一类带约束的最优执行问题的理论与数值分析

下文中，针对每一个（w、~n、s）∈ d（ζr）r∈ 在（Ξ）处，我们用Ξt（w，Ξ，s；（ζr）r）表示过程（Wr，Ξr，Sr）0的有序三重t≤R≤t受（1.3）中微分方程的影响。不确定市场影响下的最优执行7.7。假设h(∞) < ∞. 那么对于任何紧集E 我们有晚餐吗↓0sup（西、西、南）∈东（西、西、南）- Vt（西、西、南、西）≤ 0.证明。接受任何挑战∈ （0,1），（西、西、南）∈ E、 和ψ∈ [0, φ]. 集合（ζr）r∈ At（ψ）乘以ζr=ψt（0≤ R≤ t） ，并设（Wr，νr，Sr）0≤R≤t=Ξt（w，Ξ，s；（ζr）r）和Xr=log Sr。一个标准的参数将我们引向hsupr∈[0，t]| exp（Xr）- s经验(-g（ψ/t）Lr）|i≤ CKs√t、 EWt- W- ψsZexp(-g（ψ/t）Ltv）dv≤ CKψs√t对于某些CK>0。因此，使用引理7.1，我们得到sup（w，~n，s）∈Eψ∈[0，ν]{I（（ζr）r）- Vt（w，ν，s；u）}≤ sup（西、西、南）∈Eψ∈[0，ν]{I（（ζr）r）-E[u（Wt，~nt，exp（Xt））]-→ 0吨↓ 0，（7.5）式中i（（ζr）r）=E[u（w+ψszep(-g（ψ/t）Ltv）dv，ψ- ψ、 s经验(-g（ψ/t）Lt]）。下一步我们将展示SUP（w，~n，s）∈Eψ∈[0，|]I（（ζr）r）- I（（ζr）r）|-→ 0，t↓ 0，（7.6）式中i（（ζr）r）=Ehuw+ψsZexp(-g（ψ/t）γtv）dv，ψ- ψ、 s经验(-g（ψ/t）γt）i、 [18]中的定理9.43.20暗示了限制↓0Ltt=γa.s.（7.7），因此我们得到了sup（w，ν，s）∈Eψ∈[0，|]E[exp(-g（ψ/t）γt）- e xp(-g（ψ/t）Lt）|]≤E1.- e xptg（ν）*/（t）γ -Ltt-→ 0，t↓ 0，其中我们表示*:= sup（西、西、南）∈E~n。同样地，我们也得到了限制↓0sup（西、西、南）∈Eψ∈[0，~n]EψsZ{exp(-g（ψ/t）γ（tv）- 经验(-g（ψ/t）Ltv）}dv= 因此，我们使用引理7.1.18得到（7.6），石谷健介和高石胜现在完成了命题7.7的证明。通过u（w，ν，s）的单调性（特别是在w和s中）和不等式（0≤)tg（ψ/t）≤ ψh(∞), 我们认为（（ζr）r）≥ u（w+F（ψ）s，~n- ψ、 se-γh(∞)ψ） 式中f（ψ）=Zψe-γh(∞)pdp=ψZexp(-γh(∞)ψv）dv。因此，sup（w，~n，s）∈东（西、西、南）- Vt（西、西、南、西）≤ sup（西、西、南）∈Eψ∈[0，~n]（I（（ζr）r）-E[u（重量，k t，St）]。（7.8）现在我们的断言立即从（7.5）、（7.6）和（7.8）中显示出来。7.8的提议。作为s ume h(∞) < ∞.

那么对于任何紧集E D.林监督↓0sup（西、西、南）∈E（垂直方向（西、西、南、北）-Ju（西、西、南）≤ 0.证明。接受任何挑战∈ （0,1），（西、西、南）∈ E、 和（ζr）r∈ 在（~n）。表示（Wr，~nr，Sr）0≤R≤t=Ξt（w，Ξ，s；（ζr）r）和Xr=log Sr。由于g是凸的，Jensen不等式简化了Zrg（ζv）dLv≥ γZrg（ζv）dv≥ γrgrZrζvdv= γZηrh（ζ/r）dζ，r∈ [0，t]，其中ηr=Rrζvdv。那我们就有你了w+sZtζrexp-Zrg（ζv）dLv博士-ηt，se-Rtg（ζv）dLv≤ Uw+sZtζrexp- γZηrh（ζ/r）dζ博士-ηt，se-γRηth（ζ/t）dζ. （7.9）在命题7.7的证明中，我们得到了EHSUPR∈[0，t]exp（Xr）- s经验-Zrg（ζv）dLv我≤ CKs√t、 （7.10）EWt- W- sZtζrexp-Zrg（ζv）dLv博士≤ CKΦs√t（7.11）对于某些CK>0。然后我们可以用一个带（7.10）和（7.11）的ppy引理7.1得到sup（w，ν，s）∈E（ζr）r∈At（~n）埃胡w+sZtζrexp-Zrg（ζv）dLv博士-ηt，se-Rtg（ζv）dLv我-E[u（重量，k t，St）]-→ 0作为t↓ 0.（7.12）不确定市场影响下的最优执行19我们也可以看到∈[0，t]经验-γZηrh（ζ/r）dζ- E-γh(∞)ηr≤ 2γeεt（7.13）EhZtζrnexp- γZηrh（ζ/r）dζ- E-γh(∞)ηrodri≤ 2γΦeεt，（7.14），其中eεt=RΦh(∞)-h（ζ/t）dζ(-→ 0，t↓ 0). 将引理7.1与（7.13）和（7.14）一起再次应用，我们得到了thatsup（w，ν，s）∈E（ζr）r∈At（~n）埃胡w+sZtζrexp- γZηrh（ζ/r）dζ博士-ηt，se-γRηth（ζ/t）dζ我-埃胡w+sZtζre-γh(∞)ηrdr，~n-ηt，se-γh(∞)ηt我-→ 0作为t↓ 0.（7.15）此外，从Ju（w，~n，s）的定义中，我们可以看到SUP（w，~n，s）∈E（ζr）r∈在尼胡w+sZtζre-γh(∞)ηrdr，~n-ηt，se-γh(∞)ηt我- Ju（w，а，s）o=sup（w，а，s）∈E（ζr）r∈在尼胡w+sF（ηt），ν-ηt，se-γh(∞)ηt我- Ju（西、西、南）o≤ 结合（7.9），（7.12），（7.15）和（7.16），我们得到我们的断言。最后，我们考虑关于t的连续性∈ （0,1）.在7.9上提出建议.让E 这是一套紧凑的装置。然后我们有以下内容：（i）limt′↑tsup（西、西、南）∈E|Vt′（w，|，s；u）- Vt（w，~n，s；u）|=0，t∈ （0,1]（ii）limt′↓tsup（西、西、南）∈E|Vt′（w，|，s；u）-Vt（w，~n，s；u）|=0，t∈ (0, 1).证据

我们所要做的就是展示JVT（w，~n，s；u）≤ Vt（西，西，南；u），（西，西，南）∈ D、 t∈ h下的（0,1）（7.17）(∞) < ∞, 因为所有其他断言的获得方式与[10]c中命题B.17的证明方式相同，并与命题2.3和（7.17）相结合。接受任何挑战∈ （0,1），（西、西、南）∈ D、 ψ∈ [0，ν]和（ζr）0≤R≤T∈ 在（ν）-ψ). 定义（Wr、k r、Sr）0≤R≤t=Ξt（w+F（ψ）s，Ξ- ψ、 se-γh(∞)ψ; （ζr）r）和Xr=任何δ的对数Sr∈ （0，t），我们定义了（ζr）0≤R≤T∈ At（k）乘以ζr=（ψ/δ）1[0，γδ]（Lr）-) + ζr.请注意，来自Lr的（∑ζr）r的可容许性≥ γr。此外，我们表示（~Wr，~~nr，~Sr）0≤R≤t=Ξt（w，Ξ，s；（~ζr）r）和~Xr=logSr。在定义中，我们用thatXr=log s+Zrσ（Xv）dBv+Zrb（Xv）dv+F（δ），1r，~Xr=log s+Zrσ（Xv）dBv+Zrb（~Xv）dv+F（δ），2r表示r∈ [0，t]，20石谷健介和高石胜（δ），1r=-γh(∞)ψ -Zrg（ζv）dLv，F（δ），2r=-Zrg（~ζv）dLv。我们将应用引理7.3，其中F（δ）、1r、F（δ）、2r和∏（δ）=[δ，t]来显示supr∈[δ，t]|Xr- Xr | i-→ 0, δ ↓ 0.（7.18）设定D（δ）r=Ehsupv∈ π（δ）（r）| F（δ），1v-F（δ），2v | i。显然，它认为∏（δ）（r）=[δ，r]（r）≥ δ） ，{r}（r<δ）和d（δ）t+ZtD（δ）rdr≤ (2 -δ） 超高压∈ [δ，t]| F（δ），1v- F（δ），2v | i+ZδE[|F（δ），1r- F（δ），2r |]dr.由于（Lv）没有ndec反应，我们看到)u（δ）：=sup{v∈ [0，t]；吕-≤ γδ}=sup{v∈ [0，t]；吕≤ γδ}.此外，u（δ）≤ δ由（Lr）r的定义而来。然后我们有f（δ），2r- F（δ），1r=γh(∞)ψ -δZr∧~u（δ）nZψhΔζ′+ζvdζ′odLv（7.19）=h(∞)ψnγ-Lr∧~u（δ）δo+δZr∧~u（δ）nZψh(∞) - HΔζ′+ζvdζ′ODLv0≤ R≤ t、 从7.19开始，我们有EHSUPV∈ [δ，t]| F（δ），1v- F（δ），2v | i≤ h(∞)ψEγ -L~u（δ）δ+ γZψh(∞) - Hδζ′dζ′（7.20）ZδE[|F（δ），1r- F（δ），2r |]dr≤ δh(∞)ψγ+δ∧γZψh(∞) - Hδζ′dζ′。（7.21）（7.20）和（7.21）c右侧的第二项接近于0，即δ↓ 此外，我们可以展示以下引理：引理7.10。~u（δ）δ-→ 1, δ ↓ 通过上述引理和（7.7），我们得到了lu（δ）δ-→ γ, δ ↓ 0 a.s。

（7.22）然后支配收敛定理意味着（7.20）右侧的第一项也收敛为0，即δ↓ 现在我们得到了atD（δ）t+ZtD（δ）rdr-→ 0, δ ↓ 0，这立即意味着（7.18）和引理7.3。具有不确定市场影响的最优执行21A标准参数，带有（7.18）给定的HSUPR∈[δ，t]|exp（~Xr）- exp（Xr）| 1/2i≤ （2sC1，K）1/2Ehsupr∈[δ，t]|Xr- Xr | i1/2-→ 0, δ ↓ 0.（7.23）另一方面，我们看到-~Wt | 1/2]≤ J+J+J，其中J=EhψδZ~u（δ）exp（~Xr）dr- sZψe-γh(∞)pdp1/2i，J=EhnZtΔζr | exp（~Xr）- exp（Xr）| dro1/2i，J=EhnZΔζr | exp（~Xr）- exp（Xr）| dro1/2i。我们很容易找到J≤p k- ψEhsupr∈[δ，t]eXr- eXr1/2i-→ 0, δ ↓ 0，J≤ （δkζk）∞)1/2Ehsupr∈[0，δ]{e?Xr+eXr}1/2i-→ 0, δ ↓ 由（7.23）的v-irtue和引理7.2。对于J，类似于（7.19）的计算给出了sj≤psC1，KψEh1-~u（δ）δi1/2+pψEδZδexp（~Xr）- s经验-γh(∞)ψrδ博士1/2≤psC1，KψEh1-~u（δ）δi1/2+qs（1+C1，K）ψnA1/2+A1/2o，（7.24）式中=δE“ZδZrσ（~Xv）dBv+Zrb（~Xv）dv+Zrg（ζv）dLvdr#，A=δE“ZδZr（g（~ζv）- g（ζv））dLv-γh(∞)ψrδ博士。直截了当的计算使我们≤2K√δ+（K+～γg（| |ζ）||∞))δ. （7.25）22石谷健介和加藤隆史，通过引理7.10和（7.22），我们看到≤ γZψ（h）(∞) - h（ζ′/δ）dζ′+ψh(∞)δEhδZδ|γr- Lr∧~u（δ）|dri≤ γZψ（h）(∞) - h（ζ′/δ））dζ′+ψh(∞)EhδZ≈u（δ）nLrr- γodri+ψh(∞)嗯1.-~u（δ）δnγ1.-~u（δ）δ+γ -L~u（δ）δ氧指数-→ 0, δ ↓ 0.（7.26）结合引理7.2，引理7.4，（7.24），（7.25）和（7.26），我们得到J-→ 0为δ↓ 因此我们得到了limδ↓0E[| Wt-~Wt | 1/2]=0。因此，引理7.1 weobtainE[u（Wt，~nt，exp（Xt））]- Vt（西、西、南、南）≤ limδ↓0 | E[u（Wt，~nt，exp（Xt））]-E[u（~Xt，~~nt，exp（~Xt））]|=0。自（ζr）0≤R≤T∈ 在（ν）- ψ） 是任意的，我们得到vt（w+F（ψ）s，φ-ψ、 se-γh(∞)ψ; u）≤ Vt（西、西、南、西）。对于任意ψ∈ [0, φ]. 现在我们完成（7.17）的证明。引理7.10的证明。我们可以假设γ>0。修正任何ε∈ （0,1）并设置ε′=γε/（1）- ε).

由（7.7）可知，对于几乎所有的ω，存在一个δ=δ（ω）>0，使得每个δ的Lδ/δ<γ+ε′∈ (0, δ). 设δ=δ（ω）=（1+ε′/γ）-1δ，取任意δ∈ (0, δ). 此外，设δ′=（1+ε′/γ）-1δ. 然后我们认为δ′<δ，因此Lδ′<（γ+ε′）δ′=γδ。通过这一不等式和≈u（δ）的定义，我们得到1≥ ~u（δ）/δ≥ δ′/δ = 1 -ε、 这意味着断言。7.2. 定理3.2的证明。我们可以通过将^o’s公式应用于Rand Wr来证实断言（i）。通过与[10]第7.9节类似的论证，weobtainE[U（Wt）]≤ U-w+ZtE“1- E-γα^rγα^b（Sreγα^r）-Z（0，∞)eγανr- 1γαSr（1）- E-αζrz）ν（dz）#dr！对于任何（~nr）r∈ 根据Jensen不等式，在（φ）处。由于^b不是n-正函数，因此函数U是非递减函数，而terms1- E-γα~nr，eγα~nr- 1, 1 - E-αζrzare都是非负的，我们看到[U（Wt）]≤ U（w）表示任何（r）r∈ 在（k），而在（w，s）≤ U（w）。相反的不等式V~nt（\'w，\'s）≥ 与[10]第7.9节中的结果类似，可获得U（`w）。这就完成了证明。具有不确定市场影响的最优执行237.3。命题4.1的证明。以下建议立即导致我们（4.2）。7.11的提议。Vnk（西、西、南；瓮）≥“Vnk（w，~n，s；uRN），其中VNKI定义为asin[8]，而“VNKI”是从VNKB获得的，用γ代替CNKW。证据我们使用[8]的符号。取任意（ψnl）l∈ Ank（~n）并设（Wnl，~nnl，Snl）l=Ξnk（w，Ξ，s；（ψnl）l）为“Vnk（w，Ξ，s；uRN）的三元组。由于cnlis独立于NL，J e nsen不等式意味着e[Wnk]=w+k-1Xl=0E[ψnlSnlexp(-E[cnl | Fnl]gn（ψnl））]≤ w+k-1Xl=0E[ψnlSnlE[exp(-cnlgn（ψnl））|Fnl]]≤ Vnk（西、西、南；瓮）。由于（ψnl）是任意的，我们得到了断言。致谢。作者感谢王大浩教授（纽约城市大学巴鲁克学院）对该主题的有益评论和讨论。

此外，作者感谢审稿人为提高论文质量提出的各种意见和建设性建议。参考文献1。Alf onsi，A.，Fruth，A.，和Schied，A.：具有一般形状函数的极限顺序最优执行策略，Quant。财务10，（2010）143-157.2。Almgr en，R.和Chriss，N.：投资组合交易的最佳执行，J.风险，3，（2000）5–39.3。布查德，B.和图兹，N.：粘度解的弱动态规划原理，SIAM控制与优化杂志，49（3），（2011）948–962.4。Cheng，X.和Wang，T.-H.：Almgren–Chriss框架中不确定订单填充的最佳执行，SSRN预印本，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstractid=2632012,(2015).5. Ciomaga，A.：关于二阶非线性近抛物微分方程的强最大值原理，微分方程进展，17，（2012）635–671.6。弗雷，C.和韦斯特雷，N.：VWAP订单的最佳执行：随机控制方法，数学金融，DOI:10.1111/ma fi.12048，（2013）。7。霍尔顿，N.：具有持久性和局部替代的跳跃扩散市场中的投资组合优化：奇异控制问题的惩罚近似，硕士论文，奥斯陆大学数学与自然科学学院（2010年）。8。Ishitani，K.和Kato，T.：具有不确定市场影响的最优执行问题的数学公式，随机分析通讯，9（1），（2015）113–129.9。T.加藤：几何Ornstein-Uhlenbeck价格流程的最佳执行，Arxiv预印本，http://arxiv.org/pdf/1107.1787, (2011).10. 加藤，T.：一个具有市场影响、金融和随机性的最优执行问题，18（3），（2014）695–732.11。加藤，T.：VWAP执行作为最佳策略，JSIAM Letters，7，（2015）33–36.12。科尼希，H。

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