杠杆的极限

存在一个后验最优策略，其中极限优势是一个极限，因此根据lim定义的类似问题会影响到相同的解决方案。平均回报、标准差和平均交易成本的精确公式见附录C。杠杆的极限包括长期平均值（^m）、标准差（^s）、夏普比率（^m- r） ^s）、平均交易成本（ATC）和等效安全率（ESR）有扩展^m:=limT→∞TRTdwtwt=r+rσ-σπ*(5π*-3)γπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε），（3.8）^s:=limT→∞rTDR·dwtwtET=μγσ-σ(7π*-3)4γγπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε），（3.9）SR:=^m- r^s=μσ+4·61/3（π）*- 1)(γπ*(1 -π*))1/3ε2/3+O（ε）（3.10）ATC:=limT→∞TRTπtd~n↓t~nt=3σγγπ*(π*-1)4/3ε2/3+O（ε），（3.11）ESR=r+γσπ*-γσ4γπ*(π*- 1)2/3ε2/3+O（ε）。（3.12）证据。该定理主要部分的证明在附录B中分为命题B.1、B.4和B.6。渐近结果的证明在C.4节中。3.2. 风险中性和杠杆限制。与上面考虑的风险规避目标不同，风险中性目标导致的解决方案不具有无摩擦的相似性：对于较小的交易成本，随着最优杠杆的任意增加，最优策略及其绩效都是无界的。下一个结果描述了风险中性问题的解决方案，确定了杠杆乘数及其性能对资产风险、回报和流动性的近似依赖性。定理3.2。设γ=0。（i） 存在ε>0，因此对于所有ε<ε，自由边界问题（3.1）-（3.5）有唯一的解（W，ζ）-, ζ+、ζ-< ζ+.（ii）以π买入的交易策略-:= ζ-/(1 + ζ-) 并以π+：=ζ+/（1+ζ+）的价格出售，以使风险权重π在区间[π]内保持两倍-, π+]等时。（iii）最大预期回报率为∈ΦlimT→∞TRTdwtwt=r+μπ-.

（3.13）（iv）交易边界具有系列扩展π-=(1 -κ)κ1/2uσ1/2ε-1/2+1+O（ε1/2），（3.14）π+=κ1/2uσ1/2ε-1/2+1+O（ε1/2），（3.15），其中κ≈ 0.5828是唯一解tof（ξ）：=ξ+log（1）- ξ) = 0, ξ ∈ (0, 1). （3.16）证据。见下文附录D。下一节将讨论这些结果如何在交易成本的背景下改变人们熟悉的关于风险、回报和绩效评估的直觉。我们使用约定a1/n=符号（a）| a | 1/n表示任何a∈ R和奇整数n，a2/n=（a）1/n.8杠杆的极限4。含义和应用4。1.有效前沿。定理3.1将熟悉的有效边界扩展到交易成本。与线性无摩擦前沿相比，由于再平衡损失，平均回报率下降。平均波动率增加，因为获得给定的净交易成本回报需要更多的风险。为了更好地理解交易成本对回报和波动性的影响，考虑在没有交易的情况下投资组合权重的动态，即πt=πt（1-πt）（u-σπt）dt+σπt（1）-πt）dBt。（4.1）这里的中心量是投资组合权重波动率σπt（1）- 对于单资产组合πt=0或πt=1，πt）消失，在仅长的情况下πt保持在σ/4以上∈ [0,1]，并随着杠杆作用的增加而迅速上升（πt>1）。这个数量很重要，因为它衡量的是一个投资组合在应对市场冲击时偏离其初始构成的程度，以及反映出将其保持在某个区域内所需的交易数量。仅在长期情况下，随着非交易区域扩大到[0,1]范围，投资组合权重波动性降低，这意味着投资组合倾向于在边界附近花费更多时间。

相比之下，随着杠杆投资组合权重的增加，波动性增加，这意味着更宽的边界不一定会降低交易成本。与这一直觉相一致，方程式（3.8）表明，交易成本对纯多头投资组合的影响很小，但随着杠杆作用的增加，交易成本迅速上升，在π的ε2/3的理论值下降低了回报*> 1.当然，在保持γ值不变的情况下，这种展开式对小ε有效。随着γ下降到零，预期收益率和波动率都会出现分歧，但交易成本的影响也会出现分歧，这使得风险中性极限γ=0时，γ>0的渐近性不具信息性。性能（3.12）在一阶上与效用最大化的等效安全率和恒定相对风险规避γ（Gerhold et al.，2014，等式（2.4））一致，支持将γ解释为风险规避参数，并确认，对于渐近较小的成本，有效前沿捕捉效用最大化者面临的风险回报权衡。图2显示了交易成本对效率边界的影响。随着出价askspread的下降，前沿增加到线性无摩擦前沿，定理中的渐近结果变得更加准确。然而，如果随着杠杆率（因此波动性）的增加，利差保持不变，渐进式扩张就会变得不准确，事实上，在达到杠杆乘数后，有效边界将完全停止增加。4.2. 贸易边界。有效前沿的每个点对应于一个再平衡策略，该策略对于风险规避参数γ的某个值是最优的。对于小额交易成本，等式（3.7）意味着与效率边界相对应的交易边界与效用最大化产生的边界不同，即（Gerhold等人，2014年）π±=π*±4γπ*(1 -π*)1/3ε1/3+O（ε）。

（4.2）对于γ=1，ε2/3阶项消失，因为这种情况与对数效用的最大化一致。对于高杠杆水平（γ<1和π*> 1） ，这一术语意味着产生效率边界的交易边界低于效用最大化的交易边界。在图3中，γ→ ∞ 对应于原点中的安全投资组合（0,0），而γ=u/σ对应于风险投资（1,1），其具有杠杆9的限制图2。交易成本的有效边界，如预期超额回报（纵轴，以资产预期超额回报的倍数表示）与标准偏差（横轴，以资产可用性的倍数表示）。该资产预期超额回报率u=8%，波动率σ=16%，买卖价差为0.1%，0.5%，1%。上一条线是无摩擦的有效边界。每条曲线的最大值是leveragemultiplier。定义为与风险资产相同的波动率和回报率。当γ下降到零时，交易边界收敛到正确的端点，这对应于在不考虑风险的情况下最大化平均回报的策略，从而实现乘数。随着杠杆率的增加，卖出边界比买入边界上升得更快（图3）。例如，风险中性投资组合可以承受大约6到14的杠杆波动。这些边界的位置权衡了保持高风险资产敞口以实现回报最大化的需要，同时保持再平衡成本的缓慢。风险规避通过惩罚宽风险中性边界产生的高实现方差，使边界更接近彼此。重要的是，即使无摩擦默顿投资组合u/（γσ）在γ下降至零的情况下偏离到一致性，这些边界仍然是有限的。

因此，与效用最大化产生的边界（Gerhold et al.，2014）相反，非贸易区在无摩擦投资组合周围是不对称的，而效用最大化产生的边界总是对称的，因此当γ较低时会出现分歧。不同之处在于，风险中性的目标是使投资组合的预期收益最大化，而风险中性的效用最大化者关注的是预期财富。在无摩擦的环境中，这种区别是无关紧要的，投资者需要考虑杠杆的限制。图3。交易边界π±（垂直轴，外部曲线，作为风险权重）和默顿分数（中间曲线）与平均投资组合波动率（水平轴，作为σ的倍数）。u=8%，σ=16%，ε=1%。可以使用收益最大化政策来实现财富最大化。但交易成本在这两个表面上等价的风险中性标准之间形成了一个楔子——预期收益最大化与预期财富最大化并不相同。在风险中性的情况下（定理3.2（iv）），最优交易边界满足近似关系π-π+≈ 0.4172（4.3），这是通用的，因为它适用于任何资产，无论风险、回报和流动性如何。这种关系意味着，最佳的风险中性再平衡策略应始终容忍杠杆随时间的变化，且允许的最大杠杆应为最小杠杆的2.5倍左右。更频繁的再平衡无法实现最大回报：这可以用风险规避或模型之外的因素来解释，比如价格上涨。最后，请注意，财富始终为正的偿付能力约束意味着，对于每个可接受的交易策略，πt<ε。Asπt≤ π+对于最优交易，任何潜在的最优策略都有正风险敞口（πt>0），因为资产价格有正风险溢价（下面的备注a.4）。

用Xt=wt表示- §t t时间t时的安全位置≥ 0，其中wtistotal portfolio wealth，清算价值为wt- ε~ntSt≥ 0，这意味着1- ε~ntStwt>0，因此该曲线为。杠杆的限制如图4所示。有效前沿，作为夏普比率u/σ=0.5的资产相对于波动率（横轴）的平均预期超额收益（纵轴），对于不同级别的资产波动率，从10%（底部）、20%到50%（顶部），对于买卖价差ε=1%。直线是无摩擦的边界。定理3.1和定理3.2中的策略，上界πt≤ε对实际的买卖价差没有约束力。4.3. 嵌入式杠杆。在无摩擦市场中，两个夏普比率相等的完全相关资产产生相同的有效前沿，实际上是相同的回报空间。这种等价性在存在交易成本的情况下失效：由于波动性较大的资产具有较高的比例回报，因此可以通过交易以较低的平均比率产生较高的回报，从而形成一个有效的前沿，主导（高回报）波动性较小的资产产生的一个前沿。图4（三条曲线的顶部）显示了这种现象：例如，平均回报率为50%的投资组合（扣除交易成本）是从回报率为25%且波动率为50%的资产中以较小的成本获得的，因为平均杠杆系数为2需要适度的再平衡。从波动率为20%（回报率为10%）的资产中获得同样50%的回报更为繁重：交易成本要求杠杆率高于5，这反过来又增加了交易成本。

总的来说，最终的投资组合需要大约120%而不是100%的波动性才能达到预期的50%平均回报率（图4中的中间曲线）。从波动率为10%（回报率为5%）的资产中，不可能获得50%的净交易成本回报（图4中的底部曲线），因为杠杆乘数小于8（表1，右上角），因此回报率可以调整到40%以下。12杠杆的局限性直觉是明确的：增加杠杆也会增加交易成本，这反过来需要更多的杠杆来增加回报，但也会增加成本。在某个时刻，更多杠杆带来的边际净回报变为零，进一步的增加是有害的。由于波动率较高的资产优于另一种资产，具有相同的锐度，且完全相关，但波动率较低，因此该模型表明，在均衡状态下，它们不能共存，且波动率较低的资产应为投资者提供较高的回报。事实上，Frazzini和Pedersen（2012年、2014年）记录了嵌入杠杆（更高的波动性）的资产的显著负超额收益，并基于异质杠杆约束提供了理论解释，这导致更多受约束的投资者抬高波动性更大的资产的价格（从而降低回报）。我们的结果暗示，即使在没有约束的情况下，由于重新平衡成本，也可能出现同样的现象。与基于约束的解释相反，我们的模型表明，对于流动性较差的资产，嵌入杠杆的溢价应该更高。4.4. 从风险厌恶到风险中性。

定理3.1和3.2在性质上是不同的：具有正风险规避的定理3.1导致了马科维茨-默顿解的正则摄动，而具有风险中性的定理3.2导致了一个新结果，在无摩擦环境中没有任何有意义的类比——奇异摄动。此外，仔细阅读定理3.1的陈述表明，自由边界问题解的存在性和渐近展开式适用于ε小于某个阈值ε（γ），这取决于风险规避γ。特别是，如果γ接近零，而ε保持不变，定理3.1没有给出任何关于风险规避收敛于风险中性解的结论。尽管如此，如果风险中性结果被认为是一种真实的现象而非伪品，那么就应该明确，随着风险规避情绪的消失，风险规避交易政策及其绩效是否会收敛到风险中性的结果。下一个结果在一些参数限制下解决了这一点。用g（ζ）表示：=ε（1+ζ）（1+（1-ε） ζ），h（ζ）=uζ1+ζ-γσζ1+ζ并与任何溶液（W（·；γ）结合，ζ-（γ） ，ζ+（γ））的自由边界问题（3.1）函数^W（ζ；γ）：=0, ζ < ζ-（γ） W（ζ；γ），ζ∈ [ζ-（γ） ，ζ+（γ）]G（ζ），ζ≥ ζ+（γ），它自然地将W延伸到自由边界的左侧和右侧。定理4.1。设u>σ，\'ε>0，\'γ>0，并假设对于任何γ∈ [0，\'-γ]自由边界问题（3.1）有唯一的解（W，ζ）-, ζ++满足ζ+<-1/(1 - ε） 对于每个γ，函数^W满足∈ （0，\'-γ]，HJB方程min∑ζ^W+uζ^W- h（ζ）+h（ζ）-), G（ζ）-^W，^W= 0.（4.4）则（4.4）对于γ=0和每个γ也满足∈ [0，\'γ]，以π买入的交易策略-(γ) =ζ-(γ)1+ζ-（γ） 并以π+（γ）=ζ+（γ）1+ζ+（γ）的价格出售，以保持风险权重π在区间[π]的两倍-（γ） ，π+（γ）]是最优的。

此外，ζ±（γ）→ ζ±（0）和^W（ζ；γ）→^W（ζ；0）asγ↓ 0，每个ζ∈ R.杠杆限制13总之，这个结果证实，随着风险规避参数γ下降到零，定理3.1中的风险规避政策收敛到定理3中的风险中性政策。定理3.1中相应的均值-方差目标收敛于定理3.2.5中的平均收益。启发式解决方案本节提供HJB方程的启发式推导。让（）↑t） t≥0和（ν）↓t） t≥0分别表示累计买入和卖出的股票数量。有限水平目标（2.1）简化为表达式（比较下面引理A.2中的等式（A.8））max~n∈ΦE“ZTπt-γσπtdt-εZTπtd~n↓tt#。（5.1）从一开始，这个目标就是规模不变的：将风险股份和安全单位的初始数量增加一倍，并在时间t时将股份数量增加一倍，从而使时间t时的安全单位数量也增加一倍（通过自融资条件），从而使d k t/k t，πt=St k t/Xt保持不变，因此目标不变。因此，我们推测残值函数V取决于日历时间t和变量ζt=πt/（1）- πt），表示每单位安全资产持有的股份数量。就这个变量而言，上述目标在时间t的条件值为：F k（t）=Rtuζs1+ζs-γσζs（1+ζs）ds-εRtζs1+ζsd~n↓s~ns+V（t，ζt）。（5.2）根据It^o的公式，Fа的动力学为（此后，为了简洁起见，V的参数被省略）dFа（t）=uζt1+ζt-γσζt（1+ζt）dt-εζt1+ζtd~n↓t~nt+Vtdt+Vζdζt+Vζdhζit，其中V的下标表示偏导数。

现在回想一下安全头寸XT和风险头寸Yt:dXt=rXtdt的自我融资条件-标准а↑t+（1）- ε） 标准а↓t、 dYt=Std~n↑T- 标准а↓t+ζtdSt，这意味着风险安全比ζtdζtζt=udt+σdWt+（1+ζt）dаtаt+εζtdа的动力学↓t k t，F k的动力学从何而来=uζt1+ζt-γσζt（1+ζt）+Vt+σζtVζζ+μζtVζdt（5.3）-ζtVζ（1+）（1-ε） ζt）+ε1+ζtd~n↓tаt+ζt（1+ζt）Vζdа↑t~nt+σζtVζdWt。（5.4）现在，根据最优控制的鞅原理（Davis和Varaiya，1973），上面的过程f~n（t）需要是任何交易策略的上乘鞅，以及最优策略的鞅。作为↑以及↓在不断增长的过程中，超马尔可夫条件和杠杆的极限使不平等现象更加严重-ε(1+ζ)(1+(1-ε)ζ)≤ Vζ≤ 0，（5.5）和鞅条件规定，左（分别为右）不等式在φ的增加点变成等式↓（分别）↑). 同样，也可以得出μζ1+ζ-γσζ（1+ζ）+Vt+σζVζζ+μζVζ≤ 0当（5.5）中的两个不等式都是严格的时，不等式作为等式成立。为了实现平稳（即时间齐次）系统，假设残值函数的形式为V（t，ζ）=λ（t- （t）-RζW（z）dz，表示长时间内的平均最佳性能。替换这个解的参数形式，上述不等式变成0≤ W（ζ）≤ε(1+ζ)(1+(1-ε)ζ), (5.6)uζ1+ζ-γσζ(1+ζ)- λ -σζW（ζ）- μζW（ζ）≤ 0.（5.7）进一步假设第一个不等式在某个区间[ζ]内成立-, ζ+]，当每个质量在各自的端点处降低到相等时，最优性条件为σζW（ζ）+μζW（ζ）- ζ的μζ1+ζ+γσζ（1+ζ）+λ=0∈ [ζ-, ζ+]，（5.8）W（ζ-) = 0，W（ζ+）=ε（ζ++1）（1+（1-ε） ζ+（5.9），这导致了一系列候选值函数，每个函数对应于一个或多个边界（ζ-, ζ+).