杠杆的极限

最佳边界由平滑粘贴条件确定，通过微分方程形式化导出。（5.9）关于其边界W（ζ-) = 0，W（ζ+）=ε（ε-2(1-ε)ζ+-2)(1+ζ+)(1+(1-ε)ζ+). （5.10）这些条件确定了价值函数。这四个未知数是常微分方程（5.8）通解中的自由参数，自由边界ζ-ζ+，以及最佳速率λ。这些数量由边界和平滑粘贴条件（5.9）-（5.10）确定。结论重新平衡杠杆投资组合的成本是巨大的，并且会降低其表面上的无摩擦回报。随着杠杆率的增加，这类成本的上升速度超过了回报率，使得投资者不可能将资产的回报率控制在某个倍数（扣除交易成本）之外。与无摩擦理论相反，交易成本使风险收益权衡变得非线性。寻求高回报的投资者更喜欢高波动率的资产，而不是夏普比率相同但波动率较低的资产，因为高波动率使杠杆的实现成本更低。风险中性、回报最大化的投资者不承担有限的杠杆，而是将其保持在一个平衡高风险和低再平衡成本的范围内。特别是，D~n的系数↑tа和а↓tt需要为负值。由于空头头寸从来都不是最优的（参见备注A.3和脚注6），因此0<πt<1/ε，因此只有两种情况出现：（A）ζt<-1/(1 - ε） ，或（b）ζt>0。在这两种情况下ζ（1+ζ）>0和-ζ(1 + (1 - ε） ζ）<0，由此得出（5.5）。杠杆的限制15附录A.可接受的策略从交易成本来看，只有有限变化的交易策略与解决方案一致。

分别用Xt和Yt表示处于安全和风险位置的财富，并用（）表示↑t） t≥0和（ν）↓t） t≥0分别为累计买入和卖出的股份数。自融资条件规定（X，Y）满足dynamicsdXt=rXtdt-标准а↑t+（1）- ε） 标准а↓t、 dYt=Std~n↑T- 标准а↓t+~ntdSt。（A.1）如果策略是非对抗性的和有溶剂的，且价差小幅度增加，则该策略是可接受的：定义A.1。设x>0（初始资本），设↑t） t≥0和（ν）↓t） t≥0连续不断地增加过程，适应B的自然过滤增强。然后↑T- φ↓t） 如果（i）其清算价值始终严格为正：存在ε>ε，贴现资产测试：=e，则为可接受的交易策略-rtStsatis fix-ZteSsdаs+eStаt- εZteSsd~n↓s- ε~n+所有t的测试均>0 a.s≥ 0.（A.2）（ii）以下可积性条件成立Zt |πu | du< ∞, EZtπudkаukаu< ∞ 尽管如此，t≥ 0，（A.3），其中kаtk表示[0，t]上а的总变化。容许交易策略族用Φ表示。下面的引理描述了财富过程wt、风险权重πt和风险安全比ζt的动力学。引理A.2。对于任何可接受的交易策略，dζtζt=udt+σdBt+（1+ζt）d~n↑t~nt- (1 + (1 - ε） ζt）d~n↓t~nt，（A.4）dwtwt=rdt+πt（udt+σdBt）- εd~n↓（A.5）dπtπt=（1）-πt）（udt+σdBt）-πt（1）-πt）σdt+d~n↑t~nt- (1 - επt）d~n↓t~nt.（A.6）对于任何此类策略，函数lft（~n）：=TEZTDWT-γZTDWTT（A.7）等于toFT（）=r+TE“ZTπt-γσπtdt-εZTπtd~n↓tt#。（A.8）注意，πtаt=Stwt，因此在集合{（ω，t）：аt=0}上，πtа的数量定义得很好。符号DXTXT=dytmeans xt=x+RTXSDY，因此即使对于空xt，SDE也有很好的定义。16防杠杆的限制。

自我融资条件（A.1）意味着DXTXT=rdt- ζtd~n↑t~nt+（1）- ε） ζtd~n↓tаt，（A.9）dYtYt=dа↑t~nt-d~n↓t~nt+dStSt，（A.10）d（Yt/Xt）Yt/Xt=dYtYt-dXtXt+dhXitXt-dhX，Y itXtYt=dYtYt-dXtXt。（A.11）等式（A.4）源自上一个等式，（A.5）适用于等式（A.9）和（A.10）。等式（A.6）由等式πt=1得出-1+ζtand（A.4）。目标函数在（A.8）中的表达式遵循等式（A.5）。下面的引理表明，在不丧失普遍性的情况下，考虑不做空风险资产的交易策略就足够了。引理A.3。如果∈ Φ是（2.3）的最佳值，那么策略^аt:=аt{аt≥0}等时。证据由于引理A.2，目标泛函具有等价形式（A.8），（lettingT→ ∞). 很明显，如果^是，^是一种可接受的交易策略。此外≥ 0，πt≥ ^πtat所有时间t，当^t<0时^πt=0，从何处FT（^^）≥ 每一个都大于0英尺（а）。备注A.4。鉴于这个引理和可采性，有必要考虑满足0≤ πt≤ 1/ε，或就风险安全比而言，ζt<-1/(1-ε） 或ζt≥ 0.附录B.风险规避和有效前沿本节包含一系列命题，这些命题导致定理3.1（i）-（iii）的证明。定理的第（iv）部分推迟到附录C。SetG（ζ）：=ε（1+ζ）（1+（1-ε） ζ）和h（ζ）：=uζ1 + ζ-γσζ1 + ζ.（B.1）定义H:=H，自由边界问题（3.1）-（3.5）简化为σζW（ζ）+（σ+u）ζW（ζ）+uW（ζ）-H（ζ）=0，（B.2）W（ζ）-) = 0，（B.3）W（ζ）-) = 0，（B.4）W（ζ+）=G（ζ+）（B.5）W（ζ+）=G（ζ+）。（B.6）提案B.1。设γ>0和π*6= 1. 对于足够小的ε，自由边界问题（B.2）-（B.6）有唯一的解（W，ζ）-, ζ+，带ζ-< ζ+. 自由边界具有渐近展开式ζ±=π*1.-π*±4γ1/3π*(π*-1)2/3ε1/3-(5-2γ)π*2γ(π*-1)γπ*(π*-1)1/3ε2/3+O（ε）。

（B.7）杠杆的极限17命题B.1的证明。请注意，（B.2）相当于ODEσζW（ζ）+μζW（ζ）- h（ζ）= 因此，初始条件（B.3）、（B.4）意味着W满足σζW（ζ）+μζW（ζ）=h（ζ）-h（ζ）-), W（ζ）-) = 0.通过常数变化法，以及asζ-/∈ {-因此，初值问题（B.2）-（B.4）的任何解的形式为fw（ζ）-, ζ） ：=（σζ）Zζ-（h（y）-h（ζ）-))yζ2γπ*-2dy。（B.8）假设（W，ζ）-, ζ+是（B.2）-（B.6）的溶液。鉴于（B.8），W（·）≡fW（ζ）-, ·). LetJ（ζ）-, ζ) :=σζ2γπ*fW（ζ）-, ζ). （B.9）通过ζ+处的终端条件（B.5）-（B.6），并设置δ=ε1/3，（ζ-, ζ+）满足以下代数方程组，ψ（ζ-, ζ+：=fW（ζ）-, ζ+) -δ(1 + ζ+)(1 + (1 -δ） ζ+=0，（B.10）ψ（ζ）-, ζ+：=2（h（ζ+）-h（ζ）-))σζ+-2γπ*ζ+fW（ζ-, ζ+) -(1-δ)(1+(1-δ)ζ+))+(1+ζ+)= 0. （B.11）相反，如果（ζ-, ζ+解（B.10）-（B.11），然后解三重态（ζ7）→fW（ζ）-, ζ), ζ-, ζ+）提供了自由边界问题（B.2）–（B.6）的解决方案。因此，为了提供自由边界问题的唯一解，有必要提供（B.10）-（B.11）的唯一解。为了获得预期解ζ±的渐近展开式的猜测，将ψ1,2展开至ζ-= ζ*+ Bδ+O（δ），ζ+=ζ*+ Bδ+O（δ），其中ζ*=π*1.-π*, （B.12）产生ψ（ζ±（δ））=-γ(1 -π*)3π*2B- 3BB+B+3π*γ(1 -π*)δ+O（δ），（B.13）ψ（ζ±（δ））=（B- B） （B+B）γ（π）*- 1)π*δ+O（δ）。（B.14）将前序项的系数等同于零产量2b- 3BB+B+3π*γ(1 -π*)= 0，（B.15）B+B=0，（B.16）从哪里B=-B带=-4γπ*(1-π*)= 0，而thusB=-4γ1/3π*(1 -π*)2/3.

（B.17）（B.14）中的系数在B=B时也消失，但（B.13）不消失，排除这种情况。18随变量η±：=ζ±变化的杠杆极限- ζ*δ（B.18）和符号Φ（η-, η+) := Ψ(ζ-(η-), ζ+(η+)), Φ(η-, η+) := Ψ(ζ-(η-), ζ+（η+）（B.19）ζ±的系统（B.10）-（B.11）减少到Φ（η-, η+) = (Φ(η-, η+), Φ(η-, η+）=0（B.20），在未知数η±中。由于（B.17），猜测（B.12）采用明确的形式ζ±=ζ*±4γ1/3π*(1 -π*)2/3δ+O（δ），（B.21），这表明溶液（η-, η+（B，B=-B） 。命题B.2确实保证了（B，B=-B） 对于足够小的δ>0，这在δ中是解析的。因此，原始系统ψ（ζ-, ζ+=0有唯一的溶液（ζ-, ζ+，表示小δ，使用一阶代理（B.21）。这意味着自由边界问题（B.2）-（B.6）对于足够小的ε有唯一的解。为了推导（B.7）的高阶项，重写积分（B.9）asJ（ζ）是有用的-, ζ+=h（ζ）-)(ζ2γπ*-1.-- ζ2γπ*-1+)2γπ*- 1 |{z}=:I+zζ+ζ-h（y）y2γπ*-2dy |{z}=：I.（B.22）Iw对δ等式的导数δ=h（ζ+）ζ2γπ*-2+dζ+dδ- h（ζ）-)ζ2γπ*-2.-dζ-dδ。（B.23）现在，将右侧展开为δ中的幂级数，并与δ积分，得到I的渐近展开式。为了获得这些展开式，猜测方程（B.10）-（B.11）的一个形式为ζ±=π的解*1.-π*±4γ1/3π*(1 -π*)2/3δ+A±δ+O（δ），对于一些未知的A±，将其代入方程（B.10）-（B.11），从而使用（B.22）和（B.23）。比较两个方程的渐近展开系数，发现-= A+=(5 -2γ)π*2γ(1 -π*)γπ*(1 -π*)1/3，因此（B.7）成立。B.2提案。设γ>0和π*6=1，召回B=-B来自（B.17）。

对于非常小的δ>0，系统（B.20），其中Φ=（Φ，Φ）由（B.19）定义，具有唯一的解（η-（δ） ，η+（δ））满足η-（0）=B，η+（0）=B和δ7→ η±（δ）面积分析函数。对于π*= 1/（2γ），I=h（ζ-)（对数ζ）-- 对数ζ+，且I=Rζ+ζ-h（y）ydy。杠杆的极限是显而易见的。首先考虑“一般”情况u/σ6=1/2：引入重新缩放的函数SEΦ1,2和Φ：=（eΦ，eΦ）定义的aseΦ：=Φδl，eΦ：=Φδm，（B.24），其中l=3，m=2。通过缩放，函数eΦ取决于三个参数，为了清楚起见，它被表示为byeΦ=eΦ（η-, η+，δ）设DeΦ为eΦ的Frechet微分。如下图所示，雅可比满意度det（DeΦ）（η）-= B、 η+=B，δ=0）=6γ（1-π*)(2γπ*- 1)π*6=0，（B.25）因此解析函数的隐式函数定理（Gunning and Rossi，2009，定理I.B.4）确保对于足够小的δ存在唯一解（η-, η+）of eΦ（η）-, η+=0（B，B），在δ中是解析的。这有待证明（B.25）。通过构造，ψ（ζ）-, ζ+) =Ψ(ζ-, ζ+)ζ+，从哪里来eΦη+（η±）=δlΦη+（η±）=δlΨ(ζ±(η±))ζ+ζ+η+=δl-1.Ψ(ζ±(η±))ζ+=ψ（ζ±（η±））δl-1从而将η±（参见（B.18））的定义插入方程（B.11）中，并让δ→ 0，鉴于（B.15）-（B.16）及其解决方案（B.17），如下所示：eΦη+|（B，B，0）=0。因此，雅可比矩阵的行列式是simplydet（DeΦ）（B，B，0）=eΦ（η）-, η+)η-|（B，B，0）×eΦ（η）-, η+)η+|（B，B，0）。因为Ψζ-= -2h（ζ）-)σζ2u/σ+ζ2u/σ-2+2u/σ- 1.-ζ2u/σ-2.-2u/σ- 1.根据链式法则eΦ（η）-, η+)η-=δΨζ-xδ，它是这样的eΦ（η）-, η+）η-|（B，B，0）=2/3（1）-π*)(γπ*(1 -π*))1/3(1 -2γπ*)π*.同样地，eΦ（η）-, η+)η+|（B，B，0）=-1/3(1 -π*)(γ(1 -π*)π*)2/3π*,20杠杆的极限（B.25），因此命题中的断言如下。对于“单数”情况u/σ=1/2，需要在（B.24）中设置l=5，m=3，然后（B.25）的右侧等于3（1）-1/π*)π*6=0，因此与一般情况类似的参数适用。

定义B.3。HJB方程的解是一对（V，λ），其中V是一个两次连续可微函数，满足（AV（x）- h（x）+λ，G（x）-V（x），V（x））=0，x∈-∞, -1.-ε∪ (0, ∞),（B.26）其中A:C（R）7→ C（R）是微分算子af（x）：=σxf（x）+uxf（x）。请注意，限制x∈-∞, -1.-ε∪ (0, ∞) 其动机是备注A.4。B.4提案。设（W，ζ）-, ζ+）是具有渐近展开（B.7）的自由边界问题（B.5）-（B.6）（由命题B.1提供）的解。对于足够小的ε，pairV（·）：=Z··W（ζ）dζ，λ：=h（ζ-),式中^W（ζ）：=ζ<ζ时为0-,W（ζ）表示ζ∈ [ζ-, ζ+]，ζ的G（ζ）≥ ζ+，（B.27）是HJB方程（B.26）的解。命题B.4的证明。要检查（V，λ）是否解HJB方程（B.26），请分别考虑域[ζ-, ζ+], ζ < ζ-ζ>ζ+。从分解式来看，sg（ζ）=1+ζ-1.-ε1 + (1 -ε） ζ和G（ζ）=1.-ε1 + (1 -ε)ζ-（1+ζ），首先注意[ζ-, ζ+]，通过构造，它认为（AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-))=σζW（ζ）+（σ+u）ζW（ζ）+uW（ζ）-H（ζ）=0。此外，考虑到初始条件（B.3）-（B.4），（AV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-)) |ζ=ζ-= AV（ζ）|ζ=ζ-= 0，whenceAV（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-) ≡ 0, ζ ∈ [ζ-, ζ+].看到这个0≤ 五、≤ G在所有[ζ]上-, ζ+]，观察（h（ζ）- h（ζ）-))= h（ζ）=h（ζ）=π*(1 + ζ)π*-ζ1 + ζ. （B.28）注意，对于ζ-< ζ ≤ ζ*, ζ在哪里*/(1 + ζ*) = π*, V（ζ）=W（ζ）>0。这也是W（·）≥ 所有[ζ]均为0-, ζ+]. 这相当于显示w（ζ）的非负性：=2σζ2γπ*W（ζ）=Zζζ-（h（x）-h（ζ）-))x2γπ*-2dx。（B.29）杠杆的极限为w（ζ）=（h（ζ）- h（ζ）-))ζ2γπ*-2=0当且仅当h（ζ-) = h（ζ）。

因此，ζ=ζ-或ζ=ζ，其中π（ζ）=ζ1+ζ=2π*- π-.通过（B.7）的一阶渐近性，我们得到了ζ/∈ [ζ-, ζ+]表示足够小的ε。因此（ζ）上w>0-, ζ+]，由（B.29）得出：≥ 所有[ζ]均为0-, ζ+].总结[ζ]上HJB方程的有效性-, ζ+]，它只剩下显示其内部质量V≤ G.为此，注意ψ（ζ）=W（ζ）- G（ζ），（这是（B.10）中定义的函数，ζ固定-) 满足ψ（ζ）-) = -G（ζ）-) = -ε(1 + ζ-)(1 + (1 -ε)ζ-)= -(1 -π*)ε+O（ε4/3），因此对于足够小的ε，ψ（ζ）<0在某个区间[ζ]-,ζ），以及ψ（ζ）=0。因此，\'ζ≤ ζ+. 通过构造，当ψ（ζ+）=0时，证明ψ在[ζ]上的非负性就足够了-, ζ+]. 矛盾地假设存在一个序列δk↓ 0，每k≥ 1，ψ（°ζ（δk））=0-（δk）<ζ（δk）<ζ+（δk）。现在，将变量改为u=ζ-ζ*δ、 并引入符号u±=ζ±-ζ*δ、 \'u=\'ζ-ζ*δ. 在不丧失普遍性的情况下，假设u（δk）收敛，从而满足极限→∞\'u（δk）=:B∈ [B，B]，其中（B.17）中定义了Bis，B=-B.因此，导致（B.17）的计算要求B必须满足（B.15）而不是B，即2B- 3BB+B+3π*γ(1 -π*)= 0.（B.30），其中Bfrom（B.17）和变量ξ的变化=-B/双层板2- 3ξ+ξ=0，只有解1和-2.因此，（B.30）具有唯一相关的解决方案B=-B=B。通过将u+（δ）和“u”（δk）交织在一起，可以引入“u”*（δ） =（\'u（δk），k∈ Nu+（δ），否则。因此（u-（δ） ，u*（δ） ）满足Φ（u）-, u+=0接近（B，B），对于足够小的δ。B.2提案，美国*（δ） =u+（δ），这与我们的假设相矛盾。现在考虑ζ≤ ζ-. V解HJB方程，ifAV- h（ζ）+h（ζ）-) = h（ζ）-) -h（ζ）≥ 0，G（ζ）≥ 0.As h（ζ）- h（ζ）-) = ζ=ζ时为0-, 证明他的非负性能够获得第一个不平等性是足够的。为此，使用了导数的显式公式（B.28）。

对于小επ-< π*, 因此ζ=ζ-（B.28）确实是严格正的，因此，积分后，可以得到任何ζ<ζ的第一个不等式-. 为了解决第二个不平等，回想一下ζ<-1/(1 - ε） 或ζ>0。在这些域上，G显然是严格的正函数。因此证明V满足ζ的HJB方程≤ ζ-.最后，考虑ζ≥ ζ+. 当G=W时，有必要显示l（ζ）：=AV（ζ）-h（ζ）+h（ζ）-) ≥ 0，G（ζ）≥ 0.（B.31）22杠杆G（ζ）的极限严格为正，第二个不等式成立。对于（B.31）中的第一个不等式，请注意l（ζ）=σζG（ζ）+μζG（ζ）- h（ζ）+h（ζ）-)L（ζ+）=0，因为（B.2）、（B.5）和（B.6）。因此，有必要证明L在[ζ+]上没有零，-1/(1 -ε） ），除了ζ+。首先考虑γ=1。利用变换z=ζ1+ζ，我们可以用z重写L，用F（z，ε）：=L（ζ（z））。当F（π+）=0时，多项式除以（z）- π+屈服强度sf（z，ε）=（z- π+)(1 -εz）g（z），（B.32）和g（z）=（g+gz），其中g=2u(-1 + (1 -2π-+ π+)ε -(1 -π-)π+ε+ σ(π++ 2(π-- π+)ε + π+(1 -π-)ε） ，g=1-(1 -π-)ε)(σ+ ε(2u - (1 + π-)σ).因此，下面的渐近展开式保持g（π+）=σuσ1.-uσ1/3ε1/3+O（ε2/3），g（1/ε）=σ2ε+O（1）。因此，对于足够小的ε，g在[π+，1/ε]上没有零。因此F（z）>0 forz∈ (π+, 1/ε).接下来，考虑γ6=1。利用z=ζ1+ζ的变换，我们可以重写函数F（z，ε）=L（ζ（z）），类似于γ=1的情况。然后证明了F在（π+，1/ε）上没有零。当F（π+）=0时，多项式除以（z）- π+产生（B.32），其中三阶多项式g具有导数EG=a+az+az，其中系数a、a和aare复杂但明确的参数函数和相对买卖价差ε。根据（B.32），证明g在[π+，1/ε]上没有零就足够了。

首先，注意下面的渐近展开式，g（π+）=4γπ*(π*- 1)1/3ε1/3+O（ε2/3），g（1/ε）=σ2ε+O（1）。（B.33）因此，对于足够小的ε，在[π+，1/ε]的两个端点上，g>0。仍然需要说明的是，g在[π+，1/ε]中的任何局部极小值都是非负的。局部极值z±，其中g（z±）=0，具有渐近展开式z±=3ε±3εqγ-4γ-1+O（1）。显然，无论何时γ，[π+，1/ε]都不存在局部极值∈ [1,4]因此在所有的[π+，1/ε]上g>0，因此F（z）≥ [π+，1/ε]上的0。非平凡情形γ/∈ [1,4）仍然存在：对于0<γ<1，它认为4-γ1-γ> 4，因此z±/∈ [π+, 1/ε]. 因此，ghas在这个区间内为零，因此在[π+，1/ε]上g>0。接下来，考虑γ≥ 4：局部最小z-具有负系数满足z的三阶多项式的-< z+和g（z）-) < g（z+）。考虑到（B.33），它保留了杠杆23的极限来表示g（z）-) > 它认为g（z）-) =3γ+(γ-4)(2+γ+√(γ-4)(γ-1))27(γ-1） ε+O（1），whenceg（z-) > 0表示足够小的ε。因此，图中显示了[π+，1/ε]上的g>0。引理B.5。让η-< η+使η+<-1/(1 - ε） 或η-> 0.然后存在一个可接受的交易策略，使得风险-安全比率ηt小于（A.4）。此外，（ηt，^~n）↑t、 ^^↓t） 是区间[η]上的反射扩散-, η+]. 特别是，ηthas定态密度等于ν（η）：=2μσ- 1η2uσ-1+- η2uσ-1.-η2uσ-2, η ∈ [η-, η+]，（B.34）当η-> 0，否则等于ν（η）：=2μσ- 1|η-|2uσ-1.- |η+|2uσ-1|η|2uσ-2, η ∈ [η-, η+]. （B.35）证据。通过解决两个反射边界的Skorohod问题（Kruket al.，2007），存在一个满足ηtηt=udt+σdBt+dLt的良好反射扩散（ηt，Lt，Ut）-dUt，其中B是标准布朗运动。如果η-> 0，L（resp.U）是一个只在{η=η上增加的非递减过程-}（分别为{η=η+}）。还有η-> 0或η+<-1/(1 -ε） 意味着ηt>0或ηt<-1/(1 -ε） 尽管如此，几乎可以肯定。