DSGE模型的半全局解

知道如何求解这些类型的模型，并使用映射集η（n）t+1的结构，我们可以递归地找到每阶n的解y（n）t，x（n）t，到（15），从n=1.3.2系列扩展的一个例子开始：资产定价模型在本节中，围绕确定性路径的扩展方法适用于Burnside（1998）提出并由Collard和Juillard（2001）分析的简单非线性资产定价模型；施密特·格罗赫和乌里韦（2004年）。为了简洁起见，我们不使用张量符号。在该模型中，代表代理最大化了寿命效用函数maxe∞Xt=0βtCθtθ！主题toptet+1+Ct=ptet+dtet，其中β>0是一个主观贴现因子，θ<1和θ6=0，cts表示消费，ptt是一个单位资产在t日的价格，t期开始时持有的单个资产的etrepresentsunits，t期内的dtis dividendsper资产。股息率的增长遵循AR（1）过程xt=（1）- ρ） \'x+ρxt-1+σεt+1，（19），其中xt=ln（dt/dt-1） 和εt+1~ NIID（0,1）。一阶条件和市场清算产生均衡条件yt=βEt[exp（θxt+1）（1+yt+1）]，（20），其中yt=pt/dt是价格股息率。该方程的精确解形式为（Burnside，1998）yt=∞Xi=1βiexp[ai+bi（xt- \'x）]，（21），其中i=θ'xi+θσ1 - ρ我-2ρ(1 - ρi）1- ρ+ρ(1 - ρ2i）1- ρ（22）andbi=θρ（1）- ρi）1- ρ.由（20）可知，经济的确定性稳定状态为‘y=βexp（θ‘x）1- βexp（θ′x）。通过滥用我们之前的符号，我们让Xt作为inBurnside（1998）来代表外生过程；科拉德和朱拉德（2001）；施密特·格罗赫和乌里韦（2004年）。现在，我们将系统（19）-（20）的解表示为参数σ的幂展开到二阶近似，并将原始问题分解为一组辅助问题。

具体地说，假设解可以用以下形式表示：yt=y（0）t+σy（1）t+σy（2）t（23）xt=x（0）t+σx（1）t.（24）将（24）代入（19）并收集包含σ和σ的项，我们得到xtx（0）t+1=（1）的表示（24）- ρ） \'x+ρx（0）t（25）x（1）t+1=ρx（1）t+εt+1。（26）由于展开式（24）在初始时间t=0时必须对所有σ有效，因此初始条件为x（0）=x和x（1）=0。（27）现在将（23）和（24）替换为（20）yieldsy（0）t+σy（1）t+σy（2）t+·βEtexphθx（0）t+1+σx（1）t+1我1+y（0）t+σy（1）t+σy（2）+··小σgivesy（0）t+σy（1）t+σy（2）t+·βEtexp（θx（0）t+1）的扩展指数1+σθx（1）t+1+σθx（1）t+1+ · · ·1+y（0）t+1+σy（1）t+1+σy（2）t+1+··收集上一个等式中σ的类似幂项，我们得到σy（0）t=exp（θx（0）t+1）（1+y（0）t+1），（28）x（0）t+1=ρx（0）t（29）σy（1）t=exp（θx（0）t+1）βθ的系数1+y（0）t+1Etx（1）t+1+exp（θx（0）t+1）βEty（1）t+1，（30）x（1）t+1=ρx（1）t+εt+1。（31）σy（2）t=βexp（θx（0）t+1）θ的系数1+y（0）t+1Etx（1）t+1+θβexp（θx（0）t+1）Etx（1）t+1y（1）t+1+ βexp（θx（0）t+1）Ety（2）t+1.（32）系统（28）和（29）是一个确定性模型。其解可通过例如正向感应（0）t容易获得=∞Xi=1βiexpθxi+ρ（1- ρi）1- ρ（xt）- \'\'x）. （33）假设y（0）和x（0）皮重已经为t>0所知，等式（30）和（31）构成了一个线性理性预期模型，具有时变的确定系数exp（θx（0）t+1）β。η（1）t+1in（15）项的期望值的形式为exp（θx（0）t+1）βEthθx（1）t+1（1+y（0）t+1）i。方程（32）也是一个线性前瞻性方程，具有时变的确定系数exp（θx（0）t+1）β，以及η（2）t+1=βexp（θx（0）t+1）θθ1+y（0）t+1Etx（1）t+1+ Etθx（1）t+1y（1）t+1仅依赖于小于2阶的解，即。

x（0）t+1，y（0）t+1，x（1）t+1，y（1）t+1。因此，系统（30）和（31）以及方程（32）都是具有时变系数的线性前视模型。在我们知道如何求解这类模型的条件下，可以从求解（30）和（31）开始递归求解，然后传递到（32）。在第5节中，我们给出了一种求解此类模型的方法，并证明了该方法隐含的解收敛于精确解。在下一节中，我们用更方便的形式变换方程（15）。4模型转换将确定性稳态定义为向量（\'y，\'x，0），使得f（\'y，\'y，\'x，\'x，0，0）=0。（34）我们可以将fi，tin（15）表示为fi，t=fi+^fi，t，i=1，其中fi=fi（\'y，\'y，\'x，\'x，0，0）是关于第i个参数的映射f在稳态下的雅可比矩阵，以及^fi，t=fi，t（y（0）t+1，y（0）t，x（0）t+1，x（0）t，z（0）t+1，z（0）t）- fi（\'y，\'y，\'x，\'x，0，0）。（35）还要注意^fi，t→ 0作为t→ ∞, 因为确定性解必须趋向于确定性稳态，就像t趋向于完整性一样。因此，fi，tcanbe被认为是fi的扰动。由于等式（15）对所有n>0都有相同的形式，为了缩短符号，我们进一步省略了上标（n），以免产生混淆。因此，方程（15）可以写成向量形式ΦtEtxt+1yt+1= λtxtyt+ Etηt+1，（36），其中Φt=hf+^f3，t，f+^f1，tian∧t=hf+^f4，t，f+^f2，ti。我们假设所有t的矩阵Φtar都是可逆的≥ 0

例如，如果雅可比矩阵[f，f]-1在稳定状态下是可逆的。用Φ预乘（36）-1t，我们到了xt+1yt+1= Lxtyt+ Mtxtyt+ Φ-1 etηt+1，（37），其中L=[f，f]-1[f，f]和mt=hf+^f3，t，f+^f1，ti-1hf+^f4，t，f+^f2，ti- [f，f]-1[f，f]。特别地，对于n=1，我们有“x（1）t+1y（1）t+1#=L”x（1）ty（1）t#+Mt”x（1）ty（1）t#+Φ-1t（f5，t∧+f6，t）z（1）t.（38）这个假设是为了便于阐述。如果[f，f]是一个奇异矩阵，那么接下来我们必须使用一个广义舒尔分解，它的导子是无效的，但变得更复杂。注意limt→∞Mt=0。与具有常数参数的理性预期模型的情况一样，使用L的谱性质变换（37）是很方便的。也就是说，矩阵L被变换成块对角阵L=ZP Z-1，（39）其中=A 00 B, （40）其中A和B分别是特征值大于和小于1（inmodule）的矩阵；Z是可逆矩阵。例如，这可以通过最初以简单的舒尔形式L=ZLZ变换L来实现-1，其中zi是酉矩阵，Lis是特征值沿对角线的上三角Schur形式。然后我们用块对角Schur分解L=ZP Z变换矩阵-1，其中Zi是可逆矩阵，P是块对角矩阵，每个对角块是准上三角Schur矩阵。因此，（39）中的矩阵Z的形式为Z=ZZ。我们还将传统的Blanchard-Kan条件（Blanchard，andKahn（1980））施加在不稳定子空间的维数上，即dim（B）=ny。在引入辅助变量[st，ut]=Z之后-1[xt，yt]（41）并将（37）预乘以Z-1，我们有etst+1=Ast+Q11，tst+Q12，tut+ψ1etηt+1，（42）Etut+1=But+Q21，tst+Q22，tut+ψ2etηt+1，（43），其中[ψ1，t，ψ2，t]=ZΦ-1和Q11、tQ12、TQ11、tQ22、t= ZMtZ-1.

（44）特别是，对于n=1，我们有（1）t+1=As（1）t+Q11，ts（1）t+Q12，tu（1）t+1，tz（1）t，Etu（1）t+1=Bu（1）t+Q21，ts（1）t+Q22，tu（1）t+q2，tz（1）t，这里也可以使用一个简单的Schur三角因式分解，但要付出更复杂的推导代价。矩阵Psimpli FIES代数的块对角结构Matlab控制系统工具箱的函数bdschur执行此分解。哪里π1，t∏2，t= Φ-1t（f5，t∧+f6，t）。系统（42）-（43）是一个具有时变参数的线性理性预期模型，因此，为了解决该系统，我们不能应用常参数模型的方法（Blanchard和Kahn（1980）；安德森和摩尔（1985）；Uhlig（1999）；克莱恩（2000）；西姆斯（2001）等）。在5.2小节中，我们开发了一种求解此类模型的方法。5用时变参数求解理性预期模型5。1注释本小节介绍了一些必要的注释。由|·|表示Rn中的欧几里德范数。实矩阵的诱导范数由kdk=sup | s |=1 | Ds |定义。（39）中的矩阵Z可以这样选择，即kak<α+γ<1和kB-1k<β+γ<1，（45），其中α和β是矩阵A和B的最大特征值（模量）-1，γ是任意小的。这源于Hartmann（1982，§IV 9）中的相同公式，其中对Jordan矩阵进行了分解。还要注意kBk-对于足够小的γ，1<1。LetBt=B+Q22，t，At=A+Q11，t.（46）根据定义，puta=supt=0,1，。。。kAtk，b=supt=0,1，。。。B-1t, （47）c=supt=0,1，。。。kQ12，tk，d=supt=0,1，。。。kQ21，tk。（48）在续集中，我们假设所有矩阵Bt，t=0，1，是可逆的。请注意，数字a、b、c和d取决于初始条件（x（0）、z（0））。

根据At、A、Bt、B、Q12、Q21和条件限制的定义→∞（x（0）t，z（0）t）=（x，0），它跟在那个极限之后→∞c（x（0）t，z（0）t）=0，limt→∞d（x（0）t，z（0）t）=0，（49）limt→∞a（x（0）t，z（0）t）=kAk<1，limt→∞b（x（0）t，z（0）t）=B-1.< 1.这意味着，通过选择足够接近稳态的（x（0），z（0）），c和d可以是任意小的且A<1和b<1（50）。5.2求解转换后的系统（42）–（43）考虑到符号（46），我们可以将（42）–（43）改写为形式etst+1=Atst+Q12，tut+ψ1，tEtηt+1，（51）Etut+1=Btut+Q21，tst+ψ2，tEtηt+1。（52）在本小节中，我们为t构造（51）-（52）的有界解≥ 具有任意初始条件的0∈ RNX确定此解决方案存在的条件。为此，我们首先使用反向递归解决具有固定终端条件的有限水平问题。然后，我们证明了当终端时间T趋于完整时，所得到的有限时域解收敛到有界有限时域解。固定一个地平线T>0。在时间T时，利用Bt的可逆性并向后求解方程（52），我们可以得到Uta作为sT的线性函数，终端条件ETuT+1和“外生”项ψ2，TETηT+1uT=-B-1TQ21，TsT- B-1Tψ2，tETηT+1+B-1测试+1。继续向后递归，我们将获得每个t=0，1，2，…，的有限水平解，T.为此，我们需要定义以下矩阵的循环序列：KT，T-我-1=L-1T，T-i（Q21，T-i+KT，T-iAT-i） ，i=0，1，T、 （53）其中，T-i=BT-i+KT，T-iQ12，T-i、 （54）终端条件为KT，T+1=0。在（53）和（54）中，第一个下标定义了时间范围，而第二个下标定义了0和T+1之间的所有时间。让我们-i、 i=0，1，T、 表示（T- i） -从时间T开始的反向递归得到的时间解。

通过反向递归构造近似解需要矩阵（53）和（54）。提议5.1。假设矩阵（53）和（54）的序列存在；那么（51）-（52）的解有如下表示：uT，T-我=-KT，T-isT-i+gT，i+i+1Yk=1L-1T，T-i+k！ET-i（uT+1），（55），其中i=0，1，T和gt，i=-i+1Xj=1jYk=1L-1T，T-i+k（ψ2，T）-i+j+KT，T-i+jψ1，T-i+j）ET-iηT-i+j.（56）证明见附录A。如果所有矩阵LT，T-i、 i=0，1，T、 是可逆的。为此，我们还需要一些关于矩阵B的有界条件-1T-iKT，T-i+1Q12，T-i、 从（49）矩阵B-1T-土地Q12，T-我是有界的，因此这个条件归结为矩阵的有界性-i+1。提议5.2。如果a、b、c和d来自（47）-（48）等式d<B- A.=1.- ab2b型（57）那么B-1T-我· kKT，T-i+1k·kQ12，T-ik<1，i=0，1，2。T.（58）证明见附录A.提案5.3。如果不等式（58）成立，那么矩阵LT，T-i、 i=0，1，2，T是可逆的。证据从（54）和BT的可逆性-它就是这样的-i=BT-我I+B-1T-iKT，T-iQ12，T-我. （59）矩阵LT，T-当且仅当矩阵I+B-1T-iKT，T-iQ12，T-我是可逆的。从范数性质和（58）我们有B-1T-iKT，T-i+1Q12，T-我≤B-1T-我· kKT，T-i+1k·kQ12，T-ik<1。可逆性I+B-1T-iKT，T-iQ12，T-我下面是Golub，andVan Loan（1996，Lemma 2.3.3）的文章。对于（55）中的i=T，我们没有，0=-KT，0s+gT，T+T+1Yk=1L-1T，k！E（uT+1）。（60）这是具有时变系数（51）-（52）和给定初始条件s的理性预期模型的有限期解。唯一的问题是证明形式（60）的解uT，0收敛到某个极限→ ∞.提议5.4。

如果不平等（57）成立，那么极限→∞KT，j=K∞,对于j=0，1，2。存在于第5.1小节定义的矩阵空间中。有关证明，请参见附录A提案5.5。如果不平等（58）成立，那么限制→∞T+1Yk=1L-1T，k=0（61）和limt→∞gT，T=g∞, （62）其中g∞是纽约的一个向量。证据从（54）到5.4，它紧随其后→∞LT，k=Bk+k∞,kQ12，k=L∞,k、 那么（61）中的极限可以表示为limt→∞T+1Yk=1L-1T，k=limT→∞T+1Yk=1L-1.∞,k、 （63）自从k∞,kis有界（根据A中的公式（93））和Limk→∞Q12，k=0，和limk→∞B-1k=B-1.我们有limk→∞L-1.∞,k=B-1.因此，如果δ>0是任意小的，则存在N=Nδ∈ 就是这样-1.∞,kk≤ 对于k>N，β+δ=ρ<1，（64），其中β是矩阵B的最大特征值（以模数表示）-1.由此，我们得到了范数性质和（63）极限→∞T+1Yk=1L-1T，k≤ 限制→∞T+1Yk=1L-1.∞,K≤ 限制→∞CρT-K=0，其中Cis为常数。通过（64），（56）中的乘积与系数ρasj呈指数衰减→ ∞. 由此和KT，k，ψ2，k，ψ1，kandEηk，T的有界性∈ N和k=1，2，T+1，因此级数gt，T=-T+1Xj=1jYk=1L-1T，k（ψ2，j+KT，jψ1，j）Eηj收敛到某个g∞作为T→ ∞.从命题5.4和命题5.5中可以得出结论，对于完整性方程（60），其形式为：u=-K∞,0s+g∞. （65）公式（65）为具有时变参数（51）-（52）的转换理性预期模型提供了唯一的有界解，并可作为此类问题的策略函数处理。备注5.1。特别地，对于n=1，我们有g（1）T，T=-T+1Xj=1jYk=1L-1T，k（ψ2，j+KT，jψ1，j）Ez（1）j=-T+1Xj=1jYk=1L-1T，k（ψ2，j+KT，jψ1，j）∧j+1z（1）。（66）考虑到（8），我们得到g（1）T，T=0。备注5.2。

与系统（15）和（16）的一阶近似值对应的时变理性预期模型解的推导细节见附录B，其中我们还推导了x（1）和y（1）t的移动平均表示法。有了这种表示法，不难计算（17）中的所有二次项。备注5.3。如果不等式（57）中的c=0或d=0（或两者），即变量stor ut（或两者）中的一个对另一个是外生的，那么（57）在条件（50）下总是有效的。备注5.4。不等式（57）是形式（65）的解存在的充分条件，可以被削弱。对于表示（65），我们只需要矩阵LT，T的可逆性-在（54）中定义。5.3初始条件。仍然需要找到与初始条件（16）相对应的系统（51）-（52）稳定解的初始条件。回想一下，我们处理的是n阶问题（15）-（16），现在我们将上标（n）放回innotation。从（41）到（65）我们有“s（n）”-K（n）∞,0s（n）+g（n）∞#= Z-1.y（n）,Z在哪里-1是块对角分解（39）中涉及的矩阵，具有以下块分解：Z-1=ZZZZ.亨斯（n）=Zy（n），（67）-K（n）∞,0s（n）+g（n）∞= Zy（n）。（68）将（67）代入（68），我们得到（n）=（Z+K（n）∞,0Z）-1g（n）∞. （69）当t>0时，向量（y（n），0）是对应于（15）有界解的初始条件，因此公式（69）确定了具有时变参数的原始理性期望模型的解。换句话说，y（n）是在x（n）=0点具有时变参数的理性预期模型的策略函数。特别是，对于（69）中的n=1，考虑到g（1）∞= 我们有y（1）=0。矩阵Z+K（n）可逆的条件∞,0Z对应于布兰查德和卡恩（1980）的命题1。5.4预期动态。

恢复原始变量x（n）和y（n）t。为了计算预期动力学（脉冲响应函数），更方便的方法是使用辅助变量u（n）和s（n）t，然后恢复原始变量x（n）和y（n）t。用（65）代替utin（51），并在t=0时取期望值，给出（n）t+1=（at- 问题12，tK（n）∞,t） Es（n）t+Q12，tg（n）∞+ ψ1，tEη（n）t+1。（70）从（67）我们可以计算（70）的初始条件s（n）。知道初始值s（n）可以使我们得到（70）解的整个轨迹，即Est，t∈ N.Eut的预期动态可从（65）Eut=-K（n）∞,测试+g∞. （71）然后原始变量的预期动态由ex（n）t=ZEs（n）t+ZEu（n）t，（72）Ey（n）t=ZEs（n）t+ZEu（n）t（73）恢复，其中Zij，i=1，2，j=1，2，是矩阵Z的块分解。从（70）和（71）可以看出，过程（st，ut）是稳定的→ A、 但A是一个稳定的矩阵，Q12，t→ 0和K（n）∞,t的皮重有界矩阵≥ 0.由此和（72）和（73）可以得出结论，过程（y（n）t，x（n）t）也是稳定的。综上所述，在假设低于n阶的解已经以与第n阶相同的方式计算的情况下，我们找到了原始模型（1）的稳定解，形式为t=nXi=0σiEy（i）t，Ext=nXi=0σiEx（i）t。6近似解：资产定价模型为了说明所提出的方法是如何工作的，我们将其应用于上述非线性资产定价模型。该模型的简单性使我们能够导出解析形式的所有近似值。我们从方程（30）和（31）确定的一阶近似开始，假设确定性解y（0）和x（0）皮重为t>0和y（0）皮重（33）。