指数Léevy局部风险最小化的数值分析

如果进程L有一个大小为y的跳转∈ 鼠时间，鼠时间，鼠时间，鼠时间-变成机器翻译-E-在跳跃发生的那一刻。因此，LRM也与LRMt（mt）不同-) 至LRMt（mt）-E-y） 。我们可以考虑不同的LRMt（mt-E-y）- LRMt（mt）-) 作为跳跃冲击。特别是LRMt（e-y）- LRMt（1）代表了当期权处于价格时的跳跃影响。备注2.5。此后，我们将∈ （1，2]任意。此外，我们表示ζ：=v-iα代表v∈ R、 因此，我们可以将ζ视为v.3默顿跳跃扩散模型3默顿跳跃扩散模型的函数。我们考虑的情况是，L是一个默顿跳跃扩散过程，它由波动率σ>0的扩散分量和三参数的复合泊松跳跃组成，m∈ R、 δ>0，γ>0。注意，γ代表跳跃强度，跳跃的大小以平均m和v变化δ正态分布。因此，它的L′evy测度ν被给出byν（dx）=γ√2πδexp-（十）- m） 2δdx。当需要强调这些参数时，我们把ν写成ν[γ，m，δ]。请注意，假设1.1的第一个条件适用于任何m∈ R、 δ>0，γ>0。此外，第二个条件相当于0≥ u +σ+ γ经验m+δ-1.- M和u+3σ+γexp（2m+2δ）- 经验m+δ-M> 0.我们只考虑参数满足假设1.1.3.1数学预备条件的情况。我们有三个步骤：（1）给出φT的解析形式-t（z）（：=EP*[eizLT-t] ）；（2） 将（15）演化为三个傅里叶变换的线性组合；（3）给出Nη的充分条件，其中（7）对给定ε>0成立。首先，我们给出φT的解析形式-t、 为此，我们首先计算νP*.提议3.1。我们有νP*（dx）=ν[（1+h）γ，m，δ]（dx）+ν-hγexp2m+δ, m+δ，δ（dx），（1）式中h:=uSσ+RR（ex-1） ν（dx）。证据假设1.1,0≥ h>-1.

因此，νP*（dx）=（1）- θx）ν（dx）=（1）- h（前）-1） v（dx）=（1+h）v（dx）- hexν（dx）.3默顿跳扩散模型，exν（dx）=γ√2πδexp十、-（十）- m） 2δdx=γ√2πδexp-[x]- （m+δ）]2δ+2m+δdx=νγexp2m+δ, m+δ，δ（dx），其中（1）如下。接下来，我们计算φT-t（ζ）表示t∈ [0，T]。提议3.2。无论如何∈ [0，T]和v∈ R、 ζ：=v-iα，φT-t（ζ）=exp（T）- （t）我知道*-σζ+ZR（eiζx）-1.- iζx）νP*（dx）= exp（（T-t） “我很高兴*-σζ+（1+h）γ（eimζ）-ζδ-1.- imζ）-hγe2m+δ[ei（m+δ）ζ-ζδ-1.-iζ（m+δ）#）。证据我们只需要证明第一个等式：φT-t（ζ）=EP*经验我ζu*（T）- t） +σWP*T-t+ZRxeNP*（[0，T-t] ，dx）= exp{（T）-t） 我知道*}EP*[ei]可湿性粉剂*T-t] EP*经验iζZRxeNP*（[0，T-t] ，dx）= 经验（T）-（t）我知道*-σζ+ZR（eiζx）-1.-iζx）νP*（dx）.第二，我们有（15）。我们定义了ψ（z）：=ψ（z）表达式-z的δ∈ Candf（K）：=πR∞K-iζ+1|ψ（ζ）dv。请注意，f是用FFT以及（14）中定义的f计算的。下面的命题证明了（15），即三个傅里叶变换的线性组合给出的Iis。提案3.3。我们有ZREP*[（STex- （K）+- （圣-K） +|英尺-]（例如-1） ν（dx）=γe2m+δ≈f（Ke-M-δ) - γem~f（Ke）-m） +γ（1）- 任意t的em+δ）f（K）（2）∈ [0，T].3默顿跳扩散模型。我们计算了ezr（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）=ZR（e（iζ+1）x-eiζx+1- ex）ν（dx）=γexp（iζ+1）m+δ（iζ+1）-γexpiζm-δζ+ γ(1 - em+δ）。因此，我们得到（15）=γπem+δZ∞eiζ（m+δ）K-iζ+1e-Δζψ（ζ）dv-γπZ∞（克-m）-iζ+1eme-Δζψ（ζ）dv+γ（1）- em+δ）f（K）=γe2m+δf（Ke）-M-δ) - γem~f（Ke）-m） +γ（1）- em+δ）f（K）。第三，我们为乘积Nη提供了充分条件，在该条件下（7）保持给定的允许误差ε>0。首先，我们确定φT的n上估计-t、 提议3.4。我们有|φT-t（v- iα）|≤ Cexp-σv（T）- （t）对于任何v∈ R、 式中c=exp（T）- （t）αu*+σα+ZR（eαx）-1.- αx）νP*（dx）= exp（（T-t） “αu*+σα+（1+h）γ（emα+αδ-1.- αm）-hγe2m+δe（m+δ）α+αδ-1.- α（m+δ）#).证据

命题3.2暗示φT-t（v-iα=exp（T）- （t）i（v）- iα）u*-σ（v）-iα）+ZR（ei（v）-iα）x-1.-i（v）- iα）x）νP*（dx）= 经验（T）- （t）（iv+α）u*-σ（v）-2iαv- α） +ZR（e（iv+α）x-1.-（iv+α）x）νP*（dx）= 经验（T）- t） 四u*+ σα -ZRxνP*（dx）经验（T）- t） ZRe（iv+α）xνP*（dx）×exp（T）- （t）αu*-σ（v）- α） +ZR(-1.-αx）νP*（dx）.3默顿跳跃扩散模型经验（T）-t） RRe（iv+α）xνP*（dx）≤ 经验（T）-t） RReαxνP*（dx）,我们有|φT-t（v- iα）|≤ 经验（T）-（t）αu*-σ（v）-α） +ZR（eαx）-1.- αx）νP*（dx）.下面的命题3.5和命题3.6给出了Nη的充分条件，在此条件下，对于给定的允许误差ε>0，分别满足（7）。提案3.5。设ε>0，t∈ [0，T）.当a>0满足πKSt--αC！1/4σ√T- tε1/4≤ a、 （3）我们有πZ∞aK-四、-α+1α -1+ivφT-t（v- iα）Sα+ivt-dv≤ ε.证据注意到-十、≤ 十、-2对于任何x>0的情况，根据命题3.4，πZ∞aK-四、-α+1α -1+ivφT-t（v- iα）Sα+ivt-dv≤πZ∞aK-α+1|α -1+iv | |φT-t（v- iα）| Sαt-dv≤KπKSt--αZ∞a |α-1+iv | Ce-σv（T）-t） dv≤KπKSt--α-CZ∞avσv（T）- （t）-2dv=KπKSt--α-CZ∞a4v型-5σ（T）- t） dv=KπKSt--αCσ（T）-t） a≤ ε .提议3.6。设ε>0，t∈ [0，T）.如果a>0满足4cγK5πσ（T- t） εKSt--αe（α+1）m+（α+α+）δ+emα+δα+|1- em+δ|≤ a、 （4）那么πZ∞aK-iζ+1ZR（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）ψ（ζ）dv< ε . （5） 3默顿跳扩散模型。首先，我们是刺激者∞a |ψ（ζ）|dv。注意到（iζ- 1） 我ζ=（iv+α-1） （iv+α）≤v、 提议3.4暗示∞a |ψ（ζ）|dv=Z∞A.φT-t（v-iα）Si（v）-iα）t-（iζ- 1） 我ζdv≤ CSαt-Z∞ae-σv（T）-t） vdv≤4CSαt-σ（T）- t） Z∞av-6dv=4CSαt-5σ（T）- t） a.因此，命题3.3意味着tL.H.S。

第（5）部分=γe2m+ΔπZ∞a（克）-M-δ)-iζ+1¨ψ（ζ）dv-γemπZ∞a（克）-m）-iζ+1¨ψ（ζ）dv+γ（1）-em+δ）πZ∞aK-iζ+1ψ（ζ）dv≤γπZ∞A.e2m+δ（Ke-M-δ)-四、-α+1-em（Ke）-m）-四、-α+1|ψ(ζ)|E-δζdv+γ| 1- em+δ|πZ∞答| K-四、-α+1 | |ψ（ζ）| dv≤γπZ∞ane2m+δ（Ke-M-δ)-α+1+em（Ke）-m）-α+1o |ψ（ζ）|e-δ（v）-α） dv+γ| 1- em+δ|πZ∞aK-α+1 |ψ（ζ）|dv≤γK-α+1πe（α+1）m+（α+α+）δ+emα+δα+|1- em+δ|Z∞a |ψ（ζ）|dv≤4CγK5πσ（T- t） aKSt--αe（α+1）m+（α+α+）δ+emα+δα+|1- em+δ|≤ ε.3.2数值结果如前一小节所示，分别用（12）和（2）代替Iand，我们可以用FFT计算（3）中给出的LRmt。请注意，我们需要命题3.2来计算ψ、ψ和|ψ。在本小节中，我们提供了参数T=1，u=-0.7，σ=0.2，γ=1，m=0，δ=1。注：tuSis由-0.03，满足假设1.1的第二个条件。在3 MERTON跳跃扩散模型中，我们特别考虑以下两种情况：首先，将执行价格Kto 1，我们计算t=0，0.05，0.95. 其次，t固定为0.5，我们将K从1变为8，步长为0.25，并计算LRM0。5.注意我们要-= 1无论t的值是多少。此外，我们选择了=2，η=0.025，nadα=1.75作为与FFT相关的参数。那么Nη=409.6。对于上文提到的任何p参数集，（3）和（4）都满足=10-2.图1显示了这两种情况的结果。获得图1（b）的计算时间为0.59秒。请注意，本文中的所有数值实验都是使用MATL AB（8.1.0.604 R2013a）在具有16 GB 1333 M Hz DDR3内存的Tel Core i7 3.4 GHz CPU上进行的。3默顿跳扩散模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9860.9880.990.9920.9940.9960.998tLRMt（a）行使价格K=1且到期日T=1的看涨期权的LRMT。

参数为u=-0.7，σ=0.2，γ=1，m=0，δ=1.123456780.70.750.80.850.90.951KLRM0。5（b）LRM0。5对于与（a）和履约价格K相同的默顿跳跃扩散模型，纵轴代表LRM0的值。5图1：默顿跳跃扩散模型4方差伽马模型4方差伽马模型我们现在考虑L作为方差伽马过程给出的情况。请注意，L没有扩散分量。这意味着σ=0，即Ivanishes。方差伽马过程，有三个参数κ>0，m∈ R、 δ>0定义为波动率δ、漂移m和隶属度Gt的时间变化布朗运动，其中Gt是带参数（1/κ，1/κ）的ga mma过程。总之，L表示为t的lt=mGt+δbgtf∈ [0，T]，其中B是一维标准布朗运动。此外，L的L′evy度量由ν（dx）=C（1{x<0}e给出-G |x |+1{x>0}e-M |x |）dx |x |=C（1{x<0}eGx+1{x>0}e-Mx）dx | x |，其中c:=κ，G:=δrm+2δκ+mδ，m:=δrm+2δκ-mδ。请注意，C、G和M是正的。为了强调这些参数，我们用p参数κ，m和δ来表示ν（dx）=ν[κ，m，δ]（dx）。此外，通过将C、G和M视为参数，我们可以将ν表示为ν（dx）=νC、G、M（dx）。此外，我们在本节中假设M>4，这确保假设1.1的第一个条件通过以下引理成立：引理4.1。当M>4时，RR（例如-1） nν（dx）<∞ 对于n=2，4。证据对于n=2，4，我们有z∞（例如-1） nν（dx）≤ CZ∞e（n）-M） xdx<∞ ,Z（前-1） nν（dx）≤Zxn（e）- 1） nν（dx）≤ C（e）-1） n<∞ ,Z-1（前）-1） nν（dx）≤Z-1(-x） nν（dx）≤ CZ-1(-x） n-1dx<∞ ,Z-1.-∞（例如-1） nν（dx）≤Z-1.-∞ν（dx）≤ CZ∞E-Gxdx<∞ ,因为- M<0,0≤ 前任-1.≤ x（e）- 1） 每当x∈ [0,1]，1+x≤ 无孔x∈ R、 还有前任≤ 1如果x≤ 0.备注4.2。

我们可以推广这个引理toRR | ex-1|aν（dx）<∞ 对于任何一个∈[1，M）.4方差伽马模型由于u=RRxν（dx），（2）低意味着假设1.1的第二个条件可以重写为log（M）-1） （G+1）（M）-2） （G+2）> 0≥ 日志MG（M）-1） （G+1）,这相当于-3<克- M≤ -1.4.1数学初步研究方差伽马模型的方法与第3.1小节中的方法类似。我们首先计算νP*.提案4.3。νP*（dx）=ν（1+h）C，G，M（dx）+ν-hC，G+1，M- 1（dx），其中h=uSRR（ex-1） ν（dx）。证据根据与命题3.1相同的论点，νP*（dx）=（1+h）ν（dx）-十六进制ν（dx）。对于任意λ>0，我们有λνC，G，M（dx）=νλC，G，M（dx）=exC（1{x<0}eGx+1{x>0}e-Mx）dx | x |=C（1{x<0}e（G+1）x+1{x>0}e-（M）-1） x）dx | x |=νC，G+1，M-1（dx）因为M-1 > 0.备注4.4。对于任何λ>0的情况，λν[κ，m，δ]（dx）是一个L′evy度量，对应于参数为κ/λ，λm和δ的方差伽马过程√λ. 然而，νC，G+1，M-1（dx）不一定是与方差伽马过程相对应的L’evy度量。接下来我们计算特征函数φT-tof L低于P*:提案4.5。无论如何∈ [0，T]和v∈ R、 ζ：=v-iα，我们有φT-t（ζ）=1+iζG1.-iζM-（1+h）（T）-t） C1+iζG+11.-iζM-1.h（T）-t） C×exp（T）-t） 我ζu*+ （1+h）厘米- GGM-hCM- G- 2（G+1）（M）-1),在哪里*=RR（x）- ex+1）νP*（dx）.4方差伽马模型。首先，我们有∞（eiζx）-1） e-mxdx=Z∞E-（M）-α-iv）x-E-mxdx=Z∞E-（M）-α-iv）x-E-（M）-α） x+e-（M）-α） x- E-mxdx=iZ∞E-（M）-α） xZveitxdt dx+Z∞ZMM- αe-txdt dx=iZvZ∞E-（M）-α-it）xdx dt+ZMM- αZ∞E-txdx dt=logM-αM-α -四、+ 日志嗯-α= -日志1.-iζM,（1） 它提供Zr（eiζx-1） νC，G，M（dx）=CZ-∞（eiζx）-1） eGx-xdx+CZ∞（eiζx）-1） e-Mxxdx=- C日志1+iζG+ 日志1.-iζM.此外，我们还有ZrxνC，G，M（dx）=-CZ-∞eGxdx+CZ∞E-Mxdx=-厘米-嗯。连同提案4。

3，我们得到了Zr（eiζx）-1.- iζx）νP*（dx）=对数1+iζG-（1+h）C+log1.-iζM-（1+h）C+log1+iζG+1hC+对数1.-iζM- 1.hC+i（1+h）CζM- GGM-ihCζM-G- 2（G+1）（M）- 1） ，第4.5条命题由此而来。现在，我们将（15）转化为两个傅里叶变换的线性组合，以允许使用FFT。作为准备，我们展示如下：引理4.6。ZReiζx（ex-1） ν（dx）=C对数M-iζM-1.-iζG+iζG+1+iζ. （2） 4.方差伽马模型。首先，我们有zreiζx（ex-1） ν（dx）=ZRe（iv+α）x（ex-1） ν（dx）=CZ∞1.- exxe-（G+α+1+iv）xdx+Z∞前任-1xe-（M）-α-iv）xdx. （3） 为了计算（3），我们计算∞前任-1xe-axcos bx dx和Z∞前任-1xe-axsin bx DXA>1和b∈ R.首先，我们有∞前任-1xe-axcos bx dx=Z∞因为bxxZaa-1xe-txdt dx=Zaa-1Z∞cos bx·e-txdx dt=Zaa-1tt+bdt=loga+b（a）-1） +b. （4） 类似的计算表明∞前任-1xe-axsin bx dx=Zaa-1bt+bdt=tan-1ab-棕褐色的-1a- 1b。（5） 注意到我- α>2和棕褐色-1x=ilogi+xi-x或x∈ R、 在（4）和（5）之前，我们有Z∞前任-1xe-（M）-α-iv）xdx=Z∞前任-1xe-（M）-α） xcos vx dx+iZ∞前任-1xe-（M）-α） xsin vx dx=log（M）- α） +v（M）- α - 1） +v+ 我棕褐色的-1米- αv-棕褐色的-1米-α -1v= 日志M- α -ivM-α -1.-四、. （6） 用与上述相同的方法计算（3）右侧的第一项，我们得到Z∞1.- exxe-（G+α+1+iv）xdx=logG+α+ivG+α+1+iv. （7） 用（6）和（7）代替（3），我们得到了（2）。4方差伽马模型。根据上述引理，Iis给出如下：*[（STex-（K）+-（圣-K） +|英尺-]（例如-1） ν（dx）=πZ∞K-iζ+1ZR（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）ψ（ζ）dv=πZ∞K-iζ+1eψVG（ζ）dv-πZ∞C日志MG（M）-1） （G+1）K-iζ+1ψ（ζ）dv。（8） 式中eψVG（ζ）：=C logM-iζM-1.-iζG+iζG+1+iζψ(ζ).回想一下ψ（ζ）=φT-t（ζ）Siζt-（iζ-1） 我是ζ。

因此，我们只需使用两次FFT来计算I。作为本小节的最后一项，我们估计了（8）的积分区间的足够长度，即（7）意义上的给定允许误差ε>0。我们首先提供φT的上限估计值-助教如下：4.7号提案。对于任何v∈ R、 |φT-t（v- iα）|≤ C | v|-2C（T）-t） 式中c=（GM）（1+h）（t）-t） C[（G+1）（M）- 1)]-h（T）-t） C×exp（T）- t） αu*+ （1+h）厘米-GGM-hCM-G- 2（G+1）（M）-1).（9） 证据。这是因为1+iv+αG-A.≤Ga | v | afor任何a>0。我们需要再准备一个引理：引理4.8。ZReiζx（ex-1） ν（dx）≤ CG+α+M-α -1.. （10） 4.方差伽马模型。与（1）中的计算方法相同ZReiζx（ex-1） ν（dx）≤ CZ∞1.- exxe-（G+α+1+iv）xdx+Z∞前任-1xe-（M）-α-iv）xdx≤ CZ∞前任-1xe-（G+α+1）xdx+Z∞前任-1xe-（M）-α） xdx= C日志1+G+α+ 日志1+M-α -1.≤ CG+α+M-α -1..当我们计算（8）时，应取N和η，以便在给定允许误差ε>0的情况下，Nη满足度（11）较低。提案4.9。设ε>0。当sat评分>0时-α+1Sαt-πε（2C（T-t） +1）G+α+M- α -1+日志MG（M）-1） （G+1）≤ a2C（T-t） 我们有πZ∞aK-iζ+1ZR（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）ψ（ζ）dv< ε（12），其中Cis定义在（9）中。证据到10点，我们有πZ∞aK-iζ+1ZR（eiζx）-1） （例如-1） ν（dx）ψ（ζ）dv≤π(Z∞aK-iζ+1ZReiζx（ex-1） ν（dx）ψ（ζ）dv+Z∞aK-iζ+1ZR（ex-1） ν（dx）ψ（ζ）dv)≤πZ∞A.K-iζ+1ZReiζx（ex-1） ν（dx）+ZR（前-1） ν（dx）|ψ（ζ）|dv≤πK-α+1CG+α+M- α -1+日志MG（M）-1） （G+1）Z∞a |ψ（ζ）|dv.（13） 因为命题4.7暗示|ψ（ζ）|=φT-t（ζ）Siζt-（iζ- 1） 我ζ≤vC | v|-2C（T）-t） Sαt-= CSαt-|五|-2C（T）-（t）-2.4方差伽马模型和（13）R.H.S。

共（12）≤πCCK-α+1Sαt-G+α+M-α -1+日志MG（M）-1） （G+1）×Z∞a | v|-2C（T）-（t）-2dv=πCCK-α+1Sαt-G+α+M-α -1+日志MG（M）-1） （G+1）×a-2C（T）-（t）-12C（T- t） +1.4.2数值结果我们展示了方差伽马模型的数值结果。选择模型参数s作为κ=0.15，m=-满足假设1.1的第二个条件的δ=0.45，我们计算与第3.2小节中相同的数值试验的LRmt。注意，满足M>4。此外，我们还采用了与FFT相关的p参数，如第3.2小节所述。Nη满足（11）任何参数集。结果如图2所示。获得图2（b）的计算时间为0.19秒。此外，我们根据市场数据进行了与上述b相同的数值试验。我们使用了日经225指数计算2014年3月的市盈率。我们需要设置原木价格Lt:=log（St/S），其中Sis为2014年2月28日的价格，即148 41.07。我们使用广义矩法和Levenberg–Marquardt方法，从原木价格的均值、方差和偏度估计参数C、G和Min表1。表1：估算参数C 2.469395026815 120G 23.743109051760964M 24.903251787154687因为G- M≈ -1.16，该参数集满足假设1.1。我们取=1和St-= 14841.07，也就是说-= 0.首先，假设罢工价格K=14000，我们计算LRMTT=0，0.05，0.95. 接下来，将t设置为0.5，即LRM0的值。当K=10000，11000。，20000.注意Nη满足（11）。计算结果如图3.4所示，方差伽马模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9880.990.9920.9940.9960.99811.002tLRMt（a）是与图1（a）相同的数值实验结果，参数κ=0.15，m=-0

δ=0.45.1234567800.10.20.30.40.50.60.70.80.91KLRM0。5（b）对于与（a）相同的方差伽马模型，计算结果如图1（b）所示。图2：参数κ=0.15，m=-0.2，δ=0.454方差伽马模型0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.740.760.780.80.820.840.860.88tLRMt（a）LRMTT（a）值，执行价格K=14000，St-= 对于t=0，0.05，…，为14841.07，0.95. 表1.10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 2000000.10.20.30.40.50.60.70.80.91KLRM0给出了三个参数C、G和M的值。5（b）LRM0。5对于K=10000，11000，20000和S0。5= 14841.07.图3：基于2014年3月日经225指数的方差伽马模型参考确认荒井拓二感谢石井纪念证券研究促进基金会的财务支持。参考文献[1]T.Arai&R.Suzuki（2015）《电动汽车市场的局部风险最小化》。国际金融工程杂志，出版。[2] G.Bertoin（1998）L\'evy过程。剑桥：剑桥大学出版社。[3] D.Bonetti，D.Leao，A.Ohashi&V.Siqueira（2015）随机波动下动态套期保值的一般多维蒙特卡罗方法，国际随机分析杂志2015，文章ID 863165。[4] P.Carr&D.Madan（1999）使用快速傅立叶变换进行期权估值，计算金融杂志2（4），61–73。[5] R.Cont&P.Tankov（2004）带跳跃过程的金融建模。查普曼与霍尔，伦敦。[6] J.W.Cooley&J.W.Tukey（1965）复傅里叶级数的机器计算算法，计算数学19297–30。[7] C.O.Ewald，R.Nawar&T.K.Siu（2013）《指数L’evy模型中天然气衍生品的最小方差对冲：理论与经验绩效》，能源经济学36，97–107。[8] W.Kang&K。