制度转换市场中期权价格估计的收敛性

（15） 我们观察到，Ztσ（Xu）dWu=∞Xn=1ZTn∧tTn-1.∧tσ（XTn）-1） dWu=∞Xn=1σ（XTn）-1） （WTn）∧T- WTn-1.∧t） 因此，tσ（Xu）的条件分布是均值为零且方差为零的正态分布∞Xn=1σ（XTn）-1） （Tn）∧ T- Tn-1.∧ t） 其中fx是由X={Xu}u生成的F的过滤∈[0，t]。现在使用对数正态随机变量的方差公式，我们得到经验Ztσ（Xu）dWu= EE经验Ztσ（Xu）dWuFXt= E“exp∞Xn=1σ（XTn）-1） （Tn）∧ T- Tn-1.∧ t） !#≤ E“expd∞Xn=1（Tn∧ T- Tn-1.∧ t） ！#=经验dt.利用上述不等式，我们从（15），E（St）中得到≤ Sectedt=Se（c+d）t。由于sti是非负的，我们应用托内利定理和上述关系式得到，EZTStdt=ZTEStdt≤ SZTe（c+d）tdt=S（c+d）e（c+d）T- 1..定理4.2的证明。

我们定义了函数ψ及其TBAτbe，ψτ（t，s，i，y）的差异：=ψ（t，s，i，y）- ■kτ（t，s，i，y）。现在，通过考虑分别由φ（t，s，i，y）和∧τ（t，s，i，y）满足的初边值问题，可以直接得出ψτ满足以下初边值问题，tψ（t，s，i，y）+r（i）ssψ（t，s，i，y）+σ（i）ssψ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）（ψ（t，s，j，0）- ψ（t，s，i，y））=r（i）ψ（t，s，i，y）-Xj6=i（λij（y）-∧λij（y，τ））（∧~nτ（t，s，j，0）- ■τ（t，s，i，y）），定义为：={（t，s，i，y）∈ （0，T）×R+×X×（0，T）| y∈ （0，t）}，带条件slims↓0ψ（t，s，i，y）=0，T∈ [0，T]，ψ（T，s，i，y）=0，s∈ R+；0≤ Y≤ Ti=1,2，·θ。我们将上述方程组改写为，tψ（t，s，i，y）+Lψ（t，s，i，y）=r（i）ψ（t，s，i，y）- fτ（t，s，i，y），（16）式中（Lψ）（t，s，i，y）：=r（i）ss+σ（i）ssψ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）（ψ（t，s，j，0）- ψ（t，s，i，y）），和fτ（t，s，i，y）：=Xj6=i（λij（y）-∧λij（y，τ））（∧~nτ（t，s，j，0）- ~nτ（t，s，i，y））。请注意，L是满足DSt=~St（r（Xt）要求的（~St，Xt，Yt）的最小生成器-)dt+σ（Xt）-)dWt），其中Xt是一个半马尔可夫过程，具有转移率λij（y），Yt是保持时间过程。然后，使用费曼-卡克公式，ψτ（t，s，i，y）=E[ZTtexp-Zttr（徐）嘟！ητ（t）dt | St=s，Xt=i，Yt=y]，（17）式中，ητ（t）=fτ（t，| St，Xt，Yt）。从定理3.3中，我们得到了y中∧ij（y，τ）到λij（y）的一致收敛性∈ [0，T]，几乎可以肯定。或者，换句话说，对于任何给定的(> 0), N s.t.P（N<∞) = 1和τ≥ N、 ||λij（y，τ）- λij（y）|<εY∈ [0，T]。（18） 利用Goswami等人[2015]的定理3.2，存在常数K和K，0≤~nτ（t，s，i，y）≤ 所有i，y和τ的k+ks≥ N.因此来自（18），fτ（t，s，i，y）≤ ε（k+ks）。因此，通过应用引理4.3，我们断言，对于所有大τ，|ητ（t，ω）|由一个可执行积分函数控制。

因此，利用支配收敛定理，我们可以看到limτψτ（t，s，i，y）=limτE[ZTtexp-Zttr（徐）嘟！ητ（t）dt | St=s，Xt=i，Yt=y]=E[ZTtexp-Zttr（徐）嘟！limτητ（t）dt |St=s，Xt=i，Yt=y]=0。因此，kτ按点收敛，如τ→ ∞.备注4.1。在本节中，我们以一个欧式看涨期权为例，来说明价格TBA的收敛性。值得注意的是，对于其他衍生工具，如看跌期权价格、障碍期权价格、复合期权价格等，可以有类似的收敛结果。因为价格满足类似的PDE系统。5数值实验我们首先通过考虑asemi-Markov过程的一个例子，并估计其在过程历史的不同时间尺度上的转移率，来说明引理3.1中的收敛结果。为了计算并给出实际的估计误差，我们模拟了具有三个假设状态{1,2,3}和保持时间分布asf（y）：=ye的例子-对于y>0，我们选择转移矩阵为（pij）=0.0 0.1 0.90.4 0.0 0.60.7 0.3 0.0.因此，任何y的理论转移率函数≥ 由λij（y）=pijf（y | i）1给出- F（y | i）=pijyy+1i、 j∈ S和i6=j.收敛为τ→ ∞ 通过绘制^λ和λ之间差异的两个不同范数来说明*在[0，T]上，对于τ的许多不同值，T=4。虽然收敛结果仅适用于超范数，但我们也发现说明这种形式很有趣。在图1中，τ变量取在水平轴上，计算的误差范数绘制在垂直轴上。在曲线图中，对数趋势线用于可视化趋势。

为了说明图1:MLE的收敛性欧洲看涨期权价格函数TBA的收敛性，我们考虑了一个市场，其中每个机制的波动率和瞬时利率如下（r（1），r（2），r（3））=（0.3,0.6,0.7）（σ（1），σ（2），σ（3））=（0.2,0.2）。履约价格K为1，到期日T为1个单位。图2通过估计误差的sup范数图显示了价格函数TBA的收敛性，计算误差为：=| |ψτ（0，·，i，0）1[0,5]| | sup。还绘制了ψτ（0，·，i，0）1[0,5]的形式，最后在数据系列的每个部分添加一条对数趋势线。图2：近似误差的收敛性：作者感谢Jayant Deshpande和Mrinal K.Ghosh进行了非常有用的讨论。参考Basak G.K.，Ghosh Mrinal K.和Goswami A.，马尔可夫调制市场中一类外显期权的风险最小化期权定价，Stoch。安。应用程序。29:2(2011), 259-281.Deshpande A.和Ghosh M.K.《体制转换市场中的风险最小化期权定价》，斯托赫。安。应用程序。26(2008), 313-324.DiMasi G.B.，Kabanov Y.和Runggaldier W.J.，具有马尔可夫波动性的股票期权的均值方差对冲。Probab理论。应用程序。，第39卷（1994），第173-181页。Ghosh M.K.和Goswami A.，半马尔可夫调制市场中的风险最小化期权定价，暹罗J.控制优化。48(2009), 1519-1541.Goswami，A.，Patel，J.，Shevgaonkar，P.，退化非局部抛物偏微分方程系统及其应用，2015年。arXiv:1506.01467[math.AP]。Joberts A.和Rogers L.C.G.，《马尔可夫调制动力学下的期权定价》，暹罗J.ControlOptim。44(2006), 2063-2078.金凯D.和切尼W.，《数值分析：科学计算的数学》，美国数学学会；第三修订版（2002年）。Mamon R.S.和Rodrigo M。

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