一类带约束的最优执行问题的理论与数值分析

在这种情况下，如果没有MI，那么风险中性的交易者将担心预期股价的下跌，因此将在开始时立即清算所有资产。我们考虑与液化速度有关的对数线性和对数二次MI函数，并假设伽马分布噪声；也就是说，g（ζ）=αζpforα>0，p=1,2，以及ltsatifiesp（Lt- γt∈ dx）=γ（αt，β）（dx）：=Γ（αt）（β）αtxαt-1e-x/β（0，∞)（x） dx，其中Γ（x）是伽马函数。这里，α、β和γ>0是常数。校正的L’evy测量值是ν（dz）=αze-z/β（0，∞)（z） dz。注意，对于[8]中研究的离散时间模型，我们可以将相应的离散时间MI函数定义为gnk（ψ）=cnkgn（ψ），其中gn（ψ）=np-1αψpand（cnk）kis是分布为p（cnk）的i.i.d.随机变量序列- γ ∈ dx）=γ（α/n，nβ）（dx）。在每种情况下，[8]中的假设[A]、[B1]-[B3]和[C]都是满足的。8石谷健介和加藤隆史5。1.对数线性影响和伽马分布。在这一小节中，我们设置g（ζ）=αζ（p=1）。定理3.2直接暗示了以下内容：定理5.1。我们有vt（w，~n，s；uRN）=w+1- E-每t的γαγαs（5.1）∈ （0,1]和（w，~n，s）∈ D.该结果的含义与[10]中的相同：（5.1）的右侧等于Ju（w，~n，s），并将es转化为w+~ns作为α↓ 0或γ↓ 0，这是通过在t=0时选择块液稀释的执行策略确定的。因此，本案例中的最佳策略是，在t=0时，在一个非常短的时间内，将所有股份分成一部分进行清算（我们称这种策略为初始阶段的近整体清算）。请注意，MI（2.2）的跳跃部分不影响Vt（w，~n，s；uRN）的值。5.2。对数二次冲击和伽马分布。接下来我们研究g（ζ）=αζ（p=2）的情况。

在[10]中，我们得到了问题的部分解析解：当φ足够小或足够大时，我们得到了m个最优策略的解。然而，MI中的噪声使问题复杂化，而导出显式解则更加困难。因此，我们依赖于数值模拟。在交易者是风险中性的假设下，我们可以假设非最优策略是确定性的。这里，我们介绍以下附加条件：[D]γ≥ αβ/8.事实上，我们可以用确定性控制问题mf（t，~n）=sup（ζr）rZtexp来代替优化问题-Zrq（ζv）dvζrdr对于在上述假设下运行的终止过程（ζr），其中q（ζ）=u+^g（ζ），^g（ζ）=γαζ+α对数（αβζ+1）。这就给出了以下定理：定理5.2。Vt（w，~n，s；uRN）=w+sf（t，~n）在[D]下。这个定理是通过使用伽马分布的拉普拉斯变换得到的，与[10]中的命题N5.1类似：E[E]-λcnk]=exp-γλ -αnlog（nβλ+1）.从定理5.2和（2.3）出发，我们导出了函数f的HJB方程tf+~uf- supζ≥0ζ1.-~nf- ^g（ζ）f= 0（5.2）具有不确定市场影响的最优执行9，边界条件f（0，ν）=f（t，0）=0。（5.3）当γ≥ α/2，函数^g变得凸，因此我们可以应用[10]中的定理3.3和3.6来证明以下命题：5.3上的命题。假设γ≥ α/2. 那么f（t，~n）是（5.2）的粘度溶液。此外，如果f是（5.2）和（5.3）的粘度溶液，且具有多项式增长率，则f=~f。很难获得（5.2）和（5.3）溶液的m的显式表达式。

相反，我们通过考虑离散时间模式l中的确定性控制问题fn[nt]（ν）来数值解决这个问题，对于足够大的n:fnk（ν）=sup（ψnl）k-1l=0[0，ψ]k，Plψnl≤~nk-1Xl=0ψnlexp-u×ln-lXm=0Im！，Im=nγα（ψnm）+αnlog（nαβ（ψnm）+1）。注意，收敛极限→∞[8]的定理2.3保证了fn[nt]（ν）=f（t，ν）。我们对每个参数进行如下设置：α=0.01，t=1，μ=0.05，w=0，s=1，n=500。我们研究了三种模式，分别为，=1，10和100.5.2.1。固定γ的情况。在本小节中，我们将γ设为1，以检查MI中噪声的形状参数α的影响。这里，我们还设置了β=2。如[10]中的数值实验所示，最优策略的形式根据φ的值而变化。因此，我们分别总结了每项研究的结果。图1显示了在φ=1的情况下，证券持有的最优策略（ζr）及其相应过程（φr）的图表，也就是说，证券的初始share数量很小。如[10]所示，如果MIF函数中没有噪声（即，如果α=0），则最佳策略是以相同的速度出售全部金额（请注意，图1左图角落处的圆度表示离散化误差，而不是本质误差）。在α=1的情况下也发现了同样的趋势，但在这种情况下，执行时间比α=0的情况下更长。当我们取α=3时，情况完全不同。在这种情况下，最佳策略是随着时间范围的接近提高执行速度。当证券持有量为10时，其大于φ=1的情况，最优策略和证券持有的相应过程如图E2所示。

在这种情况下，交易者的最佳策略是在交易时间接近尾声时提高执行速度，这与α=3时的情况相同。早期，α值越大，执行速度越快，越接近时间范围。我们应该补充一点，当α=3时，交易者无法完成清算。然而，如第3节所述，通过结合图2（α=3）中的执行策略和终端（接近）区块清算，我们可以从ASO中选择接近最优的策略，而不改变清算预期收益的价值。详见[10]第5.2节。10 KENSUKE ISHITANI和TAKASHI Katowi当证券持有量太大时，如在φ=100的情况下，无论α的值如何，交易方都无法完成清算，如图3所示。这类似于α=3的情况下φ=10。在时间范围内，剩余的证券份额较大，因为MI的噪音较大。注意，通过将策略与终端（几乎）整体清算相结合，交易者也可以在不降低利润的情况下出售证券的所有股份。       !“#$%&\'（）*+，/0 123 456 789:；<=>？@A BCDE fghi图1.固定γ情况下的结果.左：最优策略ζr.右：证券持有量*r.JKLMNOPQRSTU VWX YZ[\\]^ abcdef ghij klmnopqrstuvwx y z{124;}”    图2。在固定γ的情况下，φ=10的结果。左：最优策略ζr。右：证券持有量ηr。   ! clb ¤ yen| §¨(c)a<<not如图3所示。在固定γ的情况下，φ=100的结果。左图：最优策略ζr。右图：证券持有量ηr。不确定市场影响的最优执行115.2.2。固定γ的情况。

在上面的小节中，我们介绍了一个数值实验，用以比较参数α和γ的影响。这里，我们从不同的角度进行数值比较。第4节中的结果表明，考虑MI中的不确定性将导致风险中性交易对流动性风险的估计产生乐观。为了获得更深入的了解，我们更详细地研究了MI函数的结构。在理论ems 2.1（ii）和5.1中，重要参数是γ，它位于小于或等于toE[L]的陆地范围内。我们可以将其解释为一种非特征性特征，即（几乎）块体清算消除了（Lt）t的正跳跃效应。然而，LtsuchthatLt=~γt+ZtZ（0，∞)zN（dr，dz），其中γ由（4.1）和N（dr，dz）=N（dr，dz）给出- 从鞅理论的观点来看，这种表示是必要的。这里，~N（·，·）是N（·，·）的补偿器，~γ可以被视为MI中噪声的“期望值”。仅对于第4节中研究的风险中性世界（其中交易者是风险中性的），我们可以将我们的模型与[10]中的确定性MIF函数的情况进行比较，方法是设置|γ=1。在此基础上，我们进行了另一个数值实验，其常数为∧γ。请注意，在我们的例子中，γ=γ+αβ（5.4）和tvarztz（0，∞)z~N（dr，dz）！=αβ（5.5）保持。这里，（5.4）（分别，（5.5））对应于单位时间MI函数中噪声的平均值（分别为方差）。本小节中的比较是在以下假设下进行的：我们将参数β和γ设置为满足γ+αβ=1，αβ=0.5。我们检查了α=0.5和1的情况，并将它们与γ=1和α=0的情况进行比较。图4显示了φ=1的情况，其中交易者持有少量证券。

与第5.2.1节的情况相比，所有优化策略的形式都是相同的；也就是说，交易者应该以相同的速度卖出全部金额。α>0的执行时间比α=0的执行时间略短。图5c对应于φ=10的情况。最优策略的形式类似于第5.2.1节中的φ=10，α=0，1的情况。显然，在时间范围内的执行速度随着α的增加而增加。在图6中显示了φ=100的结果。优化策略的形式类似于第5.2.1节中φ=100的cas e。然而，与上一小节中的12 KENSUKE I*****ANI和TAKASHI KATOto的结果相比，时间范围内证券的剩余股份数量较小，α越大。最后，我们调查了[9]中引入的MI总成本（这基本等同于实施不足（is）成本[2,17]）：TC（~n）=-lo gVT（0，~n，s）~ns。如本节开头所述，当市场完全流动且不存在MI时，则在t=0 a时，清算证券的股份的总收益重新等于νs。然而，在存在MI的情况下，最优的总过程减少到VT（0，~n，s）=νs×exp(-TC（~n））。因此，总MI成本TC（~n）表示风险中性世界中MI造成的损失率。图7显示了在φ=1和10的情况下的MI总成本。这里，我们省略了φ=100的情况，因为证券的份额太大，无法完成清算，除非结合终端区清算（这可能会使市场崩溃）。在φ=1和10的情况下，我们发现总MI成本随着α的增加而降低。由于噪声inMI的预期值γ为x，α的增加意味着γ和β的减少。

风险中性的交易者似乎对参数γ比α更敏感，因此交易者可以在不考虑MI中噪声的波动性的情况下清算证券。因此，rα>0的总MI成本低于α=0.6的总MI成本。在本文中，我们利用[8]中导出的模型研究了一个具有不确定MI的最优执行问题。我们在第2节和第3节中讨论的主要结果与[10]中几乎相同。考虑MI的不确定性时，有两种典型的MI“水平”气压计：γ和γ。通过使用参数γ，我们可以将MI分解为非终止部分γg（ζt）dt和纯跳跃部分g（ζt）R（0，∞)zN（dt，dz）。然后，纯跳跃部分可以被视为与[10]中研究的确定性MI案例的差异。另一方面，如第4节和第5节所述，参数γ不仅在鞅理论中很重要，而且在风险中性的世界中也很重要。研究γ还提供了一些关于实际交易实践的提示。考虑到我们是否将不确定性纳入MI，这可能会导致风险中性交易者的MI时间不足。在风险厌恶的世界中研究MI中不确定性的影响也很有意义。如第3节所述，当MI函数的确定性部分是线性的时，MI中的不确定性不会显著影响交易者的行为，即使交易是规避风险的。在未来的工作中，我们将研究非线性MI的情况。明确引入交易量过程是另一个重要的概括。在一些关于成交量加权平均价格（VWAP）滑动优化问题的研究中，交易量过程被引入随机过程。例如，[6]研究了VWAP执行策略的跟踪误差最小化问题（有关VWAP执行策略的定义，请参见[1]。

在[6]中，累积交易量过程被定义为伽马过程。具有不确定市场影响的最优执行130.51.52.50.0 0.2 0.4rα1=0α1=0.5α1=10.10.20.30.40.50.60.70.80.90.0 0.2 0.4rα1=0α1=0.5α1=1图4。在固定的γ的情况下，φ=1的结果。左图：最优策略ζr。右图：证券持有量ηr.0.0.2 0.4 0.6 0.8rα1=0α1=0.5α1=10.0 0.2 0.4 0.6 0.8rα1=0α1=0.5α1=1图5。在固定的γ的情况下，φ=10的结果。左图：最优策略ζr。右图：证券持有量ηr.0.0.2 0.4 0.6 0.8rα1=0α1=0.5α1=10.0 0.2 0.4 0.6 0.8rα1=0α1=0.5α1=1图6。对于固定的γ，结果为φ=100。左图：最优策略ζr。右图：证券持有量ηr.14石谷健介和加藤隆史图7。风险中性交易的总MI成本TC（~n）：在Ф=1的情况下。右图：在φ=10的情况下。水平坐标表示伽马分布的形状参数α。此外，[11]还处理了一个广义Almgren–Chriss模型，使得时间MI函数依赖于瞬时交易量过程，并表明风险中性交易者的最佳执行策略实际上是VWAP执行策略。由于交易量过程是不可观测的，我们可以将其视为MI函数不确定性的来源。因此，研究MI功能受交易量影响的情况是我们的重点。最后，在我们的设置中，MI函数在时间上是固定的，但在realmarket中，MI的特性会随着时区的变化而变化。因此，研究MI函数不是时间齐次函数的情况是有意义的。这是未来工作的另一个主题。7.证明首先回顾[8]中的so me引理。引理7.1。让Γk（k）∈ N） 准备好了吗∈ C、 和let（Wi（k，γ），νi（k，γ），Si（k，γ））∈D（γ）∈ Γk，k∈ N、 i=1，2）可以是随机变量。

假设是那样→∞supγ∈ΓkE[|W（k，γ）- W（k，γ）|m+|~n（k，γ）- |（k，γ）|m+|S（k，γ）- S（k，γ）|m]=0和xi=1supk∈Nsupγ∈ΓkE[|Wi（k，γ）|m+（Si（k，γ））m]<∞对于一些m，m，m>0和m>mu，其中mui如（1.1）所示。然后我们有了Limk→∞supγ∈ΓkE[u（W（k，γ），ν（k，γ），S（k，γ））]-E[u（W（k，γ），ν（k，γ），S（k，γ））]= 0.具有不确定市场影响的最优执行15引理7.2。设Z（t；r，s）=exp（Y（t；r，logs））和^Z（s）=sup0≤R≤1Z（r；0，s）。然后，对于每一个m>0，有一个常数Cm，K>0仅取决于K和msuch，即E[^Z（s）m]≤ Cm，Ksm，其中K>0是一个常数，出现在（1.4）中。引理7.3。让（Xk，ir）r∈[0,1]，i=1,2,k∈ N、 满足xk，ir=xk，i+Zrb（xk，iv）dv+Zrσ（xk，iv）dBv+Fk，ir，R∈ [0,1]，有了xk，我∈ R表示i=1、2和k∈ N、 其中（Fk，ir）稀有（Fr）r适应有界变异过程，且∏k [0,1]，k∈ N、 是波雷尔的集合。此外，假设（i）：xk，1- xk，2-→ 0，k→ ∞,（二）林克→∞nDk+RDkrdro=0，其中dkr=E“supv∈ πk（r）| Fk，1v- Fk，2v |#，∏k（r）=（[0，r]∩ πk）∪ {r} 。然后它认为supv∈ πkXk，1v- Xk，2v-→ 0，k→ ∞.引理7.4。让我们∈ [0, 1], φ ≥ 0，x∈ R、 （ζR）0≤R≤t、 （ζ′r）0≤R≤T∈ 在（~n）和假设（Xr）0处≤R≤t（resp.，（X′r）0≤R≤t） 由（1.3）和（ζr）r（分别，（ζ′r）r）和X=X给出≤ X′。S上升ζr≤ ζ′Rf适用于任何r∈ [0，t]几乎可以肯定。然后≥ 对于任何r∈ [0，t]几乎可以肯定。7.1. 定理2.1的证明。（w，~n，s）中的连续性可以用与之前研究[10]中相同的方式很容易证明，因此我们将重点放在t中的连续性上（一致地放在D的任何紧致子集上）。首先，我们证明了以下引理：引理7.5。假设h(∞) = ∞. 那么，无论如何∈ [0, 1], φ ∈ [0，Φ]和（ζr）0≤R≤T∈ 在（~n），EhZrexp-Zvg（ζv′）dLv′ζvdvi≤ φ（r），r∈ [0，t]，（7.1）式中φ（r），r∈ （0，1]是一个仅依赖于函数h（ζ）和Φ的连续函数，因此limr→0φ（r）=0。引理7.5的证明。我们可以假设∧γ>0。

设πr=Rrg（ζv）dLvandτr=inf{v∈ [0，t]；πv>R}∧ r换r∈ （0，t]和R>0。自（πv）减粘和（exp(-πv-)ζv）相对于左连续，我们有(-πv）ζvdvi≤EhZrexp(-πv-)ζvdvi=＠γEhZrexp(-πv-)ζvdLvi≤γEhZ（τR+ε）∧rζvdLvi+e-R~γEhZr（τR+ε）∧rζvdLvi（7.2）16石谷健介和加藤隆志∈ （0，t），R>0和ε>0。利用（ζv）v的左连续性，我们得到-R~γEhZr（τR+ε）∧rζvdLvi≤E-R~γEhZrζvdLvi=e-RZrE[ζv]dv≤ Φe-R.将（7.2）右侧的第一项改写为γEhZ（τR+ε）∧rζvdLvi=rEhZrζv[0，τr+ε]（v）dLvγri。（7.3）由于g（ζ）是凸的且（＠γr）-1dLv（ω）P（dω）是（[0，r]×上的概率测度Ohm, B（[0，r]） F） 我们应用Jensen不等式得到EhZrζv[0，τR+ε]（v）dLvγri≤EhZrg（ζv[0，τR+ε]（v））dLvγri=E[π（τR+ε）∧r] 把它和（7.3）结合起来，我们得到∧γEhZ（τr+ε）∧rζvdLvi≤ rg-1.E[π（τR+ε）∧r] γr,g在哪里-1（y）：=sup{ζ∈ [0, ∞) ; g（ζ）=y}，y≥ 0.自从Rvζv′dLv′vand（πv）vare右连续，g-1（y）是y上的连续函数∈ [0, ∞), 我们有∧γEhZτRζvdLvi≤ limε→0rg-1.E[π（τR+ε）∧r] γr= rg-1.E[πτR]~γR≤ rg-1.R~γR.总结以上论点，我们得出结论Zrexp(-πv）ζvdv≤ rg-1.R~γR+ Φe-R.因此，如果我们能找到满足R的正函数R（R）-→ ∞ 和rg-1.R（R）～γR-→ 0作为r→ 我们完成了（7.1）的证明。为了构造这样一个R（R），模仿[10]中引理B.12的证明，我们定义（R）=γrg（M（R）），M（R）=f-1.R, f（ζ）=ζshζ, r>0，其中逆函数f-1（y）的定义方式与g相同-1（y）。我们可以通过与[10]中相同的参数轻松验证（7.4）。以下命题可以通过与[10]中的定理M3.1（ii）相同的证明，结合L emma 7.5和命题2.3来证明。7.6的提议。作为s ume h(∞) = ∞. 那么对于任何紧集E D、 极限↓0sup（西、西、南）∈E | Vt（w，|，s；u）- u（w，ν，s）|=0。接下来我们考虑h(∞) < ∞.