DSGE模型的半全局解

为t=t重写（30），并考虑到etx（1）t+1=ρx（1）Tgivesy（1）t=exp（θx（0）t+1）βθ1+y（0）T+1ρx（1）T+exp（θx（0）T+1）βETy（1）T+1，（74）类似于（74）T=T- 我们有-1=exp（θx（0）T）βθ1+y（0）Tρx（1）T-1+exp（θx（0）T）βET-1y（1）T，（75）在最后一个等式（74）中替换y（1），并考虑-1x（1）T=ρx（1）T-我们得到了-1=θβρexp（θx（0）T）1+y（0）T+ θ（βρ）exp（θ（x（0）T+x（0）T+1））1+y（0）T+1x（1）T-1+βexp（θ（x（0）T+x（0）T+1））ET-1y（1）T+1）。以同样的方式继续，对于t=t- k+1我们有（1）t=θ“kXi=1（βρ）i1+y（0）t+iexpθiXj=1x（0）t+j！#{z}=-KT，tx（1）t+βkexpθiXj=1x（0）t+j！Ety（1）T+1。（76）如果力矩T趋于∞, 那么y（1）的下列解是有效的：y（1）t=θ“∞Xi=1（βρ）i1+y（0）t+iexpθiXj=1x（0）t+j！#{z}=-K∞,tx（1）t=-K∞,tx（1）t.（77）注意x（1）=0，因此y（1）=0。现在我们来看二阶近似。方程（32）也是具有时变确定性系数的线性前瞻性方程，可通过反向归纳法求解。

实际上，为t=Tyieldsy（2）t=βexp（θx（0）t+1）θ重写（32）1+y（0）T+1ETx（1）T+1+θβexp（θx（0）T+1）Etx（1）T+1y（1）T+1+ βexp（θx（0）T+1）ETy（2）T+1.（78）用（77）代替y（1）T+1in（32），并用ET收集术语x（1）T+1yieldsy（2）T=βexp（θx（0）T+1）θhθ1+y（0）T+1- 2K∞,T+1iETx（1）T+1+βexp（θx（0）T+1）ETy（2）T+1.（79）代以- （79）givesy（2）T中的T为1-1=βexp（θx（0）T）θhθ1+y（0）T- 2K∞,蒂特x（1）T+βexp（θx（0）T）ET-1.y（2）T.（80）将y（2）T从（79）插入（80），我们有（2）T-1=βexp（θx（0）T）θhθ1+y（0）T- 2K∞,蒂特x（1）T+βexpθx（0）T+x（0）T+1θhθ1+y（0）T+1- 2K∞,T+1iET-1.x（1）T+1+βexpθx（0）T+x（0）T+1ETy（2）T+1.（81）对于t=t- 我们有（2）t=θkXi=1βiexpθiXj=1x（0）t+j！hθ1+y（0）t+i- 2K∞,t+iiEtx（1）t+i+βkexpθiXj=1x（0）t+j！Ety（2）T+1。（82）如果力矩T趋于∞, 那么y（2）的下列解是有效的：y（2）t=θ∞Xi=1βiexpθiXj=1x（0）t+j！hθ1+y（0）t+i- 2K∞,t+iiEtx（1）t+i（83）在t=0时，方程（83）提供了函数级数展开式（2）=θ的第二项∞Xi=1βiexpθiXj=1x（0）j！hθ1+y（0）i- 2K∞,iiEx（1）i（84）最后一个等式中的期望项可以通过使用x（1）i的移动平均表示来获得。实际上，从（31）和（27）我们得到x（1）i=εi+ρεi-1+ ... + ρi-1ε.由于创新序列εi，i>0是独立的，因此它遵循ex（1）i= Etεi+ρεi-1+ ... + ρi-1ε= 1+ρ+··+ρ2（i）-1)=1 - ρ2i1- ρ.（85）在（83）中的指数和可以从（25）x（0）+x（0）+···+x（0）i=\'x+ρ（x（0）中得到- \'x）+\'x+ρ（x（0）- \'x）+\'x+ρi（x（0）- \'x）=i\'x+ρ（1）-ρi）1-ρ（x（0）- “\'x”）。（86）最后，将（85）和（86）插入（83）givesy（2）=θ∞Xi=1βi1- ρ2i1- ρexpnθhi\'x+b（x（0）- \'x）iohθ（1+y（0）i）- 2K∞,二、在计算中，我们需要使用有限的终端时间T+1。

尽管该方法收敛于任何终端条件y（2）T+1，但终端条件的最合理选择是随机稳态在一系列σ幂展开中的二阶项。总之，我们发现政策函数的近似形式为y（x）=h（x）=y（0）+σy（2）。注意，y（0）和y（2）都是x的函数。从（83）和（85）中，我们可以得到预期的动力学（换句话说，脉冲响应函数）Eyt。高阶y（n）t（x）的解，n>2，可以用与y（2）t（x）几乎相同的方式获得。6.1与局部扰动的比较本小节比较了本方法二阶的策略函数与二阶和六阶的局部泰勒级数展开（Schmitt Groh’e和Uribe，2004）。参数化遵循Collard、Juillard（2001）和Prescott（1985）的标准，在Mehra和Juillard（2001）中选择了基准参数化。因此，我们将股息增长率的平均值设置为“x=0.0179”，创新的波动率设置为σ=0.015，参数θ设置为-1.5和β至0.95。为了便于说明，我们选择了在Collard和Juillard（2001）中ρ=0.9的高度持久性外源过程。图1用半全局方法和局部泰勒级数展开构造的近似策略函数说明了精确策略函数。该图绘制于xi区间∈ [x]-  · σx，\'x+ · σx]，其中σxis是过程的无条件波动，并且 = 5.图1显示了图1：策略函数近似值的比较。ytis的确定性稳态水平由ybarthe半全局近似表示，其精度与区间欠考虑左端泰勒级数局部展开的六阶精度相同。

然而，在区间的右端点，半全局解比泰勒级数展开的六阶精确得多。实际上，半全局近似与这个域中的真解是无法区分的。泰勒级数二阶展开的全局精度远低于泰勒级数六阶展开和半全局解。从图1中，我们还可以看到局部泰勒级数展开的另一个不受欢迎的特性，即这种方法可能会提供带有错误符号的脉冲响应函数。实际上，ytis’y的稳态值为12.3。大的正冲击后，真实脉冲响应函数为负（策略函数值低于稳态），而局部摄动法的二阶所隐含的脉冲响应函数为正（近似策略函数高于稳态）。局部摄动法的六阶近似具有脉冲响应的右符号，但形状错误，是U形的，而不是单调递增的。相比之下，如前所述，半全局方法提供了几乎精确的脉冲响应。7结论本研究提出了一种基于确定性路径扰动的方法，用于构建DSGE模型的全局近似解。在假设模型的确定性解已经找到的情况下，该方法将问题简化为递归求解一组具有确定性时变参数和相同同质部分的线性理性期望模型。本文还提出了一种求解具有确定性时变参数的线性理性期望模型的方法。

找到了解决方案存在的条件；所有结果都是针对一般形式的DSGE模型得到的，并得到了严格的证明。本文用Burnside（1998）的非线性资产定价模型说明了二阶近似的算法，并将其与局部泰勒级数展开进行了比较。半全局方法的二阶近似比确定性稳态下泰勒级数展开的六阶近似提供了更精确的解。该方法适用于Foerster、Rubio Ramres、Waggoner和Zha（2013）提出的形式的马尔可夫切换DSGE模型，其中影响稳态的马尔可夫切换参数向量按小因子缩放。实际上，在标度参数“小”且随机项存在高阶矩的条件下，不管这些随机项的概率分布函数如何，第3、4和5节的所有导子都成立。附录A对命题5.1第5节的证明：该证明是通过归纳i得出的。假设i=0。对于从（52）开始的时间T，我们有etut+1=BTuT+Q21，TsT+ψ2，TETηT+1。由于bt是可逆的，我们没有，T=-KT，TsT- gT，0+L-1T，TETuT+1，其中KT，T=B-1TQ21，T；gT，0=-B-1Tψ2，TETηT+1和L-1T，T=B-1T。从（53）、（54）和（56）可以得出结论，归纳假设在i=0时得到了证明。假设（55）适用于i>0，我们将证明它适用于i+1。为此，考虑时间t=t的等式（52）- 我- 1.

作为矩阵BT-是可逆的，我们得到了，T-我-1= -B-1T-我-1Q21，T-我-第一-我-1.- B-1T-我-1ψ2，T-我-1ET-我-1ηT-i+B-1T-我-1ET-我-1uT，T-i、 用归纳假设（55）代替uT，T-艾雅德苏特-我-1= -B-1T-我-1Q21，T-我-第一-我-1.- B-1T-我-1ψ2，T-我-1ET-我-1ηT-i+B-1T-我-1ET-我-1小时-KT，T-isT-i+gT，i+Qi+1k=1L-1T，T-i+kET-i（uT+1）i.用（51）代替ET-我-1（圣-i） 利用迭代期望定律，T-我-1= -B-1T-智商21，T-isT-我-1.- B-1T-iψ2，T-让-我-1ηT-i+B-1T-igT，i+B-1T-我Qi+1k=1L-1T，T-i+kET-我-1（uT+1）+B-1T-我[-KT，T-我（在-isT-我-1+Q12，T-iuT，T-我-1+ψ1，T-让-我-1ηT-i） ]。用uT，T收集术语-我-1号街-我-1和ηT-i、 我们得到I+B-1T-iKT，T-iQ12，T-我uT，T-我-1= -B-1T-我（问题21，T）-i+KT，T-iAT-i） 圣-我-1+（ψ2，T）-i+KT，T-iψ1，T-i） ET-我-1ηT-i+gT，i+Qi+1k=1L-1T，T-i+kET-我-1（uT+1）假设矩阵T，T-i=i+B-1T-iKT，T-iQ12，T-是可逆的。将最后一个等式乘以Z-1T，T-i、 我们得到了，T-我-1= -Z-1T，T-iB-1T-我（问题21，T）-i+KT，T-iAT-i） 圣-我-1+（ψ2，T）-i+KT，T-iψ1，T-i） ET-我-1ηT-i+gT，i+Qi+1k=1L-1T，T-i+kET-我-1（uT+1）.注意，LT，T-i=BT-伊兹特-我然后使用KT，T的定义-我-1（53），我们看到了-我-1= -KT，T-我-第一-我-1.-L-1T，T-i（ψ2，T）-i+KT，T-iψ1，T-i） ET-我-1ηT-i+L-1T，T-igT，i+L-1T，T-我Qi+1k=1L-1T，T-i+kET-我-1（uT+1）。（87）使用gT、I和LT的定义-i、 T-i+j（（54）和（56）），我们推导出gt，i+1=-L-1T，T-i（ψ2，T）-i+KT，T-iψ1，T-i） ET-我-1ηT-i+L-1T，T-伊格特，i。

（88）从（87）和（88）中得出，T-我-1= -KT，T-我-第一-我-1+gT，i+1+i+2Yk=1L-1T，T-我-1+k！ET-我-1（uT+1）。命题5.2的证明：我们首先将（53）改写为（BT）-i+KT，T-iQ12，T-i） KT，T-（i+1）=（Q21，T-i+KT，T-iAT-i） 。重新安排条款，我们有KT，T-（i+1）=B-1T-i·（Q21，T）-i+KT，T-iAT-（一）-B-1T-iKT，T-iQ12，T-iKT，T-（i+1）。（89）取范数并使用给定的范数性质skkt，T-（i+1）k6kb-1T-ik·kQ21，T-ik+kB-1T-ik·kKT，T-伊克·凯特-ik+kB-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-ik·kKT，T-（i+1）k.重新排列条件，我们得到kkt，T-（i+1）k 6kB-1T-ik·kQ21，T-ik+kB-1T-ik·kKT，T-伊克·凯特-ik1- kB-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-ik。（90）不平等（90）是关于kKT，T的差异不平等-ik，i=0，1，T、 随着时间变化的系数kAT-ik，kB-1T-ik，kQ12，T-ik和kQ21，T-ik。在（90）中，我们假设：- kB-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-ik 6=0。如果kKT，T-ik=0。我们将证明，如果初始条件kKT，T+1k=01.- kB-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-ik> 0，i=1，2，T.事实上，考虑差异方程：si+1=bd+basi（1- bcsi）。引理A.1。如果不等式（57）成立，那么差分方程（91）有两个固定点*=2bd1- ba+p（1）- 文学士）- 公元前4年（92）s*=1.- ba+p（1）- 文学士）- 公元前4年，公元前2年*是一个稳定的固定点，而*这是一个不稳定的问题。此外，在初始条件s=0下，解si，i=1，2，是一个递增序列，收敛到*.这个引理可以通过直接计算得到证明。从（48）-（47）中，a、b、c和d的值占多数-ik，kB-1T-ik，kQ12，T-ik和kQ21，T-分别是ik。如果我们把方程（88）和不等式（91）看作初始条件为kKT，T+1k=0和s=0的初值问题，那么它们的解显然满足不等式kKT，T-ik 6 si+1，i=1，2，T换句话说，kKT，T-ik由si主导。

从上一个不等式和引理A.1可以得出结论：kkt，T-ik 6 s*, i=0，1，2，T、 T∈ N.（93）从（92）、（93）和（48）开始，它跟在后面-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-ik 62bdc1- ba+p（1）- 文学士）- 公元前4年。（94）从（57）中我们看到2bdc<（1- ab）/2。将这个不等式代入（94）giveskB-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-ik 6（1）- ba）2（1）- ba+p（1）- 文学士）- 4bcd）<（1- ba）2（1）- ba）=1- ba<1，（95），其中最后一个不等式从（50）开始。命题5.4的证明：如果存在常数M和r，使得0<r<1，对于T，命题的断言是正确的∈ NkKT，j- KT+1，jk 6捷运+1，j=0，1，2。（96）注意，现在KT，j（KT+1，j）是i=T时矩阵微分方程（53）的解- j（i=T+1）- j） 初始条件为KT，T+1=0（KT+1，T+2=0）。

减去（89）KT，T-（i+1）从KT+1，T-（i+1），我们有kT，T-（i+1）- KT+1，T-（i+1）=B-1T-i（KT，T）-（一）- KT+1，T-i） 在-我- B-1T-iKT，T-i） 问题12，T-iKT，T-（i+1）+B-1T-iKT+1，T-iQ12，T-iKT+1，T-（i+1）。加减B-1T-i·KT，T-i·Q12，T-i·KT+1，T-（i+1）在右手边-（i+1）- KT+1，T-（i+1）=B-1T-i（KT，T）-（一）- KT+1，T-i） 在-我- B-1T-i·KT，T-i·Q12，T-i（KT，T）-（i+1）- KT+1，T-（i+1））- B-1T-i（KT，T）-我- KT+1，T-i） 问题12，T-i·KT+1，T-（i+1）。重组条款收益率（I+B）-1T-iKT，T-iQ12，T-i） （KT，T）-（i+1）- KT+1，T-（i+1））=B-1T-i（KT，T）-我- KT+1，T-i） 在-我- B-1T-i（KT，T）-我- KT+1，T-i） 问题12，T-iKT+1，T-（i+1）。从命题5.3可知，矩阵zt，T-i=（i+B）-1T-iKT，T-iQ12，T-i） 是可逆的，然后将最后一个方程乘以这个矩阵yieldsKT，T-（i+1）- KT+1，T-（i+1）=Z-1T，T-i（B）-1T-i（KT，T）-我- KT+1，T-i） 在-我- B-1T-i（KT，T）-（一）- KT+1，T-i） 问题12，T-iKT+1，T-（i+1））。取范数，利用范数性质和三角不等式，wegetkKT，T-（i+1）- KT+1，T-（i+1）k6 kZ-1T，T-ik·（kB）-1T-ik·kKT，T-我- KT+1，T-伊克·凯特-ik+kB-1T-ik·kKT，T-（一）- KT+1，T-ik·kQ12，T-ik·kKT+1，T-（i+1）k）。（97）从（47）和（95）我们有kkt，T-（i+1）- KT+1，T-（i+1）kab+1- 文学士kZ-1T，T-ik·kKT，T-我- KT+1，T-ik=1+bakZ-1T，T-ik·kKT，T-我- KT+1，T-ik。（98）从norm property和Golub，以及Van Loan（1996年，引理2.3.3）中，我们得到了估算KZ-1T，T-ik=k（I+B）-1T-iKT，T-iQ12，T-（一）-1k 61- kB-1T-iKT，T-iQ12，T-ik1- kB-1T-ik·kKT，T-ik·kQ12，T-艾比（95岁），我们有-1T，T-ik=<1-1.-ba=1+b将最后一个不等式代入（98）giveskKT，T-（i+1）- KT+1，T-（i+1）k<kKT，T-我- KT+1，T-ik。（99）连续使用（102）表示i=-1, 0, 1, . . .

T- 考虑到KT，T+1=0和KT+1，T+1=B-1T+2Q21，T+2结果inkKT，j- KT+1，jk<kKT，T+1- KT+1，T+1k=kB-1T+2Q21，T+2k6 kB-1T+2k·kQ21，T+2k 6 bkQ21，T+2k，j=0，1，2。（100）回想一下，Q21，T依赖于确定性问题（10）的解决方案，即Q21，T=Qx（0）T+1，x（0）T，z（0）T+1，z（0）T.根据Hartmann（1982，推论5.1）和Q关于状态变量的可微性，可以得出kq21，tk6c（α+θ）T，（101），其中α是（40）中矩阵A的最大特征值模，Cis是一个常数，θ是任意小的正数。事实上，α+θ决定了稳态确定性解的收敛速度。在（102）中插入（101），我们可以得出dekkt，j- KT+1，jk<bC（α+θ）T+2，j=0，1，2。（102）表示M=bC（α+θ）和r=α+θ，我们最终得到（96）。附录B n=1的一阶系统我们有“s（1）u（1）#=ZZ”-1“x（1）y（1）#=0，从（43）到我们拥有的时间T（1）T=-B-1T+1Q21，T+1s（1）T- B-1T+1∏2，t+1z（1）t+B-1T+1ETu（1）T+1。表示KT，T=B-1T+1Q21、T+1和RT=B-1T+1∏2，t+1活动（1）t=-KT，Ts（1）T- RTz（1）T+B-1T+1ETu（1）T+1。（103）对于T- 我们有-1= -B-1TQ21，Ts（1）T-1.- B-1T∏2，tz（1）T-1+B-1台-1u（1）T.（104）在T时接受条件期望- 我们从两边（103）和入口（2）开始-1u（1）T=-KT，TET-1s（1）T- RT∧z（1）T-1+B-1T+1ET-1u（1）T+1。