DSGE模型的半全局解

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英文标题：
《Semi-Global Solutions to DSGE Models: Perturbation around a
  Deterministic Path》
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作者：
Viktors Ajevskis
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This study proposes an approach based on a perturbation technique to construct global solutions to dynamic stochastic general equilibrium models (DSGE). The main idea is to expand a solution in a series of powers of a small parameter scaling the uncertainty in the economy around a solution to the deterministic model, i.e. the model where the volatility of the shocks vanishes. If a deterministic path is global in state variables, then so are the constructed solutions to the stochastic model, whereas these solutions are local in the scaling parameter. Under the assumption that a deterministic path is already known the higher order terms in the expansion are obtained recursively by solving linear rational expectations models with time-varying parameters. The present work also proposes a method rested on backward recursion for solving general systems of linear rational expectations models with time-varying parameters and determines the conditions under which the solutions of the method exist.
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中文摘要：
本文提出了一种基于摄动技术构造动态随机一般均衡模型（DSGE）全局解的方法。其主要思想是围绕确定性模型（即冲击波动消失的模型）的解决方案，将解决方案扩展为一系列小参数的幂，以衡量经济中的不确定性。如果确定性路径在状态变量中是全局的，那么随机模型的构造解也是全局的，而这些解在标度参数中是局部的。在已知确定性路径的假设下，通过求解具有时变参数的线性理性期望模型，递归地得到展开式中的高阶项。本文还提出了一种基于后向递归的方法，用于求解具有时变参数的线性理性期望模型的一般系统，并确定了该方法的解存在的条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Semi-Global_Solutions_to_DSGE_Models:_Perturbation_around_a_Deterministic_Path.pdf (485.04 KB)

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关键词：dsge模型 DSGE Expectations Perturbation Quantitative

DSGE模型的半全局解：确定性路径周围的扰动Viktors AjevskisBank of Latvia 2018年8月9日电子邮件：Viktors。Ajevskis@bank.lvThe本文中表达的观点仅由作者负责，不一定反映拉脱维亚银行的立场。本文提出了一种基于摄动技术的动态随机一般均衡模型全局解构造方法。其主要思想是，围绕确定性模型的一个解决方案，即冲击波动率波动的模型，将一个解决方案扩展为一系列衡量经济中不确定性的小参数幂。如果确定性路径在状态变量中是全局的，那么随机模型的构造解也是全局的，而这些解在标度参数中是局部的。在已知确定性路径的假设下，通过求解具有时变参数的线性理性期望模型，可得到展开式中的高阶项。本文还提出了一种基于后向递归的方法，用于求解具有时变参数的线性理性期望模型的一般系统，并确定了该方法的解存在的条件。1简介宏观经济学中的摄动方法用于将确定性稳态的精确解展开为状态变量的幂，并用一个小参数来衡量经济中的不确定性。基于泰勒级数展开的解本质上是局部的，即它们在确定性稳态的某个邻域（可能很小）内是精确的。在社区之外，这些解决方案可能表现出奇怪的行为，例如，可能意味着爆炸性动力学（Kim等人，2008年）。

微扰法的另一个问题是，对于非平凡模型，我们不知道邻域必须有多小才能达到给定的精度水平。最近的危机重新引起了人们对为DSGE模型提供全局解的方法的兴趣，即某些点远离稳态的解。这可能发生在经济遭受巨大冲击之后，或者如果初始条件远离稳定状态，这种情况的例子是转型经济体和发展中经济体。本研究提出了一种基于摄动技术的方法来构造DSGE模型的全局解。建议的解决方案被表示为一个小参数σ的幂级数，该参数标度冲击的协方差矩阵。零阶近似对应于确定性模型的解，因为所有冲击在σ=0时消失。对于大尺寸模型，通过有效的数值方法7可以合理快速地获得确定性模型的全局解（Hollinger，2008）。因此，在已知给定初始条件下确定性模型的解的情况下，实现该方法的下一阶段。高阶系统只依赖于低阶的数量，因此它们可以递归求解。这些系统的同质部分对于所有阶都是相同的，并且取决于确定性解。因此，每个系统都可以表示为一个具有时变参数的理性期望模型。

对于参数恒定的理性预期模型，可以分离并向前求解稳定的方程组。被广泛使用的软件（如Dynare（和Lessavaailable Troll）中包含的算法可以找到叠加时间解，并基于牛顿方法和稀疏矩阵技术（Adjemian、Bastani、Juillard、Karam’e、Mihoubi、Perendial、Pfeifer、Ratto和Villemot，2011）。这对于具有时变参数的模型是不可能的。本文的另一个贡献是提出了一种求解具有时变参数的线性理性期望模型的一般系统的方法，并确定了该方法的解存在的条件。该方法首先通过使用反向递归找到有限的水平解。接下来，我们证明了当视界趋于一致时，有限视界解接近于一个极限解，该极限解在所有正时间都是有界的。所提出的求解具有时变参数的线性理性预期模型的方法本身可能有价值，例如，对于求解具有预期结构和政策变化的模型。请注意，当确定性解是全局状态变量时，SSO就是随机问题的近似解。同时，如果参数σ足够小，则得到的解接近于确定性解。因此，我们将这种方法称为半全球性。为了说明该方法的工作原理，我们将其应用于Burnside（1998）的资产定价模型。模型的简单性允许以分析形式获得近似值。

我们比较了半全局方法的二阶解与二阶和六阶局部泰勒级数展开的策略函数（Schmitt Groh’e和Uribe，2004）。结果表明，半全局解在某种意义上甚至比局部泰勒展开的六阶解更精确。这篇论文对使用微扰技术求解DSGE模型的文献越来越多。Judd及其合著者在Judd（1998）中提出了非经济学的摄动方法；加斯帕和贾德（1997）；贾德和古（1997）。Jin和Judd（2002）为在DSGE建模中使用摄动方法提供了理论基础；也就是说，应用隐函数定理，他们证明了扰动理性期望解连续依赖于一个参数，因此当参数趋于零时，它趋于确定性解。几乎所有的文献都与稳态近似有关，如Collard和Juillard（2001）；施密特·格罗赫，安杜里韦（2004）；Kim等人（2008年）；Gomme和Klein（2011年）。Lombardo（2010）、Lombardo和Uhlig（2014）利用σ的级数展开为修剪方法提供了理论基础（Kim等人，2008），其目的是避免解决方案的爆炸性行为。Andreasen、Fern’andez Villaverde和Rubio Ramrez（2013）开发了高阶近似的相同方法。Lombardo和Uhlig的方法可以被视为当前研究中提出的方法的一个特例，即仅在稳态下使用展开式的确定性解。这两种方法都基于应用数学中使用的微扰方法（Nayfeh（1973）和Holmes（2013））。

该方法的优点是将一个解展开为一系列小参数的幂，从而得到一组可以粗略求解的问题。人们认为，每一个问题都比原来的问题更容易解决。实际上，在应用数学文献（Nayfeh（1973）和Holmes（2013））中，零级近似通常是时间t的函数，而不是Lombardo（2010）、Lombardo和Uhlig（2014）以及Andreasen、Fern’andez Villaverde和Rubio Ramrez（2013）中的稳态。Judd（1998，第13章）概述了如何在已知的整个解（不一定是稳态）周围应用扰动。他在dynamicprogramming框架中考虑了一个简单的连续时间随机增长模型。本文提出了一种利用摄动法在全局确定性路径上构造离散时间DSGE模型一般形式近似解的方法。尽管剪枝过程避免了解决方案的爆炸性行为，但它仍然是局部的，因此可能具有一些不需要的特性。例如，修剪程序可能会在足够大的冲击下，为最初的几个脉冲响应提供错误的信号。这种情况似乎比爆炸动力学更糟，因为前几个时期的脉冲响应最有趣，与amodel的理论含义以及政策分析最相关；因此，他们的错误迹象可能会误导研究人员或决策者。在这种情况下，修剪程序掩盖了真正的问题。正如我们将在示例中展示的那样，即使在不需要修剪的情况下，脉冲响应符号错误的问题也可能发生。论文的其余部分组织如下。下一节介绍模型设置。第3节详细介绍了SGE模型的系列扩展。

在第4节中，我们将模型转换为便于处理的形式。第5节介绍了求解时变参数有理期望模型的方法。第6节将所提出的方法应用于anasset定价模型，并与localTaylor级数展开式进行了比较。结论见第7.2节。ModelDSGE模型通常具有以下形式：ETF（yt+1，yt，xt+1，xt，zt+1，zt）=0，（1）zt+1=∧zt+σεt+1，（2）其中ETF表示条件期望算子，xt是包含t周期内生状态变量的nx×1向量；是一个ny×1向量，包含非状态变量的t周期内生变量；ZT是一个包含t周期外生状态变量的nz×1向量；ε是具有相应创新的向量；以及nz×nz协方差矩阵Ohm; f将Rny×Rny×Rnx×Rnx×Rnz×rnzin映射到Rny×Rnx，并假定为完全光滑。标量σ（σ>0）是扰动项εt的标度参数。我们假设εt的所有混合矩都是有限的。矩阵∧的所有特征值的模都小于1。问题是在给定的初始条件（x，z）下找到一个稳定的解（xt，yt）到（1）。如果一个过程的无条件期望是有界的，那么它是稳定的（克莱因，2000）。1一般情况在本节中，我们将遵循应用数学中使用的摄动方法（例如，参见Nayfeh（1973）和Holmes（2013））来推导模型（1）-（2）的近似解。对于小σ，我们假设解有一种特殊形式的展开式yt=y（0）t+σy（1）t+σy（2）t+·3）xt=x（0）t+σx（1）t+σx（2）t+·4。外生过程zt也可以用σzt=z（0）t+σz（1）t的展开式表示。

（5） 按照应用数学文献中的惯例（例如，见Holmes（2013）），在这个阶段，展开式的每一项都不会被阶乘项所除。事实上，将（5）插入（2）给出szt+1=z（0）t+1+σz（1）t+1=∧（z（0）t+σz（1）t）+σεt+1。收集σ的类似幂项，并将它们等于零，我们得到z（0）t+1=∧z（0）t，（6）z（1）t+1=∧z（1）t+εt+1。（7） 由于展开式（5）在初始时间t=0时必须对所有σ有效，因此初始条件为z（0）=zand z（1）=0。（8） 值得注意的是，与Lombardo和Uhlig（2014）相比，y（0）t=\'\'y和x（0）t=\'x是稳态，这里的x（0）和y（0）皮重函数是一个确定的问题解决方案，如下所示。这样，修剪过程总是在稳态附近局部进行，而我们关注的是x（0）和y（0）皮重为全局的情况。然后将（3）、（4）和（5）代入（1），我们得到了（y（0）t+1+σy（1）t+1+σy（2）t+1+·t（0）t+σy（1）t+σy（2）t+σy（2）t+·x（1）t+1+σx（2）t+1+·x（0）t+σx（1）t+σx（2）t+·z（0）t+1+z+1）＝t+0。（9） 将（9）的左侧展开为小σ，收集σ的类幂项，并将它们的系数设置为零，我们得到σf（y（0）t+1，y（0）t，x（0）t+1，x（0）t，z（0）t+1，z（0）t）=0的系数。（10） （4）和（5）必须适用于所有任意小σ的要求意味着（10）的初始条件是z（0）=zand x（0）=x。（11）y（0）的终端条件∞和x（0）∞是确定性稳态（0）∞= y和x（0）∞= \'-x.（12）方程组（6）和（10）是一个确定性模型，因为它对应于模型（1）和（2），其中所有冲击消失（因此，我们省略了（10）中的期望算子）。

分别具有初始和终端条件（11）和（12）的确定性模型（6）和（10）可以通过许多有效算法全局求解，例如扩展路径法（Fair和Taylor（1983））或类牛顿法（例如Juillard（1996））。由于这项研究主要关注的是随机模型，在接下来的研究中，我们假设确定性模型已经求解，并且其解是已知的。σEt系数f1，t·y（1）t+1+f2，t·y（1）t+f3，tx（1）t+1+f4，tx（1）t+f5，tz（1）t+1+f6，tz（1）t= 0.（13）矩阵fi，t=fiy（0）t+1，y（0）t，x（0）t+1，x（0）t，z（0）t+1，z（0）t, i=1，6是映射f关于第i个参数的雅可比矩阵（分别是yt+1、yt、xt+1、xt、zt+1和zt）y（0）t+1，y（0）t，x（0）t+1，x（0）t，z（0）t+1，z（0）t. （4）和（5）必须对所有任意小σ保持不变的要求意味着（13）的初始条件是z（1）=0和x（1）=0。（14） σn的系数，n>1Etnf1，t·y（n）t+1+f2，t·y（n）t+f3，t·x（n）t+1+f4，t·x（n）t+η（n）t+1o=0。（15） （4）必须对所有任意小σ保持的要求意味着（15）的初始条件是x（n）=0。（16） 方程组（15）的一个很好的特点是，线性非齐次部分fi，对于所有n>0的情况都是相同的。这种差异只存在于非齐次项Etη（n）t+1中，这是一些参数集仅包含小于n阶数的映射y（0）t+1，y（0）t，x（0）t+1，x（0）t。

，y（n）-1） t+1，y（n）-1） t，x（n）-1） t+1，x（n）-1） t，z（0）t+1，z（0）t，z（1）t+1，z（1）t.特别地，对于n=1，2，我们有η（1）t+1=（f5，t∧+f6，t）z（1）t，和η（2）t+1=Etf11，ty（1）t+1+f22，ty（1）t+f33，tx（1）t+1+f44，tx（1）t+f55，tz（1）t+1+f66，tz（1）t+ （1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t+f15）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t+1）t（1）t（1）t+f15）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t+f15）t（1）t（1）t（1）t（1）t（1）t）t（1）t（1）t（1）t+1）t（1）t（1）t）t+1）t（1）t（1）t+1）t（1）t（1）t+1）t+1）t（1）t）t（1）t（1）t（1）t+1）t）t）t tx（1）tz（1）t+1+f46，tx（1）tz（1）t+f56，tz（1）t+1z（1）t,（17） 分别；其中fij，t，i=1，6，j=1，6，表示二阶ftof对该点的第i个和第j个参数的混合偏导数y（0）t+1，y（0）t，x（0）t+1，x（0）t，z（0）t+1，z（0）t. （18） 换句话说，fij是一个双线性映射（例如，见Abraham、Marsden和Ratiu（2001年，第55页）），取决于向量（18）（因此也取决于t）。如果z（1）t+1的所有条件混合矩都有界，且向量（18）都有界，则期望Etη（n）t+1是有界的≥ 具有初始条件（16）的方程（15）是一个具有时变参数的线性理性预期模型，且有界于非齐次项Etη（n）t+1。求解问题（15）–（14）相当于在已知所有小于n阶问题的有界解的前提下，找到t>0的富足解（x（n）t，y（n）t）。