一类带约束的最优执行问题的理论与数值分析

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英文标题：
《Theoretical and Numerical Analysis of an Optimal Execution Problem with
  Uncertain Market Impact》
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作者：
Kensuke Ishitani and Takashi Kato
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper is a continuation of Ishitani and Kato (2015), in which we derived a continuous-time value function corresponding to an optimal execution problem with uncertain market impact as the limit of a discrete-time value function. Here, we investigate some properties of the derived value function. In particular, we show that the function is continuous and has the semigroup property, which is strongly related to the Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequality. Moreover, we show that noise in market impact causes risk-neutral assessment to underestimate the impact cost. We also study typical examples under a log-linear/quadratic market impact function with Gamma-distributed noise.
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中文摘要：
本文是Ishitani和Kato（2015）的延续，在这篇文章中，我们推导出了一个连续时间价值函数，对应于一个最优执行问题，该问题具有不确定的市场影响，作为离散时间价值函数的极限。这里，我们研究了派生值函数的一些性质。特别地，我们证明了该函数是连续的，并且具有半群性质，这与Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式密切相关。此外，我们还表明，市场影响中的噪声会导致风险中性评估低估影响成本。我们还研究了伽马分布噪声对数线性/二次市场影响函数下的典型例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Theoretical_and_Numerical_Analysis_of_an_Optimal_Execution_Problem_with_Uncertai.pdf (472.85 KB)

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关键词：数值分析 Continuation Optimization Quantitative agent-based

具有不确定性市场影响的非最优执行问题的理论和数值分析。本文是[8]的延续，其中我们导出了一个连续时间值函数，对应于一个具有不确定市场影响的最优执行问题，作为离散时间值函数的极限。这里，我们研究了导出值函数的一些性质。特别地，我们证明了该函数是连续的，并且具有半群性质，这与Hamilton–Jacobi–Bellman拟变分不等式密切相关。此外，我们还表明，市场影响中的噪声会导致风险中性评估低估影响成本。我们还研究了伽马分布噪声下线性/二次市场影响函数的典型例子。1.引言和[8]中的模型，我们导出了一个与具有不确定市场影响（MI）的最优执行问题相对应的连续时间值函数，作为离散时间值函数的极限。本文研究了价值函数的一些数学性质，并从数学金融的角度给出了解释。首先，我们回顾[8]中推导的连续时间值函数。用c表示非递减、非n负和连续函数的集合u o n D:=R×[0，Φ]×[0，∞), Φ>0固定，使得u（w，ν，s）≤ Cu（1+| w | mu+smu），（w，|，s）∈ D（1.1）对于某些常数Cu，mu>0。对于t∈ [0,1]，（西，西，南）∈ D和u∈ C、 定义（w，ν，s；u）=sup（ζr）r∈根据todWr=ζrSrdr，dаr=-ζrdr，dXr=σ（Xr）dBr+b（Xr）dr- g（ζr）dLr，（1.3）Sr=exp（Xr）2010年数学学科分类。初级91G80；中学93E20，49L20。关键词和短语。

最佳执行、市场影响、流动性不确定性、L’evy流程。*这项工作得到了曾金经济与金融研究基金会的资助。2石谷健介和加藤隆志（W，а，S）=（W，а，S），其中（Br）0≤R≤1是一个标准的一维布朗运动，定义在一个完整的概率空间上(Ohm, F、 P）和（Lr）0≤R≤1是定义在同一概率空间上的一维非递减L’evy过程（s ubo坐标）。（注意V（w，~n，s；u）=u（w，~n，s）假设（Br）兰德（Lr）稀有独立。进一步假设σ，b:R-→ R是满足|σ（x）的Lipschitz连续有界函数- σ（y）|+|b（x）- b（y）|≤ K | x- y |，|σ（x）|+|b（x）|≤ K、 x，y∈ R（1.4）对于一些K>0，和g:[0，∞) -→ [0 , ∞) 是由g（ζ）=Zζh（ζ′）dζ′定义的函数，其中h:[0，∞) → [0, ∞) 是一个非递减的连续函数。在（ν）处是（Fr）0的集合≤R≤t适应和caglad过程（即，对于任意r值，左连续且右限有限的过程）ζ=（ζr）0≤R≤tsuch那ζr≥ 0 foreach r∈ [0，t]，Rtζrdr≤ |几乎肯定，和| |ζ||∞:= sup（r，ω）∈[0，t]×Ohmζr（ω）<∞, （1.5）式中Fr=σ{Bv，Lv；v≤ r}∨ {Null s ets}。（1.5）中的上确界e是[0，t]中所有值的取值Ohm. 如[8]所述，我们可以使用（1.5）中的本质上确界来代替上确界。我们假设（Lr）rsatis fies | | |ν| | |+| |ν|∞, （1.6）其中| |ν| | p=R（0，∞)zpν（dz）1/p.注意，f（Lr）的L′evy分解r=γr+ZrZ（0，∞)zN（dv，dz），（1.7）式中γ≥ 0和N（·，·）是泊松随机测度（例如，se e，[16,18]）。这里，我们将介绍这些符号的财务解释。我们考虑了一个简单的市场模型，其中只有两种金融资产进行交易：现金和证券。假设一个交易者在时间t之前出售（清算）证券的所有股份。

还假设现金价格始终为1（换句话说，无风险利率为0），并且证券价格因市场噪音和交易员的销售而波动。C中的函数u被视为交易者的效用函数。因此，Vt（w，~n，s；u）是具有初始现金量w，初始股份的交易者预期效用的最高值∈ [0，Φ]，以及初始安全价格s。这里，Φ>0表示φa的上限，可以任意选择；（ζr）0≤R≤t确定交易者的执行策略；ζrde记录时间r的执行速度。交易者从at（~n）中选择一个可接受的执行策略，以优化三元组（Wt，νt，St）的预期效用，其中sr描述时间r的证券价格，Xris描述其日志价格；Wr表示r时的现金金额；以及r记录了r时的证券份额。三元组（Wr、r、Sr）的变化0≤R≤这一特征由（1.3）中具有不确定市场影响3方程的不同最优执行所体现。（Br）RRE表示反映证券价格波动的市场噪音的组成部分。术语g（ζr）dLr=γg（ζr）dr+g（ζr）Z（0，∞)zN（dr，dz）（1.8）描述了交易者以ζr的速度卖出的（微小的）MI。γ（resp.，g）表示MI的大小（resp.，形状）。因为g是非递减凸的，所以当ζris较大时，MI变大。（1.8）右侧的最后一项表示MI中噪声的影响，这在数学上由（Lr）r的跳跃来描述。在本文中，我们研究了连续时间值函数vt（w，~n，s；u）的一些性质。我们发现，值函数在（w，ν，s）中是连续的∈ D和t>0。此外，t=0时的右连续性取决于h的状态(∞) :=limζ→∞h（ζ）。特别是，MI中的噪声不会影响值函数的连续性。

我们还证明了Bellman原理（半群性质）适用于[10]中研究的确定性MI，并与结果进行了比较，还表明MI中的噪声导致风险中性评估低估了MI成本。这意味着，试图将预期清算成本降至最低的交易主管对MI中的不确定性不够敏感。最后，我们对[10]中的例子进行了概括，并通过数值实验研究了噪声对交易者最优策略的影响。我们考虑了一个具有伽马分布噪声的对数线性/二次MI函数的风险中性交易者执行问题。本文的其余部分按以下内容组织。在第2节中，我们给出了关于值函数性质的结果。在第3节中，我们考虑了交易者必须出售证券的所有股份的情况，这被称为“出售条件”我们还研究了卖方条件下的优化问题，并表明[10，第4节]中的结果也适用于我们的模型。第4节在风险中性框架下比较确定性MIs和随机（随机）MIs。第5节，我们给出了一些基于所提出模型的例子。我们在第6节总结了这篇论文。所有证据见第7.2节。值函数的性质关于连续时间值函数的连续性，我们有以下定理：定理2.1。

让你∈ C.（i）如果h(∞) = ∞, 则Vt（w，ν，s；u）在（t，w，Д，s）中连续∈ [0,1]×D.（ii）如果h(∞) < ∞, 那么Vt（w，ν，s；u）在（t，w，ν，s）中是连续的∈ （0，1]×D和vt（w，~n，s；u）在D-ast的任何紧子集上不一致地收敛到Ju（w，~n，s）↓ 0，其中Ju（w，ν，s）表示为（supψ）∈[0，~n]uw+1-E-γh(∞)ψγh(∞)s、 ~n- ψ、 se-γh(∞)ψ（γh）(∞) > 0），supψ∈[0，ψ]u（w+ψs，ψ）- ψ、 s）（γh(∞) = 0).备注2.2.4石谷健介和加藤隆史（i）定理2.1的断言也与[10]中的结果非常相似，这表明值函数的w、φ和s的连续性始终得到保证，但t在原点的连续性取决于函数h在单位的状态。当h(∞) = ∞, 大型销售问题的MI（g（ζ）与ζ迅速偏离→ ∞) 为了防止交易方进行即时清算：最佳策略是在最短时间内“禁止交易”，因此VT收敛到u a s t↓ 0.当h(∞) < ∞,值函数在t=0时并不总是连续的，并且具有正确的极限ju（w，魟，s）。在这种情况下，大型销售的MI不是特别强（g（ζ）仍然发散，尽管发散速度很低），并且在很短的时间内有清算的空间。Ju（w，ν，s）函数与交易者清算的效用相对应，交易者通过在很短的时间内将证券ψ的部分股份进行分割（充分说明证券价格的波动可以被察觉）来出售证券ψ的部分股份，并获得一笔金额-ψ; 也就是说，ζδr=ψδ[0，δ]（r），r∈ [0，t]（δ）↓ 0). （2.1）注意，与[8]中备注2.6中的论点类似，我们在证明的强度上比[10]中给出的证明有了显著提高，这是本文的主要数学贡献之一。详见第7节。（ii）注意跳跃部分g（ζr）Z（0，∞)zN（dr，dz）（2.2）不会改变结果。

还要注意，如果γ=0和h(∞) < ∞, 然后，MI的影响消失在Ju（w，~n，s）中。这种情况可能发生在威尼斯[cnk]≥ ε（矿石[L]≥ ε） 对于某些ε>0的情况。这里，我们介绍了贝尔曼原理（动态规划原理或“半群”性质）。让我们定义Qt:C-→ C由Qtu（w，~n，s）=Vt（w，~n，s；u）。然后我们可以很容易地证明QT是一个很好的非线性算子。与[10]中的定理3.2相同，它给出了以下命题：关于2.3的命题。对于每个r，t∈ [0,1]带t+r≤ 1，（西、西、南）∈ D和u∈ C、 它认为Qt+ru（w，~n，s）=QtQru（w，~n，s）。备注2.4。利用上述命题，我们可以在效用函数^D=R×[0]的广义域上，形式化地导出与我们的值函数对应的哈密顿n–雅可比–B埃尔曼（HJB）方程，∞) ×[0, ∞):tVt（西、西、南、南）- supζ≥0Lζv（w，w，s；u）=0（2.3）具有不确定市场影响的最优执行5，具有与[10]中（3.5）相同的边界条件，其中Lζv（t，w，ν，s）=Lζv（t，w，ν，s）-Lζv（t，w，а，s），Lζv（t，w，а，s）=^σ（s）sv（t，w，а，s）+b（s）sv（t，w，ν，s）+ζswv（t，w，а，s）-νv（t，w，ν，s）- γg（ζ）ssv（t，w，ν，s），~Lζv（t，w，ν，s）=Z（0，∞)内华达州（西、西、南）- v（w，а，se）-g（ζ）z）oν（dz）。（2.3）是一个偏积分微分方程（P IDE）。当Lζ≡ 0，也就是说，当没有跳跃时，[10]在一些附加技术条件下研究了（2.3）的唯一粘度溶液的值函数的特征。在一般情况下展示这些属性是一项更具挑战性的任务。

在这里，我们介绍了一些相关文献，而不是详细讨论（2.3）的可解性：在[7]中，研究了Black-Scholes型市场模型的L’evy版本中，与持久性和局部替代的最优投资/消费问题相对应的HJB方程解的存在性（即，值函数作为粘性解的特征化）和唯一性。参考文献[20]显示了脉冲和（规则）随机控制问题中出现的Hamilton–Jacobi–Bellman拟变分不等式（HJBQVIs）解的存在性和唯一性（这种情况下的存在性也在[15]中给出，没有详细的技术论证）。在[3]中，利用弱动态规划原理，研究了具有有限L’evy测度的L’evy过程下随机控制问题的一个值函数的特征，它是相应HJB方程的不连续粘性解。文献[5]研究了有界域上二阶非线性PID的强比较原理（与粘性解的唯一性密切相关）。在本节中，我们考虑了[10]中介绍的“出售条件”下的最优执行问题。交易者在初始时间持有一定数量的证券，并且必须在时间范围内全部清算。然后，可容许策略的空间被缩减为sot（~n）=（ζr）r∈ At（~n）；Ztζrdr=~n.我们定义了一个价值函数，其销售条件为byVSOt（w，ν，s；U）=sup（ζr）r∈连续、非递减和多项式增长函数U:R的ASOt（φ）E[U（Wt）]-→ R.以下定理类似于[10]中的定理4.1（我们省略了pro of，因为它几乎相同）：定理3.1。

VSOt（w，~n，s；U）=Vt（w，~n，s；U），其中U（w，~n，s）=U（w）。6石谷健介和高石胜定理3.1，我们发现，在连续时间模型中，销售条件不会导致价值函数的值发生变化。与[10]中的定理4.2类似，当g（ζ）为线性时，与[13]中的定理3类似的结果是：定理3.2。假设g（ζ）=αζ，表示α>0。（i） VSOt（w，k，s；U）=V k tw+1-E-γα/？γαs，e-γα~ns；U, 式中v k t（\'w，\'s；U）=sup（k r）r∈在（ν）E[U（Wt）]s.t.dSr=E时-γαаr^b（Sreγαаr）dr+e-γα^r^σ（Sreγα^r）dBr-Sr-dGr，dWr=eγανr- 1γαdSr，S=\'S，W=\'wandAt（~n）=(φ -Zrζvdv0≤R≤T（ζr）0≤R≤T∈ ASOt（φ）），Gr=ZrZ（0，∞)(1 - E-αζsz）N（ds，dz）。（ii）如果U为凹形且^b（s）≤ 0代表s≥ 0，然后是VSOT（w，k，s；U）=Uw+1- E-γα和γαs. （3.1）证据见第7.2节。注意，断言（ii）与[13]中的定理3相同，在这种情况下，我们还可以得到值函数的显式形式。（3.1）的右侧等于u（w，~n，s）=u（w）的Ju（w，~n，s），而VSOt（w，~n，s；u）=Vt（w，~n，s；u）的近似最优策略由（2.1）给出。这意味着，当考虑线性MI函数时，风险规避（或风险中性）交易者的带有负风险调整漂移的临时清算策略几乎与初始时的整体清算（即一次性出售所有股票）相同。4.风险中性框架下MI不确定性的影响本节的目的是调查MI功能中的噪声如何影响交易者。特别是，我们关注的是交易者是风险中性的情况，即u（w，~n，s）=uRN（w，~n，s）=w。注意，这种风险中性设置是执行问题研究中的非典型和标准假设（参见[1,4,9,11,12,14,19]）。首先，我们准备了一个执行问题的值函数和一个确定性MI函数，以与r和OM MI的情况进行比较。

通过将g（ζ）和ltg替换为|γg（ζ）和t，即（Xr）ris的SDE为dxr=σ（Xr）dBr+b（Xr）dr，使¨Vt（w，，s；u）与（1.2）中的相同- ~γg（ζr）dr，具有不确定市场影响的最优执行，其中~γ=E[L]=γ+Z（0，∞)zν（dz）。（4.1）第7.3节证明了以下命题：第4.1节的命题。我们有（西，西，南；瓮）≥\'Vt（西、西、南；瓮）。（4.2）这种支持立场表明，MI中的噪音是受欢迎的，因为它为风险中性交易者降低了流动成本。例如，我们考虑这样一种情况：交易员根据历史数据估计MI函数，并试图最小化预期清算成本。然后，交易者对MI波动风险的敏感性越高，清算费用收益的估计值就越低。这意味着，适应MI中的不确定性使得交易者容易低估清算成本。因此，只要交易者的目标是预期成本，MI的不确定性就不会激励他们对不可预测的流动性风险保持保守。在第5节中，我们给出了模拟上述现象的数值实验结果。5.示例在本节中，我们展示了我们模型的两个示例，它们都是[10]中示例的推广。基于Bla-ck–Scholes型市场模型，我们假设b（x）≡ -u和σ（x）≡ σ对于某些常数u，σ≥ 0，并假设|u：=u-σ/2为正。我们还假设是一个风险中性交易者，其效用函数u（w，ν，s）=uRN（w）=w。