制度转换市场中期权价格估计的收敛性

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英文标题：
《Convergence of Estimated Option Price in a Regime switching Market》
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作者：
Anindya Goswami and Sanket Nandan
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In an observed generalized semi-Markov regime, estimation of transition rate of regime switching leads towards calculation of locally risk minimizing option price. Despite the uniform convergence of estimated step function of transition rate, to meet the existence of classical solution of the modified price equation, the estimator is approximated in the class of smooth functions and furthermore, the convergence is established. Later, the existence of the solution of the modified price equation is verified and the point-wise convergence of such approximation of option price is proved to answer the tractability of its application in Finance. To demonstrate the consistency in result a numerical experiment has been reported.
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中文摘要：
在观测到的广义半马尔可夫区域中，区域转换的转移率的估计导致了局部风险最小化期权价格的计算。尽管转移率阶跃函数的估计是一致收敛的，但为了满足修正价格方程经典解的存在性，估计被近似为光滑函数类，并进一步证明了收敛性。随后，证明了修正价格方程解的存在性，并证明了这种期权价格近似的逐点收敛性，以回答其在金融中应用的可处理性。为了证明结果的一致性，报道了一个数值实验。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Convergence_of_Estimated_Option_Price_in_a_Regime_switching_Market.pdf (333.33 KB)

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关键词：Differential Multivariate Quantitative Applications Convergence

制度转换市场中期权价格估计的收敛性*Sanket Nandan+2018年10月21日摘要：在一个观察到的半马尔可夫状态中，状态转换的转移率的估计导致了局部风险最小化期权价格的计算。尽管估计的转移率阶跃函数一致收敛，但为了满足修正的Price方程经典解的存在性，估计量被近似为光滑函数类，并进一步建立了收敛性。随后，验证了修正价格方程解的存在性，并证明了这种期权价格近似的逐点收敛性，以说明其在金融中应用的可操作性。为了证明结果的一致性，报告了数值试验。关键词：半马尔可夫过程，Volterra积分方程，非局部抛物型偏微分方程，局部风险最小化定价，最优混合分类号：60K15，91B30，91G20，91G60。1简介在金融市场建模和衍生品定价的研究人员中，制度转换经济是一种流行的选择，因为它简单、数学上易于处理，并且能够结合市场参数的变化。见DiMasi等人[1994]；Mamon&Rodrigo[2005]；Joberts&Rogers[2006]；Deshpande&Ghosh[2008]；Basak等人[2011]；Ghosh&Goswami[2009]和其中的参考文献了解更多细节。广义而言，制度转换经济指的是一类金融证券的数学模型，其中市场参数（如预期增长率、波动率、利率等）假设为一个具有有限状态空间的随机过程。因此，出于显而易见的原因，在这种市场假设下，或有权益的公平价格取决于这种有限状态过程的规律。

在实践中，这种体制转换的规律并不是先验的。如果观察到这些制度，那么人们或许可以估计制度转换的过渡率，并使用估计器计算期权价格。如果计算价格在某种意义上“接近”理论价格，这种方法将是令人满意的。在本文中，我们检验了这种方法的有效性。由于讨论中的市场是不完整的，因此存在多个公平价格。我们在Schweizer[2001]中考虑了独特的局部风险最小化价格，但通常没有明确提及。在本文中，我们考虑半马尔可夫区域，它将流行的马尔可夫区域包含为*印度浦那411008 IISER；电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in+印度浦那岛IISER 411008；电子邮件：sanketnandan@gmail.comwell.众所周知，与马尔可夫情形不同，在这种普遍性中，转移率不能写成常数矩阵。半马尔可夫过程的速率是[0]上的矩阵值可测函数，∞). 尽管如此，还是有可能构造过渡速率函数的某些有限维投影的最大似然估计序列，然后确定序列几乎肯定收敛到过渡速率函数Sansom&Thomson[2001]；Ouhbi&Limnios[1999]。另一方面，欧式期权的价格函数似乎满足一个微分方程（更多细节见Ghosh&Goswami[2009]），其中转换率是一个参数。Goswami等人[2015]表明，如果过渡速率满足某些条件，包括可微性，则该方程允许经典解。因此，确保两件事很重要。

首先，如果用MLE序列中的一个成员的平滑变换来代替转移率函数，在微分方程中，该方程是否仍然允许经典解？第二，如果用上述方法得到一个近似价格序列，它会收敛到理论价格吗？我们以肯定的方式回答这两个问题。我们还通过一个数值实验来说明这种收敛结果。本文的其余部分安排如下。第2节简要介绍了金融市场的数学模型和定价方程。第3节构造了过渡速率函数的特殊光滑近似。它还包含了光滑近似的收敛结果。在第四节中，我们证明了利用转移率函数的估计序列，可以构造一个收敛于真实价格的欧式看涨期权价格的近似序列。最后，第5.2节“市场模型”和pricingHere中报告了一些数值实验。我们考虑了一个仅由两种资产组成的市场，其中一种是本地无风险资产，如货币市场账户，另一种是风险资产，如股票。让{Xt}t≥0be有限状态空间X={1，2，…，θ}上的半马尔可夫过程，从状态i到状态j的转移概率为Pijan，给定当前状态i和下一状态j的条件保持时间分布为F（·i）。假设(Ohm, F、 P）是包含维纳过程{Wt}t的基本完全概率空间≥0独立于{Xt}t的≥0.我们通过{Xt}t对市场的假设状态（假设是可观察的）进行建模≥0并假设银行利率、波动率系数和增长率随Xtand的函数变化，分别表示为r（Xt）、σ（Xt）和u（Xt）。

我们表示Xtby{Tn}n的连续跃迁时间≥T=0时为0，T处的保持时间为y。无风险和风险资产的价格用{Bt}t表示≥0和{St}t≥0分别由bt=exp（Ztr（Xu）du），（1）dSt=St（u（Xt）dt+σ（Xt）dWt），S>0（2）给出，其中σ为正值，r，u为非负映射。让FTF成为XT生成的F的过滤，并满足通常的假设。Ghosh&Goswami[2009]指出，该市场模型确实允许一个等价的鞅测度，因此它是无套利的不可容许策略。事实证明，上述市场是不完整的。因此，衍生品的无套利价格可能不是唯一的。本文考虑了Ghosh&Goswami[2009]唯一存在的局部风险最小化期权价格。关于这种定价方法的更多细节，请参考Schweizer[2001]及其参考文献。为了获得期权价格的表示，我们进一步假设（A1）（i）F（y | i）∈ C（[0，∞)) i（ii）F（y | i）<1i和y>0（iii）（pij）是不可约概率矩阵。我们将瞬时跃迁率函数表示为λij（y），由lim给出Y↓0P（XTn+1=j，y<YTn+1≤ y+y | XTn=i，YTn+1>y）y、 因此λij（y）=pijf（y | i）1-F（y | i）。在本文中，作为一个例子，我们考虑了一个欧洲看涨期权，在履约价格为K，到期时间为T的情况下。然后是未定权益（ST- K） +是可测量的。

Ghosh&Goswami[2009]和Goswami等人[2015]表明，该索赔人时间t的局部风险最小化价格是t、St、xt和yt的函数，并且，比如说，是初始边值问题最多线性增长函数类中的唯一解t~n（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssа（t，s，i，y）+σ（i）ssа（t，s，i，y）Xj6=iλij（y）[а（t，s，j，0）- ν（t，s，i，y）]=r（i）~n（t，s，i，y），（3）定义如下：={（t，s，i，y）∈ （0，T）×R+×X×（0，T）| y∈ （0，t）}，（4）带边界条件↓0~n（t，s，i，y）=0，T∈ [0，T]，ψ（T，s，i，y）=（s- K） +；s∈ R+；0≤ Y≤ Ti=1，2。。。，θ. （5） Goswami等人[2015]指出，上述问题相当于第二类Volterra积分方程，可以使用逐步求积法轻松地进行数值求解。3转移率的近似我们将半马尔可夫过程Xt与保持时间过程Yt相乘，得到一个过程（X，Y）=（Xt，Yt）t≥0，这显然是马尔科夫。由于（Xt，Yt）在每个区间（Tn，Tn+1）内的确定性，可以用离散时间马尔可夫过程（Xn，Yn）n来描述（Xt，Yt）的动力学≥0我们定义Xn:=Xt和Yn:=YTn的地方-= Tn- Tn-1.因此，增广马尔可夫过程可以唯一地指定初始分布为P（X=j）：=P（j），YT=0和以下半马尔可夫核P（Xn+1=j，Yn+1）≤ y | X，X。。。，Xn，Y。。。，Yn）：=pXnjF（y | Xn）（a.s.）（6）代表所有y∈ R+和1≤ J≤ θ. 我们表示Qij（y）：=pijF（y | i）i6=j，λi（y）：=Pj∈X，j6=iλij（y），∧i（y）：=Ryλi（u）du。我们看到，F（y | i）=Pθj=1Qij（y）和alsodF（u | i）du=F（u | i）=Xj∈X，j6=ipijf（u | i）=（1）- F（u | i））Xj∈X，j6=iλij（u）。通过求解上述F的常微分方程，我们得到了Ln（1- F（y | i））=-∧i（y），这意味着F（y | i）=1- 经验(-∧i（y））。因此θXj=1Qij（y）=1- 经验(-∧i（y））。

（7） 考虑在固定时间τ，H（τ）=（X，X，···，XNτ，Y，Y，···，YNτ，Uτ）截尾的增广马尔可夫过程的历史，其中Nτ是时间τ和Uτ之前的跃迁数：=τ- TNτ是反向重现时间。将相关的对数似然函数最大化，以获得转移率函数λij（·）的最大似然估计量（MLE）。H（τ）isL（τ）=p（X）（1）的似然函数-θXl=1QXNτl（Uτ））Nτ-1Yl=0pXlXl+1f（Yl+1 | Xl）。因此从（7），p（X）-1L（τ）=exp(-∧XNτ（Uτ））Nτ-1Yl=0exp(-λXl（Yl+1））λXl，Xl+1（Yl+1）。然后我们考虑对数似然asl（τ）：=log{p（X）-1L（τ）}=Nτ-1Xl=0（对数λXl，Xl+1（Yl+1）- ∧Xl（Yl+1））- ∧XNτ（Uτ）。我们考虑（vk）0≤K≤M-1，[0，τ]的带步长的正则细分τ=τMand M=bτ1+αc，其中α>0，以确定I6=j∈ X和y>0λ*ij（y）：=M-1Xk=0λijk（vk，vk+1）（y），（8）其中λijk=λij（vk）。用阶跃函数λ代替λ后*在l（τ）的表达式中，可以得到，Xi，j∈SM-1Xk=0（dijklogλijk- λijkvik），（9）其中vik:=Nτ-1Xl=0（Yl+1∧ vk+1- vk）1{i}×（vk，∞)（Xl，Yl+1）+（Uτ）∧ vk+1- vk）1{i}×（vk，∞)（XNτ，Uτ）和dijk:=Nτ-1Xl=0{i}×{j}×（vk，vk+1）（Xl，Xl+1，Yl+1）。因此，使（9）中的泛函最大化的λijk的估计量由^λijk=（dijk/vikif vik>0；否则为0）给出。（10）因此我们得到了λ的估计量*ij（y），由^λij（y，τ）=M给出-1Xk=0λijk（vk，vk+1）（y）+λij0{0}（y）。（11） 我们得到以下结果。引理3.1。修正α∈ (0, 1/2). 在（A1）的假设下，估计量λij（·，τ）在[0，T]上一致一致，即maxi6=jsupy∈[0，T]|^λij（y，τ）- λij（y）|→ 0，几乎可以肯定，作为τ→ ∞.证据如果（A1）成立，可以直接从λij（y）的定义中得出λij（y）=pijf（y | i）1-F（y | i）。现在求j的和∈ 然后在[0，y]两边积分，得到∧i（y）=- ln（1）- F（y | i））。因此，假设（A1）∧i（y）在C（[0，∞)).

因此，对于任何i6=j，λij:[0，∞) → [0, ∞) 定义明确且持续可区分。接下来的证明来自Ouhbi&Limnios[1999]的定理1（b）。鉴于上述引理，我们定义了α∈ （0，1/2）用于本文的其余部分。注意，^λ（·τ）是阶跃函数，因此它是不连续的。我们的目标是在光滑函数类中获得λ的近似值，以便通过求解适当的微分方程组，该近似值可用于获得近似的价格函数。为此，我们考虑^λ（·τ）的Bspline插值。我们首先通过赋值^λ（y，τ）=^λ（0，τ）将其扩展到R上y<0和^λ（y，τ）=^λ（T，τ）y>T:=arg最大值∈[T，τ]^λ（y，τ）和设置vk:=kτ、 尽管如此，k∈ Z.挫折k（y）=（y）- vk）（vk+2- vk）（vk+1- vk[vk，vk+1）（y）+（y）- vk）（vk+2- y） （vk+2）- vk+1）（vk+2）- vk）+（vk+3- y） （y）- vk+1）（vk+2）- vk+1）（vk+3）- vk+1）[vk+1，vk+2）（y）+（vk+3- y） （vk+3）- vk+2）（vk+3）- vk+1[vk+2，vk+3）（y）。对于每个i6=j，我们插值数据点（vk，^λij（k）-1） ）我们表示^λijasλijas的样条插值，它由λij（y，τ）给出：=∞Xk=-∞λij（vk+2，τ）Bk（y）=∞Xk=-∞λij（k+1）Bk（y）。（12） 因为对于每个i6=j，对于每个k，^λijkis是非负的，从B样条的性质来看，^λij是一个非负函数。引理3.2。（A1）下maxi6=jsupy∈[0，T]|^λij（y，τ）-λij（y，τ）|→ 0asτ→ ∞.证据根据Kincaid&Cheney[2010]的定理6.6.4，对于每个I6=j，supy∈[0，T]|^λij（y，τ）-λij（y，τ）|≤ 2ω[0，T]（^λij（·τ）；τ） 式中ωI（f，δ）：=sup{f（t）- f（s）|t，s∈ 一、 |t- s |=δ}是连续模。根据引理3.1，对于给定的ε>0，有一个N，比如P（N<∞) = 1和τ≥ N、 maxi6=jsupy∈[0，T]|^λij（y，τ）- λij（y）|<ε。因此对于τ>N，ω[0，T]（^λij（·τ）；τ) ≤ ω[0，T]（λij（·）；τ) + 2ε. 因为λij（·）是连续的，所以它的连续模量会随着τ→ 因此，我们得到τ→ ∞, ω（^λij（·τ）；τ) → 0

结果就是这样。引理3.1和3.2导致以下结果。定理3.3。在（A1）下，maxi6=jsup[0，T]||λij（y，τ）- λij（y）|→ 0，a.s.，asτ→ ∞.4价格函数的逼近上一节显示，可以使用非参数MLE和Bspline的组合构造过渡速率函数的光滑逼近的收敛序列。有了这个结果，很容易用平滑的转移率近似解（3）-（5）来获得价格函数的近似值。不用说，只有当有关的初边值问题的解对转移率函数建立了某种连续依赖关系时，这种近似才是可靠的。这样的结果对于非局部退化抛物型偏微分方程是不容易得到的，我们在这里考虑。在本节中，我们建立了这种近似价格函数与真实价格的收敛性。为了准确起见，我们提出以下定义。定义4.1。设∧：X×X×[0，∞) → [0, ∞) 转移率函数λ和φ的近似表示问题（3）-（5）的解。如果（3）-（5），在函数λ被λλ替换后，加入一个唯一的经典解，那么被称为参数λ的基于转移率的近似。Goswami等人[2015]提出了一组关于∧的相当普遍的有效条件，确保了修正方程的唯一经典解的存在。引理4.1。在（A1）下，参数为λ（·τ，τ）（如（12）中）的φ（如（3）-（5））的TBA存在于足够大的τ值。证据我们定义了∧i（y，τ）：=Pj6=i∧ij（y，τ），~i（y，τ）=Ry∧i（y，τ）dy，~F（y | i，τ）：=1-经验(-∧i（y，τ）），和^pij:=R∞λij（y，τ）~λi（y，τ）（0，∞)（λi（y，τ））dF（y | i，τ）。

如果我们能证明存在一个τ>0，那么对于τ≥ τ、 Goswami等人[2015]中的有效条件保持不变，即（i）~λ（·τ）在C（[0，∞)), （ii）利米→∞∧i（y，τ）=∞ 对于每个i和（iii）^pijis不可约，则根据Goswami等人[2015]的定理3.2，存在^follows的TBA。我们注意到，从B样条的性质来看，（i）成立。又一次因为每一次我，limy→∞∧i（y）=石灰→∞- ln（1）- F（y | i））=∞, 根据定理3.3，有一个τ>0，对于τ≥ τ、 （ii）持有。我们首先注意到，为了证明（iii），有必要证明如果某些I6=j的pij>0，那么^Pijis也为正。现在如果pij>0，λij（y）（=pijf（y | i）1-F（y | i））不等于零。因此使用定理3。3，存在一个τ>0，使得对于任何τ>τ，λij（y，τ）不等于零。因此^pij=Z∞λij（y，τ）~λi（y，τ）（0，∞)（λi（y，τ））dF（y | i，τ）=Z∞λij（y，τ）e-∧i（y，τ）dy>0。我们在下面陈述主要结果。定理4.2。在（A1）下，对于较大的τ值，设τ为带参数λ（·τ）的的TBA。然后，kτ按点收敛，如τ→ ∞.为了证明这个定理，我们需要下列引理。引理4.3。让{St}t≥0如（2）所示。然后[ZTStdt]≤联合国安全理事会发射型计算机断层扫描仪- 1.（13） 对于一些正常数C证明。我们知道，（2）有一个由t=Sexp给出的闭式解Zt{u（Xu）-σ（Xu）}du+Ztσ（Xu）dWu. （14） 我们介绍以下常量：=maxi∈十、u（i）-σ（i）, d:=maxi∈X{σ（i）}。很明显，圣≤ Sexp（ct）expZtσ（Xu）dWu.