观经济模型的一种简单而准确的求解方法》，国际计算经济学与计量经济学杂志，1309–316。利普顿·D.，波特巴·J.，萨克斯·J.和萨默斯·L.（1982）。理性预期模型中的多重投影，计量经济学50 1329–1333。尼特基，Z.（1971）。差异动力学，麻省理工学院出版社，剑桥。Potzsche C.（2010）。离散非自治动力系统的几何理论，Springer Verlag，柏林海德堡纽约东京。施密特·格罗赫，S.和乌里韦，M.（2004年）。求解动态一般均衡模型，作为政策函数的二阶近似，《经济动力学与控制杂志》28 755–775。斯梅尔，S.（1967）。

微分动力系统，美国数学学会公报73 747–817。斯图尔特·A.M.（1990年）。《动力系统的数值分析》，数字学报3467–572。Zee（1986）。非线性泛函分析及其应用，第一卷，斯普林格·维拉格，柏林，海德堡，纽约，东京。